文档内容
第五章 万有引力与宇宙航行
测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、
学号填写在试卷上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题上方的答题表中。
3．回答第II卷时，将答案直接写在试卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共 48 分）
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第1-8题只有一项符合题目
要求，第9-12题有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。）
1．如图所示为我国首次执行火星探测任务的“天问一号”探测器运行的部分轨迹图。以火星中心为参考
系，不考虑“天问一号”的质量变化，“天问一号”探测器在近火点A与远火点B的万有引力的大小之比
为p，动能之比为q，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令火星的质量为M，“天问一号”的质量为m，近火点到火星的距离为r，远火点到火星的距离
1
为r。“天问一号”探测器在近火点A受到的万有引力为 “天问一号”探测器在远火点B受到
2
的万有引力为 根据开普勒第二定律，有 根据动能的表达式 联立可得
p=q
故选A。
2．2023年春节黄金档期中我国科幻电影《流浪地球2》再获口碑、票房双丰收，极具科幻特色的“太空电
梯”设定吸引了众多科幻爱好者研究的兴趣。太空电梯是从地面基座连接距离地球表面约36000km静止轨
道空间站的直立式电梯，若地球的半径近似为6400km，下列关于太空电梯设定的说法，正确的是
（ ）A．电梯轨道基座能建设在广州市
B．若发生意外，断裂在太空里的电梯部件将不会掉落到地球上
C．若电梯临时停在距离地表为18000km的高空，其重力加速度只有地球表面的
D．登上静止轨道空间站的宇航员受到的万有引力约为地面的
【答案】D
【详解】A．由于要与同步轨道的空间站进行连接，故太空电梯应该建立在同步卫星轨道所在的平面内，
即赤道上，故A错误；
B．太空电梯的设定实际为建于地球之上，由大型基座、牵引钢缆等组建连接于同步轨道的垂直电梯，实
际是地表建筑物，跟随地球自转且具有相同的角速度，故其自转的角速度，线速度明显小于第一宇宙速度，
故除静止轨道外的部分断裂皆因其受到的万有引力大于向心力，均会掉落，电影内也有这一情节，故B错
误；
C．距离地表18000km的高空处，距离地心距离约为 ，约为地球半径的 倍，根据万有引
力定律 其重力加速度约为地球表面的 ，故C错误；
D．静止轨道为地球表面高36000km处，该处到地心距离为42400km，约为地球半径的 倍，根据
引力约为地球表面的 ，故D正确。故选D。
3．第一宇宙速度又叫做环绕速度，第二宇宙速度又叫做逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度
的 倍。有些恒星，在它一生的最后阶段，强大的引力把物质紧紧地压在一起，密度极大，其逃逸速度
大于光速，这样的天体称为黑洞。已知地球的半径约为6400km，地球表面附近的重力加速度约为 ，
光速约为 ，不考虑地球的自转。倘若地球保持质量不变收缩成为黑洞，该黑洞半径的最大值接
近（ ）
A．0.01m B．0.1m C．1m D．10m
【答案】A
【详解】地球表面附近有 临界状态光速恰好等于其逃逸速度，可得第一宇宙速度可表示为
根据万有引力提供向心力可得 联立解得
故选A。4．天文学家发现一个略大于木星的气体行星（HD188753Ab），它围绕天鹅座“HD188753”系统的主星公
转，公转周期为3.3日，轨道半径约为 天文单位，若忽略其它星球对它的影响，认为它围绕主星做匀速
圆周运动。设地球至太阳的距离为1天文单位，地球绕太阳公转周期为365日。根据上述数据，可求出（
）
A．行星与地球的质量之比
B．主星与太阳的质量之比
C．行星与地球的第一宇宙速度之比
D．行星与地球的表面重力加速度之比
【答案】B
【详解】AB．由万有引力提供向心力 ，可知行星与地球的质量在计算中约去，不可求出；
中心天体主星与太阳的质量可以求出 主星与太阳的质量之比可以求出 故A错误，
B正确；
C．由 ，解得星球的第一宇宙速度 由于行星与地球的质量和半径都未知，所以行
星与地球的第一宇宙速度之比不可求出，故C错误；
D．由 ，解得星球的重力加速度 由于行星与地球的质量和半径都未知，所以行星与
地球的表面重力加速度之比不可求出，故D错误。故选B。
5．金星与地球半径接近，金星的质量约为地球质量的 ，地球和金星各自的卫星公转半径的倒数 与公转
速度的平方 的关系图像如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．金星的第一宇宙速度较小
B．取相同公转速度，金星的卫星的周期较大
C．图线a表示的是地球的卫星，图线b表示的是金星的卫星
D．取相同公转半径，金星的卫星向心加速度较大
【答案】A【详解】A．根据 可得第一宇宙速度为 金星与地球半径接近，金星的质量约为地球
质量的 ，则金星的第一宇宙速度较小，故A正确；
C．根据 可得 可知地球的质量较大，则 图像的斜率较小，则图线b表示的是
地球的卫星，图线a表示的是金星的卫星，故C错误；
B．由于图线b表示的是地球的卫星，图线a表示的是金星的卫星，取相同公转速度，则金星的卫星的轨
道半径较小，根据 可知金星的卫星的周期较小，故B错误；
D．由于图线b表示的是地球的卫星，图线a表示的是金星的卫星，取相同公转半径，金星的卫星的速度
较小，根据 可知金星的卫星向心加速度较小，故D错误。故选A。
6．潮汐现象是指在月球和太阳引力作用下形成的海水周期性涨落现象。某同学查阅资料发现月球绕地球
转动的轨道半径约为地球半径的60倍，地球质量约为月球质量的80倍，地球表面的重力加速度为 ，不
考虑星球的自转影响，由以上数据可估算出（ ）
A．月球绕地球做圆周运动的加速度为
B．月球绕地球做圆周运动的线速度为地球第一宇宙速度的
C．月球表面的重力加速度为
D．月球对地球海水引力产生加速度的最大值为
【答案】D
【详解】A．由 可得地球表面的重力加速度 由 ；
可得，月球绕地球做圆周运动的加速度 故A错误；
B．由 可得，月球绕地球做圆周运动的线速度 为地球第一宇宙速度的 ，故B错误；
C．月球的半径未知，无法计算出月球表面的重力加速度，故C错误；
D．海水与月球最小距离为 ，月球对地球海水引力产生的加速度最大
故D正确。故选D。
7．上世纪70年代，苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的
球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零，则F等于半径
为（R－d）的球对小球的引力，有 设半径为（R－d）球的质量为 ，由密度公式得
所以 解得，F的大小为 ，B正确，ACD错误。故选B。
8．2023年3月30日，我国在太原卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将宏图一号01组卫星发射
升空，并进入预定的极地轨道做匀速圆周运动。它是由“一颗主星+三颗辅星”构成的卫星组，犹如在太
空中飞行的车轮。已知宏图一号卫星组的运行轨道距离地面的高度为h（约为530km），地球半径为R，
自转周期为T，地球极地表面的重力加速度为g，卫星组经过赤道上空的时候，携带的摄像机都可以对赤
道进行一次拍摄，要使摄像机在1天的时间内将整个赤道拍摄下来，则每次拍摄赤道的长度至少为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 可得 ，1天时间内卫星经过赤道的次数为又地球表面或附近有 所以 所以要使摄像机在1天
的时间内将整个赤道拍摄下来，则每次拍摄赤道的长度至少为 故选C。
9．如图所示，M是赤道上的物体在随地球自转，N是赤道平面内的一颗人造地球卫星，运行方向自西向
东。已知地球同步卫星距地面高度为5.6倍地球半径，设地心为O， 与 间的夹角 最大为 ，则（
）
A．N的轨道半径为地球半径的2倍
B．N与M的转动周期之比为
C．N与M的线速度大小之比为
D．N与M的加速度大小之比为
【答案】AC
【详解】A．当MN连线正好与地表相切时， 与 间的夹角 最大，由几何得，N的轨道半径为地球
半径的2倍，A正确；
B．由开普勒第三定律，N卫星和地球同步卫星的周期之比为 又因为物体M的
转动周期和地球同步卫星的周期相同，所以N与M的转动周期之比为 ，故B错误；
C．由 可得，N与M的线速度大小之比为 故C正确；
D．由 ，可得N与M的加速度大小之比为 故D错误。故选AC。
10．2022年7月25日，我国问天实验舱与天和核心舱顺利完成对接任务。问天实验舱与火箭分离后经历6
次变轨，来到与核心舱相距52公里的位置上，然后在计算机控制下轨道逐渐升高，与核心舱的距离不断减
小，实现对接的初始条件。顺利完成对接后一起做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ ）A．问天实验舱从脱离火箭至刚与核心舱接触过程中机械能增大
B．问天实验舱从接近核心舱至对接完成过程中系统机械能守恒
C．问天实验舱在追核心舱的过程中，问天实验舱的加速度始终指向地心
D．若空间站距离地面高度为 ，经过时间 通过的弧长为 ，已知地球半径为 ，引力常量为 ，则可求
地球的平均密度为
【答案】AD
【详解】A．问天实验舱从脱离火箭至刚与核心舱接触过程中，需要加速做离心运动，机械能增大，故A
正确；
B．问天实验舱从接近核心舱至对接完成过程中，需要先加速后减速运动，系统机械能先增大后减小，故
B错误；
C．问天实验舱在追核心舱的过程中，有沿运动轨迹切线方向的加速度，加速度不可能始终指向地心，故
C错误
D．设地球质量M，空间站质量m，根据 ； ； 地球的平均密度为
联立以上各式得 故D正确。故选AD。
11．北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用
户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务。在北斗卫星导航系统中有A、B两颗卫星在同一平面内沿
同一方向绕地球做匀速圆周运动，某一时刻，卫星A和卫星B相距最近，距离为2r。经过t时间，卫星A
和卫星B第一次相距最远，距离为4r。不考虑卫星间的万有引力，已知地球的半径为r，万有引力常量为
G，卫星A的周期为 （ ），下列说法正确的是（ ）
A．地球的密度为
B．卫星B的周期为
C．卫星B的环绕速度小于7.9km/sD．地球对卫星A的万有引力大于地球对卫星B的万有引力
【答案】AC
【详解】A．由题意可知，卫星A的运动半径为r，即卫星A为近地卫星，根据 ，
， 得 ，A正确；
B．经过t时间，两卫星由最近第一次变为最远，则 得 ，B错误；
C．卫星B的轨道半径较大，环绕速度应小于第一宇宙速度7.9km/s，C正确；
D．两卫星质量未知，故无法求得地球对两卫星万有引力的大小关系，D错误。故选AC。
12．2022年7月，由清华大学天文系祝伟教授牵头的国际团队宣布在宇宙中发现两个罕见的恒星系统。该
系统均是由两颗互相绕行的中央恒星组成，被气体和尘埃盘包围，且该盘与中央恒星的轨道成一定角度，
呈现出“雾绕双星”的奇幻效果。假设该系统中两恒星甲、乙的质量分别为 ，两恒星绕行的周期均
为T，引力常量为G。忽略尘埃盘对双星引力的影响，忽略恒星的自转，且恒星的半径远小于两恒星之间
的距离。下列说法正确的是（ ）
A．恒星甲、乙绕行的加速度大小之比为
B．恒星甲、乙绕行的轨道半径之比为
C．两恒星之间的距离为
D．恒星甲绕行的线速度大小为
【答案】BC
【详解】A．设恒星甲、乙绕行的轨道半径分别为 ，根据万有引力提供向心力有
解得 ，A错误。
B．根据万有引力提供向心力有 解得 ，B正确。C．根据万有引力提供向心力有 两恒星之间的距离 解得
，C正确。
D．恒星甲绕行的轨道半径 绕行的线速度大小
D错误。故选BC。
第 II 卷（非选择题 共 52 分）
二、计算题（满分52分）
13．中国空间站绕地球做匀速圆周运动。已知空间站的质量为m，地球质量为M，地球半径为R，引力常
量为G，空间站运行时离地高度为h，空间站的机械能为 （取无穷远处引力势能为零）。
（1）求中国空间站运行时的引力势能 ；
（2）若 ， ， ， ， ，不考虑
空气阻力和地球自转的影响，试估算将空间站从地面发送至离地高度为h的轨道处做圆周运动，发射装置
对空间站做的功W（保留一位有效数字）。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设中国空间站在轨道运动的速度为v，动能为 ，根据牛顿运动定律有
又 ； 解得
（2）当中国空间站发射前h=0设此时引力势能为 ，有
根据功能关系有 解得 代入数据得
14．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v 抛出一个小球，测得小
0
球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式是 。求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）小球做平抛运动过程中，水平方向，有 竖直方向，有
由几何知识可得 联立解得
（2）对于星球表面质量为m 的物体，有 ； 所以
0
（3）该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故 ；
解得
15．天宫空间站是我国自主建设的一个空间站系统，空间站总重量 的轨道高度 ，空间
站绕地球一周 。已知地球质量M为 ，半径 。 ，
忽略其他天体的影响。
（1）天宫空间站在轨期间环绕地球的运行速度大小v；（结果保留两位有效数字）
（2）为了解释不接触的两物体发生引力作用，法拉第在电磁学中建立了场的概念。其后，场的概念被应
用到万有引力中。类比电场强度定义，判断地球在空间站所处的引力场强度 ；（结果保留两位有效数
字）
（3）忽略地球自转的影响，宇航员在空间站中的重力是在地球表面上的几倍？请分析说明宇航员在磅秤
上的视重近似为零。【答案】（1） ；（2） ，方向指向地心；（3）0.89，宇航员在天宫空间站受到地
球的吸引力提供他绕地球做圆周运动的向心力，因此磅秤对他的弹力几乎为0，根据牛顿第三定律可知，
他对磅秤的弹力也几乎为0，所以他的视重几乎为0。
【详解】（1）根据匀速圆周运动规律，可知 解得
（2）电场强度定义公式为 设在空间站放置一个质量m很小的物体，定义其受到地球的引力F与它
质量m的比值为地球在该处的引力场强度，则 其中 联立解得
方向指向地心
（3）设宇航员质量为 ，忽略地球自转的影响，地面上 宇航员在空间站中的重力为
则在空间站与在地球表面的重力之比为 代入数据得 宇航员在天宫空间站受到地球的
吸引力提供他绕地球做圆周运动的向心力，因此磅秤对他的弹力几乎为0，根据牛顿第三定律可知，他对
磅秤的弹力也几乎为0，所以他的视重几乎为0。
16．螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体
内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中
心的距离为r，引力常量为G。
（1）求 区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相
似性和相关力学知识，求 区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关
系图像，如图所示，根据在 范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（ ）存
在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求
内暗物质的质量 。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得
（2）在 内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有
解得
（3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 解得
