文档内容
专题 01 三角函数的图象与性质（根据图象求解析式）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
三、专项训练........................................................8
一、必备秘籍
必备公式
，（其中 ）；
辅助角公式
求 解析式
求法
方法一：代数法 方法二：读图法 表示平衡位置； 表示振幅
求法
方法一：图中读出周期 ，利用 求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.
求法 方法一：将最高（低）点代入 求解；
方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入 求解；但需
注意根据具体题意取舍答案.
二、典型题型
1．（2023·陕西西安·校考一模）函数 的部分图象如图所示，则下
列结论正确的是（ ）A．点 是 的对称中心
B．直线 是 的对称轴
C． 的图象向右平移 个单位得 的图象
D． 在区间 上单调递减
【答案】D
【详解】由题意可知， ,
,解得 ，
所以 ，解得 ，
将 代入 中，得 ，解得 ， ,
因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 的解析式为 .
对于A， ，所以点 不是 的对称中心，故A错误；
对于B， ，所以直线 不是 的对称轴，故B错误；
对于C， 的图象向右平移 个单位得
的图象，故C错误；
对于D，当 时， ，所以 在区间 上单调递减，故D正确.
故选：D.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数 的部分
图象如图所示，则（ ）A．
B． 图象的一条对称轴方程是
C． 图象的对称中心是 ，
D．函数 是奇函数
【答案】B
【详解】由函数 的图象知 ，可得 ；
即 ，解得 ，即 ，
又因为 ，可得 ， ，即 ， ，
又 ，可得 ， ，故A错误.
对选项B， 取到最小值，故B正确.
对选项C，令 ， ，解得 ， ，
因此 的对称中心是 ， ，故C错误.
对选项D，设 ，
则 的定义域为 ， ，所以 为偶函数，即D错误.
故选：B.
3．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）如图，函数 的图象与坐标轴交于点 ，直线 交 的图象于点 ， 坐标原点 为 的重心 三条边中线的交点 ，其
中 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，点 是 的一个对称中心，
又直线 交 的图象于点 ，利用对称性可知 两点关于 点对称；
不妨设 ，
由重心坐标公式可得 ，又 ，即可得 ；
由最小正周期公式可得 ，解得 ，即 ；
将 代入 可得 ，又 ，所以 ；
即 ，
所以 .
故选：C
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 的部分
图象如图，则（ ）A．
B．
C．点 为曲线 的一个对称中心
D．将曲线 向右平移 个单位长度得到曲线
【答案】D
【详解】由图象知： ，解得 ，
将点 的坐标代入 得 ，
由图象可知，点 在 的下降部分上，且 ，
所以 ，所以A不正确；
将点 的坐标代入 ，得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以B不正确；
令 ，解得 ，
取 ，则 ,所以对称中心为 ，所以C不正确；
将曲线向右平移 个单位长度得到曲线
，所以D正确；
故选：D.
5．（多选）（2023·广东梅州·统考三模）函数 的部分图象如图所
示，若 ， ， ， ， 恒成立，则实数 的值可以为（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】
由题图知 ，所以 ，
，① ，②
两式相减得 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
由 ，得 ，
当 时，函数的单调递增区间是 ，
因为 ， ， ， ， 恒成立，
所以 ，所以 .
故选：AB
6．（2023·山东聊城·统考三模）如图，函数 的图象经过
的三个顶点，且 ．(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 在区间 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由函数 的图象性质可知 ，
在 中由正弦定理，得 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）及 的面积为 ，得 ，解得 ，
设 与 轴的交点为 ，则 为边长是2的正三角形，所以 ， ，所以 ．
又 ，所以 ，即
又 ，解得 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即 在区间 上的值域为 .
三、专项训练
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）.函数 的部分图
象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．
C． 在 上单调递增D．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象
【答案】D
【详解】对于A，由图象得函数 的周期 ，A错误；
对于B，由图象得 ， ，即有 ，
又图象过点 ，则 ，即 ，
又 ，于是 ，因此 ，B错误；
对于C，因为 ，所以 ， ，
而 ，即有 ，即 ，则 ， 在 上不单调，C错误；
对于D，因为 ，将函数 的图象向左平移 个单位，
得 的图象，D正确.
故选：D
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）函数 （ ， ）的部分图象如图所示，
若 在 上有且仅有3个零点，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图可知 ，由于 ，所以 ，
令 ，
得 ，由 得 ，
依题意， 在 上有且仅有3个零点，
故当 取值最小时，有 ，
解得 ，所以 的最小值为 .
故选：A
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数 的部分图象如图所示，则该
函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】显然 ，因为 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ， ，
即 ， ．因为 ，所以 ，所以 ．
故选：A．
4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数 （其中 ， ）的图象如图所
示，且满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设 的最小正周期为T，根据 及函数图象的对称性知， ，
所以 ，得 ．
由 ，得 ，因为 ，
由图知 ，故 ．
故选：C．
5．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）函数 的部分图象如图所
示，则 （ ）A．－2 B．－1 C．0 D．
【答案】C
【详解】由图可知 ，且过点 ，代入解析式可知 ，
即 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：C
6．（2023·广东韶关·统考模拟预测）函数 的部分图象如图所示，
将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位得到 的
图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 在 上单调递增
C．函数 的一个极值点为 D．函数 的一个零点为
【答案】B【详解】由图可知 ， ，所以 ，又 ，所以 ；
又 ，所以 ， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，
将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到 ，
再向左平移 个单位得到 ，
即 ，
所以 的图象的最小正周期为 ，故A正确；
因为 ，所以 ，则 在 上不单调，故B错误；
对于C：令 ， ，解得 ， ，
当 时，函数 的一个极值点为 ，所以C正确；
对于D：令 ， ，解得 ， ，
令 ，则函数 的一个零点为 ，所以D正确．
故选：B．
7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，
则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】设 的最小正周期为 ，
由图象可知 ，则 ，所以 ，所以 或 .
又由题图知， ，则 ，
解得 .
解 可得 ，不满足条件；
解 可得， ，
当且仅当 时，符合题意.
所以， ，此时 .
故选：B.
8．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）如图是函数 的部分
图象，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】由 可得： ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
结合图象可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.9．（多选）（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数 的部分图
象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于 对称
C．函数 在 的值域为
D．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位
【答案】ACD
【详解】如图所示：
由图可知 ，又 ，
所以 ，所以 ，
又函数图象最高点为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
由题意 ，所以只能 ，故A选项正确；
由A选项分析可知 ，而 是 的对称中心当且仅当，
但 ，从而函数 的图象不关于 对称，故B选项错误；
当 时， ， ，
而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
所以函数 在 的值域为 ，故C选项正确；
若将函数 的图象向左平移 个单位，
则得到的新的函数解析式为 ，故
D选项正确.
故选：ACD.
10．（多选）（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 的部分
图象如图所示，则（ ）
A． B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递减
【答案】BD
【详解】由图象可得 ，且 ，可得 ，
且 ，可得 ，所以 ，又因为 ，即 ，
可得 ，解得 ， ，
由题意可知 ，解得 ，所以 ，故A错误；
所以 ，
对于选项B：因为 ，
所以 的图象关于点 对称，故B正确；
对于选项C：因为 不是最值，
所以 的图象不关于直线 对称，故C错误；
对于选项D：当 时， ，
且 在 上单调递减，则 在 上单调递减，故D正确．
故选：BD．
11．（多选）（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）如图，已知函数
的图象与 轴交于点 ，若 ，图象的一个最高点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的最小正周期为4
C． 的一个单调增区间为D． 图象的一条对称轴为
【答案】BC
【详解】由图可知， ， ，又 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ， ，则B正确；
所以 ， ，因为 ，所以 ，
由五点作图法可得 ，得 ，则A错误；
所以 ，
设 ，当 时， ，
因为 的一个单调增区间为 ， 也为增函数，
所以 的一个单调增区间为 ，故C正确；
因为 ，所以D错误.
故选：BC
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数 （ ， ），若
函数 的部分图象如图所示，则关于函数 下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】BC
【详解】由题意结合函数图象可得 ，解得 ，
故 ，
由 ，所以 ，
又 ，且函数 在 处单调递增，所以 ，
所以 ， ，
对于A，因为 ，
所以函数 的图象不关于直线 对称，故A错误；
对于B，因为 ，
所以点 是函数 的图象的对称中心，故B正确；
对于C，由 ，得 ，
所以函数 在区间 上单调递增，故C正确；
对于D，将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得 ，故D错误.
故选：BC.
13．（多选）（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）如图是函数 （ ，
， ）的部分图像，则（ ）A． 的最小正周期为
B． 是的函数 的一条对称轴
C．将函数 的图像向右平移 个单位后，得到的函数为奇函数
D．若函数 （ ）在 上有且仅有两个零点，则
【答案】AD
【详解】由图像可知， ， ，即 ，故A正确；
，此时 ，
又 在图像上， ，解得 ，
，
， ， ，
当 是函数 的一条对称轴时，此时 不符合题意，故B错误；
将 的图象向右平移 个单位后得到的图象对应的解析式为：
不为奇函数，故C错误；
令 ，解得 ，
当 时， ，不合题意
时， ； 时， ； 时， ；
又因为函数 在 上有且仅有两个零点，解得 ，故D正确.
故选：AD.
14．（多选）（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
B． 在区间 上单调递增
C． 在区间 上有且仅有2个极小值点
D． 在区间 上有且仅有2个极大值点
【答案】AC
【详解】因为 ，
所以
，
且
所以 ，所以结合数轴知，
，
故选项A正确；
在 时，
又因为 ，区间的左端点是 ，区间的右端点位于 ，
令 ，
所以 的图像如下图所示，
因此 在区间 上不一定递增，故选项B错误；
在 时， ,
又因为 ，区间的左端点是 ，区间的右端点位于 ，
令 ，
所以 的图像如下图所示，
所以 在 即 在 上有且仅有2个极小值点，故选项C正确；所以 在 即 在 上有2或3个极大值点，故选项D错误.
故选：AC.
15．（多选）（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 的部分
图象如图所示，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在区间 上单调递减
D． 在区间 上的值域为
【答案】BC
【详解】由图象可得 ,则 ，
的最大值为 ，
∴ ，
过点 ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，过点 ，∴ ，
即 ，
∴ ，由图像可知 ，即 ，
故 ， ，
∴ ，
A项： ， 的图象不关于点 对称，A错误；
B项： ， 取得最值，
则 的图象关于直线 对称，B正确；
C项：令 ，∴ ，
故 的单调递减区间为 ，
当 时， 在 上单调递减， ，
故 在区间 上单调递减，C正确；
D项： ，∴ ，
， ，D错误，
故选：BC
16．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图像
如图，则（ ）A．
B．
C．将曲线 向右平移 个单位长度得到曲线
D．点 为曲线 的一个对称中心
【答案】AD
【详解】由题图可知， 解得
将点 的坐标代入 ，得 ，所以 ．
由图像可知，点 在 图像的下降部分上，且 ，所以 ．
将点 的坐标代入 ，得 ，解得 ，
则 ，A正确．
由A，得 ．
所以 ，B错误．
将曲线 向右平移 个单位长度得到曲线
，C错误．
令 ， ，解得 ， ．
取 ，则 ，
所以点 为曲线 的一个对称中心，D正确．
故选：AD．
17．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知函数 在一个周期内的
图象如图所示.(1)求
的解析式；
(2)当
时，求使
成立的x的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知， ，
所以 ，
又函数图象过点 ，所以 ，即 ，
得 ，
又 ，所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
由 ，得 ，
解得 ，
所以使 成立的x的取值集合为
18．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平
移1个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据图象可知： ，函数 过点 ，
，且 ，
又 函数 过点 ，
由图象可知 ，得 ，
.
（2）根据题意可得：
函数 图象向右平移 个单位得到 的图象，
再横坐标伸长为原来的2倍得到 的图象，
最后向上平移1个单位得到函数 的图象，
， ，
函数 在区间 上的值域为 .19．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）函数 的部分图象如图所
示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到
函数 的图象，若关于 的方程 在 上有两个不等实根 ，求实数 的取值范
围，并求 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【详解】（1）由图可知， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ， ，∴ ，
由 可得 ，
∴ ；
（2）将 向右平移 个单位得到 ，
再将所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，令 ，则 ，
易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，∴ ；
由对称性可知 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
20．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知函数
）的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)在 中，角 的对边分别是 ，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）由图象知函数 的最大值为1，最小值为 ，所以
由图象知函数 的周期 ，所以 ，
将点 代入解析式得 ，因为 ，所以 ，
所以 .
（2）由 得： ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ， ， ，
由（1） ，
又 ， ，所以 ，
所以 .
所以 的取值范围为 .
21．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数
，其中 为水深（单位：米）， 为时间（单位：小
时），该函数图像如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底
与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【答案】(1)
(2)8小时
【详解】（1）由图知 ， ， ， ，
所以 ，将点 代入得 ，
结合 解得 ，
所以函数 的解析式 .（2）货船需要的安全水深为 米，所以当 时货船可以停留在港口.
由 得 ，得 ，
即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以该船一天之内至多能在港口停留 小时.
