文档内容
专题六 力学中常见的四种模型
素养目标 1.能够应用动量观点和能量观点分析“滑块—弹簧”模型，“滑块—曲
(斜)面”模型，“子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型．(科学思维) 2.能够应用过程分
析法解决力学综合问题．(科学思维)
考点 “滑块—弹簧”模型
模型图示
水平地面光滑
(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢
量和为零，则系统动量守恒．
(2)在能量方面，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统
模型特点 机械能守恒．
(3) 弹簧处于最长 ( 最短 ) 状态时两物体速度相等，弹性势能最大 ，系统动能
通常最小．
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大
典例1 (多选)如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m 和m 的两物块A、B
1 2
相连接并静止在光滑的水平地面上．现使A以3 m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的速
度—时间图像如图乙所示，则有( )
A．在t、t 时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
1 3
B．从t 到t 过程中，弹簧由压缩状态恢复原长
3 4
C．两物块的质量之比m∶m＝1∶2
1 2
D．在t 时刻A与B的动能之比E ∶E ＝1∶8
2 k1 k2
变式1 如图甲所示，物块A、B的质量分别是m ＝4.0 kg和m ＝3.0 kg.用轻弹簧拴
A B
接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触．另有一物块C从t＝0时以一定
速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的vt图
像如图乙所示．求：(1)物块C的质量m ；
C
(2)B离开墙后的运动过程中弹簧具有的最大弹性势能E .
p
考点 “滑块—斜面(曲面)”模型
模型图示
(1)上升到最大高度： m 与 M 具有共同水平速度 v ，此时 m 的竖直速度
共
v ＝ 0 .系统水平方向动量守恒，mv ＝(M＋m)v ；系统机械能守恒，mv
y 0 共
＝ ( M ＋ m ) v ＋ mgh ，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨
模型特点 道的高度．
(2)m返回最低点时m与M分离． 水平方向动量守恒， mv ＝ mv ＋ Mv ；
0 1 2
系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv
典例2 (多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所
示，一质量也为M的小球以速度v 水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左
0
端，重力加速度为g，则( )
A．小球以后将向左做平抛运动
B．小球将做自由落体运动
C．此过程小球对小车做的功为Mv
D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为
变式2 如图所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑
板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度
向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜
面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m＝30 kg，冰块的质量为m＝10 kg，小孩与滑
1 2
板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
考点 “子弹打木块”模型
模型图示
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒．
模型特点
(2)系统的机械能有损失
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性
碰撞)
动量守恒：mv ＝(m＋M)v
0
两种情景 能量守恒：Q＝Fs＝mv－(M＋m)v2
f
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv ＝mv ＋Mv
0 1 2
能量守恒：Q＝Fd＝mv－（Mv＋mv）
f
典例3 (2024·湖北部分重点中学联考)质量为m的子弹以某一初速度v 击中静止在水
0
平地面上、质量为M的木块，陷入木块一定深度后与木块相对静止且恰好未穿出，甲、乙
两图表示了这一过程开始和结束时子弹和木块可能的相对位置．设地面粗糙程度均匀，木
块对子弹的阻力f大小恒定，则下列说法中正确的是( )
A．无论m、M、v 的大小和地面粗糙程度如何，都只可能是图甲所示的情形
0
B．若M较大，则可能是图甲所示情形；若M较小，则可能是图乙所示情形
C．若v 较小，则可能是图甲所示情形；若v 较大，则可能是图乙所示情形
0 0
D．若地面较粗糙，则可能是图甲所示情形；若地面较光滑，则可能是图乙所示情形
变式3 (多选)如图所示，一子弹水平射入静止在光滑水平地面上的木块，子弹最终未
穿透木块．假设子弹与木块之间的作用力大小恒定，若此过程中产生的内能为20 J，下列
说法正确的是( )
A．子弹对木块做的功与木块对子弹做的功代数和为0
B．木块的动能增加量可能为16 J
C．木块的动能增加量可能为22 JD．整个过程中子弹和木块组成的系统损失的机械能为20 J
考点 “滑块—木板”模型
模型图示
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减
模型特点 少的机械能．
(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统．
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体．
求解方法
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝E －E 或Q＝FΔx，
初 末 f
研究对象为一个系统
典例4 (2024·安徽定远调研)如图所示，在水平轨道上 静止放置足够长的木板 A 和物
块C，可视为质点的物块B以初速度v＝3 m/s从A左端开始向右运动， 当 A 和 B 的速度相
0
等时， A 与 C 恰好发生第一次碰撞． 已知A、B、C的质量分别为m、2m、3m，不计A与
水平轨道间的摩擦，B与A上表面间的动摩擦因数为μ ＝0.1，C与轨道间的动摩擦因数μ
1 2
＝0.05，每次碰撞时间极短，均为弹性碰撞，重力加速度取g＝10 m/s2，忽略空气阻力．求：
(1)A与C第一次碰撞后瞬间A、C的速度；
(2)A与C第一、二两次碰撞的时间间隔．
变式4 如图所示，质量m ＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，
1
现有质量m ＝0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v 从左端滑上小车，最后在车
2 0
面上某处与小车保持相对静止．物块与车面间的动摩擦因数 μ＝0.5，取g＝10 m/s2，则(
)
A．物块滑上小车后，系统动量守恒、机械能守恒
B．增大物块与车面间的动摩擦因数，摩擦生热变大
C．若v＝2.5 m/s，则物块在车面上滑行的时间为0.24 s
0
D．若要保证物块不从小车右端滑出，则v 不得大于5 m/s
0
答案及解析
考点 “滑块—弹簧”模型
典例1 (多选)如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m 和m 的两物块A、B
1 2相连接并静止在光滑的水平地面上．现使A以3 m/s的速度向B运动压缩弹簧，A、B的速
度—时间图像如图乙所示，则有( )
A．在t、t 时刻两物块达到共同速度1 m/s，且弹簧都处于压缩状态
1 3
B．从t 到t 过程中，弹簧由压缩状态恢复原长
3 4
C．两物块的质量之比m∶m＝1∶2
1 2
D．在t 时刻A与B的动能之比E ∶E ＝1∶8
2 k1 k2
解析：开始时A逐渐减速，B逐渐加速，弹簧被压缩，t 时刻二者速度相同，系统动
1
能最小，势能最大，弹簧被压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，B仍然加速，A先减速
为零，然后反向加速；t 时刻，弹簧恢复原长，由于此时两物块速度方向相反，因此弹簧
2
的长度将逐渐增大，两物块均减速，A减为零后又向B运动的方向加速，在t 时刻，两物
3
块速度相同，系统动能最小，弹簧最长，因此从t 到t 过程中，弹簧由伸长状态恢复原长，
3 4
故A、B错误；根据动量守恒定律，t＝0时刻和t＝t 时刻系统总动量相等，有mv ＝(m ＋
1 1 1 1
m)v ，其中v ＝3 m/s，v ＝1 m/s，解得m∶m ＝1∶2，故C正确；在t 时刻A的速度为
2 2 1 2 1 2 2
v ＝－1 m/s，B的速度为v ＝2 m/s，根据E ＝mv2，且m∶m ＝1∶2，求出E ∶E ＝
A B k 1 2 k1 k2
1∶8，故D正确．故选CD.
变式1 如图甲所示，物块A、B的质量分别是m ＝4.0 kg和m ＝3.0 kg.用轻弹簧拴
A B
接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触．另有一物块C从t＝0时以一定
速度向右运动，在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的vt图
像如图乙所示．求：
(1)物块C的质量m ；
C
(2)B离开墙后的运动过程中弹簧具有的最大弹性势能E .
p解析：(1)由题图乙知，C与A碰前速度为v ＝9 m/s，碰后速度为v ＝3 m/s，C与A碰
1 2
撞过程动量守恒，有m v＝(m ＋m )v，解得m ＝2 kg.
C 1 A C 2 C
(2)12 s时B离开墙壁，之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能都守恒，且当
A、C与B的速度相等时，弹簧弹性势能最大，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
(m ＋m )v＝(m ＋m ＋m )v
A C 3 A B C 4
(m ＋m )v＝(m ＋m ＋m )v＋E
A C A B C p
联立解得E ＝9 J.
p
答案：(1)2 kg (2)9 J
考点 “滑块—斜面(曲面)”模型
典例2 (多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所
示，一质量也为M的小球以速度v 水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左
0
端，重力加速度为g，则( )
A．小球以后将向左做平抛运动
B．小球将做自由落体运动
C．此过程小球对小车做的功为Mv
D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为
解析：小球上升到最高点时与小车相对静止，有相同的速度 v′，由动量守恒定律和机
械能守恒定律有Mv ＝2Mv′，Mv＝×2Mv′2＋Mgh，联立解得h＝，故D错误；从小球滚上
0
小车到滚下并离开小车过程，系统在水平方向上动量守恒，由于无摩擦力做功，机械能守
恒，此过程类似于弹性碰撞，作用后两者交换速度，即小球返回小车左端时速度变为零，
开始做自由落体运动，小车速度变为v ，动能为Mv，即此过程小球对小车做的功为Mv，
0
故B、C正确，A错误．故选BC.
变式2 如图所示，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑
板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度
向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜
面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m＝30 kg，冰块的质量为m＝10 kg，小孩与滑
1 2
板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
解析：(1)规定向左为正方向．冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速度，
设此共同速度为v，斜面体的质量为m.对冰块与斜面体，由水平方向动量守恒和机械能守
3恒定律得mv＝(m＋m)v①
2 0 2 3
mv＝(m＋m)v2＋mgh②
2 2 3 2
式中v ＝3 m/s为冰块推出时的速度，联立①②式并代入题给数据得v＝1 m/s，m ＝20
0 3
kg.③
(2)设小孩推出冰块后的速度为 v ，对小孩与冰块，由动量守恒定律有 mv ＋mv ＝
1 1 1 2 0
0④
代入数据得v＝－1 m/s⑤
1
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v 和v ，对冰块与斜面体，由动量守恒定律和机
2 3
械能守恒定律有
mv＝mv＋mv ⑥
2 0 2 2 2 3
mv＝mv＋mv⑦
2 2 3
联立③⑥⑦式并代入数据得v＝－1 m/s⑧
2
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在小孩后方，
故冰块不能追上小孩．
答案：(1)20 kg (2)不能，理由见解析
考点 “子弹打木块”模型
典例3 (2024·湖北部分重点中学联考)质量为m的子弹以某一初速度v 击中静止在水
0
平地面上、质量为M的木块，陷入木块一定深度后与木块相对静止且恰好未穿出，甲、乙
两图表示了这一过程开始和结束时子弹和木块可能的相对位置．设地面粗糙程度均匀，木
块对子弹的阻力f大小恒定，则下列说法中正确的是( )
A．无论m、M、v 的大小和地面粗糙程度如何，都只可能是图甲所示的情形
0
B．若M较大，则可能是图甲所示情形；若M较小，则可能是图乙所示情形
C．若v 较小，则可能是图甲所示情形；若v 较大，则可能是图乙所示情形
0 0
D．若地面较粗糙，则可能是图甲所示情形；若地面较光滑，则可能是图乙所示情形
解析：在子弹射入木块的瞬间，子弹与木块间的作用力远大于木块与地面间的摩擦力，
故子弹和木块构成的系统在水平方向上动量守恒，与地面光滑或粗糙无关，规定向右为正
方向，设子弹与木块的共同速度为v，根据动量守恒定律得mv ＝(m＋M)v，设木块在水平
0
地面上滑行的距离为s，木块的长度为d，从子弹射入到与木块相对静止的过程中，对木块
运用动能定理得fs＝Mv2＝，根据能量守恒定律得Q＝fd＝mv－(m＋M)v2＝>fs，则d>s，故
不论速度、质量大小关系和地面粗糙程度如何，都只可能是题图甲所示的情形，A正确．
故选A.
变式3 (多选)如图所示，一子弹水平射入静止在光滑水平地面上的木块，子弹最终未穿透木块．假设子弹与木块之间的作用力大小恒定，若此过程中产生的内能为20 J，下列
说法正确的是( )
A．子弹对木块做的功与木块对子弹做的功代数和为0
B．木块的动能增加量可能为16 J
C．木块的动能增加量可能为22 J
D．整个过程中子弹和木块组成的系统损失的机械能为20 J
解析：子弹对木块的作用力与木块对子弹的作用力是一对作用力与反作用力，大小相
等(【敲黑板】一对作用力和反作用力的冲量代数和一定为零，而做功的代数和不一定为
零)，设子弹射入木块中的深度为d，子弹水平射入木块后，未穿出，到相对静止时，木块
位移为x，子弹对木块做的功为fx，木块对子弹做的功为－f(x＋d)，选项A错误；子弹射
入木块的过程中要克服阻力做功，产生内能为fd＝20 J，由能量守恒定律知系统损失的机
械能为20 J，选项D正确；画出子弹和木块的vt图像，如图所示(【小妙招】有相对运动时，
用vt图像分析位移间的关系比较简洁)，根据vt图像与坐标轴所围面积表示位移大小可知，
子弹射入木块的深度d(即子弹与木块的相对位移大小)一定大于木块做匀加速运动的位移
x，根据动能定理可知，木块获得的动能为E ＝fx
