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专题 02 同角三角函数基本关系式及诱导公式
目录
题型一： 简单的求值问题...............................................................................................................3
题型二： 弦化切的求值...................................................................................................................4
题型三： 形如 的求值问题......................................................................................5
题型四： 诱导公式及应用...............................................................................................................6
题型五： 综合应用...........................................................................................................................8
知识点总结
知识点一、同角三角函数的基本关系
si n 2 α ＋ cos 2 α ＝1.
＝tan α.
知识点二、诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
α＋2kπ
角 π＋α －α π－α －α ＋α
(k∈Z)
与α终 关于原 关于x 关于y 关于直线
相同
边关系 点对称 轴对称 轴对称 y＝x对称
正弦 sin α －sin α －sin α si n _α cos α cos_α
余弦 cos α － co s_α cos α －cos α si n _α －sin α正切 tan α t an _α － t a n_α －tan α
函数名改变，
函数名不变，符号看象限
记忆
符号看象限
规律
奇变偶不变，符号看象限
知识点三、同角关系的几种变形
(1)sin2α＝ 1 － cos 2 α ＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝ (1 ＋ si n _ α )(1 － si n _ α ) ．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝.
(4)cos2α＝＝.
【常用结论与知识拓展】
1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．诱导公式可推广归结为要求角k·±α的三角函数值，只需直接求α的三角函数值，其转
化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别
是指k的奇和偶，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角所在象
限的三角函数值的符号．
例题精讲
题型一：简单的求值问题
【要点讲解】(1)利用 实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用 实现角α的弦切互化.
【例1】（2023春•海淀区校级期中）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】（2022•西湖区校级模拟）已知 是第二象限角，且 ，则
A． B． C． D．
【变式训练2】（2022•广南县校级学业考试）已知 ，且 为第四象限的角，则
的值等于
A． B． C． D．
【变式训练3】（2022 春•和平区校级期末）已知 ，且 为第四象限角，则
A． B． C． D．题型二：弦化切的求值
【要点讲解】(1)形如 或 的分式,分子、
分母同时除以cos α或cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.
(2)形如 asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为 1的分式,再将分母 1变形为
,转化为形如 的式子求值.
【例2】（2023春•上饶期末）已知 ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】（2023春•砚山县校级期中）已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
【变式训练2】（2023春•顺庆区校级期中）已知 ，则
A． B． C． 或1 D． 或1
【变式训练3】（2023•山西模拟）已知 ，则
A． B． C． D．【变式训练4】（2023春•海淀区校级期中）已知 ，则
A． B． C． D．2
【变式训练5】（2023春•萍乡期中）已知 ，则
A．0 B． C． D．
题型三：形如 的求值问题
【要点讲解】已知sin θ±cos θ求值的问题涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
【例3】（ 2023 春 • 南 通 月 考 ） 已 知 角 终 边 上 有 一 点 ， 则
．
【变式训练1】（2023 春•重庆月考）已知 ，且 为第三象限角，则
A． B． C． D．
【变式训练2】（ 2023 春 • 南 阳 期 中 ） 若 为 第 三 象 限 角 且 ， 则A． B． C． D．
【变式训练3】（2023春•德安县校级期中）已知 ，那么
A． B． C． D．
【变式训练4】（ 2023 春 • 德 安 县 校 级 期 中 ） 已 知 ， 则
A．2 B． C．1 D．
【变式训练5】（2023•潮州模拟）已知 为第二象限角，且 ，则
A． B． C． D．
【变式训练6】（2023•武侯区校级模拟）如图， 的值为A． B． C． D．
题型四：诱导公式及应用
【要点讲解】1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.
π π
(2)角中含有加减 的整数倍时,用诱导公式去掉 的整数倍.
2 2
2.常见的互余和互补的角
π π π π π π
(1)常见的互余的角: -α与 + α ; +α与 - α ; +α与 - α 等.
3 6 3 6 4 4
π 2π π 3π
(2)常见的互补的角: +θ与 - θ ; +θ与 - θ 等.
3 3 4 4
3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.
【例4】（2023春•播州区校级月考）已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半
轴重合，终边过点 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【变式训练1】（ 2023 春 • 朝 阳 区 校 级 月 考 ） 已 知 函 数
．（1）化简函数 的解析式；
（2）若 ， ，求 的值．【变式训练2】（2023春•红花岗区期中）已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【变式训练3】（ 2023 春 • 谯 城 区 校 级 期 中 ） 已 知
．
（1）化简 ；
（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值；
题型五：综合应用
【要点讲解】利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法
(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
(2)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目
的;
(3)化简含高次的三角函数式,常借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
【例5】（2022秋•花都区校级期末）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的
黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为
的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在
一个黄金三角形 中， ，根据这些信息，可得
A． B． C． D．
【变式训练1】（ 2023 春 • 辽 宁 月 考 ） 若 ， ，
A． B． C． D．
【变式训练2】（ 2023 春 • 海 安 市 校 级 期 中 ） 设 ， 则
．
【变式训练3】（2023•崇川区校级开学）已知函数 ．（1）化简 ；
（2）若 ，且 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．（2023•广西模拟） 的值所在的范围是
A． B． C． D．
2．（2023春•李沧区校级月考）已知 ，则下列描述中正确的是
A．函数周期是
B． 为锐角，函数最大值是
C．直线 不是函数的一条对称轴
D． 为钝角，函数没有最小值
3．（2023春•德阳期末）已知函数 的最小正周期为 ，则下列说
法正确的是
A． 在 上单调递增
B． 在 上单调递减
C．若 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围是D．若 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围是
4．（2023春•西城区校级期中）下列函数中，周期为 且在区间 上单调递增的是
A． B．
C． D．
5．（2022秋•宁波期末）已知 ，则
A． B． C． D．
6．（2023 春•龙华区校级月考）已知角 的终边过点 ，且
，则
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春•成都期中）下列大小关系正确的是
A． B．
C． D．
8．（2022•江门一模）在平面直角坐标系中，对任意角 ，设 的终边上异于原点的任意
一点 ，它与原点的距离是 ，我们规定：比值 、 、 分别叫做角 的正割、余
割、余切，分别记作 、 、 ，把 、 、 分别叫做正割
函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是A．
B． 的定义域为 ，
C．
D．
三．填空题（共4小题）
9．（2023•上海模拟）已知 为角 终边上一点，则 ．
10．（2023春•青浦区校级期中）已知 ，则 ．
11．（2023春•运城期中）已知角 的终边上有一点 ， ，则 的值是
．
12．（2023春•安徽月考）若函数 的最小正周期为 ，则 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2023•长宁区二模）（1）求简谐振动 的振幅、周期和初相位
；
（2）若函数 在区间 上有唯一的极大值点，求实数 的取值范围；
（3）设 ， ，若函数 在区间 上是严格增函数，求实
数 的取值范围．
14．（2023春•伊犁州期中）设 是一个任意角，它的终边上任意一点 （不与原点 重
合）的坐标为 ．
（1）求 ， 的值；（2）求 的值．
15．（2023春•安徽期中）已知角 的顶点为坐标原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边
与单位圆相交于点 ，若点 位于 轴上方且 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
