文档内容
专题 03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.................................2
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型......4
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型.....................................7
三、专项训练.........................................................................................................10
一、必备秘籍
一、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为 的有效部分（如： ，则记 为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定 的正负.
第四步：确定导函数有效部分 的类型：
1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
借助导函数有效部分 的图象辅助解题：
①令 ，确定其零点 ，并在 轴上标出
②观察 的单调性，
③根据①②画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
借助导函数有效部分 的图象辅助解题：
①对 因式分解，令 ，确定其零点 ， 并在 轴上标出这两个零点
②观察 的开口方向，
③根据①②画出草图
3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
①对 ，求
②分类讨论
③对于 ，利用求根公式求 的两根 ，
④判断两根 ， 是否在定义域内：对称轴+端点正负
⑤画出 草图
二、含参问题讨论单调性的原则
1、最高项系数含参，从0开始讨论
2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论
3、考虑根是否在定义域内
二、典型题型
题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.
【答案】答案见解析.
【详解】由函数 ，可得 ，
设 ，可得 ，
①当 时， 恒成立，所以 在 单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，此时 单调递增，
令 ，解得 ，此时 单调递减，
综上，当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.
【答案】答案见解析；【详解】由题可知 的定义域为 ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时，令 得 ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上，当 时，函数 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增.
3．（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数 ，
(1)当 时，求 的最值；
(2)求 的单调区间．
【答案】(1) ，无最大值．
(2)答案见解析
【详解】（1）当 时 定义域为 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值即最小值，即 ，无最大值．
（2） 定义域为 ，且 ，
当 时 恒成立，所以 在 上单调递减，
当 时，令 解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上可得：当 时 在 上单调递堿；
当 时 在 上单调递减，在 上单调递增．
4．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）设函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ；
(2)求函数 的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析【详解】（1）由于切点在切线上，所以 ，函数通过点
又 ，根据导数几何意义，
；
（2）由可知
当 时， 则 ；
当 时， 则 ；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，讨论 的单调区间.
【答案】答案见解析
【详解】 的定义域为 ， ，
若 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
若 ，则 恒成立， 在 上单调递增.
综上，当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】由题设 且 ，
当 时 在 上递减；当 时，令 ，
当 时 在区间 上递减；
当 时 在 上递增．
所以当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的增区间为 ，减区间为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）讨论 的单调性．
【答案】答案见解析
【详解】函数的定义域为： ， ．
（1）当 时， ，若 ，则 ；若 ，则 ；
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）当 时， ，若 或 ，则 ；若 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增；
（3）当 时， ，若 或 ，则 ；若 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减；
（4）当 时， ，∴ 在 上单调递增；
（5）当 时， ，若 或 ，则 ；若 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述：
（1）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（4）当 时， 在 上单调递增；
（5）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
4．（2023·全国·模拟预测）已知 .
(1)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)答案见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意知，函数 的定义域为 ，且
①当 时，因为 ，所以 ，所以 .
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
②当 时，由 ，解得 ；由 0，解得 或 .所以 在 上
单调递减，在 ， 上单调递增.
③当 时， （当且仅当 时，取等号）恒成立，所以 在 上单调递增.
④当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 或 .
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，设 ，则 ，
设 ，可得 ，
可得 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
若 ，则 ，所以 ， 在 上单调递增；
若 ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
1．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)见解析；
【详解】（1）因为函数 ，所以定义域为： .
，
当 时， ，则 在区间 上单调递增；
当 时， ，即 ， ，
所以方程有两个实数根 ， .
①当 时， ， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；②当 时， ， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
综上所述：当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知函数 ，其中 .
(1)令 ，讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1） ,定义域为 ,
,
方程 的判别式 ，
当 时， ， 恒成立，
所以 ， 在 单调递增；
当 时， ，方程 有两个不等实根
， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴当 或 时， ；当 时， ，
∴ 在 单调递增；
在 单调递减.3．（2023上·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
【答案】(1) .
(2)详解见解析.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
则 ，所以切线的斜率为 ，又 ，
所以该切线方程为： ，即 ；
（2）函数 的定义域为 ，
，
令 ，则 .
当 或 即 时， 恒成立，
所以函数 在 上单调递增；
当 即 时，
令 或 ，
令 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调
递减.
3．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）令 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，一元二次方程 的判别式为 ，
当 时，方程有一个正根 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，方程有两个正根，分别为 ，
当 ，或 时， ，
当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
三、专项训练
1．（2024上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数 ，
其中a是正数．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为 ，
所以 ．①当 时， ， 在 上严格递增；
②当 时，由 得 或 ，由 得 ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，在 单调递增；
③当 时，由 得 或 ，由 得 ，
所以 在 单调递增，在 上单调递减，在 单调递增；
2．（2023上·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知 ，
，其中 是自然对数的底数.
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)讨论 的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意可知 .
由已知得 ，解得 ，
此时 .
易知在区间 上， ；在区间 上，
即函数 在 处取得极小值，因此 .
（2）由 可知 ，
所以可得 .
①若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
②若 ，即 ，则 在 上单调递减；.
综上所述，当 时， 的减区间是 ，当 时， 的减区间是 ，增区间是
3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数 ，其中
是自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性，并写出相应的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当 时， ，
函数 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）
①当 时， ，函数 在 上单调递增；
②当 时，由 得 ，
时， 单调递减；
时， 单调递增.
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
4．（2023上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知函数 ，其中 ．
(1)若 是函数 的极值点，求a的值；
(2)若 ，讨论函数 的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1） ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，解得 ，
当 时， ，
若 ，则 ，若 ，则 或 .即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，即 是函数 的极值点.
故 ．
（2） ， ，
当 时，令 ，解得 或 ，
当 ，即 时，
当 时， ，当 或 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
当 时，
当 时， ，当 或 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递减.
综上，
当 时， 在 上递减，在 上递增，在 上递减；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
5．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当 时，此时 ，定义域为 ，
所以易知 ， ，
所以切线方程为： ，
整理得 .
（2）由题意得 ，
①当 时， ，则 在 上单调递增；
②当 时，当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减；
综上，①当 时， 在 上单调递增；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
6．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）函数 定义域为 ，求导得
令 ，得 .
①当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时， ，所以 在 上单调递增；
③当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减.综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
7．（2023上·河南·高三西平县高级中学校联考阶段练习）设函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见详解
【详解】（1）依题意可得 的定义域为 ，
由 ，
则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时，
若 ， ，此时 单调递减；
若 ， ，此时 单调递增；
综上，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
8．（2023上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数 ，
为 的导函数．
(1)当 时，讨论函数 的单调性
【答案】(1)见解析
【详解】（1）当 时， ， ，
，
当 时， 在区间 上恒大于0，此时函数的单调递增区间是 ；
当 时，设 ，其中 ，当 ，函数单调递增，
当 ， ，函数单调递减，
当 时， ，
当 时， ，此时 恒成立，函数的单调递增区间是 ，
当 时， ，
当 且 ，
所以 在区间 上恒大于0，即函数的单调递增区间是 ，
综上可知， 时，函数的单调递增区间是 ，
当 时，函数的单调递减区间是 ，函数的单调递减区间是 ；
9．（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知函数
(1)求函数 的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）因为 ，所以
①当 时， 恒成立， 在 单调递增，
② 时， ，
由韦达定理可得 ， ， 所以 有一正一负两个实数根，
解得 或 （舍去）
所以 在 单调递增， 在 上单调递减，
综上所述：当 时， 在 单调递增，
时 在 单调递增，在 单调递减．
10．（2023下·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数 ．(1)求函数 的单调区间；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1） ，
令 ，则 ．
当 ，即 时 ，即 恒成立，则 在 上单调递增；
当 时， 、 在 上均单调递增，所以 在 上单调递增；
当 时，由 得 ， ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 的单调递增区间是 ，无递减区间；
当 时， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 ．
