文档内容
专题 04 二次函数与幂函数
目录
题型一： 幂函数的图像与性质.......................................................................................................4
题型二： 利用幂函数比较大小.......................................................................................................7
题型三： 二次函数解析式...............................................................................................................9
题型四： 二次函数单调性求参数................................................................................................12
题型五： 二次函数最值问题.........................................................................................................15
题型六： 二次函数恒成立问题....................................................................................................20
知识点总结
知识点一、幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R { x | x ≥0} { x | x ≠0}
值域 R { y | y ≥0} R { y | y ≥0} { y | y ≠0}
性
质
非奇非偶
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
函数在 ( －∞， 0] 上单调 在(－∞，0)
在 R 上单调 在 R 上单调 在 [0 ，＋∞ )
单调性 递减；在 (0 ，＋∞ ) 和(0，＋∞)
递增 递增 上单调递增
上单调递增 上单调递减
公共点 (1,1)
(3)幂函数y＝xα的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
知识点二、二次函数
(1)二次函数解析式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．
1 2
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于直线 x ＝－ 对称
【常用结论与知识拓展】
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
例题精讲
题型一：幂函数的图像与性质
【要点讲解】幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一
象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其
余象限部分由奇偶性决定.
【例1】图中 ， ， 分别为幂函数 ， ， 在第一象限内的图象，
则 ， ， 依次可以是
A． ，3， B． ，3， C． ， ，3 D． ， ，3
【解答】解：由幂函数 在第一象限内的图象知，图中 对应的 ， 对应的 ， 对应的 ；
结合选项知，指数 的值依次可以是 ， 和3．
故选： ．
【变式训练1】如图所示是函数 ， 均为正整数且 ， 互质）的图象，则
A． ， 是奇数且 B． 是偶数， 是奇数，且
C． 是偶数， 是奇数，且 D． ， 是奇数，且
【解答】解：由幂函数性质可知： 与 恒过点 ，即在第一象限的交点为
，
当 时， ，则 ，
又 图象关于 轴对称，
为偶函数，
，
又 ， 互质，
为偶数， 为奇数．
故选： ．
【例2】已知函数 是幂函数，且为偶函数，则实数 2 ．【解答】解：因为函数 是幂函数，
所以 ，所以 或 ，
时， ，是偶函数，
时， ，是奇函数，不符合题意，
所以 ．
故答案为：2．
【变式训练1】已 知 幂 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 则
的图象过定点
A． B． C． D．
【解答】解： 幂函数 在 上单调递减，
且 ， ， ，
则 ，
令 ，求得 ， ，
可得 的图象过定点 ，
故选： ．
【变式训练2】已知幂函数的图象过 ， ， ， ， 是函数图象
上的任意不同两点，则下列结论中正确的是
A． B．C． D．
【解答】解：设幂函数 ，图象经过点 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
因为函数 在定义域 ， 内单调递增，所以当 时， ，
所以 ，选项 ， 错误；
又因为函数 单调递增，
所以当 时， ，选项 正确．
所以 ，即 ，选项 错误．
故选： ．
【变式训练3】若 ，则实数 的取值范围 ．
【解答】解：考察幂函数 ，它在 ， 上是增函数，
，
，
解得： ，
则实数 的取值范围 ．
故答案为： ．
【变式训练4】关于 的不等式 的解集为 ， ．【解答】解：关于 的不等式 ，即 ，
求得 ，
故答案为： ， ．
【变式训练5】已知幂函数 在 上单调递增，函数 ，
， ， ， ，使得 成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解： 幂函数 在 上单调递增，
，解得 ，
，
当 ， 时， ， ，则 ，
又当 ， 时， ， ， ，
由题意得： ，解得： ，
故选： ．
题型二：利用幂函数比较大小
【要点讲解】比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的
函数,借助其单调性进行比较.
【例3】已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，， ， ，
函数 在 上是增函数，
．
故选： ．
【变式训练1】设 ，则 ， ， 的大小顺序是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
；
且 ，函数 在 上是单调增函数，
所以 ，
所以 ；
综上知， ．
故选： ．
【变式训练2】已知 ，若 ，则下列各式中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，则有 ．
故选： ．
【变式训练3】已知幂函数 满足 （2） ，若 ， ，
，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解：幂函数 中， （2） ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 是定义域为 上的单调增函数；
又 ， ， ，
且 ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练4】已知幂函数 的图象过点 ．设 ， ，
，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解： 幂函数 的图象过点 ，，且 ，
求得 ， ，故 ．
， ， ，
，
故选： ．
题型三：二次函数解析式
【要点讲解】根据条件不同选择一般式、顶点式、两点式进行求解
【例4】已知二次函数 满足 ， （2） （1） ，若不等式
有唯一实数解．
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在 ， 上的最小值为 ．
①求 ；
②解不等式
【解答】解：（1）根据题意，二次函数 满足 ，则 的对称轴为
；
设 ，
又由 （2） （1） ，则有 ，解可得 ，
又由不等式 有唯一实数解，即 有唯一实数解，必有△
，解可得 ；
故 ；（2）①根据题意，由（1）的结论， ，其对称轴为 ；
当 时， 在 ， 上为单调增函数，此时 ，
当 时，有 ，此时 （2） ，
当 时， 在 ， 上为单调减函数，此时 ，
故 ；
②根据题意， ，其图象关于直线 对称，
若 ，分2种情况讨论：
、 时，只需 或 ，解可得 或 ，此时有 ；
、当 或 时，有 ，解可得 或 ，此时有 或
；
综合可得： 的取值范围为 或 ．
【变式训练1】已知二次函数 ， ， 均为常数， ，若 和3是
函数 的两个零点，且 最大值为4．
（1）求函数 的解析式；
（ 2 ） 试 确 定 一 个 区 间 ， 使 得 在 区 间 内 单 调 递 减 ， 且 不 等 式
在区间 上恒成立．
【解答】解：（1）二次函数 且 和3是函数 的两个零点，且最大值为4，
所以 ，解得 ， ， ，
所以 ；
（2）函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
则函数 在 ， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减，
由不等式 在区间 上恒成立，
则 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
由不等式 ，可得 ，
所以不等式的解集为 ， ，
要使得 在区间 内单调递减，且不等式 在区间 上恒成立，
则 ， ，
故可取区间 ， ．
【变式训练2】在① （4） ， （3） ，②当 时， 取得最大值 3，③
， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数 ，且 _______．
（1）求 的解析式；
（2）若 在 ， 上的值域为 ， ，求 的值．【解答】解：（1）若选①，
由题意可得
解得 ， ，
故 ；
若选②，
由题意可得
解得 ， ，
故 ；
若选③，
因为 ，
所以 图象的对称轴方程为 ，
则 ，即 ，因为 ，所以 ，
故 ．
（2）因为 在 上的值域为 ， ，
所以 ，即 ，
因为 图象的对称轴方程为 ，且 ，
所以 在 ， 上单调递增，
则
整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ．题型四：二次函数单调性求参数
【要点讲解】类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间
变动
【例5】若函数 在 ， 上是单调函数，则 的取值范围是
A． ， B． ， ，
C． ， D． ，
【解答】解：因为 的对称轴为 ，且其图象开口向上，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 ， ， ．
故选： ．
【变式训练1】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围
为
A． B． C． D．
【解答】解：当 时，显然不满足题意；
当 时，由题意得， ，
解得， ．
故选： ．
【变式训练2】函数 满足条件：当 ， 随 的增大而增大，则实
数 的取值范围是A． B． C． 且 D．
【解答】解：当 时， 满足 ， 随 的增大而增大，
当 时，根据二次函数的性质可知， ，
解得 ，
综上， ．
故选： ．
【变式训练3】已知 在区间 ， 上是单调函数，则实数 的取值
范围是
A． B． ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：函数 ，对称轴为 ，
在区间 ， 上是单调函数，
或 ，
解得 或 ，
即实数 的取值范围是 ， ， ．
故选： ．
【例6】已知二次函数 在区间 内不单调，则 的取值范围是
A． 或 B． C． 或 D．
【解答】解：二次函数 ，对称轴为 ，二次函数 在区间 内不单调，
．
故选： ．
【变式训练1】函数 在 ， 上不单调，则实数 的取值可能是
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：因为函数 的对称轴为 ，且开口向上，
又函数在 ， 上不单调，
则 ，解得 ，
所以满足范围的选项为 ， ，
故选： ．
【变式训练2】已知函数 在 ， 上具有单调性，则实数 的取值范围
为
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：函数 ，对称轴为 ，
函数 在 ， 上具有单调性，
或 ，解得 或 ．
故选： ．
题型五：二次函数最值问题
【要点讲解】抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,
结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
【例7】已知 ，则 的最大值是 ．【解答】解：令
其图象为开口朝下，且以 为对称轴的抛物线
又 ，
当 时， 取最大值
故答案为：
【变式训练1】函数 的值域是
A． ， B． C． D．
【解答】解：函数 的对称轴为 ，
故函数 在 ， 上单调递增，
又 ， （2） ，
所以函数 的值域是 ， ．
故选： ．
【变式训练2】函数 在区间 ， 上
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【解答】解：因为 ，
所以函数 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为 ，如图所示：由此可得函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 （1） ，无最小值．
故选： ．
【例8】已知函数 在区间 ， 上的最小值为 ，最大值为 ，则
A． B． C．2 D．
【解答】解： 的对称轴为 代入 ， ，
所以 ，即 ，
又因为对称轴方程为 ，
函数 在区间 ， 上单调递增，所以 ，
所以方程 的两个根为 和 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练1】设二次函数 在 上有最大值，最大值为 （a），
当 （a）取最小值时，
A．0 B．1 C． D．
【解答】解： 在 上有最大值 （a），
且当 时， 的最大值为 ，
即 且 （a） ，当 时，即 时， （a）有最小值2，
故选： ．
【例9】已知函数 ，关于 的最值有如下结论，其中正确的是
A． 在区间 ， 上的最小值为1
B． 在区间 ， 上既有最小值，又有最大值
C． 在区间 ， 上的最小值为2，最大值为5
D． 在区间 ， 上的最大值为 （a）
【解答】解：函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ．
在选项 中，因为 在区间 ， 上单调递减，
所以 在区间 ， 上的最小值为 ， 错误．
在选项 中，因为 在区间 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 在区间 ， 上的最小值为 （1） ．
又因为 ， （2） ， （2），
所以 在区间 ， 上的最大值为 ， 正确．
在选项 中，因为 在区间 ， 上单调递增，
所以 在区间 ， 上的最小值为 （2） ，最大值为 （3） ， 正确．
在选项 中，当 时， 在区间 ， 上的最大值为2，
当 时，由图象知 在区间 ， 上的最大值为 （a）， 错误．
故选： ．【变式训练1】已知二次函数 ，若函数 的值域是 ， ，
且 （1） ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 二次函数 的值域是 ， ，
△ ，解得 ，且 ，
又 （1） ， ，
，
，
由 ， ，可得 ，
，
即 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【例10】已知二次函数 的图像过点 和原点，对于任意 ，
都有 ．
（1）求函数 的表达式；
（2）设 ，求函数 在区间 ， 上的最小值．
【解答】解：（1）由题意得 ，所以 ， ， ，
因为对于任意 ，都有 ，
所以 恒成立，
故△ ，即 ， ，
所以 ；
（2） ，对称轴 ，
当 ，即 ，函数在 ， 上单调递增，
故 在 ， 上的最小值为 ，
当 ，即 时，函数在 ， 上单调递减，
故 在 ， 上的最小值为 （1） ；
当 ，即 时，函数在 ， 上先减后增，
故 在 ， 上的最小值为 ，
综上，当 ， 在 ， 上的最小值为 ，
当 ，故 在 ， 上的最小值为 （1） ；
当 时， 在 ， 上的最小值为 ．
【变式训练1】已知二次函数 ．
（1）若 是奇函数，求 的值；
（2） 在区间 ， 上的最小值记为 ，求 的最大值．【解答】解：（1）因为 是奇函数，所以 是偶函数，
即二次函数对称轴为 ，即 ；
（2） 的对称轴为 ，
当 时，即 ， ，即 ；
当 ，即 ， 时， ，故 ；
当 时，即 ， 时， （1） ；
综上， ，
故 ， 时， ， ， 时， ， ， 对称轴
为 ， ，
所以 的最大值为0．
题型六：二次函数恒成立问题
【要点讲解】(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这
两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ,a≤
max
f(x)恒成立⇔a≤f(x) .
min
【例11】已知两函数 ， ，其中 为实数．
（1）对任意 ， ，都有 成立，求 的取值范围；
（2）存在 ， ，使 成立，求 的取值范围；（3）对任意 ， ， ，都有 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）设 ，
问题转化为当 ， 时 恒成立，故 ．
由二次函数性质可知 （3） ， ，
的取值范围是 ， ；
（2）设 ，
由题意可知当 ， 时 ，
的取值范围是 ， ；
（3）由题意可知 ，
由二次函数性质可知 （3） ， ，
， ， 的取值范围是 ， ．
【变式训练1】已知函数 ， ，且对任意的 ， ，
都存在 ， ，使 ，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 函数 的图象是开口向上的抛物线，且关于直线 对称
， 时， 的最小值为 （1） ，最大值为 ，
可得 值域为 ，
又 ， ， ，为单调增函数， 值域为 ， （2）
即 ，
对任意的 ， 都存在 ， ，使得
，
，
故选： ．
【变式训练2】已知二次函数 ，且对任意的 ， 都有
恒成立，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：因为对任意的 ， 都有 恒成立，
不妨设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
又二次函数 的对称轴为 ，图像开口向下，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练3】函数 ，则 恒成立的解集是
A． ， B． ， C． ， D． ，【解答】解： ，
，
故 ，即 ，解得 ．
故选： ．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．函数 ，在 上， 随着 的增大而减小，则实数 范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 的对称轴为 ，
故当 时，满足 随着 的增大而减小，
解得： ，所以实数 范围为 ， ．
故选： ．
2．设 ，其中 ， ，1，2， ，则“函数 的图像经过点
“是“函数 在 上单调递减”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解： ，其中 ， ，1，2， ，
函数 的图像经过点 ，可得 ，
函数 在 上单调递减可得， ，2，“函数 的图像经过点 “是“函数 在 上单调递减”的充
分不必要条件，
故选： ．
3．已知方程 在 ， 上有实数解，则实数 的取值范围为
A． ， B． ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：令 ，则对称轴为 ，
当 时， 在 ， 为增函数，
方程 在 ， 上有实数解，
（2） ，即 ，解得 ，
当 时， 方程 在 ， 上有实数解，
△ ，解得 或 （舍去），
综上，实数 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
4．设 ，若幂函数 定义域为 ，且其图像关于 轴成轴对称，则 的值可
以为
A．1 B．4 C．7 D．10
【解答】解：由于幂函数 定义域为 ，且图像关于 轴对称，故幂函数
是偶函数，
且 为正的偶数，
则 的值可以为7．故选： ．
5．已知函数 ，则存在 ， ，对任意的 有
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于 ：当 时， ，故 错误；
对于 为四次函数， 为单调递增的指数函数，当 足够大时，总有
， 错误；
对于 ， ，则当 的对称轴在 左边
时，即 时， ，故 正确；
对于 ，若 ，分别取 ， ，可得 （1）
，则 （1），但对二次函数来说是不可能，故 错误．
故选： ．
6．已知幂函数 的图象过点 ，则 （4）的值为
A．4 B．8 C．16 D．64
【解答】解：幂函数 的图象过点 ，，
解得 ，
，
则 （4） ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．下列区间中，函数 在其上单调增加的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：根据二次函数的性质可知， 的单调递增区间 ， ．
故选： ．
8．已知幂函数 图象过点 ，则下列命题中正确的有
A． B．函数 的定义域为
C．函数 为偶函数 D．若 ，则
【解答】解：设幂函数 ，
幂函数图象过点 ，
， ，故 正确，
，
由 的性质知， 是非奇非偶函数，定义域为 ， ，故 错误，
在定义域内单调递增，当 时， ，故 正确，
故选： ．
三．填空题（共4小题）9．已知函数 经过点 ，则不等式 的解集为 ．
【解答】解：函数 经过点 ，
，
，
，
在 ， 单调递增，
恒成立，
又 （1），
，
解得 ，
故不等式的解集为 ．
故答案为： ．
10．若函数 且 的图象恒过定点 ，且点 在幂函数 的图象
上，则 （4） 1 6 ．
【解答】解：令 ，解得 ，
函数 的图象恒过定点 ，
又点 在幂函数 的图象上，
，解得 ，
函数 ，（4） ．
故答案为：16．
11．已知抛物线 经过点 、 、 ，则该抛物线上纵坐标
为 的另一个点的坐标为 ．
【解答】解：根据题意，抛物线 经过点 、 ，
则有 ，变形可得 ，
则 ，其对称轴为 ，
，其纵坐标为 ，其横坐标为2，
则该抛物线上纵坐标为 的另一个点的横坐标为4，
故要求点的坐标为 ；
故答案为： ．
12．若幂函数 的图象经过点 ，则 （2） ．
【解答】解：因为函数 为幂函数，设 ．
由函数 的图象经过点 ，
所以 ，得 ．
所以 ．
则 （2） ．
故答案为 ．
四．解答题（共3小题）13．已知函数 在 ， 上为减函数．
（1）求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ．
【解答】解：（1）当 时， 在 ， 上为减函数，符合题意，
当 时， 为二次函数，则 ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围为 ， ；
（2）当 时， ，
所以 ；
当 时， 的零点为 ， ，
当 即 时， ；
当 即 时， ；
当 即 时， ；
综上所述：当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ．
14．已知函数 ， 的解集为 ．
（1）求 的解析式；（2）当 时，求 的最大值．
【解答】解：（1） 函数 ， 的解集为 ，
方程 的两个根为 ，2，且 ，
由韦达定理得 ，解得 ， ，
．
（2） ，
由 ，根据均值不等式有 ，当且仅当 ，即 时取等号，
当 时， ．
15．已知二次函数 的最小值为 ，且 （2） ．
（1）求 的解析式；
（2）若 在区间 ， 上不单调，求实数 的取值范围；
（3）在区间 ， 上， 的图象恒在 的图象上方，试确定实
数 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意， 是二次函数，且 （2） ，可得函数 对称
轴为 ，
又最小值为 ，故可设 ，
又 ，解得 ，
所以函数的解析式为 ．（2）由（1）知函数 的对称轴为 ，
要使 在区间 ， 上不单调，则 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ．
（3）在区间 ， 上， 的图象恒在 的图象上方，
可得 在区间 ， 上恒成立，
化简得 在区间 ， 上恒成立，
设函数 ，
则 在区间 ， 上单调递减，
在区间 ， 上的最小值为 （1） ，
即 ，
，解得 ，
的范围为 ．
