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专题 04 二次函数与幂函数
目录
题型一： 幂函数的图像与性质.......................................................................................................4
题型二： 利用幂函数比较大小.......................................................................................................5
题型三： 二次函数解析式...............................................................................................................6
题型四： 二次函数单调性求参数..................................................................................................7
题型五： 二次函数最值问题...........................................................................................................9
题型六： 二次函数恒成立问题....................................................................................................10
知识点总结
知识点一、幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
y＝x
图象
定义域 R R R { x | x ≥0} { x | x ≠0}
值域 R { y | y ≥0} R { y | y ≥0} { y | y ≠0}
性
质
非奇非偶
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
函数在 ( －∞， 0] 上单调 在(－∞，0)
在 R 上单调 在 R 上单调 在 [0 ，＋∞ )
单调性 递减；在 (0 ，＋∞ ) 和(0，＋∞)
递增 递增 上单调递增
上单调递增 上单调递减
公共点 (1,1)
(3)幂函数y＝xα的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
知识点二、二次函数
(1)二次函数解析式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)．
1 2
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R值域
在 上 单 调 递 减 ； 在 在 上 单 调 递 增 ； 在
单调性
上单调递增 上单调递减
对称性
函数的图象关于直线 x ＝－ 对称
【常用结论与知识拓展】
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
例题精讲
题型一：幂函数的图像与性质
【要点讲解】幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一
象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其
余象限部分由奇偶性决定.
【例1】图中 ， ， 分别为幂函数 ， ， 在第一象限内的图象，
则 ， ， 依次可以是A． ，3， B． ，3， C． ， ，3 D． ， ，3
【变式训练1】如图所示是函数 ， 均为正整数且 ， 互质）的图象，则
A． ， 是奇数且 B． 是偶数， 是奇数，且
C． 是偶数， 是奇数，且 D． ， 是奇数，且
【例2】已知函数 是幂函数，且为偶函数，则实数
．
【变式训练1】已 知 幂 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 则
的图象过定点
A． B． C． D．【变式训练2】已知幂函数的图象过 ， ， ， ， 是函数
图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
【变式训练3】若 ，则实数 的取值范围 ．
【变式训练4】关于 的不等式 的解集为 ．
【变式训练5】已 知 幂 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 函 数
， ， ， ， ，使得 成立，则实数 的取值
范围是
A． B． C． D．
题型二：利用幂函数比较大小
【要点讲解】比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的
函数,借助其单调性进行比较.
【例3】已知 ， ， ，则
A． B． C． D．【变式训练1】设 ，则 ， ， 的大小顺序是
A． B． C． D．
【变式训练2】已知 ，若 ，则下列各式中正确的是
A． B．
C． D．
【变式训练3】已 知 幂 函 数 满 足 （ 2 ） ， 若 ，
， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【变式训练4】已 知 幂 函 数 的 图 象 过 点 ． 设 ，
， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
题型三：二次函数解析式
【要点讲解】根据条件不同选择一般式、顶点式、两点式进行求解
【例4】已知二次函数 满足 ， （2） （1） ，若不等式有唯一实数解．
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 在 ， 上的最小值为 ．
①求 ；
②解不等式
【变式训练1】已知二次函数 ， ， 均为常数， ，若 和3
是函数 的两个零点，且 最大值为4．
（1）求函数 的解析式；
（ 2 ） 试 确 定 一 个 区 间 ， 使 得 在 区 间 内 单 调 递 减 ， 且 不 等 式
在区间 上恒成立．
【变式训练2】在① （4） ， （3） ，②当 时， 取得最大值3，③
， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数 ，且 _______．
（1）求 的解析式；
（2）若 在 ， 上的值域为 ， ，求 的值．题型四：二次函数单调性求参数
【要点讲解】类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间
变动
【例5】若函数 在 ， 上是单调函数，则 的取值范围是
A． ， B． ， ，
C． ， D． ，
【变式训练1】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范
围为
A． B． C． D．
【变式训练2】函数 满足条件：当 ， 随 的增大而增大，则
实数 的取值范围是
A． B． C． 且 D．
【变式训练3】已知 在区间 ， 上是单调函数，则实数 的取
值范围是
A． B． ，
C． ， ， D． ， ，【例6】已知二次函数 在区间 内不单调，则 的取值范围是
A． 或 B． C． 或 D．
【变式训练1】函数 在 ， 上不单调，则实数 的取值可能
是
A． B．0 C．1 D．2
【变式训练2】已知函数 在 ， 上具有单调性，则实数 的取值范
围为
A． B． C． 或 D． 或
题型五：二次函数最值问题
【要点讲解】抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,
结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
【例7】已知 ，则 的最大值是 ．
【变式训练1】函数 的值域是
A． ， B． C． D．
【变式训练2】函数 在区间 ， 上A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【例8】已知函数 在区间 ， 上的最小值为 ，最大值为 ，则
A． B． C．2 D．
【变式训练1】设二次函数 在 上有最大值，最大值为
（a），当 （a）取最小值时，
A．0 B．1 C． D．
【例9】已知函数 ，关于 的最值有如下结论，其中正确的是
A． 在区间 ， 上的最小值为1
B． 在区间 ， 上既有最小值，又有最大值
C． 在区间 ， 上的最小值为2，最大值为5
D． 在区间 ， 上的最大值为 （a）
【变式训练1】已知二次函数 ，若函数 的值域是 ，，且 （1） ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【例10】已知二次函数 的图像过点 和原点，对于任意
，都有 ．
（1）求函数 的表达式；
（2）设 ，求函数 在区间 ， 上的最小值．
【变式训练1】已知二次函数 ．
（1）若 是奇函数，求 的值；
（2） 在区间 ， 上的最小值记为 ，求 的最大值．
题型六：二次函数恒成立问题
【要点讲解】(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这
两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ,a≤
max
f(x)恒成立⇔a≤f(x) .
min
【例11】已知两函数 ， ，其中 为实数．
（1）对任意 ， ，都有 成立，求 的取值范围；
（2）存在 ， ，使 成立，求 的取值范围；
（3）对任意 ， ， ，都有 ，求 的取值范围．【变式训练1】已知函数 ， ，且对任意的 ，
，都存在 ， ，使 ，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】已知二次函数 ，且对任意的 ，
都有 恒成立，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练3】函数 ，则 恒成立的解集是
A． ， B． ， C． ， D． ，
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．函数 ，在 上， 随着 的增大而减小，则实数 范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．设 ，其中 ， ，1，2， ，则“函数 的图像经过点
“是“函数 在 上单调递减”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知方程 在 ， 上有实数解，则实数 的取值范围为
A． ， B． ，
C． ， ， D． ， ，
4．设 ，若幂函数 定义域为 ，且其图像关于 轴成轴对称，则 的值可
以为
A．1 B．4 C．7 D．10
5．已知函数 ，则存在 ， ，对任意的 有
A．
B．
C．
D．
6．已知幂函数 的图象过点 ，则 （4）的值为
A．4 B．8 C．16 D．64
二．多选题（共2小题）
7．下列区间中，函数 在其上单调增加的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
8．已知幂函数 图象过点 ，则下列命题中正确的有
A． B．函数 的定义域为C．函数 为偶函数 D．若 ，则
三．填空题（共4小题）
9．已知函数 经过点 ，则不等式 的解集为 ．
10．若函数 且 的图象恒过定点 ，且点 在幂函数 的图象
上，则 （4） ．
11．已知抛物线 经过点 、 、 ，则该抛物线上纵坐标
为 的另一个点的坐标为 ．
12．若幂函数 的图象经过点 ，则 （2） ．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数 在 ， 上为减函数．
（1）求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ．
14．已知函数 ， 的解集为 ．
（1）求 的解析式；
（2）当 时，求 的最大值．
15．已知二次函数 的最小值为 ，且 （2） ．
（1）求 的解析式；
（2）若 在区间 ， 上不单调，求实数 的取值范围；
（3）在区间 ， 上， 的图象恒在 的图象上方，试确定实
数 的取值范围．
