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专题05 分段函数
专项突破一 分段函数函数值 (解析式)
1．若 为奇函数，则 （ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．0
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
又 ，可得 .故选：A.
2．已知函数 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
【解析】由题意 ，函数 ，
可得 = ，因为 ，所以 ，故选：B
3．设 是定义域为R，最小正周期为 的函数，若 ，则 的值等于
（ ）
A． B． C．0 D．
【解析】因为 是定义域为R，最小正周期为 的函数， ，
所以 ，故选：B4．已知函数 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】∵ ，∴ ,
由 ，知 .
于是 .故选:A
5．已知函数 ，则 ______．
【解析】由解析式， ，所以 .
6．已知函数 ，则 ___________.
【解析】 ， ，即 ，
．
7．已知定义域为 的奇函数 ，当x>0时，有 ，则
______．
【解析】 上的奇函数 ，则有 ，而当x>0时，有 ，
于是有 ， ， ，因 ， ，则有 ， ，
所以 .
8．函数 ， ，若 ，则 ________．
【解析】因为 ， ，所以 .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解.
所以 .所以
9．对于实数a和b，定义运算“*”： ，设 .
(1)求 的解析式；
(2)关于x的方程 恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围.
【解析】(1)由 可得 ，由 可得 ，
所以根据题意得 ，即 ．
(2)作出函数 的图象如图，
当 时， 开口向下，对称轴为 ，
所以当 时，函数的最大值为 ，
因为方程 恰有三个互不相等的实数根，所以函数 的图象和直线 有三个不同的交点，可得 的取值范围是 ．
专项突破二 分段函数定义域和值域
1．已知函数 ，若 ∈R，使得 成立，则实数m的取值范围为
∃
( )
A． B． C． D．
【解析】x＜2时，f(x)＝ ，
x＞2时，f(x)＝ ＞1，
故 ，∴ ，解得 .故选：B.
2．已知 的最小值为2，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，
又因为 的最小值为2，，所以需要当 时， 恒成立，
所以 在 恒成立，所以 在 恒成立，
即 在 恒成立，令 ，则 ，
原式转化为 在 恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线 ，所以在 上 最大值为 ，所以 ，故选：D.
3．(多选)设函数 则（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． 的单调递增区间为 D． 的解集为
【解析】因为函数 ，
所以 的定义域为 ，故A正确；
当 时， ，当 时， ，
所以 的值域为 ，故B错误；
如图所示：
当 时， 的单调递增区间为 ，
当 时， 的单调递增区间为 ，但在 上不单调，故C错误；
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，D正确.
故选：AD．
4．(多选)已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）A． 的定义域为R B． 的值域为
C．若 ，则x的值是 D． 的解集为
【解析】函数 ，定义分 和 两段，定义域是 ，故A错误；
时 ，值域为 ， 时， ，值域为 ，故 的值域为 ，
故B正确；
由值的分布情况可知， 在 上无解，故 ，即 ，得到 ，故C正确；
时令 ，解得 ， 时，令 ，解得 ，故 的
解集为 ，故D错误.
故选：BC.
5．函数 的值域为____________．
【解析】当 时， ，其值域为：
当 时， ，其值域为：
所以函数 的值域为：
6．函数 的值域为___________.
【解析】依题意， 在 上单调递减，则当 时， ，
在 上单调递增，则当 时， ，所以函数 的值域为 .7．定义运算 已知函数 ，则 的最大值为______.
【解析】由 可得 表示 与 的最小值，
又函数 在 单调递减， 在 上单调递增，故函数 与函数 至多有一个交点，
且当 时，两函数相交，故 ，
故函数在 上单调递增，在 上单调递减，当 时函数 取最大值为
8．已知 、b、 都是实数，若函数 的反函数的定义域是 ，则 的所有取
值构成的集合是________
【解析】由 其定义域为 ，因为 ，所以 ，
(1)当 ，由解析式可得，
当 时， ；
当 时， ，
即 的值域为 ；
又函数 的反函数的定义域是 ，
所以函数 的值域为 ，因为 、b、 都是实数， 可以大于 ；
因此值域可以为 ，不满足题意；
（2）当 时，由解析式可得：当 时， ；
当 时， ，
即 的值域为 ；
同（1）可知：函数 的值域必须为 ，因为 、b、 都是实数， 可以大于 ，因此
符合题意；
综上： 的所有取值构成的集合是 .
9．若函数 的值域为 ，则 的取值范围是____________．
【解析】对于 ，值域是 ，对于 ，值域是 ，
欲使得 ，必有 ， ；
10．已知函数 ， ，对 ，用 表示 ， 中的较大者，记为
，则 的最小值为______.
【解析】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数 和 的图象，
因为对 ， ，故函数 的图象如图所示：由图可知，当 时，函数 取得最小值 .
专项突破三 分段函数单调性
1．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，开口向下，对称轴为 ，故其递增区间是 ；
当 时， ，开口向上，对称轴为 ，在 时， 单调递减，
综上： 的单调递增区间是 .故选：A.
2．已知函数 ，则函数 是（ ）
A．偶函数，在 上单调递增 B．偶函数，在 上单调递减
C．奇函数，在 上单调递增 D．奇函数，在 上单调递减
【解析】 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以有 ，则 为奇函数.
当 时， 单调递增，由 为奇函数，则 在 上单调递增，且所以 在 上单调递增，
故选：C
3．若函数 是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图，作出函数 和 的大致图象.
，得 ，解得 ， ，
注意到点A是二次函数 图象的最低点，
所以若 ，则当 时， 单调递减，不符合题意；
当 时符合题意；
当 时，则 ，在 时函数图象“向下跳跃”，不符合题意；
当 时，符合题意.
所以m的取值范围为： 或 .故选：D
4．设函数 ，若 ，则实数 ______， 的单调增区间为______．
【解析】因为 ，则 ，则 ，解得 .所以， ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时，由于函数 、 均为增函数，故函数 也为增函数，
由于 ，则函数 在 连续，
所以，函数 的单调递增区间为 .故答案为： ； .
5．已知函数 ，则 _____________，函数 的单调递减区间是
_______．
【解析】因函数 ，则 ，所以 ；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
当 时， 在 上单调递减，且 ，
所以函数 的单调递减区间是 .故答案为：5；
6．函数 的单调减区间是______．
【解析】去绝对值，得函数
当 时，函数 的单调递减区间为
当 时，函数 的单调递减区间为
综上，函数 的单调递减区间为 ，7．函数 的单调递减区间为__________．
【解析】当 时， ，则其在 上递减，
当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
综上， 的单调递减区间为 ，
{(5−a)x−a+1,x<1
8．已知函数f(x)=
，满足对任意 都有 成立，那么
ax,x≥1
实数 的取值范围是________．
【解析】由已知可得函数 在R上为单调递增函数，
则需满足 ，解得 ，所以实数a的取值范围为 ，
专项突破四 分段函数求参
1．设 ，若 ，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．8 D．1或8
【解析】若 时 ，可得 ，不满足 ；
若 时 ，可得 ，满足前提.
综上，x的值为8.故选：C
2．设 ，若 ，则x的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．1或3
【解析】 时，令 ，解得 ，
时，令 ，解得 ，这与 矛盾，
∴ .故选：B3．已知函数 是 上的减函数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 是 上的减函数，
所以 ，解得 ，选：C
4．已知函数 ，若不等式 在 上有解，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，
， .
当 时， ，
， .所以 为偶函数.
又因为 在 为减函数，在 为增函数.
所以 .因为不等式 在 上有解，
所以 ，即 在 上有解，
又因为 在 为减函数， 在 为增函数，
所以 .故选：C5．若函数 的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 时， ，
因为函数 的值域为R，所以当 时， ，
分两种情况讨论：
①当 时， ，所以只需 ，解得 ，所以 ；
②当 时， ，所以只需 ，显然成立，所以 .
综上， 的取值范围是 .故选：D.
6．已知函数 与函数 的值域相同，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 的值域为 ，所以 的值域为 .
当 时， .
当 时，①若 ，即 ， ，此时不满足条件.
②若 ，即 ， ，此时 的值域不可能为 .
③若 ，即 ， ，要使 的值域为 ，则 ，即
解得： 或 ，又因为 ，所以 .故选：B.7．已知函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】∵函数
∴当 时， 的范围是 ；当 时， ， ，
由题意 存在最小值，则 ，解得 .故选：D．
8．已知函数 若 ，则实数 ______．
【解析】若 ，则 ，解得 不合题意；
若 ，则 ．解得 ，
综上： ．
9．已知 ，函数 若 ，则 _______.
【解析】 ,
当 时， ，得 ，故 ；
当 时， ，故 .
故答案为： 或 .
10．若函数 是R上的减函数，则实数a的取值范围是___．【解析】由题知 ．
11．已知函数 ，若 是 上的单调递增函数，则 的取值范围是__________．
【解析】因函数 是 上的单调递增函数，因此有 ，解得 ，
所以 .
12．已知函数 ，且 是 的最小值，则实数a的取值范围是__________．
【解析】当 时，若 ，即 ，有 ， 在 上递减，在
上递增，则 与 是 的最小值矛盾，
若 ，即 ，有 在 上递减， ， ，则 ，
当 时，函数 ，当且仅当 ，
即 时取“=”，因 是 的最小值，则有 ，解得 ，
所以a的取值范围为 .
专项突破五 解分段函数不等式
1．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．C． D．
【解析】函数 ，则不等式 等价于 或者 ，
解 得： ，解 得： 或 ，于是得 或 ，
所以不等式 的解集是 .故选：A
2．已知函数 则不等式 的解集为（ ）
A．（0，5） B． C． D．（-5，5）
【解析】因为 时， ，故 在 上为增函数，
时， ，故 在 上为增函数，
又 的图象在 处不间断，故 为 上的增函数，
令 ，则 为 上的增函数，
而 ，故 的解集为 .故选：B.
3．已知函数 若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】作出函数 的图象，由图象可知， 在R上为增函数，
由 可得 ，即 ，选：C．4．设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 时， 单调递增，故 ，当 时，
由对勾函数得： 在 单调递增，且 ，综上： 单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，设 ，可知 单调递增，且
，故 ，故选：D
5．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 时， ， ，且 在 上递增，
当 时， ， ，且 在 上递增，
所以 在 上有 ，且函数 是 上的增函数，
于是原不等式可化为 ，
， ，得 ，得 ，故选：B
6．设函数 则关于 的不等式 的解集为______.
【解析】因为
当 时， ，则 ， ；
同理当 时， ， ，
又 ，综上所述 为奇函数，
则 ，即 ，当 时， ，
解得 ；当 时， ，解得 ，因为 ，所以 .
故 的解集为
7．设函数 ，若 ，则实数a的取值范围___________.
【解析】因为 ，
所以 ，则 ，
若 ，则 ，即 ，解得 ，所以实数a的取值范围为 .
8．已知函数 ，则不等式 的解集为______．
【解析】当 时， 的解集为 ，
当 时， 的解集为 ．所以原不等式的解集为 ．
9．设函数 ，若 ，则t的取值范围是___________.
【解析】函数 在 上单调递增，且 ，当 时取“=”， 在 上单调递增，
，
因此，函数 在上R单调递增，而 ，则有 ，解得 ，
所以t的取值范围是 .
10．设函数 则满足不等式 的x的取值范围是 _____.
【解析】易知 是增函数， 是增函数，又 ，
所以 在定义域内是增函数，
当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ， ，所以 成立，
综上，不等式的解集是 ．
11．已知 ，不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是
____
【解析】作出分段函数 的图象如图，
要使不等式 在 上恒成立，则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，∴ ，解得： .故答案为：
