文档内容
专题 05 分类打靶函数应用与函数模型
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
............................................................................................................................................10
考点一：二次函数与幂模型................................................................................................................................10
考点二：分段函数模型.......................................................................................................................................12
考点三：对勾函数模型.......................................................................................................................................14
考点四：指数函数模型.......................................................................................................................................17
考点五：对数函数模型.......................................................................................................................................18
考点六：函数模型的选择...................................................................................................................................20
本节内容，常以其他学科或与社会生活息息相关的背景来命题，如现实中的生产经营、企业盈利与亏
损等热点问题中的增长、减少问题，在这些背景中发现、选择、建立数学模型，如二次函数、指数函数、
对数函数模型，对现实问题中数据进行处理以解决问题，体现数学知识的实用性．
考点要求 考题统计 考情分析
2021年北京卷第8题，4分 【命题预测】
二次函数模型，分段函数模型
2020年上海卷第19题，14分 预测2024年高考，可能结合
2023年I卷第10题，5分 函数与生活应用进行考察，
对学生建模能力和数学应用
指数函数、对数函数模型 2021年甲卷（文）第6题，5分
能力综合考察．
2020年山东卷第6题，5分1、几种常见的函数模型：
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 k
f(x)= （ 为常数）
x k
二次函数模型 f(x)=ax2 +bx+c(a，b，
c
为常数且a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax +c(a，b，
c
为常数，b≠0， ，
对数函数模型 f(x)=blog
a
x+c(a，b，c为常数，b≠0， ，幂函数模型 f(x)=axn +b(a，b为常数，a≠0)
2、解函数应用问题的步骤：
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数
学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
3、解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，
往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，
领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立
解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．
其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立
函数关系．
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问
题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可
能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些
非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛
读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精
读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．
1．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 ．已知某同学视力
的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
2．（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的
深度，称为这个时段的降雨量（单位： ．24 降雨量的等级划分如下：
等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 ，高为 的圆锥形雨量器．若一次降雨过
程中，该雨量器收集的 的雨水高度是 如图所示），则这 降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
3．（2020•山东）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模
型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足
．有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病
例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
4．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．
为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是
平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 ，月球质量为 ，地月距离为 ， 点到月球的距
离为 ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， 满足方程： ．
设 ．由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则 的近似值为
A． B． C． D．
5．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压
级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的 声压级
距离
燃油汽车 10混合动力汽 10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， ， ，则
A． B． C． D．
6．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别
为 ， ， ，则 ，当 时， ， ．
7．（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车
辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 ， 为道路密度， 为车辆密度，交通流
量 ．
（1）若交通流量 ，求道路密度 的取值范围；
（2）已知道路密度 时，测得交通流量 ，求车辆密度 的最大值．
8．（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中 为建筑物暴露
在空气中的面积（单位：平方米）， 为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为 ，高度为 ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建
筑体的“体形系数” ；（结果用含 、 的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为 ，其中 为建筑物底面面积， 为建筑物底面周长，又定义
为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设 为某宿舍楼的层数，
层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 ．当 ， 时，试求当
该宿舍楼的层数 为多少时，“体形系数” 最小．9．（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利
润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长 ．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 ？
考点一：二次函数与幂模型
1、二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法
求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意
自变量的取值范围．
2、幂函数模型为 （ ， 为常数， ），
在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题．
例1．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来
回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相
应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖 只小船.
例2．（2023·全国·高三专题练习）为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织
学生进行排球练习，某同学以初速度 竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多
停留时间为 秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出
点的高度 与时间 满足关系式 ，其中 ．）例3．（2023·四川泸州·四川省泸县第二中学校考模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部
脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政
府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将
补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：
）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
例4．（2023·广西·统考模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通
常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率 与其体重 满足 ，其中 和 为正常数，该
类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的
8倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
考点二：分段函数模型
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变
化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏
例5．（2023·全国·高三对口高考）已知 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从 地
前往 地，到达 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回 地，把汽车离开 地的距离 （千米）表
示为时间 （小时）的函数，则下列正确的是（ ）
A． B．C． D．
例6．（2023·全国·高三对口高考）2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工薪所
得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月1日开
始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：
全月应纳税所得
级数 税率
额
1 不超过500元 5
2 500~2000元 10
3 2000~5000元 15
某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税（ ）元．
A．43 B．2280 C．680 D．不能确定
例7．（2023·云南·统考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件
5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
数
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
考点三：对勾函数模型
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
b
f(x)=ax+
x
2、利用模型 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
例8．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，
并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费
均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
例9．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为
，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造
价为5800元.如果墙高为 ，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（ ）
A．57600元 B．63400元 C．69200元 D． 元
例10．（2023·全国·高三专题练习）某企业投入 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 万元，
此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一
年增加 万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，
在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时 ，假设甲沿
着平行边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳的射门角度（即 最大），则射门时
甲离上方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
考点四：指数函数模型
在解题时，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于 1）的一类函数模型，与增长率、银行利
率有关的问题都属于指数模型．例12．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从
级别跃升到 乃至 级别．国际数据公司 的研
究结果表明，2008年全球产生的数据量为 2010年增长到 ．若从2008年起，全球产生的
数据量 与年份 的关系为 ，其中 均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年
的 倍.
例13．（2023·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显
的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5℃.若到2050年，预测大气中二
氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约 ℃.（参考数据： ）
例14．（2023·江西·高三校联考阶段练习）研究发现某人的行车速度v（km/h）与行驶地区的人口密度p
（人/ ）有如下关系： ，若此人在人口密度为a人/ 的地区的行车速度为
70km/h，则他在人口密度为2a人/ 的地区的行车速度是 km/h．
考点五：对数函数模型
在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图
像 求解最值问题．
例15．（2023·上海长宁·统考一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值 （单位：
）定义为 .其中 为声场中某点的声强度，其单位为 为基准值.若
，则其相应的声强级为 .
例16．（2023·云南楚雄·高三统考期中）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已
知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式 （ ），其中a是残留
系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的 .（参考数据： ，
答案保留一位小数）
例17．（2023·山西·高三统考阶段练习）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 可定义为 ．在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里
氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏 级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是
余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ．
例18．（2023·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究
鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位： ）可以表示为 ，其中M表示鱼的耗氧量的
单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的 倍时，它的游速是
.
考点六：函数模型的选择
对于给定模型供选择的问题， 需根据问题对每个模型进行验证，可结合函数图像、性质、函数值等
多方面进行验证．
例19．（2023·上海奉贤·高三校考期中）某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪
念章每1枚的市场价 （单位：元）与上市时间 （单位：天）的数据如下：
上市时间 天 4 10 36
市场价 元 90 51 90
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价 与上市时间 的变化关系
（ ）
A． B．
C． D． ；
例20．（2023·福建·福建师大附中校考模拟预测）视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分
记录，其部分数据如下表：
小数记录
五分记录
现有如下函数模型：① ，② ， 表示小数记录数据， 表示五分记录数据，请选
择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为 ，则小明同学的小数记录
数据为（附 ， ， ）（ ）A． B． C． D．
例21．（2023·福建福州·统考二模）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量 （单位： ）与速度
（单位： ）（ ）的数据如下表：
6
40 90 100 120
0
5.2 6 8.325 10 15.6
为描述 与 的关系，现有以下三种模型供选择： ， ，
.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，
分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是 ， ， （单位： ）.
为使百公里耗油量 （单位： ）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（ ）
A．在外侧车道以 行驶 B．在中间车道以 行驶
C．在中间车道以 行驶 D．在内侧车道以 行驶
