文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果。
1．已知集合 ，集合 ，求
【答案】
【解析】由集合 ，可得 ，
又由集合 ，所以 .
故答案为： .
2．复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为 ．
【答案】
【解析】设 ，
因为 ，所以 ，
可得 ，解得 ，
则z的虚部 .
故答案为： .
3．已知向量 ，若 ，且 ，则 ．
【答案】【解析】因为 ，
所以 ，①
又因为 ， ，
所以 ，②
由①②解得 ；或 ，
所以 或 ，
故答案为： .
4．设一组样本数据 ， ， ， 的方差为 ，则数据 ， ， ， 的方差为 .
【答案】
【解析】根据题意，一组样本数据 ， ， ， 的方差 ，
则数据 ， ， ， 的方差为 ；
故答案为： .
5．已知方程 的两个根为 ，则 = .
【答案】3
【解析】由题意结合韦达定理有 ，所以 .
故答案为：3.
6．已知函数 ，则 ．
【答案】
【解析】 ， .
故答案为： .
7．函数 的最大值为2，求【答案】 或
【解析】 ,
当 时， 的最大值为 ,
因为函数 的最大值为2，
所以 .
当 时， 的最大值为 ,
因为函数 的最大值为2，
所以 ,解得 .
故 或 .
故答案为： 或 .
8．已知 ，则 （用数字作答）．
【答案】
【解析】由 ，
令 得， ，①
令 得， ，②
① ②得， ，
.
故答案为： .
9．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱，命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不
惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”这是给感动中国十大
人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师
的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现将甲、乙、丙、丁 名志愿者安排到 三个学校参加支教
活动，要求每个学校至少安排 个人，则甲被派到 学校的概率为 .【答案】
【解析】由题意得，甲、乙、丙、丁 名志愿者安排到 三个学校参加支教活动，每个学校至少安排
一人，共有 种分配方案；
甲被派到 学校可分为两种情况：只有甲 人被分到 学校，有 种分配方案；
有 人（包含甲）被分到 学校，有 种分配方案，
由古典概型的计算公式得：
甲被派到 学校的概率为 .
故答案是： .
10．已知 记函数 的最大值为 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，即函数 在 上为奇函数，
又当 时， ，当且仅当 时等号成立，
由对勾函数的单调性可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故
设 ，则 ，
令 ，解得
同一坐标系中画出 和 的图象如下：由图可知，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，综上 的取值范围是 .
故答案为： .
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P为圆
与C的一个公共点，若 ，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又点P在E上，
所以 ①．
由双曲线定义可知 ②，
联立①②得 ．在 中，由余弦定理得
，
即 ，所以C的离心率 ．
故答案为：12．已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ， ， ，且 ，
则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，将 代入得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以
又因为 ，所以 ，
又由 ， ，得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， ，
所以当 时， 最大，且最大为
故答案为： .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一
个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。13．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 ， 或 ，
所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
14．已知锐角 ， ， ，则 边上的高的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 为锐角三角形， ，设 边上的高为 ，
所以 ，解得
由正弦定理可得， ，
所以 ， ，因为 ，
所以
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 边上的高的取值范围为 .
故选：C.
15．在单位正方体 中，点P在线段 上，点Q线段 上．①二面角 的大
小为定值；② 长度的最小值为 ．对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【解析】
对于①，平面 即为平面 ，平面 与平面 所成的二面角为定值，故二面角
为定值，①正确;
对于②，将平面 沿直线 翻折到平面 内，平面图如下，
过 点做 ， ，此时， 的值最小.
由题可知，则 ，
故 ，又 故 的最小值为 ，故②正确.
故选：A.
16．设集合 ，定义：集合 ，集合
，集合 ，分别用 ， 表示集合S，T中元素的个数，则下
列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设 ，则 的值为 ，
显然， ，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设 ，
则显然 ，则集合S中至少有7个元素，
所以 不可能，故排除A选项；
其次，若 ，则集合Y中至多有6个元素，则 ，故排除B项；
对于集合T，取 ，则 ，此时 ，
，故D项正确；对于C选项而言， ，则 与 一定成对出现， ，所以 一定是偶数，
故C项错误.
故选：D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17．（14分）
已知三角形 ，
(1) ，三角形的面积 ，求角 的值；
(2)若 ， ， ，求 ．
【解析】（1）根据 ，有 ，即 ，
又因为 ， ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以
（2）由 ，有 ， ，
又因为 , ，结合 ，有 ，即 ，
所以 或 ，即 或 ；
因为 ， ，两值都符合题意，所以：
当 ，由正弦定理有 ，
即 ， ，解得 ；
当 ，由正弦定理有 ，即 ， ，解得 .
综上： 时， ； 时， .
18．（14分）
生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，
从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
跑步软件
跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四
一
中学生 80 60 40 20
大学生 30 20 20 10
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件
一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取 人，再从这 人中随机抽取 人.记 为这 人中
最喜爱使用跑步软件二的人数，求 的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ；样本中的
大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ； ， ， ， ， ，
， ， 的方差为 .写出 ， ， 的大小关系.（结论不要求证明）
【解析】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这 人都最喜爱使用跑步软件一的概率为 .
（2）因为抽取的 人中最喜爱跑步软件二的人数为 ，
所以 的所有可能取值为 ，
，
所以 的分布列为：所以 .
（3） ，证明如下：
，
，
所以 .
，
，
所以 .
数据： ， ， ， ， ， ， ， ，
对应的平均数为
所以
所以 .
19．（14分）
三棱柱 中， ，线段 的中点为 ，且 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【解析】（1）三棱柱 中， ，
在 中， ，
线段 的中点为 ，所以 ，所以 ；
又已知 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）
由（1）可知 平面 ， 平面 ，
所以 ，
在平面 内作 交 于 点，则 ，
则 两两互相垂直，
以 为原点，以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系 ，
因为 ，
所以 ．所以 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，
解得 ，令 ，则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
则 ．
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
20．（18分）
已知 分别是椭圆 的左、右顶点，过点 、斜率为 的直线 交椭圆 于 两个
不同的点．
(1)求椭圆 的焦距和离心率；
(2)若点 落在以线段 为直径的圆的外部，求 的取值范围；
(3)若 ，设直线 分别交 轴于点 ，求 的取值范围．
【解析】（1） ， ， ， ，即 ，
所以椭圆 的焦距为4，离心率为 .（2）设 ， ，直线 ，又 ，
联立方程 ，消去 整理得 ，
，即 或 ，
， ，
点B落在以线段 为直径的圆的外部，即 ，
则 ，又 ， ，
可得 ，代入 ， 运算整理得，
，解得 或 ，又 或 ，
所以 的取值范围为 .
（3）设 ， ， ， ，
由 ，可得 ，即 ，
同理可得， ，
又 即 ，解得 ，
同理可得 ，
又由（2）知， ， ， ， ，，又 ，
.
所以 的取值范围为 .
21．（18分）
已知 为实数， ．对于给定的一组有序实数 ，若对任意 ， ，都
有 ，则称 为 的“正向数组”．
(1)若 ，判断 是否为 的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若 为 的“正向数组”，则对任意 ，都有 ；
(3)已知对任意 ， 都是 的“正向数组”，求 的取值范围．
【解析】（1）若 ， ，
对 ，即 ，
而当 ， 时，
， ，
即 ，不满足题意.所以 不是 的“正向数组”.
（2）反证法:假设存在 ,使得 ,
为 的“正向数组”，
对任意 ,都有 .
对任意 恒成立.
令 ，则 在 上恒成立，
，
设 ，
，
则当 时， 在 上为负，在 上为正，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，当 ， ，当 ， ，
即存在 ，使 在 上为正，在 上为负，在 上为正，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 ， ，当 ， ，则 的值域为 ；
若 ， ， 在 上单调递增，
又当 ， ，当 ， ，则 的值域为 .当 时， ， 在 上单调递增，
又当 ， ，当 ， ，
必存在 ，使 在 上为负，在 上为正，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 ， ，当 ， ，则 的值域为 .
由值域可看出，与 在 上恒成立矛盾.
对任意 ，都有 .
（3） 都是 的“正向数组”，
对任意 ， ，都有
，
则 恒成立或 恒成立，
即 恒成立或 恒成立，
设 ，
则 ，
即 是 的最大值或最小值.
，且 .
当 时，由（2）可得， 的值域为 ，无最大值或最小值；
当 时， 在 上单调递增，
又 ，则 在 上为负，在 上为正，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 是 的最小值，满足 ，
此时对任意 ， ，都有
.
的取值范围是 .
