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专题 06 函数与导数常见经典压轴小题归类
目 录
01 函数零点问题之分段分析法模型....................................................................................................3
02 函数嵌套问题..................................................................................................................................7
03 函数整数解问题.............................................................................................................................11
04 唯一零点求值问题.........................................................................................................................14
05 等高线问题....................................................................................................................................16
06 分段函数零点问题.........................................................................................................................19
07 函数对称问题.................................................................................................................................22
08 零点嵌套问题.................................................................................................................................26
09 函数零点问题之三变量问题..........................................................................................................30
10 倍值函数........................................................................................................................................33
11 函数不动点问题.............................................................................................................................37
12 函数的旋转问题.............................................................................................................................4013 构造函数解不等式.........................................................................................................................44
14 导数中的距离问题.........................................................................................................................48
15 导数的同构思想.............................................................................................................................50
16 不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法............................................................................53
17 三次函数问题.................................................................................................................................58
18 切线条数、公切线、切线重合与垂直问题...................................................................................62
19 任意存在性问题.............................................................................................................................67
20 双参数最值问题.............................................................................................................................70
21 切线斜率与割线斜率.....................................................................................................................72
22 最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）....................................................................75
23 两边夹问题和零点相同问题..........................................................................................................79
24 函数的伸缩变换问题.....................................................................................................................81
25 V型函数和平底函数......................................................................................................................83
26 曼哈顿距离与折线距离.................................................................................................................8701 函数零点问题之分段分析法模型
1．（2023·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数 （其中 为自然对数的底
数），若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
2．（2023·湖北·高三校联考期中）设函数 ，记 ，若函数 至少存
在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (e为自然对数的底数)有两个不同零点，
则实数 的取值范围是___________.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 存在4个零点，则实数 的取值范围
是__________．
02 函数嵌套问题
5．（2023·云南保山·高三统考期末）定义域为 的函数 ，若关于 的方程
恰有5个不同的实数解 ， ， ， ， ，则所有实数 ， ， ， ， 之和
为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．（2023·全国·高三福建省福州第八中学校考期末）定义在 上函数 ，若关于 的方程 (其中 )有 个不同的实根 ， ，…， ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川广安·高三四川省邻水县第二中学校考阶段练习）设定义域为R的函数 ，
若关于x的方程 有3 个不同的实数解x、x、x 且x< x 2x
1 3 1 3 2
8．（2023·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）设定义域为R的函数 ，
若关于x的方程 有且仅有三个不同的实数解 ，且 .下列说法错误的是
（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程 恰有6个不同
的实数解，则 的取值情况不可能的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
03 函数整数解问题10．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数 ，若 有且只有两个整
数解，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 的解集中仅有2个整数，则实数k的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若对任意的 ，都有
成立，则整数a的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．（2023·江苏苏州·高三校考）已知函数 在区间 内存在极值点，且 在R
上恰好有唯一整数解，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
04 唯一零点求值问题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有唯一零点，则负实数 （ ）
A． B． C．-3 D．-215．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．1
16．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数 有唯一零点，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·山西·高三统考）已知数列 的首项 ，函数 有唯一零点，
则通项 （ ）
A． B． C． D．
05 等高线问题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ，若存在实数 ，
使得关于 的方程 恰有三个互异的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若关于 的方程 有四
个不等根 ，则 的值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
20．（2023·宁夏·高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数 ，若关于x的方程有四个不同实数解 ，且 ，则 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
21．（2023·湖北武汉·高一期末）已知函数 ，若关于 的方程 有四个不
同的实数解 ， ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
06 分段函数零点问题
22．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知 ，函数 ，若
恰有2个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若函数 有三个零点，则
（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·广东广州·高三广州市真光中学校考期末）定义在 上的奇函数 ，当 时，
，则关于 的函数 的所有零点之和为（ ）
A． B．C． D．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的
零点个数是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
07 函数对称问题
26．（2023·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若直角坐标平面内 ， 两点满足：①点 ，
都在函数 的图象上；②点 ， 关于原点对称，则称点 是函数 的一个“姊妹点对”点对
与 可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数 恰有两个“姊妹点对”，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·湖南长沙·高三长沙市雅礼实验中学校考开学考试）若直角坐标平面内 两点满足条件：
①点 都在 的图像上；
②点 关于原点对称，则对称点对 是函数的一个“兄弟点对”（点对 与 可看作一个
“兄弟点对” ．
已知函数 ，则 的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
28．（2023·全国·高三专题练习）若不同两点 、 均在函数 的图象上，且点 、 关于原点对
称，则称 是函数 的一个“匹配点对”（点对 与 视为同一个“匹配点对”）．已
知 恰有两个“匹配点对”，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
29．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）若函数 图象上存在不同的两点 ， 关于
轴对称，则称点对 是函数 的一对“黄金点对”（注：点对 与 可看作同一对“黄
金点对”）．已知函数 则此函数的“黄金点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
08 零点嵌套问题
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有三个不同的零点 ， ， ，且
，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
31．（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R上的函数 满足
有三个不同的零点 且 则
的值是（ ）
A．81 B．-81 C．9 D．-9
32．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）已知函数 有三个不
同的零点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3633．（2023·陕西·统考模拟预测）已知函数 有三个不同的零点 ，且
，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
09 函数零点问题之三变量问题
34．（2023·全国·高二假期作业）若存在两个正实数 ， ，使得等式 成立，
其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
35．（2023·全国·高三专题练习）若存在正实数x，y，使得等式 成立，其中
e为自然对数的底数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
36．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数 ，使得等式 成立，其中 为自然对数
的底数，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
37．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数 ， 使等式 成立，其中
是自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（2023·江西新余·统考二模）若存在两个正数 ，使得不等式 成立，其中 ， 为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10 倍值函数
39．（2023·宁夏银川·高一校考期中）函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 同
时满足：（1） 在 内是单调函数；（2） 在 上的值域为 ，则称区间
为 的“ 倍值区间”.下列函数：① ；② ；③ ；④
.其中存在“ 倍值区间”的有（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③④
40．（2023·安徽·高三统考期末）函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函数 满足：
① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间 为 的“倍值区
间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
① ； ② ；
③ ； ④
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①③
41．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，对给定的正数 ，若存在闭区间 ，使
得函数 满足：① 在 内是单调函数；② 在 上的值域为 ，则称区间 为
的 级“理想区间”.下列结论错误的是（ ）
A．函数 （ ）存在1级“理想区间”B．函数 （ ）不存在2级“理想区间”
C．函数 （ ）存在3级“理想区间”
D．函数 ， 不存在4级“理想区间”
42．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若满足条件：存在 ，使 在 上
的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数 为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A． B．
C． D．
11 函数不动点问题
43．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若曲线 上存在点 ，
使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
44．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓
扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动
点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间
断的函数f(x)，存在一个点x，使得f(x)=x，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数
0 0 0
的是（ ）
A． B．C． D．
45．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使得 ，则称
为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在
上均存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
12 函数的旋转问题
46．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为
，将点 绕原点按逆时针方向旋转角 得到点 ，再将点 绕原点按逆时针方向旋转角 得到 ，
…，如此继续下去，得到前10个点 ， ， ，…， ．若 是公差为 的等差数列，且点 ， ，
，…， 在同一函数图像上，则角 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
47．（2023·上海浦东新·高二上海市实验学校校考开学考试）2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其
中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，
也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点 ，两动点 ，且 绕点 逆时针旋转到 所形成的角记为
，设函数 ，其中 令 ，作
，随着 的变化，就得到了点 的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点 的轨迹（考
虑蝴蝶的朝向）最有可能为（ ）
A． B．C． D．
48．（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图象绕点 逆时针旋转
，得到曲线 ，对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图象，则 最大时的正切值为
（ ）
A． B． C． D．
13 构造函数解不等式
49．（2023·江苏·高二专题练习）已知定义在R上的偶函数 满足 ，
，若 ，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）
50．（2023·江苏·高二专题练习）函数 定义域为R，导函数为 ， 满足下列条件：①任意
， 恒成立，② 时， 恒成立，则关于t的不等式：
的解集为（ ）
A． B． C． D．51．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
52．（2023·全国·高二专题练习）已知定义域为 的函数 满足 （ 为函数
的导函数），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
53．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的可导函数 的导函数为 ，满足 且
为偶函数， 为奇函数，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
54．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳铁路实验中学校考期中）设 为函数 的导函数，已知
，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 既有极大值又有极小值 B． 在 既无极大值又无极小值
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
14 导数中的距离问题
55．（2023·重庆·重庆南开中学校考一模）若对任意的实数 ，函数 在 上是
增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．56．（2023·四川绵阳·统考一模）若存在实数 ，使得关于 的不等式 （其中
为自然对数的底数）成立，则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
57．（2023·高二单元测试）设点 为圆 上的任意一点，点 ，则线段
长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
58．（2023·重庆·高二校联考阶段练习）若实数 , , , 满足 且 (其中 ,
, 是自然对数底数),则 最小值为
A． B．5 C． D．10
15 导数的同构思想
59．（2023·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数 有两个不同的零
点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
60．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x的不等式 在 上恒成
立，则正数m的最大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
61．（2023·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
62．（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知函数 ，在区间 内任取
两个实数 ， 且 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16 不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
63．（2023·陕西安康·统考二模）已知 恒成立，则λ的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
64．（2023·江西·高三校联考开学考试）已知函数 在区间 上恒小于0，则实数
的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
65．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知函数 ，若对于任意的实数
恒有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．66．（2023·全国·高三专题练习）若存在 使对于任意 不等式 恒
成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17 三次函数问题
67．（2023·河南·统考三模）已知 为三次函数，其图象如图所示.若
有9个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
68．（2023·全国·高三专题练习）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的
关系，如：设一元三次方程 的3个实数根为 ， ， ，则 ，
， .已知函数 ，直线 与 的图象相切于点 ，
且交 的图象于另一点 ，则（ ）A． B．
C． D．
69．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考模拟预测）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸
边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路： ，
分别与该曲线相切于 ， ，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
70．（2023·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知 ， ， ，若三次函数
有三个零点 ， ， ，且满足 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18 切线条数、公切线、切线重合与垂直问题
71．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 与 的两条公切线所成角的正切值为 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．
72．（2023·全国·高二专题练习）若过点 可以作曲线 的三条切线，则（）
A． B．
C． D．
73．（2023·全国·高二专题练习）过直线 上一点 可以作曲线 的两条切线，则点 横
坐标 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
74．（2023·全国·高三专题练习）若函数 与 的图象存在公共切线，则实数a的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
75．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的图象上存在两个不同的点 ， ，使得曲线
在这两点处的切线重合，则称函数 为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数
的是（ ）A． B．
C． D．
76．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 图象上存在两条互相垂直的切线，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
19 任意存在性问题
77．（2023·全国·高三专题练习）定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在 上
也存在导函数，则称函数 在 上存在二阶导函数，简记为 .若在区间 上
，则称函数 在区间 上为“凹函数”.已知
在区间 上为“凹函数”，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
78．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数 ，若存在 使得
关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
79．（2023·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）已知函数 ，若存在实数 （ 且 ），使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20 双参数最值问题
80．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考模拟预测）已知不等式 （ ，且 ）
对任意实数 恒成立，则 的最大值为____________.
81．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， 恒成立，则 的最大值为______．
82．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知关于 ， ，若 时，关于 的不等式
恒成立，则 的最小值为______.
83．（2023·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知 ，若 时，关于 的不
等式 恒成立，则 的最小值为________
84．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知 ，且 ，若对 ，不等式
恒成立，则 的最大值为___．
21 切线斜率与割线斜率
85．（2023·山东临沂·高三校考阶段练习）已知函数 是定义在R上的函数，且 是奇函数，
是偶函数， ，记 ，若对于任意的 ，都有
，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
86．（2023·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校考阶段练习）已知函数 ､ 是定义在 上的函
数，其中 是奇函数， 是偶函数，且 ，若对于任意 ，都有
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
87．（2023·湖北黄冈·高一校考期中）已知函数 是定义在R上的函数，其中 是奇函数，
是偶函数，且 ，若对于任意 ，都有 ，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
88．（2023·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数 是定义在R上的函数，其中 是奇函
数， 是偶函数，且 ，若对于任意 ，都有 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22 最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
89．（2023·高一课时练习）已知函数 ，当 时，设 的最大值为，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
90．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时， 的最大
值为 ，若 的最小值为4，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
91．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数 ，且 ，满足
，当 时，设函数 的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
92．（2023·高二课时练习）设 （ ），当 时， 的最大值为 ，则
的最小值为（ ）
A． B．１ C． D．２
93．（2023·浙江杭州·校联考二模）设函数 在区间 上的最大值 的最小值
为4，则符合条件的 有（ ）
①x2+ ② ③
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
23 两边夹问题和零点相同问题94．（2023·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知 满足 ，其中 是自然
对数的底数，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
95．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则 的值等于
（ ）
A． B． C．1 D．2
96．（2023·浙江·高一期末）若不等式 对 上恒成立，则 （ ）
A． B． C． D．2
97．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）若不等式 对
恒成立,则 =
A． B． C． D．
24 函数的伸缩变换问题
98．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ，当 时，
，设 在 上的最大值为 则数列 的前n项和 的值为
（ ）
A． B． C． D．99．（2023·甘肃·高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数 满足 ，当
时， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
100．（2023·浙江·高一期末）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
25 V型函数和平底函数
101．（上海市青浦区2023届高三二模数学试题）等差数列 ，满足
，则（ ）
A． 的最大值是50 B． 的最小值是50
C． 的最大值是51 D． 的最小值是51
102．（北京市西城区北京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数
设 ，若关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
103．（广州市第二中学2022-2023学年高二上学期开学考试试数学试题）已知函数 ．
设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
104．（浙江省金丽衢十二校2022-2023学年高三第一次联考数学试题）设等差数列 ， ，…， （
， )的公差为 ，满足
，则下列说法正确的是
A． B． 的值可能为奇数
C．存在 ，满足 D． 的可能取值为
26 曼哈顿距离与折线距离
105．（2023·全国·模拟预测）曼哈顿距离是由19世纪著名的德国数学家赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，
用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系中，点 ， 的曼哈顿
距离为 ．若点 ，点 为圆 上一动点，则 ， 两点的曼哈顿距离的最
大值为（ ）
A．12 B． C． D．2106．（2023·湖南株洲·高一株洲市南方中学校考阶段练习）定义：平面直角坐标系中，点 的横坐
标 的绝对值表示为 ，纵坐标 的绝对值表示为 ，我们把点 的横坐标与纵坐标的绝对值之和
叫做点 的折线距离，记为 （其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线
与直线 只有一个交点 ，已知点 在第一象限，且 ，令 ，则 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
107．（2023·江苏南通·高二统考期中）在平面直角坐标系中，定义 两点之间的折线距离
为 ，设点P是圆 上一点，点Q是直线 上一点，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
