文档内容
专题 08 活用三角函数的图象与性质
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................5
..............................................................................................................................................8
考点一：齐次化模型...............................................................................................................................................8
考点二：辅助角与最值问题....................................................................................................................................8
考点三：整体代换与二次函数模型.........................................................................................................................9
考点四：绝对值与三角函数综合模型...................................................................................................................10
考点五：w的取值与范围问题...............................................................................................................................11
考点六：三角函数的综合性质..............................................................................................................................14
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式
考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式
考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，
如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解
三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
考点要求 考题统计 考情分析2023年甲卷第7题，5分 【命题预测】
同角三角函数基本关系式 2023年乙卷第14题，5分 2024年高考将重点考查：①同角三
2021年I卷第6题，5分 角函数基本关系及诱导公式，同时
要注意三角函数定义的复习，题型
2023年II卷第7题，5分
仍为选择题或填空题，难度为基础
2023年I卷第8题，5分
题或中档题．②三角恒等变换，同
三角恒等变换 2022年II卷第6题，5分
时要注意公式的变形及应用，以及
2022年浙江卷第13题，6分
最值问题，题型仍为选择题或填空
2021年甲卷第9题，5分
题，难度为基础题或中档题．③三
2023年天津卷第5题，5分
角函数的图像与性质及三角函数变
2023年甲卷第10题，5分
换，特别是这些知识点的组合考查
三角函数的图像与性质 2023年乙卷第6题，5分
是考查的热点，题型仍为选择题或
2023年I卷第15题，5分 填空题，难度可以为基础题或中档
2023年II卷第16题，5分 题，也可以是压轴题．
1、三角函数图象的变换（1）将 的图象变换为 的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
（3）伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；
②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合 ， ，
， 的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为奇函数，则有 ．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解.
1．（2023•甲卷）“ ”是“ ”的
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．（2023•新高考Ⅱ）已知 为锐角， ，则
A． B． C． D．
3．（2023•新高考Ⅰ）已知 ， ，则
A． B． C． D．
4．（2022•新高考Ⅱ）若 ，则
A． B． C． D．
5．（2023•天津）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可能为A． B． C． D．
6．（2023•甲卷）已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则 与
的交点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023•乙卷）已知函数 在区间 ， 单调递增，直线 和 为函数
的图像的两条对称轴，则
A． B． C． D．
8．（2022•浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
9．（2021•浙江）已知 ， ， 是互不相同的锐角，则在 ， ， 三个值中
大于 的个数的最大值是
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2021•北京）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
11．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的图像关于点 ， 中心对称，
则
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 ， 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线12．（2023•乙卷）若 ， ，则 ．
13．（2022•浙江）若 ， ，则 ， ．
14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 ，如图， ， 是直线 与曲线 的两个交
点，若 ，则 ．
15．（2022•乙卷）记函数 ， 的最小正周期为 ．若 ，
为 的零点，则 的最小值为 ．
16 ． （ 2021• 甲 卷 ） 已 知 函 数 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件
的最小正整数 为 2 ．
17．（2021•北京）若点 关于 轴的对称点为 ， ，则 的一个取值为
．
18．（2021•甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则 ．
19．（2021•上海）已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是 ．
20．（2023•北京）已知函数 ， ， ．（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 在 ， 上单调递增，且 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，求 、 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在 ， 上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考点一：齐次化模型
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
（二次隐型齐次化）
或者
这种类型题，分子分母同除以 （一次显型）或者 （二次隐型），构造成 的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
例1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．0 B．4 C． D．0或4
例3．（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
例4．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知角 的终边落在直线 上，则
的值为（ ）
A． B． C．±2 D．
考点二：辅助角与最值问题
第一类：一次辅助角: = ．（其中 ）
第二类：二次辅助角
例5．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设 ， ，且 ，则
.
例6．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知函数 ，当 取得最大值时，
.
例7．（2023·上海青浦·高三校考期中）已知关于 的方程 在实数范围内有
解，则 的最小值为 .
例8．（2023·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）函数 的值域为 ．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 则 的最小值为 .
考点三：整体代换与二次函数模型
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是 ，
与 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是 与 之间的关系，第
三类则是 与 之间的关系.
例10．（2023·河南·高三校联考阶段练习）函数 的最小值是（ ）A． B． C． D．
例11．（2023·河南许昌·高一校联考阶段练习）若函数 在 上的最小值为
，则 在 上的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
例12．（2023·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数 的最大值
为4，则正实数 的值为（ ）
A． B．2 C． 或2 D．2或
例13．（2023·北京·高三强基计划）在 中， 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
例14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）函数 的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4
考点四：绝对值与三角函数综合模型
关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分
沿着 轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为
的函数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对
称至左边，故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
，例15．（2023·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知函数 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． D． 在 上有解
例16．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知 ，
给出下述四个结论:
① 是偶函数; ② 在 上为减函数;
③ 在 上为增函数; ④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
例17．（2023·福建·一模）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；② 在区间 上是增函数；③ 的最大值为2；④ 的周期为 ．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
例18．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上单调；
③函数 的最大值为M，最小值为m，则 ；
④若 ，则函数 在 上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
例19．（2023·高一课时练习）关于函数 ，其中 有下述四个结论：
① 是偶函数； ② 在区间 上是严格增函数；
③ 在 有3个零点； ④ 的最小正周期为 ．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③考点五：w的取值与范围问题
1、 在 区间 内没有零点
同理， 在区间 内没有零点
在区间 内有 个零点
2、
在区间 内有 个零点
同理
3、 在区间 内有 个零点同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，则
．
5、已知单调区间 ，则 .
例20．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数 在 上存在最值，且在
上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）已知 ，记 （
）．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
例22．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 在 上存在最值，
且在 上单调，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
例23．（2023·北京·高三清华附中校考开学考试）已知函数 在 上恰有4个
不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例24．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）已知 在 上的最小值为 ，则 的
解有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
例25．（2023·全国·校联考一模）已知函数 在区间 上恰有3个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例26．（2023·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再将横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象.若 在 上的最大值为 ，则 的
取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例27．（2023·辽宁·高三校联考期末）设函数 ，若对于任意实数 ，函数
在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点六：三角函数的综合性质
例28．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知函数 则下
列说法正确的是（ ）A． 的值域是[0，1] B． 是以 为最小正周期的周期函数
C． 在区间 上单调递增 D． 的对称轴方程为 )
例29．（多选题）（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星
导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年
7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，
其中某语言通讯的传递可以用函数 近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 图象的一条对称轴是
D．若 ， ，则 的最小值为
例30．（多选题）（2023·河南开封·统考一模）函数 的图象向左平移 个单位长
度后与原图象关于 轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． 的一个周期是
C． 是偶函数 D． 在 上单调递减
例31．（多选题）（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）设函数 的定义域为 ，
为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上为增函数
C．点 是函数 的一个对称中心 D．方程 仅有5个实数解
例32．（多选题）（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数
，若函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）A． 的最大值为3
B． 的图象关于点 对称
C．直线 是曲线 的一条切线
D．若关于x的方程 在区间 上有2023个零点，则 的最小值为
