文档内容
专题 08 活用三角函数的图象与性质
【目录】
......................................................................................................................................1
........................................................................................................................................2
......................................................................................................................................3
......................................................................................................................................5
....................................................................................................................................17
考点一：齐次化模型....................................................................................................................................17
考点二：辅助角与最值问题.........................................................................................................................18
考点三：整体代换与二次函数模型..............................................................................................................21
考点四：绝对值与三角函数综合模型..........................................................................................................23
考点五：w的取值与范围问题.....................................................................................................................28
考点六：三角函数的综合性质.....................................................................................................................37
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式
考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式
考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，
如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解
三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．考点要求 考题统计 考情分析
2023年甲卷第7题，5分 【命题预测】
同角三角函数基本关系式 2023年乙卷第14题，5分 2024年高考将重点考查：①同角三
2021年I卷第6题，5分 角函数基本关系及诱导公式，同时
要注意三角函数定义的复习，题型
2023年II卷第7题，5分
仍为选择题或填空题，难度为基础
2023年I卷第8题，5分
题或中档题．②三角恒等变换，同
三角恒等变换 2022年II卷第6题，5分
时要注意公式的变形及应用，以及
2022年浙江卷第13题，6分
最值问题，题型仍为选择题或填空
2021年甲卷第9题，5分
题，难度为基础题或中档题．③三
2023年天津卷第5题，5分
角函数的图像与性质及三角函数变
2023年甲卷第10题，5分
换，特别是这些知识点的组合考查
三角函数的图像与性质 2023年乙卷第6题，5分
是考查的热点，题型仍为选择题或
2023年I卷第15题，5分 填空题，难度可以为基础题或中档
2023年II卷第16题，5分 题，也可以是压轴题．1、三角函数图象的变换
（1）将 的图象变换为 的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 作的变换；
（3）伸缩变换
①沿 轴伸缩时，横坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（纵坐标 不变）；
②沿 轴伸缩时，纵坐标 伸长 或缩短 为原来的 （倍）（横坐标 不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 ；
的单调递增区间是 ．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合 ， ，
， 的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为 的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于 或 的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
若 为奇函数，则有 ．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 个周期列不等式（组）求解.
1．（2023•甲卷）“ ”是“ ”的
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】
【解析】 ，可知 ，可得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选： ．
2．（2023•新高考Ⅱ）已知 为锐角， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，则 ，
故 ，即 ，
为锐角，
，
．
故选： ．
3．（2023•新高考Ⅰ）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
4．（2022•新高考Ⅱ）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解法一：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
解法二：由题意可得， ，
即 ，
所以 ，
故 ．
故选： ．
5．（2023•天津）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可能为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ：若 ，则 ，
令 ， ，则 ， ，显然 不是对称轴，不符合题意；
：若 ，则 ，
令 ， ，则 ， ，
故 是一条对称轴， 符合题意；
，则 ，不符合题意；
，则 ，不符合题意．
故选： ．
6．（2023•甲卷）已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则 与
的交点个数为A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】把函数 向
左平移 个单位可得
函数 的图象，
而直线 经过点 ，且斜率为 ，
且直线还经过点 ， 、
， ，
，
，如图，
故 与 的交点个数为3．
故选： ．
7．（2023•乙卷）已知函数 在区间 ， 单调递增，直线 和 为函数
的图像的两条对称轴，则
A． B． C． D．【答案】
【解析】根据题意可知 ，
，取 ， ，
又根据“五点法“可得 ， ，
， ，
，
．
故选： ．
8．（2022•浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】
【解析】把 图象上所有的点向右平移 个单位可得 的图象．
故选： ．
9．（2021•浙江）已知 ， ， 是互不相同的锐角，则在 ， ， 三个值中
大于 的个数的最大值是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【 解 析 】 由 基 本 不 等 式 可 得 ： ， ，
，
三式相加，可得： ，
很明显 ， ， 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
则三式中大于 的个数的最大值为2，
故选： ．
10．（2021•北京）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】
【解析】因为 ，
因为 ，
故函数 为偶函数，
令 ，则 ， ，
故 是开口向下的二次函数，
所以当 时， 取得最大值 ，
故函数的最大值为 ．
综上所述，函数 是偶函数，有最大值 ．
故选： ．
11．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的图像关于点 ， 中心对称，
则
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 ， 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】
【解析】因为 的图象关于点 ， 对称，所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，
令 ，解得 ，
故 在 单调递减， 正确；
， ， ， ，
根据函数的单调性，故函数 在区间 ， 只有一个极值点，故 错误；
令 ， ，得 ， ， 显然错误；
，
求导可得， ，
令 ，即 ，解得 或 ，
故函数 在点 处的切线斜率为 ，
故切线方程为 ，即 ，故 正确．
直线 显然与 相切，故直线 显然是曲线的切线，故 正确．
故选： ．
12．（2023•乙卷）若 ， ，则 ．
【答案】 ．
【解析】 ， ，令 ， ，设 终边上一点的坐标 ，
则 ，
则 ．
故答案为： ．
13．（2022•浙江）若 ， ，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】 ， ，
，
，
，
，
解得 ， ，
．
故答案为： ； ．
14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 ，如图， ， 是直线 与曲线 的两个交
点，若 ，则 ．
【答案】 ．
【解析】由题意：设 ， ， ， ，
由 的图象可知：，故 ，
，则 ，
两式相减得： ，
由图可知： ，即 ，解得 ，
，
， ，
又 ， ， ，
即 ， ， ，
当 时， 满足条件，
．
故答案为： ．
15．（2022•乙卷）记函数 ， 的最小正周期为 ．若 ，
为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】函数 ， 的最小正周期为 ，
若 ， ，则 ，
所以 ．
因为 为 的零点，所以 ，
故 ， ，所以 ， ，
因为 ，则 的最小值为3．
故答案为：3．16 ． （ 2021• 甲 卷 ） 已 知 函 数 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件
的最小正整数 为 2 ．
【答案】2．
【解析】由图像可得 ，即周期为 ，
， ，
，
观察图像可知当 ，
， ，
，且 ，
时最小，且满足题意，
故答案为：2．
17．（2021•北京）若点 关于 轴的对称点为 ， ，则 的一个取值为
．
【答案】 （答案不唯一）．
【解析】因为 与 ， 关于 轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，
即 且 ，
由诱导公式 ， ，
所以 ， ，解得 ， ，
则符合题意的 值可以为 ．故答案为： （答案不唯一）．
18．（2021•甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则 ．
【答案】
【解析】由图可知， 的最小正周期 ，
所以 ，因为 ，
所以由五点作图法可得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
19．（2021•上海）已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】在单位圆中分析，由题意可得 的终边要落在图中阴影部分区域（其中 ，
所以 ，
因为对任意 都成立，
所以 ，即 ， ，
同时 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．20．（2023•北京）已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 在 ， 上单调递增，且 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，求 、 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在 ， 上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ）因为函数 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
（Ⅱ）若选①： ；
因为 ，
所以 在 和 时取得最大值1，这与 在 ， 上单调递增矛盾，所以 、 的值不存在．
若选②： ；
因为 在 ， 上单调递增，且 ，
所以 在 时取得最小值 ， 时取得最大值1，
所以 的最小正周期为 ，计算 ，
又因为 ，所以 ， ，
解得 ， ；
又因为 ，所以 ；
若选③： 在 ， 上单调递减，因为 在 ， 上单调递增，且 ，
所以 在 时取得最小值 ， 时取得最大值1，
所以 的最小正周期为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
解得 ， ；
又因为 ，所以 ．
考点一：齐次化模型
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
（二次隐型齐次化）
或者这种类型题，分子分母同除以 （一次显型）或者 （二次隐型），构造成 的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
例1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则
.
故选：C.
例2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．0 B．4 C． D．0或4
【答案】D
【解析】由 ，
可得 ，
整理得 或 .
故选：D.
例3．（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .
故选：B
例4．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知角 的终边落在直线 上，则
的值为（ ）A． B． C．±2 D．
【答案】B
【解析】角 的终边落在直线 上，所以 ，
.
故选：B.
考点二：辅助角与最值问题
第一类：一次辅助角: = ．（其中 ）
第二类：二次辅助角
例5．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设 ， ，且 ，则
.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，即
又 ， ，所以 ，则可得 ，则 故 .
故答案为： .
例6．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知函数 ，当 取得最大值时，
.
【答案】 /
【解析】由函数 ，其中 ，
当 取得最大值，则 ，解得 ，
此时 .
故答案为： .
例7．（2023·上海青浦·高三校考期中）已知关于 的方程 在实数范围内有
解，则 的最小值为 .
【答案】9
【解析】由题意得 ，解得 ，
故可设 ， ，其中 ，
则原方程化为 ，
即 ，其中 ，（ 不可能同时取0），
显然 ， ，则 ，
则 ，因为 ， ，
所以 ，此时 ， ， ，
， ，即 ， ，
， .所以 ，即它的最小值为9，
故答案为：9.
例8．（2023·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】设 ，
因为 ，则 ，
可知 ，
可得函数 ，
则 对任意 恒成立，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以该函数的值域为 .
故答案为： .
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由于 ， 令 ，
则 .
故则 的最小值为： .
故答案为： .
考点三：整体代换与二次函数模型
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是 ，与 之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是 与 之间的关系，第
三类则是 与 之间的关系.
例10．（2023·河南·高三校联考阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，函数 ，
令 ，则 ，当 ，即 时， ，
所以函数 的最小值是 .
故选：D
例11．（2023·河南许昌·高一校联考阶段练习）若函数 在 上的最小值为
，则 在 上的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】利用同角三角函数平方关系可得 ，由 可得 ，
利用二次函数的性质即可得解.由题意 ，
由 可得 ，
当 即 时， 取得最小值 ，
，
当 即 时， 取得最大值 .
故选：D.
例12．（2023·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数 的最大值为4，则正实数 的值为（ ）
A． B．2 C． 或2 D．2或
【答案】B
【解析】
.
令 ，则 ， ，
开口向下，对称轴为 ，
当 时，则 ，无解.
当 时，则 .
综上所述， 的值为 .
故选：B
例13．（2023·北京·高三强基计划）在 中， 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据题意，令所求代数式为M，则
，
等号当 ，且 ，即 时取得．
因此所求代数式的最大值为2．
故选：C
例14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）函数 的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4【答案】C
【解析】根据题意，设 ，
则 ，
则原函数可化为 ， ，
所以当 时，函数取最大值 .
故选：C.
考点四：绝对值与三角函数综合模型
关于 和 ，如图， 将 图像中 轴上方部分保留， 轴下方部分
沿着 轴翻上去后得到，故 是最小正周期为 的函数，同理 是最小正周期为
的函数； 是将 图像中 轴右边的部分留下，左边的删除，再将 轴右边图像作对
称至左边，故 不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
例15．（2023·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知函数 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的最小值为
C． D． 在 上有解
【答案】D
【解析】 ，是以 为周期的函数，
当 时， ，
则 ，
，
∴函数 的最小正周期为 ，函数 的最小值为1，故AB错误，
由 ，故C错误；
由 ，∴ 在 上有解，故D正确.
故选：D.
例16．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知 ，
给出下述四个结论:
① 是偶函数; ② 在 上为减函数;
③ 在 上为增函数; ④ 的最大值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得 的定义域为 ，关于原点对称，
因为
，所以 是偶函数，故正确；
对于②和③，因为 ，
，
且 ，所以 在 不是减函数，在 也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当 时，，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以 ；
当 时， ；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以，综上所述，当 时， 的最大值为 ，由于 为偶函数，所以当 时， 的最大值
也为 ，故 的最大值为 ，故④正确；
故选：D
例17．（2023·福建·一模）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；② 在区间 上是增函数；③ 的最大值为2；④ 的周期为 ．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】对①，根据偶函数的定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函
数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项.对①， 函数的定义域为 关于原点对称，且
， 为偶函数，故①正确；
对②，当 时， ，则 ， 在 不恒成立，
在区间 上是增函数错误，故②错误；对③，若 的最大值为2，则 ，显然不可能同时取到，故③错误；
利用排除法，可选排除选项ACD.
故选：B.
例18．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 上单调；
③函数 的最大值为M，最小值为m，则 ；
④若 ，则函数 在 上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】由 ，可知 为偶函数，①对.
由 ，得 关于 对称；
由 ，得 的周期为 ；当 时，
其中 且 ；作出 在 上的图象，并根据 的对称性及周期性作出
的大致图象.
由图可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 上不单调，②错；
的最大值 ，最小值 ，故 ，③错；
若 ，则 在 上有4个零点，④对，
故选：A.
例19．（2023·高一课时练习）关于函数 ，其中 有下述四个结论：
① 是偶函数； ② 在区间 上是严格增函数；
③ 在 有3个零点； ④ 的最小正周期为 ．
其中所有正确结论的编号是（ ）．A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【解析】 的定义域为 ，
，所以 是偶函数，①正确.
当 时， 是严格增函数，②正确.
当 时， ，
所以 在 有无数个零点，则③错误.
，
所以 不是 的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
考点五：w的取值与范围问题
1、 在 区间 内没有零点
同理， 在区间 内没有零点
在区间 内有 个零点
2、在区间 内有 个零点
同理
3、 在区间 内有 个零点
同理 在区间 内有 个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 ，则
．
5、已知单调区间 ，则 .
例20．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数 在 上存在最值，且在
上单调，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，因为 ，则 ，
因为函数 在 上存在最值，
则 ，解得 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调，
则 ，
所以 其中 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，则 ．
所以 ， ．
因此 的取值范围是 ．
故选：D．
例21．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）已知 ，记 （
）．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 ，函数 的单调递减区间为 ，
则 或 ，
由 ，解得 ，
而 ，故需满足 ，即 ，此时 不存在；
由 ，解得 ，
则需满足 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
故选：C
例22．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 在 上存在最值，
且在 上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
当 时，因为 ，则 ，
因为函数 在 上存在最值，
则 ，解得 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调，则 ，
所以 其中 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
又因为 2，因此 的取值范围是 ．
故选：B．
例23．（2023·北京·高三清华附中校考开学考试）已知函数 在 上恰有4个
不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 上恰有4个不同的零点，
则方程 在 上恰有4个不同的解，
即方程 在 上恰有4个不同的解，
所以函数 与函数 在 上恰有4个不同的交点，
因为函数 ，且 在 上单调递减，
所以函数函数 在 上单调递减，且 ， ，
函数 是由 函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，
作出两个函数图象，如图：要使函数 与函数 在 上恰有4个不同的交点，
由图知： 的周期 满足 ，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：B
例24．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）已知 在 上的最小值为 ，则 的
解有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当 时， ，而 ，显然不满足题意；
当 时，因为 ，所以 ，
要使 在 上的最小值为 ，则有 ，所以 ，
此时 在 处取得最小值 ，即 ，
令 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
又 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减，
又因为 ，
由函数零点存在性定理可知，此时函数 有唯一的零点，也即当 ，函数 在 上的最小值为 时，则 的解只有一个；
当 时，因为 ，所以 ，
要使 在 上的最小值为 ，则有 ，解得 ，
当 时，则 ，结合余弦函数的图象可知，
函数 在 上的最小值为 ，解得 ，满足题意；
当 时，则 ，此时 在 处取得最小值 ，即
，
从而将问题转化为 与 的图像有多少个交点，
因为 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
则 与 的大致图像如下，
所以 与 的图像有唯一交点，
即当 ，函数 在 上的最小值为 时，则 的解只有一个；
综上可知， 的解有3个，
故选：C.
例25．（2023·全国·校联考一模）已知函数 在区间 上恰有3个零点，则
的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，其中 ，解得： ，
则 ，要想保证函数在 恰有三个零点，
满足① ， ，令 ，解得： ；
或要满足② ， ，令 ，解得： ；
经检验，满足题意，其他情况均不满足 条件，
综上： 的取值范围是 .
故选：C.
例26．（2023·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度，
再将横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象.若 在 上的最大值为 ，则 的
取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象．
再将横坐标缩短为原来的 得到函数 的图象，
由 上，得 ，
当 ，即 时，则 ，求得 ，
当 ，即 时，由题意可得 ，作出函数 与 的图象如图：
由图可知，此时函数 与 的图象在 上有唯一交点，
则 有唯一解，
综上， 的取值个数为2．
故选：B．
例27．（2023·辽宁·高三校联考期末）设函数 ，若对于任意实数 ，函数
在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 为任意实数，故函数 的图象可以任意平移，从而研究函数 在区间 上的零点
问题，即研究函数 在任意一个长度为 的区间上的零点问题，
令 ，得 ，则它在 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为 ， ， ， ，
， ，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为 ， ， ， ， ，
故相邻四个零点之间的最大距离为 ，相邻五个零点之间的距离为 ，
所以要使函数 在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离
不大于 ，相邻五个零点之间的距离大于 ，即 ，解得 .
故选：C
考点六：三角函数的综合性质
例28．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知函数 则下
列说法正确的是（ ）
A． 的值域是[0，1] B． 是以 为最小正周期的周期函数
C． 在区间 上单调递增 D． 的对称轴方程为 )
【答案】AD
【解析】显然 ，画出函数 在 的图象，如图所示：
A. 根据图像可知， 的值域是 ，正确；
B. 是以 为最小正周期的周期函数，错误；
C. 在区间 上有增有减，错误；
D. 由图可知 的对称轴方程为 )，正确；
故选：AD.
例29．（多选题）（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星
导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年
7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，
其中某语言通讯的传递可以用函数 近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）A．函数 的最小正周期为
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 图象的一条对称轴是
D．若 ， ，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 的最小正周期为 ，
而 向右平移 单位可得 ，
故函数 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B，在 的图象上取一点 ，
其关于点 对称的点 不在 的图象上，
所以函数 的图象不关于点 对称，故B不正确；
对于C，因为 ，
所以函数 图象的一条对称轴是 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
因为由A知，函数 的最小正周期为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
例30．（多选题）（2023·河南开封·统考一模）函数 的图象向左平移 个单位长
度后与原图象关于 轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． 的一个周期是
C． 是偶函数 D． 在 上单调递减
【答案】ABD【解析】函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，
由题意可得 ，即 ，
故 ，故 ，由于 ，故 ,
故 ，
对于A， ，A正确；
对于B， ，
即 的一个周期是 ，B正确；
对于C， ，
不妨取 ，此时 ，此时函数不是偶函数，
即 不是偶函数，C错误；
对于D，当 时， ， ，
由于 在 上单调递减，故 在 上单调递减，D正确，
故选：ABD
例31．（多选题）（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）设函数 的定义域为 ，
为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上为增函数
C．点 是函数 的一个对称中心D．方程 仅有5个实数解
【答案】BC
【解析】函数 的定义域为 ，由 为奇函数，得 ，即 ，
由 为偶函数，得 ，即 ，则 ，即 ，于是 ，函数 是周期为 的周期函数，
对于A，当 时， ， ，A错误；
对于B， 在 上单调递增，由 ，知 图象关于点 对称，
则 在 上单调递增，即函数 在 上单调递增，因此 在 上单调递增，B正
确；
对于C，由 及 ，得 ，即 ，
因此函数 图象关于点 对称，C正确；
对于D，当 时， ，由函数 图象关于点 对称，
知当 时， ，则当 时， ，
由 ，知函数 图象关于直线 对称，则当 时， ，
于是当 时， ，而函数 的周期是 ，因此函数 在R上的值域为 ，
方程 ，即 ，因此 的根即为函数 与 图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数 与 的部分图象，如图，
观图知， 与 图象在 上有且只有3个公共点，而当 时， ，即函
数 与 图象在 无公共点，所以方程 仅有3个实数解，D错误.
故选：BC
例32．（多选题）（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数
，若函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）A． 的最大值为3
B． 的图象关于点 对称
C．直线 是曲线 的一条切线
D．若关于x的方程 在区间 上有2023个零点，则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】由题意可知 的最大值为1，最小值为 ，
所以有 解得 ，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以函数的解析式为 ，即 的最大值为1，故A项错误；
令 ，解得 ，所以当 时， 的图象关于点 对称，故
B项正确；
设切点为 ，
由 ，可得 ，
切线方程为 ，
所以可得 ，所以 ，满足题意；
此时切点为 ，切线为 ，故C项正确；令 ，得 ，此时 或 ，
由函数 周期为 ，且一个周期内有两个零点，
所以可得 ，故D项正确．
故选：BCD．
