文档内容
专题 06 函数与导数常见经典压轴小题归类
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................6
............................................................................................................................................12
考点一：函数零点问题之分段分析法模型............................................................................................................12
考点二：函数嵌套问题..........................................................................................................................................14
考点三：函数整数解问题......................................................................................................................................17
考点四：唯一零点求值问题..................................................................................................................................20
考点五：等高线问题..............................................................................................................................................22
考点六：分段函数零点问题..................................................................................................................................25
考点七：函数对称问题..........................................................................................................................................29
考点八：零点嵌套问题..........................................................................................................................................31
考点九：函数零点问题之三变量问题...................................................................................................................34
考点十：倍值函数.................................................................................................................................................36
考点十一：函数不动点问题..................................................................................................................................38
考点十二：函数的旋转问题..................................................................................................................................40
考点十三：构造函数解不等式..............................................................................................................................42
考点十四：导数中的距离问题..............................................................................................................................45
考点十五：导数的同构思想..................................................................................................................................49
考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法.................................................................................51
考点十七：三次函数问题......................................................................................................................................54
考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题.........................................................................................56
考点十九：任意存在性问题..................................................................................................................................62考点二十：双参数最值问题..................................................................................................................................65
考点二十一：切线斜率与割线斜率.......................................................................................................................67
考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）......................................................................69
考点二十三：两边夹问题和零点相同问题............................................................................................................72
考点二十四：函数的伸缩变换问题.......................................................................................................................74
考点二十五：V型函数和平底函数........................................................................................................................76
考点二十六：曼哈顿距离与折线距离...................................................................................................................78
有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函
数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实
际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.
考点要求 考题统计 考情分析
2023年II卷第11题，5分 【命题预测】
零点 2022年I卷第10题，5分 预测2024年高考，多以小题形式出现，
2021年I卷第7题，5分 也有可能会将其渗透在解答题的表达之
中，相对独立．具体估计为：
（1）导数的计算和几何意义是高考命题
不等式 2021年II卷第16题，5分
的热点，多以选择题、填空题形式考
查，难度较小．
（2）应用导数研究函数的单调性、极
2022年 I卷第10题，5分 值、最值多在选择题、填空题靠后的位
三次函数
2021年 乙卷第12题，5分 置考查，难度中等偏上，属综合性问
题．1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在
分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否
满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，
其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对 进行分类讨论
将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点
解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对
称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的
判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，
明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象
来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原
函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具 体 来 说 ， 对 于 三 次 函 数 ， 其 导 函 数 为
，根的判别式 ．
判别式
图象
增区间：
增区间：
单调性 ， ； 增区间：
减区间：
图象
（1）当 时， 恒成立，三次函数 在 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；
（2）当 时， 有两根 ， ，不妨设 ，则 ，可得三次函数 在
， 上为增函数，在 上为减函数，则 ， 分别为三次函数
的两个不相等的极值点，那么：
① 若 ，则 有且只有 个零点；
② 若 ，则 有 个零点；
③ 若 ，则 有 个零点．
特别地，若三次函数 存在极值点 ，且 ，则 地解析式
为 ．
同理，对于三次函数 ，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数 的导函数 为二次函数，其图象
变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点 ，
此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店
处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要
设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用
函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数
形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定
区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 ．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明 ．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，
在每个单调区间内取值证明 ．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件
构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合
题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
1．（2021•新高考Ⅰ）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
A． B． C． D．
2．（2021•乙卷）设 ，若 为函数 的极大值点，则
A． B． C． D．
3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数 既有极大值也有极小值，则
A． B． C． D．
4．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数 ，则
A． 有两个极值点
B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
5．（2022•新高考Ⅰ）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 ，
， ．
6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数 ， ， ，函数 的图象在点 ， 和点
， 的两条切线互相垂直，且分别交 轴于 ， 两点，则 的取值范围是 ．
7．（2023•乙卷）设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ．
8．（2022•乙卷）已知 和 分别是函数 且 的极小值点和极大值点．若
，则 的取值范围是 ．
9．（2022•新高考Ⅱ）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
10．（2022•上海）已知函数 为定义域为 的奇函数，其图像关于 对称，且当 ， 时，
，若将方程 的正实数根从小到大依次记为 ， ， ， ， ，则．
考点一：函数零点问题之分段分析法模型
例1．（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数 至少存在一个零点，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （其中 为自然对数的底数）至少
存在一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数 的图象上存在三个不同点，且这三个
点关于原点的对称点在函数 的图象上，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
考点二：函数嵌套问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设关于 的方程
有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为
A． B． 或 C． 或 D． 或 或例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设关于 的方程
有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为（ ）
A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设关于 的方程
有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为（ ）
A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6
考点三：函数整数解问题
例7．（2023·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）若函数 没有零点，则整数
的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中校考）关于 的不等式 的解集中有且仅有两个大于
2的整数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 有且仅有两个正整数解（其中
为自然对数的底数），则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四：唯一零点求值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有唯一零点，则负实数A． B． C． D． 或
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
例12．（2023春·辽宁·高三校联考期末）已知函数 ， 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且
，若函数 有唯一零点，则实数 的值为（ ）
A． 或 B．1或 C． 或 D． 或1
例13．（2023春·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数
有唯一零点，则 （ ）
A． B． C． D．1
考点五：等高线问题
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 的图象关于 对称，当
时， ，若方程 有四个不等实根 ， ， ， 时，都有
成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （其中 是自然对数的底
数），若关于 的方程 恰有三个不等实根 ，且 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
例16．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数 ， （其中
e是自然对数的底数），若关于x的方程 恰有三个不同的零点 ，且 ，
则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
考点六：分段函数零点问题
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在
内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 若函数
恰有2个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的零点
个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点七：函数对称问题
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ， 为自然对数的底数）与
的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－ （x<0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例22．（2023·广西钦州·高一校考阶段练习）若直角坐标平面内的两点 、 满足条件：① 、 都在函
数 的图象上；② 、 关于原点对称，则称点对 是函数 的一对“友好点对”（点
对 与 看作同一对“友好点对”）．已知函数 ，则此函数的“友好点
对”有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
考点八：零点嵌套问题
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有三个不同的零点 .其
中 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 有三个不同的零点 （其中
），则 的值为
A． B． C． D．
例25．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数 有三个不同的零点 ，
， ，且 ，则 的值为（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
考点九：函数零点问题之三变量问题
例26．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知函数 ，若函数
有三个不同的零点 ，且 ，则 的取值范围为A．(0，1] B．(0，1) C．(1，+∞) D．[1，+∞)
例27．（2023·新疆阿克苏·高三新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学校考阶段练习）若存在两个不相等
正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex)·(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．(-∞,0)
例28．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数 、 ，使得等式 成立，
其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
考点十：倍值函数
例29．（2023春·浙江衢州·高二校联考期中）设函数 的定义域为 ，若存在闭区间 ，使得函
数 满足：① 在 上是单调函数；② 在 上的值域是 ，则称区间 是函数
的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）
A．函数 存在“和谐区间”
B．函数 不存在“和谐区间”
C．函数 存在“和谐区间”
D．函数 （ 且 ）不存在“和谐区间”
例30．（2023·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）设函数 的定义域为 ，若存在闭区间
，使得 函数满足：（1） 在 上是单调函数；（2） 在 上的值域是 ，则称
区间 是函数 的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数 存在“和谐区间”
B．函数 不存在“和谐区间”
C．函数 存在“和谐区间”
D．函数 （ ， ）不存在“和谐区间”考点十一：函数不动点问题
例31．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （ 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
例32．（2023·全国·高二专题练习）设函数 （ ）， 为自然对数的底数，若曲线
上存在点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例33．（2023·江西南昌·高三专题练习）设函数 （ ， 为自然对数的底数），若曲
线 上存在 使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点十二：函数的旋转问题
例34．（2023·全国·高三专题练习）设 是含数1的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图
象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中 的取值只可能是
A． B．1 C． D．0
例35．（2023·上海杨浦·高三上海市控江中学校考阶段练习） 是定义在 上的函数，且 ，若
的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例36．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）设D是含有数1的有限实数集， 是定义在D
上的函数，若 的图象绕原点逆时针旋转90°与原图象重合，则 的值一定不可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1考点十三：构造函数解不等式
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 的奇函数，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例38．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足
为 的导函数，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
例39．（2023·湖北孝感·高三校联考阶段练习）对于问题“求证方程 只有一个解”，可采用如
下方法进行证明“将方程 化为 ，设 ，因为 在 上单
调递减，且 ，所以原方程只有一个解 ”.类比上述解题思路，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例40．（2023·全国·高三专题练习） 是定义在 上的函数，满足 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值
C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值
考点十四：导数中的距离问题
例41．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的正实数
t， 在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
例42．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的正实数 ，函数 在 上都是增
函数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆
上任意一点，则线段 的长度的最小值为
A． B． C． D．
例45．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）直线 分别与函数 ，
交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
考点十五：导数的同构思想
例46．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 在 上恒成立，
则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例47．（2023·上海·高三专题练习）若关于x的不等式 对 恒成立，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．例48．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 对 恒成立，则实数a的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
例49．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，对于 恒成立，则
满足题意的a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
例50．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 对任意的 ， 恒
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例51．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若存在 ，使得对于任意 ，不
等式 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点十七：三次函数问题
例52．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若 ，则
的值为（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
例53．（2023秋·北京·高三校考阶段练习）如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应
的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三
次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为 （坡度即坡面与水平面所成角的正
切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（ ）A．20m B．30m C．45m D．60m
例54．（2023·全国·高三专题练习）一般地，对于一元三次函数 ，若 ，则 为三
次函数 的对称中心，已知函数 图象的对称中心的横坐标为 （ ），且 有
三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题
例55．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数 ．则下列四个说法
中正确的个数为（ ）
①曲线 上存在三条互相平行的切线；
②函数 有唯一极值点；
③函数 有两个零点；
④过坐标原点O可作曲线 的切线．
A．4 B．3 C．2 D．1
例56．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知过点 不可能作曲线 的切线．对于满足上述
条件的任意的b，函数 恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例57．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数 的图像上存在两个不同的点
，使得在这两点处的切线重合，则称 为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的
为（ ）
A． B．
C． D．
例58．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知函数 ，其导函数为 ，设 ，下列四个说法：
① ；
②当 时， ；
③任意 ，都有 ；
④若曲线 上存在不同两点 ， ，且在点 ， 处的切线斜率均为 ，则实数 的取值范围为 .
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
例59．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数
的值是（ ）
A． B． C． D．
考点十九：任意存在性问题
例60．（2023·全国·高三专题练习）某同学对函数 进行研究后，得出以下结论，其中正确的
有（ ）个.
（1）函数 的图像关于y轴对称； （2）对定义域中的任意实数 的值，恒有 成立；（3）
函数 的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；（4）对任意常数 ，存在
常数 ，使函数 在 上单调递减，且 .
A．1 B．2 C．3 D．4
例61．（2023·全国·高三专题练习）对于任意 都有 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例62．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，若任意 ，不等式 均恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．例63．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数 （ ， ）在区间
上总存在零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点二十：双参数最值问题
例64．（2023·全国·高三专题练习）已知在函数 ， ，若对 ，
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例65．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， 满足 ，则 的值
为
A． B． C． D．
例66．（2023春·河南南阳·高二统考期中）已知e为自然对数的底数，a，b为实数，且不等式
对任意的 恒成立．则 的最大值为______．
考点二十一：切线斜率与割线斜率
例67．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，在函数 图象上任取两
点 ，若直线 的斜率的绝对值都不小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例68．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ，在函数 图
象上任取两点 ，若直线 的斜率的绝对值都不小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例69．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，在其图象上任取两个不同的点 、，总能使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例70．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）设函数 ，若对任意的实数a，b，总存在
使得 成立，则实数 的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
例71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的实数a，b，总存在
，使得 成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例72．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，当 时，记 的最大
值为 ，若 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．e B． C．0 D．
例73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时设 的最大值为
，则当 取到最小值时 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．
考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
例74．（2023·全国·高三专题练习）若存在正实数x，y使得不等式 成立，则
（ ）
A． B． C． D．
例75．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， 满足 ，则 的值为
A． B． C． D．
例76．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式 对任意实数 恒成立，则 （
）
A． B．0 C．1 D．2
考点二十四：函数的伸缩变换问题
例77．（2023春·四川·高一阶段练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
例78．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为 的函数 满足 ，
当 时， .若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
例79．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
考点二十五：V型函数和平底函数
例80．（浙江省衢州市2022-2023学年高二下学期数学试题）已知等差数列 满足：，则 的最大值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
例81．（浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列 满足，
，则 的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
例82．（上海市川沙中学2022-2023学年高一第二学期期末数学试题）等差数列 ，
满足 ，则（ ）
A． 的最大值为50 B． 的最小值为50
C． 的最大值为51 D． 的最小值为51
考点二十六：曼哈顿距离与折线距离
例83．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫
尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面
内，若 ， ，则 ， 两点的“曼哈顿距离”为 ，下列直角梯形中的虚线
可以作为 ， 两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A． B．
C． D．
例84．（2023·四川·高二树德中学校考阶段练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是
一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点 ， 的曼哈顿距离为
.若点 ，Q是圆 上任意一点，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
例85．（2023·高二课时练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定义如下：在直角坐标平面上任意两点 ， 的曼哈顿距离为： .在此定义下，已
知点 ，满足 的点M轨迹围成的图形面积为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
例86．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼 闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几
何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点 、 的曼哈顿距离为：
．若点 ，点 为圆 上一动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
