文档内容
2025版新教材高考数学第二轮复习
2.4 函数模型及应用
五年高考
考点 函数模型及应用
1.(2021全国甲,文6,理4,5分,易)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力
表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录
法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记
录 法 的 数 据 约 为 (1√010≈1.259)
( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
2.(2022北京,7,4分,中)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳
跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处
的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中
正确的是 ( )
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
3.(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分,中)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的
p
强弱,定义声压级L =20×lg ,其中常数p (p >0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不
p p 0 0
0
同声源的声压级:
与声源的距
声源 声压级/dB
离/m
燃油汽车 10 60~90
混合动力
10 50~60
汽车
电动汽车 10 40已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p ,p ,p ,则
1 2 3
( )
A.p ≥p B.p >10p
1 2 2 3
C.p =100p D.p ≤100p
3 0 1 2
三年模拟
练速度
1.(2024江苏南京、盐城一模,4)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布
拉赫等人的观测资料和星表,通过本人的观测和分析后,于1618年在《宇宙和谐论》中提
出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的
2π 3
长半轴长a与公转周期T有如下关系:T= · ,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知
a2
√GM
火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的 ( )
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
2.(2024重庆南开中学第七次质量检测,4)输血是救治外伤人员的重要手段,血液质量对提
高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓
度S(单位:μmol/gHb)随温度λ(单位:℃)、时间t(单位:天)及起始浓度S 变化的近似函数关
0
系式为S=S t1.08λe-1.30λ(e为自然对数的底数,e≈2.718 28).由此可知,当血液在20 ℃恒温条件
0
下,保存5天后的ATP浓度,大约相当于血液在4 ℃恒温条件下保存 天后的ATP
浓度.(参考数据:ln 5≈1.6) ( )
A.16 B.20 C.25 D.30
3.(2024安徽合肥第二次质检,5)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减
情况,这个时间被叫做半衰期,记为T(单位:天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质,其半
衰期分别为T ,T .开始记录时,这两种物质的质量相等,512天后测量发现乙的质量为甲的
1 2
1
质量的 ,则T ,T 满足的关系式为 ( )
4 1 2
512 512
A.-2+ =
T T
1 2
512 512
B.2+ =
T T
1 2512 512
C.-2+log =log
2 T 2 T
1 2
512 512
D.2+log =log
2 T 2 T
1 2
4.(2024广东韶关综合测试(二),5)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W(单位:平方
米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的
面积是10 000平方米,每平方米收费1元,则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位:
元)是 ( )
A.10 000 B.10 480 C.10 816 D.10 818
5.(2024安徽江南十校3月联考,5)酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全,交通法规定:
机动车驾驶人每100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg为酒后驾车,80 mg及以上为醉酒
驾车.若某机动车驾驶员饮酒后,其血液中酒精含量上升到了1.2 mg/mL.假设他停止饮酒
后,其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少,则到他能驾驶需要的时间至少为(精确到
0.001.参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) ( )
A.7.963小时 B.8.005小时
C.8.022小时 D.8.105小时
6. (2024广东一模,5)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力
值”都在前一天的基础上进步 2%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步
1%.那么,大约需要经过 天, 甲的“日能力值”是乙的20倍.(参考数据:lg 102≈2.008 6,
lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)
( )
A.23 B.100 C.150 D.232
7.(2024北京西城一模,10)德国心理学家艾·宾浩斯研究发现,人类大脑对事物的遗忘是有
规律的,他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化
的趋势可由函数 y=1-0.6t0.27近似描述,则记忆率为 50%时经过的时间约为(参考数
据:lg2≈0.30,lg 3≈0.48) ( )
A.2小时 B.0.8小时
C.0.5小时 D.0.2小时
8.(2024江苏、浙江部分学校大联考,5)要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的
体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C不再产生,且原来的14C
会自动衰变.经过5 730年,它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中
1
14C含量占原来的 ,推算该古物约是m年前的遗物(参考数据:(lg 2)-1≈3.321 9),则m的值为
5( )
A.12 302 B.13 304 C.23 004 D.24 034
9.(2024湖南衡阳二模,7)某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失 Φ(单位:W/
m)满足Φ=2π λ(t −t ),其中r ,r 分别为管道的内外半径(单位:mm),t ,t 分别为管道内外
1 2 1 2 1 2
lnr −lnr
2 1
表面的温度(单位:℃),λ为保温材料的导热系数(单位:W/(m·℃)).某工厂准备用这种管道传
输250 ℃的高温蒸汽,根据安全操作规定,管道外表面温度应控制为 50 ℃.已知管道内半
径为60 mm,当管道壁的厚度为75 mm时,Φ=150 W/m,则当管道壁的厚度为120 mm,Φ约
为 ( 参 考 数 据 :log 2=0.63)
3
( )
A.98 W/m B.111 W/m
C.118 W/m D.126 W/m
10.(2024陕西师大附中模考,4)某种生物群的数量Q与时间t的关系近似符合:Q(t)=10et
et+9
(其中e为自然对数的底数,e≈2.718 28…),给出下列四个结论,根据上述关系,其中错误的结
论是 ( )
A.该生物群的数量不超过10
B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小
C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比
D.该生物群的数量的增长速度最大的时间t ∈(2,3)
0
11.(多选)(2024安徽蚌埠第三次教学质量检查,10)科学研究表明,物体在空气中冷却的温
度变化是有规律的.如果物体的初始温度为 θ ℃,空气温度θ ℃保持不变,则t分钟后物
1 0
体的温度 θ(单位:℃)满足:θ=θ +(θ -θ )·e-0.05t.若空气温度为 10 ℃,该物体温度从 θ
0 1 0 1
℃(90≤θ ≤100)下降到30 ℃,大约所需的时间为t ,若该物体温度从70 ℃,50 ℃下降到30
1 1
℃,大约所需的时间分别为t ,t ,则(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1) ( )
2 3
A.t =20 B.28≤t ≤30
2 1
C.t ≥2t D.t -t ≤6
1 3 1 2
12.(多选)(2024重庆八中等多校适应性考试,10)吸光度是指物体在一定波长范围内透过光
子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在
实际应用中,通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为1
T= ,下表为不同玻璃材料的透光率:
10A
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.6 0.7 0.8
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A 、A 、A ,则( )
1 2 3
A.A >2A B.A +A >A
1 2 2 3 1
C.A +A >2A D.A A <
1 3 2 1 3 A2
2
2.4 函数模型及应用
五年高考
考点 函数模型及应用
1.(2021全国甲,文6,理4,5分,易)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力
表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录
法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记
录 法 的 数 据 约 为 (1√010≈1.259)
( C )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
2.(2022北京,7,4分,中)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳
跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处
的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中
正确的是 ( D )A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
3.(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分,中)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的
p
强弱,定义声压级L =20×lg ,其中常数p (p >0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不
p p 0 0
0
同声源的声压级:
与声源的距
声源 声压级/dB
离/m
燃油汽车 10 60~90
混合动力
10 50~60
汽车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p ,p ,p ,则
1 2 3
( ACD )
A.p ≥p B.p >10p
1 2 2 3
C.p =100p D.p ≤100p
3 0 1 2三年模拟
练速度
1.(2024江苏南京、盐城一模,4)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布
拉赫等人的观测资料和星表,通过本人的观测和分析后,于1618年在《宇宙和谐论》中提
出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的
2π 3
长半轴长a与公转周期T有如下关系:T= · ,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知
a2
√GM
火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的 ( B )
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
2.(2024重庆南开中学第七次质量检测,4)输血是救治外伤人员的重要手段,血液质量对提
高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓
度S(单位:μmol/gHb)随温度λ(单位:℃)、时间t(单位:天)及起始浓度S 变化的近似函数关
0
系式为S=S t1.08λe-1.30λ(e为自然对数的底数,e≈2.718 28).由此可知,当血液在20 ℃恒温条件
0
下,保存5天后的ATP浓度,大约相当于血液在4 ℃恒温条件下保存 天后的ATP
浓度.(参考数据:ln 5≈1.6) ( C )
A.16 B.20 C.25 D.30
3.(2024安徽合肥第二次质检,5)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减
情况,这个时间被叫做半衰期,记为T(单位:天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质,其半
衰期分别为T ,T .开始记录时,这两种物质的质量相等,512天后测量发现乙的质量为甲的
1 2
1
质量的 ,则T ,T 满足的关系式为 ( B )
4 1 2
512 512
A.-2+ =
T T
1 2
512 512
B.2+ =
T T
1 2
512 512
C.-2+log =log
2 T 2 T
1 2
512 512
D.2+log =log
2 T 2 T
1 2
4.(2024广东韶关综合测试(二),5)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W(单位:平方
米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的
面积是10 000平方米,每平方米收费1元,则估算平整完这块场地所需的最少费用(单位:
元)是 ( C )A.10 000 B.10 480 C.10 816 D.10 818
5.(2024安徽江南十校3月联考,5)酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全,交通法规定:
机动车驾驶人每100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg为酒后驾车,80 mg及以上为醉酒
驾车.若某机动车驾驶员饮酒后,其血液中酒精含量上升到了1.2 mg/mL.假设他停止饮酒
后,其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少,则到他能驾驶需要的时间至少为(精确到
0.001.参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) ( C )
A.7.963小时 B.8.005小时
C.8.022小时 D.8.105小时
7. (2024广东一模,5)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力
值”都在前一天的基础上进步 2%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步
1%.那么,大约需要经过 天, 甲的“日能力值”是乙的20倍.(参考数据:lg 102≈2.008 6,
lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)
( B )
A.23 B.100 C.150 D.232
7.(2024北京西城一模,10)德国心理学家艾·宾浩斯研究发现,人类大脑对事物的遗忘是有
规律的,他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化
的趋势可由函数 y=1-0.6t0.27近似描述,则记忆率为 50%时经过的时间约为(参考数
据:lg2≈0.30,lg 3≈0.48) ( C )
A.2小时 B.0.8小时
C.0.5小时 D.0.2小时
8.(2024江苏、浙江部分学校大联考,5)要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的
体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C不再产生,且原来的14C
会自动衰变.经过5 730年,它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中
1
14C含量占原来的 ,推算该古物约是m年前的遗物(参考数据:(lg 2)-1≈3.321 9),则m的值为
5
( B )
A.12 302 B.13 304 C.23 004 D.24 034
9.(2024湖南衡阳二模,7)某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失 Φ(单位:W/
m)满足Φ=2π λ(t −t ),其中r ,r 分别为管道的内外半径(单位:mm),t ,t 分别为管道内外
1 2 1 2 1 2
lnr −lnr
2 1
表面的温度(单位:℃),λ为保温材料的导热系数(单位:W/(m·℃)).某工厂准备用这种管道传输250 ℃的高温蒸汽,根据安全操作规定,管道外表面温度应控制为 50 ℃.已知管道内半
径为60 mm,当管道壁的厚度为75 mm时,Φ=150 W/m,则当管道壁的厚度为120 mm,Φ约
为 ( 参 考 数 据 :log 2=0.63)
3
( B )
A.98 W/m B.111 W/m
C.118 W/m D.126 W/m
10.(2024陕西师大附中模考,4)某种生物群的数量Q与时间t的关系近似符合:Q(t)=10et
et+9
(其中e为自然对数的底数,e≈2.718 28…),给出下列四个结论,根据上述关系,其中错误的结
论是 ( C )
A.该生物群的数量不超过10
B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小
C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比
D.该生物群的数量的增长速度最大的时间t ∈(2,3)
0
11.(多选)(2024安徽蚌埠第三次教学质量检查,10)科学研究表明,物体在空气中冷却的温
度变化是有规律的.如果物体的初始温度为 θ ℃,空气温度θ ℃保持不变,则t分钟后物
1 0
体的温度 θ(单位:℃)满足:θ=θ +(θ -θ )·e-0.05t.若空气温度为 10 ℃,该物体温度从 θ
0 1 0 1
℃(90≤θ ≤100)下降到30 ℃,大约所需的时间为t ,若该物体温度从70 ℃,50 ℃下降到30
1 1
℃,大约所需的时间分别为t ,t ,则(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1) ( BC )
2 3
A.t =20 B.28≤t ≤30
2 1
C.t ≥2t D.t -t ≤6
1 3 1 2
12.(多选)(2024重庆八中等多校适应性考试,10)吸光度是指物体在一定波长范围内透过光
子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在
实际应用中,通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为
1
T= ,下表为不同玻璃材料的透光率:
10A
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.6 0.7 0.8
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A 、A 、A ,则( BCD )
1 2 3
A.A >2A B.A +A >A
1 2 2 3 1
C.A +A >2A D.A A <
1 3 2 1 3 A2
2
