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第26课时 圆的基本性质
1.(2024·湖南)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.135°
2.(2024·邯郸丛台区三模)如图,在☉O中,满足 ⏜ =2 ⏜ ,则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正
AB CD
确的是 ( )
A.AB>2CD B.AB<2CD
C.AB=2CD D.无法确定
3.(2024·通辽)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过
拱门所在圆的圆心,若AB=1 m,CD=2.5 m,则拱门所在圆的半径为 ( )
A.1.25 m B.1.3 m
C.1.4 m D.1.45 m
4.(2024·济宁)如图,分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边,延长线相交于点 E,F.若
∠E=54°41',∠F=43°19',则∠A的度数为 ( )
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A.42° B.41°20' C.41° D.40°20'
5.(2024·邯郸峰峰矿区二模)一次综合实践的主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性
纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的
上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点,利用刻度尺量得该纸条宽为3.5 cm,AB=3 cm,CD=4 cm.
请你帮忙计算纸杯的直径为 ( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
6.(2024·赤峰)如图,AD 是☉O 的直径,AB 是☉O 的弦,半径 OC⊥AB,连接 CD,交 OB 于点
E,∠BOC=42°,则∠OED的度数是 ( )
A.61° B.63° C.65° D.67°
7.(2024·沧州南皮县二模)如图,四边形ABCD内接于☉O,点E、F分别在AB和DC的延长线上,且
EF∥BC,若∠E=80°,则下列结论正确的是 ( )
A.∠F=110° B.∠D=100° C.∠BCD=110° D.∠A=80°
8.(2024·秦皇岛山海关区一模)综合实践课上,老师提出如下问题:在☉O中作了两个内接△ABC和
△ABD,经测量∠C=80°,求∠D.嘉嘉回答:∠D的度数是40°;淇淇回答:∠D的度数是80°.下列判断
正确的是( )
A.嘉嘉对 B.淇淇对
C.嘉嘉和淇淇合在一起才对 D.嘉嘉和淇淇合在一起也不对
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9.(2024·青海)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠A=50°,则∠C的度数是 .
10.(2024·连云港)如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的
一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
11.(2024·牡丹江)如图,在☉O中,直径AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为 .
12.如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度
数为 .
13.(2024·邯郸峰峰矿区模拟)如图,是一个半圆形桥洞的截面示意图,圆心为O,直径AB是河底截
线,弦CD是水位线,CD∥AB,AB=20 m,OE⊥CD于点E.
(1)当测得水面宽CD=10√3 m时,
①求此时水位的高度OE;
②求水面以上的桥洞部分(即 ⏜ )的长.
CD
(2)当水位的高度比(1)上升1 m时,有一艘宽为10 m,船舱顶部高出水面2 m的货船要经过桥洞(船
舱截面为矩形MNPQ),请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞?
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14.(2023· 北 京 ) 如 图 , 圆 内 接 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 AC,BD 交 于 点 E,BD 平 分
∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1)求证DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小.
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆的半径的长.
1.(2024·邯郸十中模拟)如图,Rt△ABC 是工人李大爷自制的一个三角形纸板(厚度不计),已知
∠BAC=90°,∠B=15°,AC=10 cm,李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上,使得顶点A,C都
在圆形工件的圆周上,将直角边AB与圆形工件圆周的交点记为点 D,恰好发现CD=BD,则该圆形
工件的半径长为 ( )
A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm
2.如图,BC 是☉O的弦,连接 OB,OC,∠A是 ⏜ 所对的圆周角,则∠A与∠OBC 的和的度数是
BC
.
3.如图,在圆内接四边形 ABCD中,ADAB,
∴2CD>AB.故选B.
3.B 解析:如图,连接OA,
∵D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心,AB=1 m,
∴CD⊥AB,AD=BD=0.5 m,
设拱门所在圆的半径为r m,
∴OA=OC=r m,而CD=2.5 m,
∴OD=(2.5-r)m,
∴r2=0.52+(2.5-r)2,解得r=1.3,
∴拱门所在圆的半径为1.3 m.故选B.
4.C 解析:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠BCD=180°,
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∵∠CDF是△ADE的外角,
∴∠CDF=∠A+∠E,
∵∠BCD是△CDF的外角,
∴∠BCD=∠F+∠CDF,
∴∠BCD=∠F+∠A+∠E,
∴∠A+∠F+∠A+∠E=180°,
∴2∠A+∠F+∠E=180°,
∵∠E=54°41',∠F=43°19',
∴2∠A+54°41'+43°19'=180°,
∴∠A=41°.故选C.
5.B 解析:如图,MN⊥AB,MN过圆心O,连接OD,OB,
∴MN=3.5 cm,
∵CD∥AB,
∴MN⊥CD,
1 1 1 1
∴DM= CD= ×4=2(cm),BN= AB= ×3=1.5(cm),
2 2 2 2
设OM=x cm,
∴ON=MN-OM=(3.5-x) cm,
∵OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,
∴OM2+MD2=ON2+BN2,
∴x2+22=(3.5-x)2+1.52,
∴x=1.5,
∴OM=1.5 cm,
∴OD= =2.5(cm),
√OM2+M D2
∴纸杯的直径为2.5×2=5(cm).
故选B.
6.B 解析:∵半径OC⊥AB,
∴ ⏜ ⏜ ,
AC=BC
∴∠AOC=∠BOC=42°,
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1
∴∠D= ∠AOC=21°,
2
∵OC=OD,
∴∠C=∠D=21°,
∴∠OED=∠C+∠BOC=21°+42°=63°.故选B.
7.B 解析:∵EF∥BC,
∴∠ABC=∠E=80°,
∵四边形ABCD内接于☉O.
∴∠ABC+∠D=180°,
∴∠D=100°,故B选项正确;
∵DF与AE不确定平行,
∴无法求出∠F,∠BCD的度数,故A,C不正确;
∵AD与BC不确定平行,
∴无法求出∠A的度数,故D选项不正确.故选B.
8.D 解析:如图1,当C,D位于弦AB的两侧时,
图1
∵∠C=80°,
∴∠D=180-∠C=180°-80°=100°;
如图2,当C,D位于弦AB的同侧时,
图2
∴∠D=∠C=80°,
∴∠D的度数是100°或80°,
∴嘉嘉和淇淇合在一起也不对.故选D.
9.130° 解析:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠A+∠C=180°,
∵∠A=50°,
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∴∠C=130°.
10.90 解析:∵AB是圆的直径,
∴AB所对的弧是半圆,所对圆心角的度数为180°,
∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆,
1
∴∠1+∠2+∠3+∠4= ×180°=90°.
2
11.3√10 解析:∵AB⊥CD,CD=6,
1
∴CE=ED= CD=3,
2
设☉O的半径为r,则OE=OB-EB=r-1,
在Rt△OED中,由勾股定理得
OE2+DE2=OD2,即(r-1)2+32=r2,
解得r=5,
∴OA=5,OE=4,
∴AE=OA+OE=9,
在Rt△AEC中,由勾股定理得AC= =3 .
√CE2+AE2=√32+92 √10
12.50° 解析:∵∠BAC=40°,
∴∠BDC=40°,
∵BD经过圆心O,
∴∠BCD=90°,
∴∠DBC=90°-∠BDC=50°.
13.解:(1)①∵OE⊥CD,
1
∴DE= CD=5√3 m,
2
1
又∵OD=OB= AB=10 m,
2
∴此时水位的高度OE=
=5(m).
√OD2-DE2=√102-(5√3)2
②如图1,连接OC,
图1
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DE 5√3 √3
∵sin∠DOE= = = ,
OD 10 2
∴∠DOE=60°,
∴∠COD=2∠DOE=120°,
∴水面以上的桥洞部分的长为
120π×10 20π
= (m).
180 3
(2)该货船能顺利通过桥洞.
理由:由(1)中水位高度为5 m可知此时OE=5+1=6(m),
如图2,延长OE交MQ于点F,连接OM,则OF⊥MQ,
图2
∵货船宽为10 m,船舱顶部高出水面2 m,
∴OF=6+2=8(m).
1
∵货船居中行驶时MF= ×10=5 m,
2
∴OM= <10,
√OF2+M F2=√82+52=√89
∴该货船能顺利通过桥洞.
14.解:(1)证明:∵∠BAC=∠ADB,
∴ ⏜ ⏜ ,
BC=AB
∴∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴ ⏜ ⏜ ,
AD=CD
∴ ⏜ + ⏜ ⏜ + ⏜ ,
AB AD=BC CD
即 ⏜ ⏜ ,
BAD=BCD
∴BD是此圆的直径.
∴∠BAD=90°.
(2)∵∠BAD=90°,CF∥AD,
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∴∠F+∠BAD=180°,∴∠F=90°.
∵ ⏜ ⏜ ,
AD=CD
∴AD=CD.
∵AC=AD,
∴AC=AD=CD.
∴△ADC是等边三角形,
∴∠ADC=60°.
∵DB平分∠ADC,
1
∴∠CDB= ∠ADC=30°.
2
∵BD是此圆的直径,
1
∴∠BCD=90°,∴BC= BD.
2
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠ABC=180°-∠ADC=120°,
∴∠FBC=180°-∠ABC=60°,
∴∠FCB=90°-60°=30°,
1
∴BF= BC.
2
∵BF=2,
∴BC=4.
∵BD是此圆的直径,
1
∴此圆的半径的长为 BD=BC=4.
2
能力提升
1.A 解析:∵CD=BD,∠B=15°,
∴∠DCB=∠B=15°,
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°,
∵∠BAC=90°,
∴CD是圆的直径,
∴CD=2AC=20 cm,
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1
∴该圆形工件的半径长为 ×20=10(cm).故选A.
2
2.90° 解析:∵∠A是 ⏜ 所对的圆周角,
BC
1
∴∠A= ∠O.
2
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
又∵∠O+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠O+2∠OBC=180°,
1
∴ ∠O+∠OBC=90°,
2
即∠A+∠OBC=90°.
3.解:(1)∵CD为直径,
∴∠CAD=90°,
∵∠ADC=∠AFE=60°,
∴∠ACD=90°-60°=30°,
∴∠ABD=∠ACD=30°.
(2)证明:①如图,延长AB至M,
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠CBM=∠ADC,
又∵∠AFE=∠ADC,
∴∠AFE=∠CBM,
∴EF∥BC;
②如图,过点D作DG∥BC交☉O于点G,连接AG,CG,
∵DG∥BC,
∴ ⏜ ⏜ ,EF∥DG,
BD=CG
∴BD=CG,
∵四边形ACGD是圆内接四边形,
∴∠GDE=∠ACG,
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∵EF∥DG,
∴∠DEF=∠GDE,
∴∠DEF=∠ACG,
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,
∴∠AFE=∠AGC,
∵AE=AC,
∴△AEF≌△ACG(AAS),
∴EF=CG,
∴EF=BD.
13
