2013年高考数学试卷（江苏）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2013·高考数学真题

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考公式：
1 n 1 n
样本数据x ,x , ,x 的方差s2 = å(x -x)2 ，其中x = åx 。
1 2 L n n i n i
i=1 i=1
1
棱锥的体积公式：V = Sh，其中S是锥体的底面积，h为高。
3
棱柱的体积公式：V =Sh，其中S是柱体的底面积，h为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位
置上。
p
1、函数y =3sin(2x+ )的最小正周期为 ▲ 。
4
2、设z =(2-i)2 (i为虚数单位)，则复数z的模为 ▲ 。
x2 y2
3、双曲线 - =1的两条渐近线的方程为 ▲ 。
16 9
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结
果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为X Y ，其中正整数m,n(m£7,n£9)可以任意选
m n
取，则m,n都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A B C -ABC中，D、E、F分别为AB、AC、A
1 1 1
A 的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V ，三棱柱A B C -
1 1 1 1 1
ABC的体积为V ，则V ：V = ▲ 。
2 1 2
9、抛物线y = x2在x=1处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角
第1页 | 共13页形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是 ▲ 。
1 2
10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且AD= AB,BE = BC。若
2 3
uuur uuur uuur
DE =lAB+lAC (l、l均为实数)，则l+l的值为 ▲ 。
1 2 1 2 1 2
11、已知 f(x)是定义在R上的奇函数。当x>0时， f(x)= x2 -4x，则不等式 f(x)> x
的解集用区间表示为 ▲ 。
x2 y2
12、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为 + =1(a>b>0)，右焦点为F，右准
a2 b2
线为l，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为d ，F到l的距离为d 。若
1 2
d = 6d ，则椭圆C的离心率为 ▲ 。
2 1
1
13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数y = (x>0)图象上的一动点。若点
x
P、A之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。
14、在正项等比数列a 中，
n
1
a
5
=
2
,a
6
+a
7
=3，则满足a
1
+a
2
+
L
+a
n
>a
1
a
2L
a
n
的最大正整数n的值为 ▲
。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
r r
已知向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),0<b<a<p。
r r r r
（1）若|a-b|= 2，求证：a^b；
r r r r
（2）设c=(0,1)，若a+b=c，求a,b的值。
16、（本小题满分14分）
第2页 | 共13页如图，在三棱锥S-
ABC中，平面SAB^平面SBC,AB^ BC，AS=AB。过A作AF ^SB，
垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。
求证：（1）平面EFG//平面ABC；
（2）BC ^SA。
17、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线l: y =2x-4，设圆C的半径为1，圆心在
直线l 上。
（1）若圆心C也在直线y = x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。
18、（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另
第3页 | 共13页一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后
，乙从A乘坐缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分
12 3
钟，山路AC的长为1260米，经测量，cosA= ,cosC = 。
13 5
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步
行的速度应控制在什么范围内？
19、（本小题满分16分）
设{a }是首项为a、公差为d 的等差数列(d 0)，S 为其前n项和。记
n n
nS
b = n ,nÎN*，其中c为实数。
n n2 +c
（1）若c=0，且b ,b ,b 成等比数列，证明：S =n2S (n,kÎN*)
1 2 4 nk k
（2）若{ b }为等差数列，证明：c=0。
n
20、（本小题满分16分）
设函数 f(x)=lnx-ax,g(x)=ex -ax，其中a为实数。
第4页 | 共13页（1）若 f(x)在(1,+)上是单调减函数，且g(x)在(1,+)上有最小值，求a的取值范围
；
（2）若g(x)在(-1,+)上是单调增函数，试求 f(x)的零点个数，并证明你的结论。
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。
求证：AC=2AD。
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
é-1 0ù é1 2ù
已知矩阵A= ,B= ，求矩阵A-1B．
ê ú ê ú
ë 0 2û ë0 6û
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
ìx=t+1
在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为í （t为参数），曲线C的参数方程为
îy =2t
ìx=2tan2q
í （q为参数）。试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
îy =2tanq
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a≥b＞0，求证：2a3-b3≥2ab2 -a2b。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第5页 | 共13页22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC -ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA=4，点D是BC的中点。
1 1 1 1
（1）求异面直线AB与C D所成角的余弦值；
1 1
（2）求平面ADC 与平面ABA 所成二面角的正弦值。
1 1
23．（本小题满分10分）
k个
644474448
设数列a
n
：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，(-1)k-1k,
L
(-1)k-1k ，…
（k-1）k （k+1）k
即当 <n£ (kÎN*)时，a =(-1)k-1k。记S =a +a + +a
2 2 n n 1 2 L n
(nÎN*)。
对于lÎN*，定义集合P=﹛n|S 为a 的整数倍，nÎN*,且1≤n≤l}
l n n
(1)求P 中元素个数；
11
(2)求集合P 中元素个数。
2000
参考答案
1．【答案】π
第6页 | 共13页2π 2π
【解析】T＝| |＝| |＝π．
ω 2
2．【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝ ＝5．
3
3．【答案】y =  x
4
x2 y2 9x2 3
【解析】令： - =0，得y =  =  x．
16 9 16 4
4．【答案】8
【解析】23＝8．
5．【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．【答案】2
89+90+91+88+92
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x = =90．
5
(89-90)2 +(90-90)2 +(91-90)2 +(88-90)2 +(92-90)2
方差为：S2 = = 2．
5
7．
20
【答案】
63
【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况
45 20
，则m，n都取到奇数的概率为 = ．
79 63
8．
【答案】1：24
C
1
【解析】三棱锥F - ADE与三棱锥A - ABC的相似比为1：2，故体积之比 B
1 1
A
为1：8．又因三棱锥A - ABC与三棱柱A BC - ABC 的体积之比为1：3． 1
1 1 1 1
F
所以，三棱锥F - ADE与三棱柱A BC - ABC 的体积之比为1：24． C
1 1 1
E B
9．
A D
1
【答案】[—2， ]
2
1 z
【解析】抛物线y = x2在x =1处的切线易得为y＝2x—1，令z＝x+2y，y＝— x＋ ．
2 2
1 1
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z ＝—2，过点( ，0)时，z ＝ ．
min max
2 2
第7页 | 共13页y
y＝2x—1
O
x
1
y＝— x
2
10．
1
【答案】
2
1 2 1 2
【解析】DE = DB+BE = AB+ BC = AB+ (BA+ AC)
2 3 2 3
1 2
=- AB+ AC =lAB+lAC
6 3 1 2
1 2 1
所以，l = - ，l = ，l+l = ．
1 6 2 3 1 2 2
11．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出 f(x)= x2 -4x
(x >0)的图像，如下图所示。由于 f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原
点对称做出x＜0的图像。不等式 f(x)> x，表示函数y＝ f(x)的图像在y＝x的上方，观察
图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
y
P(5,5)
y＝x
y＝x2—4 x
x
Q(﹣5, ﹣5)
3
12． 【答案】
3 y l
B
a2 a2 b2
【解析】如图，l：x＝
c
，d
2
＝
c
－c＝
c
，由
b
a
c
O F x
第8页 | 共13页bc b2 bc
等面积得：d ＝ 。若d = 6d ，则 ＝ 6 ，整理得： 6a2 -ab- 6b2 =0
1 a 2 1 c a
2
b b b 6
，两边同除以：a2，得： 6  - + 6 =0，解之得： ＝ ，所以，离心率
a a a 3
2
b 3
为：e = 1-  = ．
a 3
13．
【答案】1或 10
【解析】
14．
【答案】12
ì 1
 a q = 1
【解析】设正项等比数列{a n }首项为a 1 ，公比为q，则：í 1 4 2 ，得：a 1 ＝
32
a q (1+q) =3
î
1 5
2n -1 (n-1)n
，q＝2，a
n
＝26－n．记T
n
= a
1
+a
2
+
L
+a
n
=
25
，
n
= a
1
a
2L
a
n
= 2 2 ．
2n -1 (n-1)n 1 n2- 11 n+5 1 11
T > ，则 > 2 2 ，化简得：2n -1> 22 2 ，当n > n2 - n+5时，
n n 25 2 2
13+ 121
n = 12．当n＝12时，T > ，当n＝13时，T < ，故n ＝12．
2 12 12 13 13 max
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以，a ^b．
ìcosa+cosb=0 ① 1
（2）í ，①2＋②2得：cos(α－β)＝－ ．
îsina+sinb=1 ② 2
2 2
所以，α－β＝ p，α＝ p＋β，
3 3
第9页 | 共13页2 3 1 p
带入②得：sin( p＋β)＋sinβ＝ cosβ＋ sinβ＝sin( ＋β)＝1，
3 2 2 3
p p
所以， ＋β＝ ．
3 2
5p p
所以，α＝ ，β＝ ．
6 6
16．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB， S
所以F为SB的中点．
E G
又E，G分别为SA，SC的中点，
F
所以，EF∥AB，EG∥AC．
C
又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC， A
所以，平面EFG//平面ABC．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
B
AF平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA平面SAB，
所以，BC ^ SA．
ì y = x-1
17． 解：（1）联立：í ，得圆心为：C(3，2)．
îy = 2x-4
y
设切线为：y = kx+3，
l
A
|3k +3-2| 3
d＝ = r =1，得：k =0 or k = - ．
1+k2 4 O x
3
故所求切线为：y =0 or y = - x+3．
4
（2）设点M(x，y)，由MA=2MO，知： x2 +(y-3)2 = 2 x2 + y2 ，
化简得：x2 +(y+1)2 = 4，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点M 在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中 CD = a2 +(2a-3)2 ．
12
解之得：0≤a≤ ．
5
A
18．
M
B
N
第10页 | 共13页
D
C解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
35
其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
37
1260 126
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时： ＝ (min)．
50 5
126 141 86
若甲等乙3分钟，则乙到C用时： ＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．
5 5 5
86 1250
此时乙的速度最小，且为：500÷ ＝ m/min．
5 43
126 111 56
若乙等甲3分钟，则乙到C用时： －3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．
5 5 5
56 625
此时乙的速度最大，且为：500÷ ＝ m/min．
5 14
1250 625
故乙步行的速度应控制在[ ， ]范围内．
43 14
19．
n[(n-1)d +2a] (n-1)d +2a
证：（1）若c =0，则a = a+(n-1)d ，S = ，b = ．
n n 2 n 2
当b，b，b 成等比数列，b2 =bb ，
1 2 4 2 1 4
2
 d   3d 
即：a+  = aa+ ，得：d2 = 2ad，又d  0，故d =2a．
 2  2 
由此：S = n2a，S =(nk)2a = n2k2a，n2S = n2k2a．
n nk k
故：S =n2S （k,nÎN*）．
nk k
(n-1)d +2a
n2
nS
2
（2）b = n = ，
n n2 +c n2 +c
(n-1)d +2a (n-1)d +2a (n-1)d +2a
n2 +c -c
2 2 2
=
n2 +c
(n-1)d +2a
c
(n-1)d +2a 2
= - ． (※)
2 n2 +c
若{b }是等差数列，则b = An+Bn型．
n n
第11页 | 共13页观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
(n-1)d +2a
c
2 (n-1)d +2a (n-1)d +2a
故有： =0，即c =0，而 ≠0，
n2 +c 2 2
故c =0．
经检验，当c =0时{b }是等差数列．
n
20．
1 1
解：（1） f (x) = -a≤0在(1,+)上恒成立，则a≥ ， x Î (1，+)．
x x
故：a≥1．
g(x) =ex -a，
若1≤a≤e，则g(x) =ex -a≥0在(1,+)上恒成立，
此时，g(x)=ex -ax在(1,+)上是单调增函数，无最小值，不合；
若a＞e，则g(x)=ex -ax在(1，lna)上是单调减函数，在(lna，+)上是单
调增函数，g (x) = g(lna)，满足．
min
故a的取值范围为：a＞e．
（2）g(x) =ex -a≥0在(-1,+)上恒成立，则a≤ex，
1
故：a≤ ．
e
1 1-ax
f (x) = -a = (x >0)．
x x
1 1
(ⅰ)若0＜a≤ ，令 f (x)＞0得增区间为(0， )；
e a
1
令 f (x)＜0得减区间为( ，﹢∞)．
a
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
1 1 1
当x＝ 时，f( )＝﹣lna－1≥0，当且仅当a＝ 时取等号．
a a e
1 1
故：当a＝ 时，f(x)有1个零点；当0＜a＜ 时，f(x)有2个零点．
e e
(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．
1
(ⅲ)若a＜0，则 f (x) = -a > 0在(0，+)上恒成立，
x
即： f(x)=lnx-ax在(0，+)上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．
此时，f(x)有1个零点．
第12页 | 共13页1 1
综上所述：当a＝ 或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a＜ 时，f(x)有2个零点．
e e
第13页 | 共13页