2013年高考数学试卷（文）（上海）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2013·高考数学真题

2013年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
x 1
1.不等式 ＜0的解为 (0, ) .
2x1 2
1
【答案】 (0, )
2
1
【解析】x(2x1)0 x(0, )
2
 
2.在等差数列 a 中，若a+ a+ a+ a=30，则a+ a= 15 .
n 1 2 3 4 2 3
【答案】 15
【解析】 a a a a  2(a a ) 30 a a 15
1 2 3 4 2 3 2 3
3.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .
【答案】 -2
m2 m20
【解析】 m2 m2(m2 1)i是纯虚数 m2
 m2 10
x 2 x y
4.已知 =0， =1，则y= 1 .
1 1 1 1
【答案】 1
x 2 x y
【解析】已知  x2 0 x  2，又  x y 1
1 1 1 1
联立上式，解得x  2,y 1,
5.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是
2
 .
3
2
【答案】 
3
a2 b2 -c2 1 2
【解析】a2 abb2 -c2 0cosC   C  
2ab 2 3
6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分
别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 .
【答案】 78
40 60
【解析】 平均成绩  75 8078
100 100
第1页 | 共12页5
 a
7.设常数a∈R.若x2   的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= -2 .
 x
【答案】 -2
a a
【解析】(x2  )5 Cr(x2)5r( )r 10x7 r 1,C1a 10
x 5 x 5
5a 10,a 2
9
8.方程 13x的实数解为 log 4 .
3x 1 3
【答案】 log 4
3
【解析】
9 9
13x  3x 13x 1 33x  3103x  4 x log 4
3x 1 3x 1 3
1 7
9.若cosxcosy+sinxsiny= ，则cos(2x-2y)=  .
3 9
7
【答案】 
9
【解析】
1 7
cosxcosysinxsin y cos(x y)  cos2(x y)  2cos2(x y)1 
3 9
10.已知圆柱的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个
 l
不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为 ，则 = 3 .
6 r
【答案】 3
 r 3 l
【解析】 由题知，tan     3
6 l 3 r
11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的
5
编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.
7
5
【答案】
7
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。
从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有C2  21个
7
第2页 | 共12页2个数之积为奇数 2个数分别为奇数，共有C2 6个.
4
C
C2 6 5
所以2个数之积为偶数的概率P 1 4 1 
C2 21 7
7

12.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA .若AB=4，BC= 2 ，则的两个焦
4 B
A D
4
点之间的距离为 6 .
3
4
【答案】 6
3
【解析】 如右图所示。
设D在AB上，且CD  AB,AB  4,BC  2,CBA 45CD 1,DB 1,AD 3C(1,1)
1 1 4 8
 2a  4,把C(1，1)代入椭圆标准方程得  1,a2 b2 c2 b2  ,c2 
a2 b2 3 3
4
2c 6
3
a2 1
13.设常数a＞0.若9x a1对一切正实数x成立，则a的取值范围为 [ ,) .
x 5
1
【答案】 [ ,)
5
【解析】 考查均值不等式的应用。
a2 a2 1
由题知，当x 0时, f(x) 9x  2 9x 6a  a1 a 
x x 5
14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 、a 、a
1 2 3
；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 、c 、c .若i,j,k,l∈  1，2，3  且i≠j,k≠l
1 2 3
   
，则 a a · c c 的最小值是 -5 .
i j k l
【答案】 -5
【解析】 根据对称性，
当向量(a a )与(c c )互为相反向量，且它们的模最大时
i j k l
，(a a )(c c )最小。这时a  AC,a  AD,c CA,c CB,
i j k l i j k l
(a a )(c c )  |a a )|2 5。
i j k l i j
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.函数f(x) x2 1（x≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ A ）
（A） 3（B）－ 3（C）1+ 2 （D）1－ 2
【答案】 A
【解析】 由反函数的定义可知，x 0,2 f(x)  x2 1 x  3
选A
第3页 | 共12页   
16.设常数a∈R，集合A= x(x1)(xa)0 ，B= xxa1 .若A∪B=R，则a的取值范围为
（ B ）
（A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞）
【答案】 B
【解析】 方法：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时，
B [1,),A(,1][),2)AB  R,符合题意。

综上，选B
B [a1,),AB  RA(,a1)
标准解法如下: 
由(x1)(xa)0当a 1时，xR,当a 1符合题意；当a 1时x(,1][a,)，
1 a1解得1 a  2;当a 1时x(,a][1,) a  a1 a 1
.
综上，a  2
选B
17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
【答案】 A
【解析】 便宜没好货便宜则不是好货好货则不便宜
所以“好货”是“不便宜”的充分条件
选A
当点（x,y）分别在 ， ，…上时，x+y的最大值分别是M,M,…，则 lim M =( D )
1 2 1 2 n
n
1
（A）0 （B） （C）2 （D）2 2
4
【答案】 D
x2 ny2 x2 y2 x2 y2
【解析】 椭圆方程为：  1 lim    1
4 4n1 n 4 1 4 4
4
n
x2 y2
  1
联立 4 4  x2 (ux)2  4 2x2 2uxu2 40   4u2 8(u2 4)0

u  x y
u2 2(u2 4)08u2 u[2 2,2 2],所以x y的最大值为,2 2
选D
三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
第4页 | 共12页3
【答案】 V  ;S 3 3
OABC 3 OABC
1 1
【解析】 三棱锥O ABC的体积V  S 1  3
OABC 3 ABC 3
3
设O在面ABC中的射影为Q,BC的中点为E,则OQ 1，QE  ，在RTOQE中
3
3 4 2
，OE2 OQ2  EQ2 12 ( )2  OE 
3 3 3
BC
三棱锥O ABC的表面积S 3S S 3 OE 3 3 3
OABC OBC ABC 2
3
三棱锥O ABC的体积V  ,表面积S 3 3
所以， OABC 3 OABC
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利
 3
润是1005x1 元.
 x
 1 3 
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a5  元；
 x x2 
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此
最大利润.
【答案】 （1） 见下
（2）
当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。
a
【解析】 （1）证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间t 
小时，
x
a 3 1 3
所获得的利润y  100(5x1 ) 100a(5  )(元)，其中1 x 10.
x x x x2
 1 3 
生产a千克该产品所获得的利润为100a5  元；（证毕）
所以，
 x x2 
（2） 由（1）知，生产900千克该产品即a=900千克时，获得的利润
1 3 1 1
y 100900(5  ) 90000[5 (13 )]
x x2 x x
1 1 1 1
由二次函数的知识可知，当 = ，即x=6时，y 90000[5 (13 )]
x 6 6 6
第5页 | 共12页 4500007500 457500(元)
所以，当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数f(x)  2sin(x)，其中常数ω＞0.
 
（1）令ω=1，判断函数F(x)  f(x) fx 的奇偶性，并说明理由；
 2

（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(
6
x)的图像.对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.
【答案】 （1） 不是奇函数，也不是偶函数。
（2） 20,21
【解析】 （1）
 
1时，f(x)  2sinx,F(x)  f(x) f(x )  2sinx2sin(x )
2 2
 2
 2sinx2cosx  2 2sin(x ), 周期T   2,y  2 2sinx是奇函数，

4 
 
图像左移 后得f(x)  2 2sin(x )，即不是奇函数，也不是偶函数。
4 4

（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x):
6
 
f(x)  2sin2x,g(x)  f(x )1 2sin2(x )1,最小正周期T 
.
6 6
 1
令f(x) 0sin2(x )   在一个周期内最多有3个零点，最少2个零点。
6 2
所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个
22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8
分.
已知函数f(x)  2 x ，无穷数列  a  满足a =f(a),n∈N*
n n+1 n
（1）若a=0，求a，a，a；
1 2 3 4
（2）若a＞0，且a，a，a成等比数列，求a的值.
1 1 2 3 1
（3）是否存在a，使得a，a，…，a…成等差数列？若存在，求出所有这样的a；若不存
1 1 2 n 1
在，说明理由.
【答案】 （1） a  2,a 0,a  2
2 3 4
（2）a 1，或a 2 2
1 1
（3）a 1,且a 1
1 n
【解析】 （1） 由a  f(a ) a  2|a |.a 0 a  2,a 0,a  2
n1 n n1 n 1 2 3 4
a 2
（2） a ,a ,a 成等比 a  2  2-|a | a 2  a (2-|a |)，且a  2-|a |
 1 2 3 3 a 2 2 1 2 2 1
1
(2-|a |)2  a [2|2-|a ||](2-a )2  a [2|2-a |]
1 1 1 1 1 1
分情况讨论如何：
第6页 | 共12页当2-a 0时，(2-a )2  a [2（2-a） a 2  a 1，且a  2
1 1 1 1 1 1 1
当2-a 0时，(2-a )2  a [2（a 2） a (4a ) 2a 2 8a 40 a 2 4a 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2a 2 8a 40(a 2)2 2a 2 2，且a 2
1 1 1 1 1
综上，a 1，或a 2 2
1 1
（3）假设存在公差为d的等差数列{a }满足题意，,则：nN*,a 2|a |a d
n n1 n n
2d a |a |.讨论如下:
n n
当a m即数列{a }为常数数列时，d 0,22a a 1a 1
n n n n 1
当数列{a }不是常数数列时a 0，2d 0d 2a 0,所以不满足题意。
n n n
综上，存在a 1的等差数列{a },且a 1满足题意。
1 n n
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分
9分.
x2
如图，已知双曲线C:  y2 1，曲线C: y  x 1.P是平面内一点.若存在过点P的直
1 2 2
线与C、C都有共同点，则称P为“C-C型点”.
1 2 1 2
（1）在正确证明C的左焦点是“C-
1 1
C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
2
（2）设直线y=kx与C有公共点，求证 k ＞1，进而证明圆点不是“C-C型点”；
2 1 2
1
（3）求证：圆x2  y2  内的点都不是“C-C型点”.
1 2
2
【答案】 （1） 3yx 3 0
【解析】 （1）
x2
由C 方程：  y2 1可知：a2  2,b2 1,c2  a2 b2 3,F ( 3,0)
1 2 1
显然，由双曲线C 的几何图像性质可知，过F的任意直线都与曲线C 相交.从曲线
1 1 1
C 图像上取点P(0,1),则直线PF与两曲线C、C 均有交点。这时直线方程为
2 1 1 2
3
y  (x 3) 3yx 3 0
3
（2） 先证明“若直线y=kx与C 有公共点，则 k ＞1”.
2
第7页 | 共12页b 1
双曲线C的渐近线：y  x x.
1 a 2
1 1
若直线y  kx与双曲线C 有交点，则kA（- , ）.
1
2 2
若直线y  kx与双曲线C 有交点，则kB （-，-1）（1，）.
2
所以直线y=kx与C 有公共点，则 k ＞1 . （证毕）
2
AB ,直线y  kx与曲线C、C 不能同时有公共交点。
 1 2
所以原点不是“C-C型点”；（完）
1 2
1
（3）设直线l过圆x2  y2  内一点，则直线l斜率不存在时与曲线C 无交点。
2 1
|m| 1
设直线l方程为：y = kx + m，则：   2m2 1 k2
k2 1 2
假设直线l与曲线C 相交上方，则y 1
2
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