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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(广东卷)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．(2013广东，文1)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝( )．
A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
lg(x+1)
2．(2013广东，文2)函数y = 的定义域是( )．
x-1
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
3．(2013广东，文3)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
æ5π ö 1
4．(2013广东，文4)已知sin ç +a ÷ = ，那么cos α＝( )．
è 2 ø 5
2 1 1 2
- -
5 5 5 5
A． B． C． D．
5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s
的值是( )．
A．1 B．2 C．4 D．7
6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(
)．
1 1 2
6 3 3
A． B． C． D．1
7．(2013广东，文7)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．
2 2
A．x＋y－ ＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋ ＝0
8．(2013广东，文8)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
1
9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 ，则C的方程是( )．
2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
+ =1 + =1 + =1 + =1
3 4 4 3 4 2 4 3
A． B． C． D．
第1页 | 共6页10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
(一)必做题(11～13题)
11．(2013广东，文11)设数列{a}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a＋|a|＋a＋|a|＝______
n 1 2 3 4
____.
12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.
ìx- y+3³0,
ï
13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件í-1£ x£1, 则z＝x＋y的最大值是__________
ï
y³1,
î
．
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为__________．
15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3，BC＝3，BE⊥AC，垂足
为E，则ED＝__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
æ π ö
16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数 f(x)= 2cos ç x- ÷，x∈R.
è 12ø
æπö
(1)求 f ç ÷的值；
è3ø
3 æ3π ö æ πö
(2)若cos θ＝ ，θ∈ç ,2π ÷，求 f ç q- ÷.
5 è 2 ø è 6ø
17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布
表如下：
分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
频数(个) 5 10 20 15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
第2页 | 共6页(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．
第3页 | 共6页18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上
的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其
2
中BC＝ .
2
图(1) 图(2)
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF；
2
(3)当AD＝ 时，求三棱锥F－DEG的体积V .
F－DEG
3
19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a}的前n项和为S，满足4S＝a 2－4n
n n n n＋1
－1，n∈N*，且a，a，a构成等比数列．
2 5 14
(1)证明：a = 4a +5；
2 1
(2)求数列{a}的通项公式；
n
1 1 1 1
(3)证明：对一切正整数n，有 + + + < .
L
aa a a a a 2
1 2 2 3 n n+1
第4页 | 共6页20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x
3 2
－y－2＝0的距离为 .设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
2
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x，y)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
0 0
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
第5页 | 共6页21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k＜0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.
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