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绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答
一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
x
1．不等式 <0的解为 ．
2x-1
2．在等差数列a 中，若a +a +a +a =30，则a +a = ．
n 1 2 3 4 2 3
3．设mÎR，m2 +m-2+ m2 -1 i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．
x 2 x y
4．若 =0， =1，则y = ．
1 1 1 1
5．已知DABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c．若a2 +ab+b2 -c2 =0，
则角C的大小是 ．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数
分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
5
æ aö
7．设常数aÎR．若
ç
x2 +
÷
的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= ．
è xø
9
8．方程 +1=3x的实数解为 ．
3x -1
1
9．若cosxcosy+sinxsin y = ，则cos2x-2y= ．
3
10．已知圆柱W的母线长为l，底面半径为r，O是上地面圆心，A、B是下底面圆心上
两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小
π 1
为 ，则 = ．
6 r
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，
则这两个球的编号之积为偶数的概率是
（结果用最简分数表示）．
π
12．设AB是椭圆G的长轴，点C在G上，且ÐCBA= ．若
4
AB =4，BC = 2，则G的两个焦点之间的距离为 ．
a2
13．设常数a>0，若9x+ ³a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为 ．
x
ur
14．已知正方形ABCD的边长为1．记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 、
1
第1页 | 共20页uur uur ur uur ur
a 、a ；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 、c 、c ．若i, j,k,lÎ1,2,3
2 3 1 2 3
ur uur uur ur
且i ¹ j,k ¹l，则 a +a × c +c 的最小值是 ．
i j k l
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．函数 f x= x2 -1x³1的反函数为 f -1x，则 f -12的值是（ ）
（A） 3 （B）- 3 （C）1+ 2 （D）1- 2
16．设常数aÎR，集合A= x|x-1x-a³0 ，B=x|x³a-1．若A B=R
U
，则a的取值范围为（ ）
（A）-¥,2 （B）-¥,2 （C）2,+¥ （D）2,+¥
17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
x2 ny2
18．记椭圆
4
+
4n+1
=1围成的区域（含边界）为W
n
n=1,2,
L
，当点x,y分别在
W ,W , 上时，x+ y的最大值分别是M ,M , ，则limM =（ ）
1 2 L 1 2 L n
n®¥
1
（A）0 （B） (C) 2 (D) 2 2
4
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号
的规定区域写出必要的步骤．
19．（本题满分12分） O
如图，正三棱锥O-ABC底面边长为2，高为1，
求该三棱锥的体积及表面积．
B A
20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分5分 C
，第2小题满分9分． 第19题图
甲厂以x千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产
3
条件要求1£ x£10），每小时可获得的利润是100(5x+1- )元．
x
1 3
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+ - )；
x x2
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并
求此最大利润．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
第2页 | 共20页已知函数 f(x)=2sin(wx)，其中常数w>0．
p
（1）令w=1，判断函数F(x)= f(x)+ f(x+ )的奇偶性并说明理由；
2
p
（2）令w=2，将函数y = f(x)的图像向左平移 个单位，再往上平移1个单位，得到
6
函数y = g(x)的图像．对任意的aÎR，求y = g(x)在区间[a,a+10p]上零点个数的所
有可能值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满
分8分．
已知函数 f(x)=2-|x|．无穷数列{a }满足a = f(a ),nÎN*．
n n+1 n
（1）若a =0，求a ，a ，a ；
1 2 3 4
（2）若a >0，且a ，a ，a 成等比数列，求a 的值；
1 1 2 3 1
（3）是否存在a ，使得a ，a ，a ，…，a …成等差数列？若存在，求出所有这样的
1 1 2 3 n
a ；若不存在，说明理由．
1
23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满
分9分．
x2
如图，已知双曲线C ： - y2 =1，曲线
1 2
C ：| y|=|x|+1．P是平面内一点，若存在过点P
2
的直线与C 、C 都有公共点，则称P为“C - C 型
1 2 1 2
点”．
（1）在正确证明C 的左焦点是“C - C 型点”时，
1 1 2
要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线
的方程（不要求验证）；
第3页 | 共20页（2）设直线y =kx与C 有公共点，求证|k|>1，进而证明原点不是“C - C 型点；
2 1 2
1
（3）求证：圆x2 + y2 = 内的点都不是“C - C 型点”．
2 1 2
第4页 | 共20页2013年上海高考数学试题（文科）
参考答案
一． 填空题
1
1. 0＜ X＜
2
2. 15
3. -2
4. 1
2p
5.
3
6. 78
7. -2
8. log 4
3
7
9. -
9
10. 3
5
11.
7
4 6
12.
3
é1
13. ,+¥
ê
ë5
14.-5
二． 选择题
题号 15 16 17 18
代号 A B A D
三． 解答题
19.解：由已知条件可知，正三棱锥O-
ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形。
经计算得底面△ABC的面积为 3
1 3
所以该三锥的体积为 ´ 3´1=
3 3
设O’是正三角形ABC的中心
由正三棱锥的性质可知，OO’垂直于平面ABC
3
延长AO’交BC于D，得AD= 3,O’D=
3
2 3
又因为OO’=1，所以正三棱锥的斜高OD=
3
第5页 | 共20页1 2 3
故侧面积为 ´6´ =2 3
2 3
所以该三棱锥的表面积为 3+2 3=3 3
3
因此，所求三棱锥的体积为 ，表面积为3 3
3
20.解：
a
（1）生产a千克该产品，所用的时间是 小时
x
æ 3ö a
所获得的利润为100 5x+1- ×
ç ÷
è xø x
æ 1 3 ö
所以生产a千克该产品所获得的利润为100a 5+ - 元
ç ÷
è x x2 ø
æ 1 3 ö
（2）生产900千克该产品，获得的利润为90000 5+ - ，
ç ÷
è x x2 ø
3 1
1≤x≤10,记ƒ（x）=- + +5,1£ x£10
x2 x
2
æ1 1ö 1
则ƒ（x）=-3 - + +5,当且仅当x=6时取到最大值。
ç ÷
è x 6ø 12
61
获得最大利润90000´ =457500元。
12
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利
润457500元。
21.解：（1）ƒ（x）=2sinx, F（x）= ƒ（x）+ ƒ
æ pö æ pö
x+ =2sinx+2sin x+ =2sinx+cosx
ç ÷ ç ÷
è 2ø è 2ø
æpö æ pö æ pö æpö æ pö æpö
F =2 2,F - =0,F - ¹ F ,F - ¹-F
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è 4ø è 4ø è 4ø è 4ø è 4ø è 4ø
所以，F（x）既不是奇函数也不是偶函数。
（2）ƒ（x）=2sinx,
将y=
p
ƒ（x）的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位后
6
æ pö æ pö
得到y =2sin2 x+ +1的图像，所以个g（x)=2sin2 x+ +1
ç ÷ ç ÷
è 6 ø è 6 ø
5p 3p
令g(x)=0,得x=kp+ 或x=kp+ (k Ì z)
12 4
因为a,a+10p上零点个数为21
第6页 | 共20页当a不是零时，
a+kp(k Ì z)也都不是零点，区间a+kp,a+(k+1)p上恰有两
个零点，故在a,a+10p上有20个零点。
综上，y = g(x)在a,a+10p上零点个数的所有可能值为21或20.
22.解：（1）a =2,a =0,a =2
2 3 4
（2）a =2- a =2-a ,a =2- a =2- 2-a
2 1 1 3 2 1
①当0＜a £2时，a =2-(2-a )=a ,所以a2 =(2-a )2,得a =1
1 3 1 1 1 1 1
②当a ＞2时，
1
a =2-(a -2)=4-a ,所以a (4-a )=(2-a )2,得a=2- 2(舍去）或a =2+ 2
3 1 1 1 1 1 1
综合①②得a =1或a =2+ 2
1 1
（3）假设这样的等差数列存在，那么a =2- a ,a =2- 2- a
2 1 3 1
由2a =a +a 得2-a + 2- a =2 a (*)
2 1 3 1 1 1
以下分情况讨论：
①当a ＞2时，由（*）得a =0,与a ＞2矛盾
1 1 1
②当0＜a ≤2时，有（*）得a =1，从而a =1(n=1,2,...)
1 1 n
所以a 是一个的等差数列
n
③当a ≤0时，则公差d =a -a =（a +2）-a =2 ＞0，因此存在
1 2 1 1 1
m≧2使得a =a +2(m-1) ＞2.此时d =a -a =2- a -a
m 1 m+1 m m m
＜0，矛盾
综合①②③可知，当且仅当
a =1时，a ,a ,a ......构成等差数列
1 1 2 3
2
23．解： （1）C 的左焦点为F(- 3,0)，过F的直线x=- 3与C 交于(- 3,± )，
1 1
2
与C 交于(- 3,±( 3+1))，故C 的左焦点为“C -
2 1 1
C 型点”，且直线可以为x=- 3；
2
（2）直线y =kx与C 有交点，则
2
ì y =kx
í Þ(|k|-1)|x|=1，若方程组有解，则必须|k|>1；
î| y|=|x|+1
直线y =kx与C 有交点，则
2
ì y =kx 1
í Þ(1-2k2)x2 =2，若方程组有解，则必须k2 <
îx2 -2y2 =2 2
故直线y =kx至多与曲线C 和C 中的一条有交点，即原点不是“C -C 型点”。
1 2 1 2
第7页 | 共20页1
（3）显然过圆x2 + y2 = 内一点的直线l若与曲线C 有交点，则斜率必存在
1
2
；
根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C 交于点(t,t+1)(t ³0)，则
2
l: y =(t+1)=k(x-t)Þkx- y+(1+t-kt)=0
1 |1+t-kt| 2
直线l与圆x2 + y2 = 内部有交点，故 <
2 k2 +1 2
1
化简得，(1+t-tk)2 < (k2 +1)。。。。。。。。。。。。①
2
若直线l与曲线C 有交点，则
1
ìy =kx-kt+t+1
ï 1
í x2 Þ(k2 - )x2 +2k(1+t-kt)x+(1+t-kt)2 +1=0
- y2 =1 2
ï
î 2
1
D=4k2(1+t-kt)2 -4(k2 - )[(1+t-kt)2 +1]³0Þ(1+t-kt)2 ³2(k2 -1)
2
化简得，(1+t-kt)2 ³2(k2 -1)。。。。。②
1
由①②得，2(k2 -1)£(1+t-tk)2 < (k2 +1)Þk2 <1
2
1
但此时，因为t ³0,[1+t(1-k)]2 ³1, (k2 +1)<1，即①式不成立；
2
1
当k2 = 时，①式也不成立
2
1
综上，直线l若与圆x2 + y2 = 内有交点，则不可能同时与曲线C 和C 有交点
1 2
2
，
1
即圆x2 + y2 = 内的点都不是“C -C 型点” ．
1 2
2
第8页 | 共20页2013年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷（文史类）
考生注意：
1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
x 1
1.不等式 ＜0的解为 (0, ) .
2x-1 2
1
【答案】 (0, )
2
1
【解析】x(2x-1)<0Þ xÎ(0, )
2
2.在等差数列 a 中，若a+ a+ a+ a=30，则a+ a= 15 .
n 1 2 3 4 2 3
【答案】 15
【解析】 a +a +a +a = 2(a +a ) =30Þ a +a =15
1 2 3 4 2 3 2 3
3.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .
【答案】 -2
ïìm2 +m-2=0
【解析】 m2 +m-2+(m2 -1)i是纯虚数Þí Þm=-2
ï îm2 -1¹0
x 2 x y
4.已知 =0， =1，则y= 1 .
1 1 1 1
【答案】 1
x 2 x y
【解析】已知 = x-2 =0Þ x = 2，又 = x- y =1
1 1 1 1
联立上式，解得x = 2,y =1,
5.已知DABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是
2
p .
3
2
【答案】 p
3
a2 +b2 -c2 -1 2
【解析】a2 +ab+b2 -c2 =0ÞcosC = = ÞC = p
2ab 2 3
6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分
别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 .
【答案】 78
40 60
【解析】 平均成绩 = ×75+ ×80=78
100 100
第9页 | 共20页5
æ aö
7.设常数a∈R.若çx2 + ÷ 的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= -2 .
è xø
【答案】 -2
a a
【解析】(x2 + )5 ÞCr(x2)5-r( )r =-10x7 Þr =1,C1a =-10
x 5 x 5
Þ5a =-10,a =-2
9
8.方程 +1=3x的实数解为 log 4 .
3x -1 3
【答案】 log 4
3
【解析】
9 9
+1=3x Þ =3x -1Þ3x -1= ±3Þ3x = ±3+1>0Þ3x = 4Þ x =log 4
3x -1 3x -1 3
1 7
9.若cosxcosy+sinxsiny= ，则cos(2x-2y)= - .
3 9
7
【答案】 -
9
【解析】
1 7
cosxcosy+sinxsin y =cos(x- y) = Þcos2(x- y) = 2cos2(x- y)-1= -
3 9
10.已知圆柱W的母线长为l，底面半径为r,O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上的两个
p l
不同的点，BC是母线，如图.若直线OA与BC所成角的大小为 ，则 = 3 .
6 r
【答案】 3
p r 3 l
【解析】 由题知，tan = = Þ = 3
6 l 3 r
11.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的
5
编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.
7
5
【答案】
7
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。
从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有C2 = 21个
7
第10页 | 共20页2个数之积为奇数Þ 2个数分别为奇数，共有C2 =6个.
4
C
C2 6 5
所以2个数之积为偶数的概率P =1- 4 =1- =
C2 21 7
7
p
12.设AB是椭圆G的长轴，点C在G上，且ÐCBA= .若AB=4，BC= 2 ，则G的两个焦
4 B
A D
4
点之间的距离为 6 .
3
4
【答案】 6
3
【解析】 如右图所示。
设D在AB上，且CD AB,AB = 4,BC = 2,ÐCBA= 45ÞCD =1,DB =1,AD =3ÞC(1,1)
1 1 4 8
Þ 2a = 4,把C(1，1)代入椭圆标准方程得 + =1,a2 =b2 +c2 Þb2 = ,c2 =
a2 b2 3 3
4
Þ2c= 6
3
a2 1
13.设常数a＞0.若9x+ ³a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为 [ ,¥) .
x 5
1
【答案】 [ ,¥)
5
【解析】 考查均值不等式的应用。
a2 a2 1
由题知，当x >0时, f(x) =9x+ ³ 2 9x+ =6a ³ a+1Þ a ³
x x 5
14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 、a 、a
1 2 3
；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 、c 、c .若i,j,k,l∈ 1，2，3 且i≠j,k≠l
1 2 3
，则 a +a · c +c 的最小值是 -5 .
i j k l
【答案】 -5
【解析】 根据对称性，
当向量(a +a )与(c +c )互为相反向量，且它们的模最大时
i j k l
，(a +a )(c +c )最小。这时a = AC,a = AD,c =CA,c =CB,
i j k l i j k l
(a +a )(c +c ) = -|a +a )|2= -5。
i j k l i j
二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.函数f(x)= x2 -1（x≥0）的反函数为f -1(x)，则f -1(2)的值是（ A ）
（A） 3（B）－ 3（C）1+ 2 （D）1－ 2
【答案】 A
【解析】 由反函数的定义可知，x ³0,2= f(x) = x2 -1Þ x = 3
选A
第11页 | 共20页
16.设常数a∈R，集合A= x(x-1)(x-a)³0 ，B= xx³a-1 .若A∪B=R，则a的取值范围为
（ B ）
（A）（－∞，2） （B）（－∞，2] （C）（2，+∞） （D）[2，+∞）
【答案】 B
【解析】 方法：代值法，排除法。当a=1时，A=R，符合题意；当a=2时，
B =[1,+¥),A=(-¥,1][+¥),2)AB = R,符合题意。
综上，选B
B =[a-1,+¥),AB = RA(-¥,a-1)
标准解法如下:
由(x-1)(x-a)³0Þ当a =1时，xÎR,当a =1符合题意；当a >1时xÎ(-¥,1][a,+¥)，
Þ1³ a-1解得1< a £ 2;当a <1时xÎ(-¥,a][1,+¥)Þ a ³ a-1Þ a <1
.
综上，a £ 2
选B
17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ A ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
【答案】 A
【解析】 便宜没好货便宜则不是好货好货则不便宜
所以“好货”是“不便宜”的充分条件
选A
当点（x,y）分别在W ，W ，…上时，x+y的最大值分别是M,M,…，则 lim M =( D )
1 2 1 2 n
n®+¥
1
（A）0 （B） （C）2 （D）2 2
4
【答案】 D
x2 ny2 x2 y2 x2 y2
【解析】 椭圆方程为： + =1Þ lim + = + =1
4 4n+1 n->+¥ 4 1 4 4
4+
n
ìx2 y2
ï + =1
联立í 4 4 Þ x2 +(u-x)2 = 4Þ 2x2 -2ux+u2 -4=0Þ D = 4u2 -8(u2 -4)³0
ï
îu = x+ y
Þu2 -2(u2 -4)³0Þ8£u2 ÞuÎ[-2 2,2 2],所以x+ y的最大值为,2 2
选D
三、解答题（本大题共有5下题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
第12页 | 共20页3
【答案】 V = ;S =3 3
O-ABC 3 O-ABC
1 1
【解析】 三棱锥O- ABC的体积V = ×S ×1= × 3
O-ABC 3 DABC 3
3
设O在面ABC中的射影为Q,BC的中点为E,则OQ =1，QE = ，在RTDOQE中
3
3 4 2
，OE2 =OQ2 + EQ2 Þ12 +( )2 = ÞOE =
3 3 3
BC
三棱锥O- ABC的表面积S =3S +S =3× ×OE+ 3 =3 3
O-ABC DOBC DABC 2
3
三棱锥O- ABC的体积V = ,表面积S =3 3
所以， O-ABC 3 O-ABC
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利
æ 3ö
润是100ç5x+1- ÷元.
è xø
æ 1 3 ö
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100aç5+ - ÷元；
è x x2 ø
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此
最大利润.
【答案】 （1） 见下
（2）
当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。
a
【解析】 （1）证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间t =
小时，
x
a 3 1 3
所获得的利润y = ×100(5x+1- ) =100a(5+ - )(元)，其中1£ x £10.
x x x x2
æ 1 3 ö
生产a千克该产品所获得的利润为100aç5+ - ÷元；（证毕）
所以，
è x x2 ø
（2） 由（1）知，生产900千克该产品即a=900千克时，获得的利润
1 3 1 1
y =100×900(5+ - ) =90000[5+ (1-3× )]
x x2 x x
1 1 1 1
由二次函数的知识可知，当 = ，即x=6时，y £90000[5+ (1-3× )]
x 6 6 6
第13页 | 共20页= 450000+7500= 457500(元)
所以，当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数f(x) = 2sin(wx)，其中常数ω＞0.
æ pö
（1）令ω=1，判断函数F(x) = f(x)+ fçx+ ÷的奇偶性，并说明理由；
è 2ø
p
（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(
6
x)的图像.对任意a∈R，求y=g(x)在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.
【答案】 （1） 不是奇函数，也不是偶函数。
（2） 20,21
【解析】 （1）
p p
w=1时，f(x) = 2sinx,F(x) = f(x)+ f(x+ ) = 2sinx+2sin(x+ )
2 2
p 2p
= 2sinx+2cosx = 2 2sin(x+ ), 周期T = = 2p,y = 2 2sinx是奇函数，
4 w
p p
图像左移 后得f(x) = 2 2sin(x+ )，即不是奇函数，也不是偶函数。
4 4
p
（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x):
6
p p
f(x) = 2sin2x,g(x) = f(x- )+1= 2sin2(x- )+1,最小正周期T =p
.
6 6
p 1
令f(x) =0Þsin2(x- ) = - 在一个周期内最多有3个零点，最少2个零点。
6 2
所以y=g(x)在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个
22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8
分.
已知函数f(x) = 2- x ，无穷数列 a 满足a =f(a),n∈N*
n n+1 n
（1）若a=0，求a，a，a；
1 2 3 4
（2）若a＞0，且a，a，a成等比数列，求a的值.
1 1 2 3 1
（3）是否存在a，使得a，a，…，a…成等差数列？若存在，求出所有这样的a；若不存
1 1 2 n 1
在，说明理由.
【答案】 （1） a = 2,a =0,a = 2
2 3 4
（2）a =1，或a =2+ 2
1 1
（3）a =1,且a =1
1 n
【解析】 （1） 由a = f(a )Þ a = 2-|a |.a =0Þ a = 2,a =0,a = 2
n+1 n n+1 n 1 2 3 4
a 2
（2） a ,a ,a 成等比Þ a = 2 = 2-|a |Þ a 2 = a (2-|a |)，且a = 2-|a |
1 2 3 3 a 2 2 1 2 2 1
1
Þ(2-|a |)2 = a [2-|2-|a ||]Þ(2-a )2 = a [2-|2-a |]
1 1 1 1 1 1
分情况讨论如何：
第14页 | 共20页当2-a ³0时，(2-a )2 = a [2-（2-a）= a 2 Þ a =1，且a £ 2
1 1 1 1 1 1 1
当2-a <0时，(2-a )2 = a [2-（a -2）= a (4-a )Þ 2a 2 -8a +4=0Þ a 2 -4a +4= 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Þ2a 2 -8a +4=0Þ(a -2)2 =2Þa =2+ 2，且a ³2
1 1 1 1 1
综上，a =1，或a =2+ 2
1 1
（3）假设存在公差为d的等差数列{a }满足题意，,则：nÎN*,a =2-|a |=a +d
n n+1 n n
Þ2-d =a +|a |.讨论如下:
n n
当a =m即数列{a }为常数数列时，d =0,2=2a Þa =1Þa =1
n n n n 1
当数列{a }不是常数数列时Þa <0，2-d =0Þd =2Þa >0,所以不满足题意。
n n n
综上，存在a =1的等差数列{a },且a =1满足题意。
1 n n
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分
9分.
x2
如图，已知双曲线C: - y2 =1，曲线C: y = x +1.P是平面内一点.若存在过点P的直
1 2 2
线与C、C都有共同点，则称P为“C-C型点”.
1 2 1 2
（1）在正确证明C的左焦点是“C-
1 1
C型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
2
（2）设直线y=kx与C有公共点，求证 k ＞1，进而证明圆点不是“C-C型点”；
2 1 2
1
（3）求证：圆x2 + y2 = 内的点都不是“C-C型点”.
1 2
2
【答案】 （1） 3y-x- 3 =0
【解析】 （1）
x2
由C 方程： - y2 =1可知：a2 = 2,b2 =1,c2 = a2 +b2 =3,F (- 3,0)
1 2 1
显然，由双曲线C 的几何图像性质可知，过F的任意直线都与曲线C 相交.从曲线
1 1 1
C 图像上取点P(0,1),则直线PF与两曲线C、C 均有交点。这时直线方程为
2 1 1 2
3
y = (x+ 3)Þ 3y-x- 3 =0
3
（2） 先证明“若直线y=kx与C 有公共点，则 k ＞1”.
2
第15页 | 共20页b 1
双曲线C的渐近线：y =± x=± x.
1 a 2
1 1
若直线y = kx与双曲线C 有交点，则kÎA=（- , ）.
1
2 2
若直线y = kx与双曲线C 有交点，则kÎB =（-¥，-1）（1，¥）.
2
所以直线y=kx与C 有公共点，则 k ＞1 . （证毕）
2
AB =,直线y = kx与曲线C、C 不能同时有公共交点。
1 2
所以原点不是“C-C型点”；（完）
1 2
1
（3）设直线l过圆x2 + y2 = 内一点，则直线l斜率不存在时与曲线C 无交点。
2 1
|m| 1
设直线l方程为：y = kx + m，则： < Þ 2m2 -1< k2
k2 +1 2
假设直线l与曲线C 相交上方，则y ³1
2
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