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2013年上海市秋季高考理科数学
一、填空题
n+20
1．计算：lim = ______
n®¥3n+13
n+20 1
【解答】根据极限运算法则，lim = ．
n®¥3n+13 3
2．设mÎR，m2 +m-2+(m2 -1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ________
ìm2 +m-2=0
【解答】í Þm=-2．
î m2 -1¹0
x2 y2 x x
3．若 = ，则x+ y = ______
-1 1 y -y
【解答】x2 + y2 =-2xyÞ x+ y =0．
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若3a2 +2ab+3b2 -3c2 =0，则
角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
2
【解答】3a2 +2ab+3b2 -3c2 =0Þc2 =a2 +b2 + ab，故
3
1 1
cosC =- ,C =p-arccos ．
3 3
5
æ aö
5．设常数aÎR，若ç x2 +
÷
的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= ______
è xø
a
【解答】T =Cr(x2)5-r( )r,2(5-r)-r =7Þr =1，故C1a=-10Þa=-2．
r+1 5 x 5
3 1
6．方程 + =3x-1的实数解为________
3x -1 3
【解答】原方程整理后变为32x -2×3x -8=0Þ3x =4Þ x=log 4．
3
7．在极坐标系中，曲线r=cosq+1与rcosq=1的公共点到极点的距离为__________
1± 5 1+ 5
【解答】联立方程组得r(r-1)=1Þr= ，又r³0，故所求为 ．
2 2
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两
个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
C2 13
【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1- 5 = ．
C2 18
9
p
9．设AB是椭圆G的长轴，点C在G上，且ÐCBA= ，若AB=4，BC = 2，则G的两
4
个焦点之间的距离为________
x2 y2
【解答】不妨设椭圆G的标准方程为 + =1，于是可算得C(1,1)，得
4 b2
4 4 6
b2 = ,2c= ．
3 3
10．设非零常数d是等差数列x ,x ,x , ,x 的公差，随机变量x等可能地取值
1 2 3 L 19
x ,x ,x , ,x ，则方差Dx= _______
1 2 3 L 19
第1页 | 共8页d2
【解答】Ex= x ，Dx= (92 +82 + +12 +02 +12 + +92) = 30|d |．
10 19 L L
1 2
11．若cosxcosy+sinxsin y = ,sin2x+sin2y = ，则sin(x+ y)= ________
2 3
1 2
【解答】cos(x- y)= ，sin2x+sin2y =2sin(x+ y)cos(x- y)= ，故
2 3
2
sin(x+ y)= ．
3
a2
12．设a为实常数，y = f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时， f(x)=9x+ +7，
x
若 f(x)³a+1对一切x³0成立，则a的取值范围为________
a2
【解答】 f(0)=0，故0³a+1Þa£-1；当x>0时， f(x)=9x+ -7³a+1
x
8
即6|a|³a+8，又a£-1，故a£- ．
7
13．在xOy平面上，将两个半圆弧(x-1)2 + y2 =1(x³1)
和(x-3)2 + y2 =1(x³3)、两条直线y =1和y =-1围成
的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而
成的几何体为W，过(0,y)(| y|£1)作W的水平截面，所得
截面面积为4p 1- y2 +8p，试利用祖暅原理、一个平放
的圆柱和一个长方体，得出W的体积值为__________
【解答】根据提示，一个半径为1，高为2p的圆柱平放，
一个高为2，底面面积8p的长方体，这两个几何体与W放
在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即W的
体积值为p×12×2p+2×8p=2p2 +16p．
14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)={y| y = g(x),xÎI}，已知定义域为[0,3]的
函数y = f(x)有反函数y = f -1(x)，且 f -1([0,1))=[1,2), f -1((2,4])=[0,1)，若方程
f(x)-x=0有解x ，则x = _____
0 0
【解答】根据反函数定义，当xÎ[0,1)时， f(x)Î(2,4]；xÎ[1,2)时， f(x)Î[0,1)，
而y = f(x)的定义域为[0,3]，故当xÎ[2,3]时， f(x)的取值应在集合
(-¥,0)È[1,2]È(4,+¥)，故若 f(x )= x ，只有x =2．
0 0 0
二、选择题
15．设常数aÎR，集合A={x|(x-1)(x-a)³0},B={x|x³a-1}，若AÈB= R，
则a的取值范围为（ ）
(A) (-¥,2) (B) (-¥,2] (C) (2,+¥) (D) [2,+¥)
ì a³1 ì a£1
【解答】集合A讨论后利用数轴可知，í 或í ，解答选项为B．
îa-1£1 îa-1£a
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
【解答】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．
17．在数列{a }中，a =2n -1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素
n n
a =a ×a +a +a ，（i =1,2, ,7; j =1,2, ,12）则该矩阵元素能取到的不同数值的
i,j i j i j L L
个数为（ ）
第2页 | 共8页(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
【解答】a =a ×a +a +a =2i+j -1，而i+ j =2,3, ,19，故不同数值个数为18个，
i,j i j i j L
选A．
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
ur uur uur uur uur uur uur uur uur uur
a ,a ,a ,a ,a ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d ,d ,d ,d ,d .若m,M 分
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
ur uur uur uur uur uur
别为(a +a +a )×(d +d +d )的最小值、最大值，其中{i, j,k}Í{1,2,3,4,5},
i j k r s t
{r,s,t}Í{1,2,3,4,5},则m,M 满足（ ）.
(A) m=0,M >0 (B) m<0,M >0 (C) m<0,M =0 (D)
m<0,M <0
uuur uuur uuur uuur ur uur
【解答】作图知，只有AF×DE = AB×DC >0，其余均有a ×d £0，故选D．
i r
三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-
A B C D 中，AB=2,AD=1,A A=1，证明直线BC 平行于平面DA C，并
1 1 1 1 1 1 1
D
求直线BC 到平面D AC的距离. C
1 1
A
【解答】因为ABCD-A B C D 为长方体，故AB//C D,AB=C D ， B
1 1 1 1 1 1 1 1
故ABC D 为平行四边形，故BC // AD ，显然B不在平面D AC上，于 C
1 1 1 1 1 1
D
1
是直线BC 平行于平面DA C； A
1 1 1 B
1
直线BC 到平面D AC的距离即为点B到平面D AC的距离设为
1 1 1
h
1 1 1
考虑三棱锥ABCD 的体积，以ABC为底面，可得V = ´( ´1´2)´1=
1
3 2 3
3
而DADC中，AC = DC = 5,AD = 2 ，故S =
1 1 1 DAD 1 C 2
1 3 1 2 2
所以，V = ´ ´h= Þh= ，即直线BC 到平面D AC的距离为 ．
1 1
3 2 3 3 3
20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求
3
1£ x£10），每小时可获得利润是100(5x+1- )元.
x
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大
利润.
3 3
【解答】(1)根据题意，200(5x+1- )³3000Þ5x-14- ³0
x x
又1£ x£10，可解得3£ x£10
900 3 1 1 61
(2)设利润为y元，则y = ×100(5x+1- )=9´104[-3( - )2 + ]
x x x 6 12
故x=6时，y =457500元．
max
21．（6分+8分）已知函数 f(x)=2sin(wx)，其中常数w>0；
p 2p
（1）若y = f(x)在[- , ]上单调递增，求w的取值范围；
4 3
第3页 | 共8页p
（2）令w=2，将函数y = f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函
6
数y = g(x)的图像，区间[a,b]（a,bÎR且a0，根据题意有
ì p p
- w³-
ï ï 4 2 3
í Þ01，进而证明原点不是“C —C 型点”；
2 1 2
1
(3)求证：圆x2 + y2 = 内的点都不是“C —C 型点”．
1 2
2
2
【解答】：（1）C 的左焦点为F(- 3,0)，过F的直线x=- 3与C 交于(- 3,± )，
1 1
2
与C 交于(- 3,±( 3+1))，故C 的左焦点为“C -C 型点”，且直线可以为x=- 3；
2 1 1 2
（2）直线y =kx与C 有交点，则
2
ì y =kx
í Þ(|k|-1)|x|=1，若方程组有解，则必须|k|>1；
î| y|=|x|+1
直线y =kx与C 有交点，则
2
ì y =kx 1
í Þ(1-2k2)x2 =2，若方程组有解，则必须k2 <
îx2 -2y2 =2 2
故直线y =kx至多与曲线C 和C 中的一条有交点，即原点不是“C -C 型点”。
1 2 1 2
1
（3）显然过圆x2 + y2 = 内一点的直线l若与曲线C 有交点，则斜率必存在；
1
2
根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C 交于点(t,t+1)(t ³0)，则
2
l: y =(t+1)=k(x-t)Þkx- y+(1+t-kt)=0
1 |1+t-kt| 2
直线l与圆x2 + y2 = 内部有交点，故 <
2 k2 +1 2
1
化简得，(1+t-tk)2 < (k2 +1)。。。。。。。。。。。。①
2
若直线l与曲线C 有交点，则
1
ìy =kx-kt+t+1
ï 1
í x2 Þ(k2 - )x2 +2k(1+t-kt)x+(1+t-kt)2 +1=0
- y2 =1 2
ï
î 2
1
D=4k2(1+t-kt)2 -4(k2 - )[(1+t-kt)2 +1]³0Þ(1+t-kt)2 ³2(k2 -1)
2
化简得，(1+t-kt)2 ³2(k2 -1)。。。。。②
1
由①②得，2(k2 -1)£(1+t-tk)2 < (k2 +1)Þk2 <1
2
1
但此时，因为t ³0,[1+t(1-k)]2 ³1, (k2 +1)<1，即①式不成立；
2
1
当k2 = 时，①式也不成立
2
第5页 | 共8页1
综上，直线l若与圆x2 + y2 = 内有交点，则不可能同时与曲线C 和C 有交点，
1 2
2
1
即圆x2 + y2 = 内的点都不是“C -C 型点” ．
1 2
2
23．（3 分+6分+9分）给定常数c>0，定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|，数列
a ,a ,a , 满足a = f(a ),nÎN*.
1 2 3 L n+1 n
（1）若a =-c-2，求a 及a ；（2）求证：对任意nÎN*,a -a ³c，；
1 2 3 n+1 n
（3）是否存在a ，使得a ,a , a , 成等差数列？若存在，求出所有这样的a ，若不存
1 1 2 L n L 1
在，说明理由.
【解答】：（1）因为c>0，a =-(c+2)，故a = f(a )=2|a +c+4|-|a +c|=2
1 2 1 1 1
，
a = f(a )=2|a +c+4|-|a +c|=c+10
3 1 2 2
（2）要证明原命题，只需证明 f(x)³ x+c对任意xÎR都成立，
f(x)³ x+cÛ 2|x+c+4|-|x+c|³ x+c
即只需证明2|x+c+4|³|x+c|+x+c
若x+c£0，显然有2|x+c+4|³|x+c|+x+c=0成立；
若x+c>0，则2|x+c+4|³|x+c|+x+cÛ x+c+4> x+c显然成立
综上， f(x)³ x+c恒成立，即对任意的nÎN*，a -a ³c
n+1 n
（3）由（2）知，若{a }为等差数列，则公差d ³c>0，故n无限增大时，总有a >0
n n
此时，a = f(a )=2(a +c+4)-(a +c)=a +c+8
n+1 n n n n
即d =c+8
故a = f(a )=2|a +c+4|-|a +c|=a +c+8，
2 1 1 1 1
即2|a +c+4|=|a +c|+a +c+8，
1 1 1
当a +c³0时，等式成立，且n³2时，a >0，此时{a }为等差数列，满足题意；
1 n n
若a +c<0，则|a +c+4|=4Þa =-c-8，
1 1 1
此时，a =0,a =c+8, ,a =(n-2)(c+8)也满足题意；
2 3 L n
综上，满足题意的a 的取值范围是[-c,+¥)È{-c-8}．
1
22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分6分，第2小题满分5分，第3小题满
分8分．
x2
如图，已知双曲线C ： - y2 =1，曲线C ：| y|=|x|+1．P是平面内一点，若存
1 2 2
在过点P的直线与C 、C 都有公共点，则称P为“C - C 型点”．
1 2 1 2
（1）在正确证明C 的左焦点是“C - C 型点”时，要使
1 1 2
用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（
不要求验证）；
（2）设直线y =kx与C 有公共点，求证|k|>1，进而证
2
明原点不是“C - C 型点；
1 2
1
（3）求证：圆x2 + y2 = 内的点都不是“C - C 型点”
2 1 2
．
第6页 | 共8页2
22．解：（1）C 的左焦点为F(- 3,0)，过F的直线x=- 3与C 交于(- 3,± )，与
1 1
2
C 交于(- 3,±( 3+1))，故C 的左焦点为“C -C 型点”，且直线可以为x=- 3；
2 1 1 2
（2）直线y =kx与C 有交点，则
2
ì y =kx
í Þ(|k|-1)|x|=1，若方程组有解，则必须|k|>1；
î| y|=|x|+1
直线y =kx与C 有交点，则
2
ì y =kx 1
í Þ(1-2k2)x2 =2，若方程组有解，则必须k2 <
îx2 -2y2 =2 2
故直线y =kx至多与曲线C 和C 中的一条有交点，即原点不是“C -C 型点”。
1 2 1 2
1
（3）显然过圆x2 + y2 = 内一点的直线l若与曲线C 有交点，则斜率必存在；
1
2
根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C 交于点(t,t+1)(t ³0)，则
2
l: y =(t+1)=k(x-t)Þkx- y+(1+t-kt)=0
1 |1+t-kt| 2
直线l与圆x2 + y2 = 内部有交点，故 <
2 k2 +1 2
1
化简得，(1+t-tk)2 < (k2 +1)。。。。。。。。。。。。①
2
若直线l与曲线C 有交点，则
1
ìy =kx-kt+t+1
ï 1
í x2 Þ(k2 - )x2 +2k(1+t-kt)x+(1+t-kt)2 +1=0
- y2 =1 2
ï
î 2
1
D=4k2(1+t-kt)2 -4(k2 - )[(1+t-kt)2 +1]³0Þ(1+t-kt)2 ³2(k2 -1)
2
化简得，(1+t-kt)2 ³2(k2 -1)。。。。。②
1
由①②得，2(k2 -1)£(1+t-tk)2 < (k2 +1)Þk2 <1
2
1
但此时，因为t ³0,[1+t(1-k)]2 ³1, (k2 +1)<1，即①式不成立；
2
1
当k2 = 时，①式也不成立
2
1
综上，直线l若与圆x2 + y2 = 内有交点，则不可能同时与曲线C 和C 有交点，
1 2
2
1
即圆x2 + y2 = 内的点都不是“C -C 型点”。
1 2
2
23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满
分9分．
给定常数c>0，定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|．数列a ，a ，a ，…满足
1 2 3
a = f(a ),nÎN*．
n+1 n
（1）若a =-c-2，求a 及a ；
1 2 3
（2）求证：对任意nÎN*，a -a ³c；
n+1 n
第7页 | 共8页（3）是否存在a ，使得a ，a ，a ，…，a …成等差数列？若存在，求出所有这样的
1 1 2 3 n
a ；若不存在，说明理由．
1
23．解：（1）因为c>0，a =-(c+2)，故a = f(a )=2|a +c+4|-|a +c|=2，
1 2 1 1 1
a = f(a )=2|a +c+4|-|a +c|=c+10
3 1 2 2
（2）要证明原命题，只需证明 f(x)³ x+c对任意xÎR都成立，
f(x)³ x+cÛ 2|x+c+4|-|x+c|³ x+c
即只需证明2|x+c+4|³|x+c|+x+c
若x+c£0，显然有2|x+c+4|³|x+c|+x+c=0成立；
若x+c>0，则2|x+c+4|³|x+c|+x+cÛ x+c+4> x+c显然成立
综上， f(x)³ x+c恒成立，即对任意的nÎN*，a -a ³c
n+1 n
（3）由（2）知，若{a }为等差数列，则公差d ³c>0，故n无限增大时，总有a >0
n n
此时，a = f(a )=2(a +c+4)-(a +c)=a +c+8
n+1 n n n n
即d =c+8
故a = f(a )=2|a +c+4|-|a +c|=a +c+8，
2 1 1 1 1
即2|a +c+4|=|a +c|+a +c+8，
1 1 1
当a +c³0时，等式成立，且n³2时，a >0，此时{a }为等差数列，满足题意；
1 n n
若a +c<0，则|a +c+4|=4Þa =-c-8，
1 1 1
此时，a =0,a =c+8, ,a =(n-2)(c+8)也满足题意；
2 3 L n
综上，满足题意的a 的取值范围是[-c,+¥)È{-c-8}。
1
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