文档内容
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M
中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．
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有
【专题】11：计算题．
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数
即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查
计算能力．
2．（5分） =（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
【考点】A5：复数的运算．
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【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（
），化简即可．
第1页 | 共20页【解答】解：
故选：A．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
3．（5分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），
则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵ ， ．
∴ =（2λ+3，3）， ．
∵ ，
∴ =0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域
为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
【考点】33：函数的定义域及其求法．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
第2页 | 共20页【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣ ．
∴则函数f（2x+1）的定义域为 ．
故选：B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
5．（5分）函数f（x）=log （1+ ）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
2
A． B． C．2x﹣1（x∈R）
D．2x﹣1（x＞0）
【考点】4R：反函数．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】把y看作常数，求出x：x= ，x，y互换，得到y=log （1+ ）的反
2
函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=log （1+ ），
2
把y看作常数，求出x：
1+ =2y，x= ，其中y＞0，
x，y互换，得到y=log （1+ ）的反函数：y= ，
2
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式
和指数式的相互转化．
6．（5分）已知数列{a }满足3a +a =0，a =﹣ ，则{a }的前10项和等于（
n n+1 n 2 n
）
A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
第3页 | 共20页【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由已知可知，数列{a }是以﹣ 为公比的等比数列，结合已知
n
可求a ，然后代入等比数列的求和公式可求
1
【解答】解：∵3a +a =0
n+1 n
∴
∴数列{a }是以﹣ 为公比的等比数列
n
∵
∴a =4
1
由等比数列的求和公式可得，S = =3（1﹣3﹣10）
10
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基
础试题
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数
为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为T =C rxr
r+1 3
令r=2得到展开式中x2的系数是C 2=3，
3
（1+y）4的展开式的通项为T =C ryr
r+1 4
令r=2得到展开式中y2的系数是C 2=6，
4
第4页 | 共20页（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，
本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解
决的．
8．（5分）椭圆C： 的左、右顶点分别为A 、A ，点P在C上且直线PA
1 2 2
斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 斜率的取值范围是（ ）
1
A． B． C． D．
【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆C： 可知其左顶点A （﹣2，0），右顶点A （2，0）
1 2
．设P（x ，y ）（x ≠±2），代入椭圆方程可得 ．利用斜率计算公
0 0 0
式可得 ，再利用已知给出的 的范围即可解出．
【解答】解：由椭圆C： 可知其左顶点A （﹣2，0），右顶点A （2，
1 2
0）．
设P（x ，y ）（x ≠±2），则 ，得 ．
0 0 0
∵ = ， = ，
∴ = = ，
∵ ，
第5页 | 共20页∴ ，解得 ．
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质
等是解题的关键．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+ 是增函数，则a的取值范围是（
）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】53：导数的综合应用．
【分析】由函数 在（ ，+∞）上是增函数，可得
≥0在（ ，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥ ﹣2x在（
，+∞）上恒成立，构造函数求出 ﹣2x在（ ，+∞）上的最值，可得a的取
值范围．
【解答】解：∵ 在（ ，+∞）上是增函数，
故 ≥0在（ ，+∞）上恒成立，
即a≥ ﹣2x在（ ，+∞）上恒成立，
令h（x）= ﹣2x，
则h′（x）=﹣ ﹣2，
当x∈（ ，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（ ）=3
∴a≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导
第6页 | 共20页数的综合应用，难度中档．
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，则CD与平面BDC 所成
1 1 1 1 1 1
角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
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【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】设AB=1，则AA =2，分别以 的方向为x轴、y轴、z
1
轴的正方向建立空间直角坐标系，设 =（x，y，z）为平面BDC 的一个法向
1
量，CD与平面BDC 所成角为θ，
1
则sinθ=| |，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA =2，分别以 的方向为x轴、y轴
1
、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C （1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
1
=（1，1，0）， =（1，0，﹣2）， =（1，0，0），
设 =（x，y，z）为平面BDC 的一个法向量，则 ，即 ，取 =
1
（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC 所成角为θ，则sinθ=| |= ，
1
第7页 | 共20页故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理
解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为
k的直线与C交于A，B两点，若 ，则k=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．
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【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用 =
（x +2，y ﹣2）•（x +2，y ﹣2）=0，即可求出k的值．
1 1 2 2
【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 2
∴x +x =4+ ，x x =4．
1 2 1 2
∴y +y = ，y y =﹣16，
1 2 1 2
又 =0，
∴ =（x +2，y ﹣2）•（x +2，y ﹣2）= =0
1 1 2 2
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学
生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
第8页 | 共20页B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．
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【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B
两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的
关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三
次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为 ，故C不
正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得
本题的答案．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，
f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
对于B，因为f（ +x）=cos（ +x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x
，
f（ ﹣x）=cos（ ﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（ +x）=f（ ﹣x
），
可得y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确；
对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+ t）（1﹣ t）
∴当t∈（﹣1，﹣ ）时或t∈（ ，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
当t∈（﹣ ， ）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t= 时的函数值，
第9页 | 共20页结合g（﹣1）=0＜g（ ）= ，可得g（t）的最大值为 ．
由此可得f（x）的最大值为 而不是 ，故C不正确；
对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x
）是奇函数．
因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又
是周期函数，得D正确．
综上所述，只有C项不正确．
故选：C．
【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考
查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等
知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣ ，则cotα= 2 ．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角
三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．
【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，
又sinα=﹣ ，所以cosα=﹣ =﹣
则cotα= =2
故答案为：2
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道
基础题．学生做题时注意α的范围．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480
第10页 | 共20页种．（用数字作答）
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位
中即可．
【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲
、乙两人外的4人，有 中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有 种方法，
所以共有： =480．
故答案为：480．
【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题
．
15．（5分）记不等式组 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与
D有公共点，则a的取值范围是 [ ，4] ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条
件
的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（
x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
第11页 | 共20页所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a= ．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以 ≤a≤4．
故答案为：[ ，4]
【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束
条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标
函数⇒④验证，求出最优解．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，
，则球O的表面积等于 16π
．
【考点】LG：球的体积和表面积．
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【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
根据题意得OC= ，CK=
在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即
∴r2=4
∴球O的表面积等于4πr2=16π
故答案为16π
第12页 | 共20页【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{a }的前n项和为S ．已知S =a 2，且S ，S ，S 成等比数
n n 3 2 1 2 4
列，求{a }的通项式．
n
【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．
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【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由 ，结合等差数列的求和公式可求a ，然后由 ，
2
结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由 得，3
∴a =0或a =3
2 2
由题意可得，
∴
若a =0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意
2
若a =3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
2
解可得d=0或d=2
∴a =3或a =2n﹣1
n n
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的
性质的简单应用，属于基础试题
第13页 | 共20页18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c
）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC= ，求C．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．
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【专题】58：解三角形．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式
，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的
内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C
），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用
特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴cosB= =﹣ ，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC= ，cos（A+C）= ，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2s
inAsinC= +2× = ，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三
角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与
第14页 | 共20页△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．
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【专题】11：计算题；5G：空间角．
【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、O
B、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因
此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE
∥CD，因此PB⊥CD；
（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC
的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠
AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设
AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，
算出∠AFG=π﹣arccos ，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．
【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
第15页 | 共20页则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面
角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2 ，EG= PB=1，故AG= =3
在△AFG中，FG= CD= ，AF= ，AG=3
∴cos∠AFG= =﹣ ，得∠AFG=π﹣arccos ，
即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos ．
【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大
小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面
的大小等知识，属于中档题．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁
判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率
均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差
．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）令A 表示第2局结果为甲获胜，A 表示第3局甲参加比赛时，结果
1 2
为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独
第16页 | 共20页立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后
求出期望值即可．
【解答】解：（I）令A 表示第2局结果为甲获胜．A 表示第3局甲参加比赛时，
1 2
结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A •A ，P（A）=P（A •A ）=P（A ）P（A ）= ；
1 2 1 2 1 2
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A 表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜
3
．
B 表示第1局结果为乙获胜，B 表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B 表示
1 2 3
第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B B ）=P（B ）P（B ）P（ ）= ．
1 2 1 2
P（X=2）=P（ B ）=P（ ）P（B ）= ．
3 3
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）= ．
从而EX=0× +1× +2× = ．
【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等
知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．
21．（12分）已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F
1
，F ，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 ．
2
（I）求a，b；
（II）设过F 的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF |=|BF |，
2 1 1
证明：|AF |、|AB|、|BF |成等比数列．
2 2
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
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【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲
线的定义、性质与方程．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程
第17页 | 共20页用参数a表示出来，再由直线 建立方程求出
参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x ，y ），B（x
1 1 2
，y ），将其与双曲线C的方程联立，得出x +x = ， ，再
2 1 2
利用|AF |=|BF |建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系
1 1
，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF |、
2
|AB|、|BF |，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
2
【解答】解：（I）由题设知 =3，即 =9，故b2=8a2
所以C的方程为8x2﹣y2=8a2
将y=2代入上式，并求得x=± ，
由题设知，2 = ，解得a2=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F （﹣3，0），F （3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①
1 2
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2 代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣
6k2x+9k2+8=0
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则x ≤﹣1，x ≥1，x +x = ， ，于是
1 2 1 2
|AF |= =﹣（3x +1），
1 1
|BF |= =3x +1，
1 2
|AF |=|BF |得﹣（3x +1）=3x +1，即
1 1 1 2
故 = ，解得 ，从而 =﹣
由于|AF |= =1﹣3x ，
2 1
第18页 | 共20页|BF |= =3x ﹣1，
2 2
故|AB|=|AF |﹣|BF |=2﹣3（x +x ）=4，|AF ||BF |=3（x +x ）﹣9x x ﹣1=16
2 2 1 2 2 2 1 2 1 2
因而|AF ||BF |=|AB|2，所以|AF |、|AB|、|BF |成等比数列
2 2 2 2
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的
转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，
一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过
程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
22．（12分）已知函数 ．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a }的通项a =1+ ．
n n
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式
的综合．
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【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与
等比数列．
【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单
调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，
即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ= ，由于x＞0时，f（x）＜0得出
，考察发现，若取x= ，则可得出 ，
以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，
f′（x）= = ，
∴f′（0）=0
欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，
+∞）上f′（x）＜0恒成立，
第19页 | 共20页当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜ 时，由f′（x）＞0解得x＜ ，则当0＜x＜ ，f′（x）＞0，
所以当0＜x＜ 时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥ ，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函
数，所以当x＞0时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥ ，即λ的最小值为
（ II）令λ= ，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x= ，则
于是a ﹣a + = + +…+ +
2n n
=
=
=
= ＞ =ln2n﹣lnn=ln2
所以
【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题
的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及
转化化归的思想，有一定的难度
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