文档内容
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答
一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题
n+20
1．计算：lim = ______
n®¥3n+13
2．设mÎR，m2 +m-2+(m2 -1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ________
x2 y2 x x
3．若 = ，则x+ y = ______
-1 1 y -y
4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若3a2 +2ab+3b2 -3c2 =0，则
角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）
5
æ aö
5．设常数aÎR，若ç x2 +
÷
的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= ______．
è xø
3 1
6．方程 + =3x-1的实数解为________
3x -1 3
7．在极坐标系中，曲线r=cosq+1与rcosq=1的公共点到极点的距离为__________
．
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两
个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
p
9．设AB是椭圆G的长轴，点C在G上，且ÐCBA= ，若AB=4，BC = 2，则G的两
4
个焦点之间的距离为________
10．设非零常数d是等差数列x ,x ,x , ,x 的公差，随机变量x等可能地取值
1 2 3 L 19
x ,x ,x , ,x ，则方差Dx= _______
1 2 3 L 19
1 2
11．若cosxcosy+sinxsin y = ,sin2x+sin2y = ，则sin(x+ y)= ________．
2 3
a2
12．设a为实常数，y = f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时， f(x)=9x+ +7，
x
若 f(x)³a+1对一切x³0成立，则a的取值范围为________
13．在xOy平面上，将两个半圆弧(x-1)2 + y2 =1(x³1)
和(x-3)2 + y2 =1(x³3)、两条直线y =1和y =-1围成
的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而
成的几何体为W，过(0,y)(| y|£1)作W的水平截面，所得
第1页 | 共5页截面面积为4p 1- y2 +8p，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出W
的体积值为__________
14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)={y| y = g(x),xÎI}，已知定义域为[0,3]的
函数y = f(x)有反函数y = f -1(x)，且 f -1([0,1))=[1,2), f -1((2,4])=[0,1)，若方程
f(x)-x=0有解x ，则x = _____
0 0
二、选择题
15．设常数aÎR，集合A={x|(x-1)(x-a)³0},B={x|x³a-1}，若AÈB= R，
则a的取值范围为（ ）
(A) (-¥,2) (B) (-¥,2] (C) (2,+¥) (D) [2,+¥)
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
17．在数列{a }中，a =2n -1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素
n n
a =a ×a +a +a ，（i =1,2, ,7; j =1,2, ,12）则该矩阵元素能取到的不同数值的
i,j i j i j L L
个数为（ ）
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为
ur uur uur uur uur uur uur uur uur uur
a ,a ,a ,a ,a ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d ,d ,d ,d ,d .若m,M 分
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
ur uur uur uur uur uur
别为(a +a +a )×(d +d +d )的最小值、最大值，其中{i, j,k}Í{1,2,3,4,5},
i j k r s t
{r,s,t}Í{1,2,3,4,5},则m,M 满足（ ）.
(A) m=0,M >0 (B) m<0,M >0 (C) m<0,M =0 (D) m<0,M <0
三、解答题
19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-
A B C D 中，AB=2,AD=1,A A=1，证明直线BC 平行于平面DA C，并
1 1 1 1 1 1 1
D
求直线BC 到平面D AC的距离. C
1 1
A
B
C
1
D
1
A
1 B
1
20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1£ x£10）
3
，每小时可获得利润是100(5x+1- )元.
x
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大
利润.
第2页 | 共5页21．（6分+8分）已知函数 f(x)=2sin(wx)，其中常数w>0；
p 2p
（1）若y = f(x)在[- , ]上单调递增，求w的取值范围；
4 3
p
（2）令w=2，将函数y = f(x)的图像向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函
6
数y = g(x)的图像，区间[a,b]（a,bÎR且a1，进而证明原点不是“C —C 型点”；
2 1 2
1
(3)求证：圆x2 + y2 = 内的点都不是“C —C 型点”．
1 2
2
23．（3 分+6分+9分）给定常数c>0，定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|，数列
a ,a ,a , 满足a = f(a ),nÎN*.
1 2 3 L n+1 n
（1）若a =-c-2，求a 及a ；（2）求证：对任意nÎN*,a -a ³c，；
1 2 3 n+1 n
（3）是否存在a ，使得a ,a , a , 成等差数列？若存在，求出所有这样的a ，若不存
1 1 2 L n L 1
在，说明理由.
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