文档内容
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟.
第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,
并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上,
答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,
用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A, B互斥, 那么
P(AÈB)=P(A)+P(B)
·棱柱的体积公式V=Sh，
其中S表示棱柱的底面面积,
h表示棱柱的高.
·如果事件A, B相互独立, 那么
P(AB)=P(A)P(B)
4
·球的体积公式V = pR3.
3
其中R表示球的半径.
第1页 | 共12页一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则AÇB=
(A) (-¥,2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]
ì3x+ y-6³0,
ï
(2) 设变量x, y满足约束条件íx- y-2£0, 则目标函数z =
ï
îy-3£0,
y－2x的最小值为
(A) －7 (B) －4
(C) 1 (D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1,
则输出S的值为
(A) 64 (B) 73
(C) 512 (D) 585
(4) 已知下列三个命题:
1
①若一个球的半径缩小到原来的 ,
2
1
则其体积缩小到原来的 ;
8
②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
1
③直线x + y + 1 = 0与圆x2 + y2 = 相切.
2
其中真命题的序号是:
(A) ①②③ (B) ①②
(C) ①③ (D) ②③
(5)
x2 y2
已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2 =2px(p>0)的准线分别交于A,
a2 b2
B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为 3, 则p =
3
(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3
2
p
(6) 在△ABC中, ÐABC = ,AB= 2,BC =3,则sinÐBAC =
4
10 10 3 10 5
(A) (B) (C) (D)
10 5 10 5
(7) 函数 f(x)=2x |log x|-1的零点个数为
0.5
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
é 1 1ù
(8) 已知函数 f(x)=x(1+a|x|). 设关于x的不等式 f(x+a)< f(x) 的解集为A, 若 - , Í A,
ê ú
ë 2 2û
则实数a的取值范围是
第2页 | 共12页æ1- 5 ö æ1- 3 ö
(A) ç ,0÷ (B) ç ,0÷
ç ÷ ç ÷
2 2
è ø è ø
æ1- 5 ö æ 1+ 3ö æ 1- 5ö
(C) ç ,0÷Èç0, ÷ (D) ç-¥, ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
2 2 2
è ø è ø è ø
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .
6
æ 1 ö
(10) çx- ÷ 的二项展开式中的常数项为 .
è xø
æ pö
(11) 已知圆的极坐标方程为r=4cosq, 圆心为C, 点P的极坐标为 ç4, ÷ , 则|CP| = .
è 3ø
(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, ÐBAD=60°, E为CD的中点. 若
uuur uuur
AC·BE＝1, 则AB的长为 .
(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A
做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE
= 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .
1 |a|
(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, + 取得最小值.
2|a| b
三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
æ pö
已知函数 f(x)=- 2sinç2x+ ÷+6sinxcosx-2cos2x+1,xÎR.
è 4ø
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
é pù
(Ⅱ) 求f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.
ê ú
ë 2û
第3页 | 共12页(16) (本小题满分13分)
一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张,
编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
(17) (本小题满分13分)
如图, 四棱柱ABCD－A B C D 中,
1 1 1 1
侧棱A A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1,
1
AA = AB = 2, E为棱AA 的中点.
1 1
(Ⅰ) 证明B C ⊥CE;
1 1
(Ⅱ) 求二面角B －CE－C 的正弦值.
1 1
(Ⅲ) 设点M在线段C E上,
1
2
且直线AM与平面ADD A 所成角的正弦值为 ,
1 1
6
求线段AM的长.
(18) (本小题满分13分)
x2 y2 3
设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F, 离心率为 ,
a2 b2 3
4 3
过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
3
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
uuuruuur uuuruuur
AC·DB+ AD·CB=8, 求k的值.
(19) (本小题满分14分)
3
已知首项为 的等比数列{a }不是递减数列, 其前n项和为S (nÎN*), 且S + a , S + a , S +
2 n n 3 3 5 5 4
a 成等差数列.
4
(Ⅰ) 求数列{a }的通项公式;
n
1
(Ⅱ) 设T =S - (nÎN*), 求数列{T }的最大项的值与最小项的值.
n n S n
n
(20) (本小题满分14分)
已知函数 f(x)=x2lnx.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t= f(s).
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s=g(t), 证明: 当t>e2时, 有
第4页 | 共12页2 lng(t) 1
< < .
5 lnt 2
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(天津卷)
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：D
解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，所以A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}
．故选D.
2．
答案：A
ì3x+ y-6³0,
ï
解析：作约束条件íx- y-2£0, 所表示的可行区域，
ï
y-3£0
î
如图所示，z＝y－2x可化为y＝2x＋z，z表示直线在y轴
上的截距，截距越大z越大，作直线l：y＝2x，平移l过
0 0
点A(5,3)，此时z最小为－7，故选A.
3．
答案：B
解析：由程序框图，得x＝1时，S＝1；x＝2时，S＝9；x
＝4时，S＝9＋64＝73，结束循环输出S的值为73，故选B
.
4．
答案：C
1 4
解析：设球半径为R，缩小后半径为r，则r＝ R，而V＝ πR3，V′＝
2 3
3
4 4 æ1 ö 1 4 1
πr3 = π ç R ÷ = ´ πR3，所以该球体积缩小到原来的 ，故①为真命题；两组数据
3 3 è2 ø 8 3 8
1
的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x2＋y2＝ 的圆心到直线x＋y＋1
2
1 2
＝0的距离d＝ = ，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．
2 2
故选C.
5．
答案：C
第5页 | 共12页解析：设A点坐标为(x，y)，则由题意，得S ＝|x|·|y|＝ 3.抛物线y2＝2px的准线为
0 0 △AOB 0 0
p p b bp
x=- ，所以x =- ，代入双曲线的渐近线的方程y =± x，得|y|＝ .由
2 0 2 a 0 2a
ìc
ï =2, 3 3
ía 得b＝ 3a，所以|y|＝ p.所以S ＝ p2 = 3，解得p＝2或p＝－2(
0 △AOB
2 4
ï îa2 +b2 =c2,
舍去)．
6．
答案：C
2
解析：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝2+9-2´ 2´3´
2
AC BC 5 3
＝5，即得AC＝ 5.由正弦定理 = ，即 = ，所以sin∠
sinÐABC sinÐBAC 2 sinÐBAC
2
3 10
BAC＝ .
10
7．
答案：B
解析：函数f(x)＝2x|log x|－1的零点也就是方程2x|log x|－1＝0的根，即2x|log x|＝1
0.5 0.5 0.5
x x
æ1ö æ1ö
，整理得|log 0.5 x|＝ç ÷ .令g(x)＝|log 0.5 x|，h(x)＝ç ÷ ，作g
è2ø è2ø
(x)，h(x)的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f
(x)有两个零点．
8．
答案：A
ìax2 +x,x³0,
解析：f(x)＝x(1＋a|x|)＝í
î-ax2 +x,x<0.
é 1 1ù
若不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且 - , Í A，
ê ú
ë 2 2û
é 1 1ù
则在区间 - , 上，函数y＝f(x＋a)的图象应在函数y＝f(x)的图象的
ê ú
ë 2 2û
下边．
(1)当a＝0时，显然不符合条件．
(2)当a＞0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．
由图可知，当a＞0时，y＝f(x＋a)的图象在y＝f(x)图象的上边，故a＞0
不符合条件．
(3)当a＜0时，画出函数y＝f(x)和y＝f(x＋a)的图象大致如图．
é 1 1ù
由图可知，若f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且 - ,
ê ú
ë 2 2û
Í A，
第6页 | 共12页æ 1 ö æ 1ö
只需 f ç - +a ÷ < f ç - ÷即可，
è 2 ø è 2ø
2 2
æ 1 ö æ 1 ö æ 1ö 1
则有-a ç - +a ÷ + ç - +a ÷ <-a ç - ÷ - (a＜0)，
è 2 ø è 2 ø è 2ø 2
1- 5 1+ 5
整理，得a2－a－1＜0，解得 S - ³S - = - =- .
n S 2 S 4 3 12
n 2
7 1 5
综上，对于n∈N*，总有- £S - £ .
12 n S 6
n
5 7
所以数列{T}最大项的值为 ，最小项的值为- .
n
6 12
20．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
第11页 | 共12页1
f′(x)＝2xln x＋x＝x(2ln x＋1)，令f′(x)＝0，得x= .
e
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
æ 1 ö 1 æ 1 ö
x ç 0, ÷ ç ,+¥ ÷
è e ø e è e ø
f′(x) － 0 ＋
f(x) 极小值
æ 1 ö æ 1 ö
所以函数f(x)的单调递减区间是 0, ，单调递增区间是 ,+¥ .
ç ÷ ç ÷
è e ø è e ø
(2)证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.
设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln et－t＝t(e2t－1)＞0.
故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
(3)证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而
lng(t) lns lns lns u
= = = = ，
lnt ln f(s) ln(s2lns) 2lns+ln(lns) 2u+lnu
其中u＝ln s.
2 lng(t) 1 u
要使 < < 成立，只需0
