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重难点 09 函数的综合应用题型总结（一次函数的性质
与应用、一次函数的性质与应用、二次函数的图象性质
应用、二次函数的实际应用）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要对初中阶段学习的几大函数的中招常考题型进行整理、分析，从出题人的角度分析下函数
在中招考试中的定位。一次函数是初中阶段接触函数的基础，一次函数的图象和性质在考试中主要是以选
择、填空题的基础题型形式出现，解答题中一次函数常与方程、不等式等结合，一般会涉及到结合函数性
质进行讨论。反比例函数从表达式上较为简单，基础题型中反比例的几何意义是考试的重点，解答题中常
与几何结合，主要是涉及到面积问题、动点问题等。二次函数具有一定的难度，二次函数的图形和性质是
必考点，两种常考的表达形式需要学生灵活应用，二次函数的实际应用在近年的中招考试中出现次数较多，
在实际应用题型中需要学生具有一定的基础运算能力。二函数的图象与性质探究，主要涉及到取值范围、
交点问题、动点问题等讨论形式，本专题根据考试题型分类归纳总结。
模型01 一次函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
一次函数的性质与应用题型中图象与性质在选择和填空中考的较多，一次函数的应用主要是综合
性应用，一次函数与方程、不等式结合去考，解答题中会经常考到。在解题时需要同学们对一次函数
的图象与性质真正理解。所考题型难度中等，相对较容易得分。
答｜题｜技｜巧
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1. 审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
2. 找准自变量和因变量，根据二者之间的关系确定表达式；
3. 列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
4. 求解，求出满足题意的数值。
1．（2024·广东）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，
并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为 ， ，则关于 与 的关系，正确的是
（ ）
A． ， B． ， C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为 ，的两个点 和 ，
则 ， ，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得 ，
， ，
，
故选：C
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1．已知一次函数 的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 随 的增大而减小
D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的
关键．
根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】由图象知， ﹥ ，且 随 的增大而增大，故选项A结论正确，符合题意，C选项错误，不符
合题意；
图象与 轴交于负半轴，所以 ，B选项错误，不符合题意；
图形向上平移，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变小，当过原点后，与坐标轴围成的三角形的面积会
逐渐变大，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．已知 ，则一次函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，本题的关键是熟练掌握一次函数 中 决定函数
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的增减性， 决定与 轴交点的纵坐标．由 ， ，则可得一次函数 的 值随 值的增
大而减小，且与 轴交于正半轴，即可判断．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴一次函数 的 值随 值的增大而减小，且与 轴交于正半轴，
只有选项B符合题意，
故选：B．
3．已知一次函数 和 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 的方程组
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐
标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：∵一次函数 和 的图象的交点坐标为 ，
∴关于x，y的方程组 的解是 ．
故选：B．
4．对于某个一次函数 ，两位同学谈论了此函数的部分特点，根据对话下列判断错误的选
项为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据函数图象
不经过第二象限可得 ，再将点 代入函数解析式可得 ，据此逐项判断即可得．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第二象限，且过点 ，
∴ ，则选项A正确；
∴ ，则选项C正确；
∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，即 ， ，则选项D正确；
∴ ，则选项B错误；
故选：B．
5．如图，一次函数 与坐标轴分别交于A、B两点，点P、C分别是线段 ， 上的点，且
， ，则点P的坐标为 ．
【答案】 /
【 分 析 】 根 据 ， ， 证 明 ， 从 而 证 明 ， 得 到
，过点P作 轴，求得 ， ， ，根据点所在象限即可确定点P的坐标．
【详解】解：把 代入一次函数 得 ，
把 代入一次函数 得： ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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过点P作 轴，垂足为D，
∵ ，
,
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P在第二象限，
∴点 ，
故答案为： ．
6．一次函数 与 的图象如图所示，其交点为 ，则不等式 的解集为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先
求出两个一次函数与 轴的交点坐标，再根据不等式 表示的是直线 位于直线 的下方，
结合函数图象即可得．
【详解】解：将 代入一次函数 得： ，
∴一次函数 与 轴的交点坐标为 ，位于 轴的正半轴上，
将 代入一次函数 得： ，
∴一次函数 与 轴的交点坐标为 ，位于 轴的负半轴上，
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如图，一次函数 的图象为直线 ，一次函数 的图象为直线 ，
∵不等式 表示的是直线 位于直线 的下方，且两条直线的交点为 ，
∴结合函数图象可知，不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
7．新定义：若函数图象恒过点 ，我们称 为该函数的“永恒点”．如：一次函数
，无论 值如何变化，该函数图象恒过点 ，则点 称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数 的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数 落在 轴负半轴的定点 的坐标是__________，落在
轴正半轴的定点 的坐标是__________；
【知识迁移】点 为抛物线 的顶点，设点 到直线 的距离
为 ，点 到直线 的距离为 ，请问 是否为定值？如果是，请求出 的值；如果
不是，请说明理由．
【答案】【初步理解】 ；【理解应用】 ， ；【知识迁移】是，２
【分析】【初步理解】解析式变形为 ，求解即可;
【理解应用】由二次函数变形为 ，求解即可;
【知识迁移】由题意可得： ， ，作辅助线如解析图，则 ， ，
， ， ， ，构建相似三角形，找出比例关系即可；
【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为 ，，
当 时，无论 值如何变化，
故一次函数 必过一定点 ．
故答案为： ．
【理解应用】由二次函数变形为 ，，
当 时，无论 值如何变化，
当 时，无论 值如何变化，
故二次函数 必过定点 ， ．
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所以二次函数 落在 轴负半轴的定点 的坐标是 ，落在 轴正半轴的定
点 的坐标是 ；
故答案为： ， ．
【知识迁移】由题意得
∴ ，
由上一小题得： ，
作 轴交直线 于点 ，作 轴交直线 于点 ，则
， ， ，分别过点 、 作直线 的垂线，垂足为 、
，则 ， ， ，
，
，
∵ ， ，
即
模型02 反比例函数的性质与应用
考｜向｜预｜测
反比例函数的性质与应用是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为
知识残缺、基础不牢、技能不熟、答题不规范等原因导致失分。从考点频率看，反比例函数中的 K值和三
角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点。从题型角度看，以
解答题为主，分值9分左右，难度系数较低，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
1. 根据图象特点求解反比例的表达式；
2. 判定反比例函数的几何意义以及与其它函数或几何图形的关系；
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3. 求解反比例函数中几何特性、动点问题讨论；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏）反比例函数 ，当 时，函数 的最大值和最小值之差为
4，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
∴反比例函数 的图象在每个象限内 随 的增大而增大，
当 时，函数 的最大值和最小值之差为4，
，
解得： ．
故选：D
1．关于反比例函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限
C．当 时，y随x的增大而增大 D．当 时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根
据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：对于反比例函数 ，当 时，可有 ，
即图像经过点 ，
因为 ，所以图该函数像位于第一、三象限，当 时，y随x的增大而减小，
当 时， ，
故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意．
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 ， 在反比例函数 的图象上，对
角线 平行于 轴，坐标原点 为 的中点，若 ，则 的值为（ ）
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A．100 B．150 C．200 D．250
【答案】B
【分析】过点 作 轴点 ，由菱形的性质可得 ，又由 轴， 是
的中点， ，可证明 ，则有 ，根据反比例函数 的意义可
得 ，即可求 的值．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，
是 的中点， 是菱形，
，
，
轴，O为 的中点
∴ ，
∴ ，
，
，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
，
∵ ，
，
，
记 与 轴交于点F，
∵ ， 均垂直 轴，
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， ，
，
，
，
，
故选：B．
3．如图，在反比例函数 的图象上任取一点 ，过点 作 轴交反比例函数
的图象于点 ， 是 轴负半轴上一点，连接 ， ，则 的面积为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数，熟练利用反比例函数的解析式求点的坐标，运用三角形的面积公式是解答
此题的关键．
设点 的横坐标为 ，代入反比例函数 中，可得到 ，由于 轴，可得 ，从而可得
的长，知道 的底和高，即可得到答案．
【详解】解：设点 横坐标为
点 在 上
∵
∴
轴
∵
∴
在 上
∵
，则
∴
．
∴
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故选：A．
4．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气体体积 的反比例
函数，其图象如图所示．此函数的解析式为 ，则n的值为 ．
【答案】160
【分析】本题考查反比例函数的应用；点 代入 ，即可求解．
【详解】解：将点 代入 得： ，
解得 ，
故答案为：160．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形 在第一象限内，边 与 轴平行， 两点纵坐标分别为
6，4，反比例函数 的图象经过A，B两点．若菱形 的面积为 ，则菱形 的边长为
， 的值为 ．
【答案】 12
【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．
过点A作 轴的垂线，交 的延长线于点 ，根据A， 两点的纵坐标分别为 ， ，可得出横坐标，即
可表示 ， 的长，根据菱形的面积为 ，求得 的长；在 中，勾股定理计算 的长，
列方程即可得出 的值．
【详解】解：过点A作 轴的垂线，交 的延长线于点 ，
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轴，
，
， 两点在反比例函数 的图象上，且纵坐标分别为 ， ，
， ，
， ，
菱形 的面积为 ，
，即 ，
，即菱形的边长为 ；
在 中， ，
，
．
故答案为： ，12
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点
， ，与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
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(2)根据图象直接写出 时，x的取值范围．
(3)求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
(3)
【分析】本题考查了反比例和一次函数解析式的求法，反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是
先根据题意求出各个解析式．
（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由
点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表
达式；
（2）根据一次函数和反比例函数的交点横坐标以及图象的位置关系即可得到答案；
（3）令一次函数表达式中 求出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点A、B的坐标
即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，解得： ，
∴点 ．
将 、 代入 中，
得： ，解得： ，
∴一次函数的表达式为 ．
（2）∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ， ，
∴由图象可知， 时，x的取值范围为 或 ．
（3）令 中 ，则 ，
∴点C的坐标为 ，
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∴ ．
7．如图，在矩形 中， ，F是 上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比
例函数 的图象与 边交于点E．
(1)当F为 的中点时，求该函数的解析式；
(2)当k为何值时， 的面积为 ．
【答案】(1)
(2)当 的值为2或4时， 的面积为 ．
【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，
解一元二次方程等知识．
（1）当F为 的中点时，点F的坐标为 ，由此代入求得函数解析式即可；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的方程，通过解方程求得k的值即可．
【详解】（1）解：∵在矩形 中， ， ，
，
为 的中点，
，
又∵点 在反比例函数 的图象上，
，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：由题意知 ， 两点坐标分别为 ， ，
，
的面积为 ，
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∴ ，
整理得 ，
解得 ， ，
∴当 的值为2或4时， 的面积为 ．
8．如图，已知直线 与反比例函数 的图象交于点A，B，点A的横坐标为 ，点B的
横坐标为2；
(1)求k和b的值；
(2)若点C在反比例函数 第一象限内的图象上，直线 与直线 交于点M，且 ，
求点C的坐标；
(3)若点C在反比例函数 第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，
B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)点C的坐标为 或
(3)点C的坐标为 或
【分析】（1）设点A的坐标为 ，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为 ，将点A，B的
坐标分别代入 ，即可得到结论；
（2）由（1）得 ，求得直线 的函数表达式为 ，设 ．①如图
1，当点M在线段 上时；②如图2，当点M在线段 的延长线上时；③由 ，知 ，
则点M不在线段 的延长线上，于是得到结论；
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（3）设点C的坐标为 ，且 ，①如图3，当 为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，分别
过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，②如图4，当 为矩形的对角线时，过点C作y轴
的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：设点A的坐标为 ，代入反比例函数的表达式 ，得 ，
∴点B的坐标为 ，
将点A，B的坐标分别代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：由（1），得 ，
∴直线 的函数表达式为 ，
∵直线 与直线 交于点M，
∴点M在直线 上，
设 ，
①如图1，当点M在线段 上时，分别过点A、B作x轴和y轴的平行线，交于一点N，过点M作
于点D，如图，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点M的坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ，
由 得 （负值舍去），
∴点C的坐标为 ；
②如图2，当点M在线段 的延长线上时，
∵ ，
∴ ，
同理①，得 ，
解得 ，
∴点M的坐标为 ，
同理可得：直线 的解析式为 ，
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由 得 （负值舍去），
∴点C的坐标为 ；
③由 ，知 ，则点M不在线段 的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或 ；
（3）解：设点C的坐标为 ，且 ，
①如图3，当 为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
化简，得 ，
解得 ，（与点B重合，舍去），
∴点 ；
②如图4，当 为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足
分别为P，Q，
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同理①可得： ，
∴ ，
∴ ，
化简，得 ，
解得 ， （负值舍去）， （负值舍去）， （与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为 ，
综上所述，点C的坐标为 或 ．
模型03 二次函数的图象性质应用
考｜向｜预｜测
二次函数的图象性质应用该题型是中考必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形
式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问
题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例。
答｜题｜技｜巧
1. 一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；
2. 用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；
3. 结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，
4. 结合其它相关知识解题；
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1．（2023·河南）对于二次函数 的图象，下列说法错误的是
（ ）
A．开口向上
B．顶点坐标是
C．当 时， 随 的增大而增大
D．对称轴是直线
【答案】D
【详解】解：A、 ，开口向上，故A说法正确，不合题意；
B、顶点坐标为 ，故B说法正确，不合题意；
C、当 时，抛物线右侧部分， 随 的增大而增大，故C说法正确，不合题意；
D、抛物线对称轴为 ，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
1．如图所示为二次函数 的图象，对称轴是直线 ，下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是数形结合，关注特殊点的坐标．结论①根据图象
与x轴的交点个数确定 ，即可对其进行判断；结论②根据图象与y轴的交点位于x轴上方确
定 ，即可对其进行判断；结论③根据抛物线的对称轴方程得到 ，结合特殊点坐标 时，
，即可对其进行判断；结论④根据抛物线的对称轴方程得到 ，结合特殊点坐标 时，
，即可对其进行判断，从而得到正确个数．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有2个交点
∴
∴
故①正确；
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②∵二次函数的图象与y轴的交点位于x轴上方
∴
故②错误；
③∵对称轴是
∴
解得
∴
∵当 时，
∴
故③正确；
④∵图像开口向下
∴
∵对称轴是
∴ ，则
当 时，
将 代入 ，得
解得
故④正确．
故选A．
2．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点坐标为 ．已知点 ， ，将
函数图象向上平移 个单位长度，若平移后的函数图象与线段 只有一个公共点，则 的取值范围为
（ ）
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A． 或 B． 或
C． D． 或
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次和二次函数的性质、解不等式、图形的平移等，利用抛物线关于对称轴对称，
求出抛物线与x轴的另一个交点，抛物线 ，可得抛物线向上平移m个
单位后解析式为 ，平移后的抛物线的顶点坐标为 ，①当抛物线顶点落在
上时，则 ，解得 ②当抛物线经过点 时，当抛物线经过点 时，构建方程求出
m的值可得结论．
【详解】解：由题意抛物线的对称轴是直线 ，设抛物线与x轴的另一个交点为 ，
则有 ，
∴ ，
∴关于x的一元二次方程 的解为 ， ；
∴抛物线 ，
抛物线 向上平移m个单位后解析式为 ，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为 ，
①当抛物线顶点落在 上时，则 ，
解得 ，
②当抛物线经过点 时， ，
解得 ；
当抛物线经过点 时， ，
解得 ，
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∴ 时满足题意．
综上所述， 或 ．
故选：A．
3．如图是二次函数 （a、b、c是常数， ）图象的一部分，与x轴的交点A在点 和
之间，对称轴是直线 ．对于以下说法：① ；② ；③ ；④
（m为实数)；⑤当 时， ，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向及对
称轴判断 ；由函数的值判断 ；由二次函数的最值即可判断 ；由二次函数的图象与x轴的交点可判
断⑤，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵对称轴是直线 ．
∴ ，
即 ，
∴ ； ，
故①错误，②正确；
∵与x轴的交点A在点 和 之间，对称轴是 ．
∴与x轴的另一个交点在 和 之间，
∴当 时， ，
故选项③正确，
∵抛物线开口向下，对称轴是直线 ．
∴当 时，二次函数 取得最大值为 ．
∴m为实数时， ，
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即 （m为实数)；
故④正确；
∵与x轴的交点A在点 和 之间，对称轴是直线 ．
∴与x轴的另一个交点在 和 之间，
当 时， 或 ，
故⑤错误，
综上，②③④正确，
故选：C．
4．二次函数 的图象如图所示，点 位于坐标原点， ， ， ，…， 在y 轴的正半轴上，
， ， ，…， 在二次函数 第一象限的图象上，若 ， ， …，
都是等边三角形 ，则 的周长是（ ）
A．6078 B．6075 C．6072 D．6069
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质、等边三角形的性质、解直角三角形、图形类规律探索，设
， ， ，作 轴于 ， 轴于 ， 轴于 ，由等
边三角形的性质可得 ， ， ，解直角三角形得出 ，即 ，
， ，求出 ，得出 的周长为 ，同理可得 的
周长为 ， 的周长为 ，得出规律计算即可得解．
【详解】解：∵ ， ， ，…， 在二次函数 第一象限的图象上，
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∴设 ， ， ，
如图，作 轴于 ， 轴于 ， 轴于 ，
，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ， ， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ，
同理可得 的周长为 ，
由此可得 的周长是 ，
故选：A．
5．设二次函数 （ 是常数），已知函数值 和自变量 的部分对应取值如表所示．
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．．． 0 1 2 ．．．
．．． 1 1 ．．．
(1)若 ，求二次函数的表达式．
(2)若当 时， 有最小值 ，求 的值．
(3)求证： ．
【答案】(1)二次函数的表达式
(2) 或
(3)证明过程见详解
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，增减性，最值的计算
是关键．
（1）根据表格信息得到对称轴直线为 ，即 ， 时， ，运用待定系数法即可
求解；
（2）根据题意得到 ，分类讨论：当 时，二次函数图象开口象限，对称轴直线 处
取得最小值 ；当 时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为 ，离对称轴直线越远，函数值越
小，当 时，取得最小值 ；代入求值即可；
（3）根据题意当 时， ，当 时， ，得
，根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，当 时， ，
∴对称轴直线为 ，即 ，
∴ ，
若 ，即 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴二次函数的表达式 ；
（2）解：根据题意， ， ，
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∴ ，
当 时，二次函数图象开口象限，对称轴直线 处取得最小值 ，
∴ ，
解得， ；
当 时，二次函数图象开口向下，对称轴直线为 ，离对称轴直线越远，函数值越小，
∴当 时，取得最小值 ，
∴ ，
解得， ；
（3）解：当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴关于 的二次函数图象开口向下，函数的最大值为 ，
∴ ．
模型04 二次函数的实际应用
考｜向｜预｜测
二次函数的实际应用该题型在中考中可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题
目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内
容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，
二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己
的计算不要有失误。
答｜题｜技｜巧
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1. 理解题意，根据题意求二次函数的表达式，一般应用顶点式；
2. 根据题意，求解二次函数的交点坐标、最值等进行相关判断；
3. 根据实际情况进行讨论，一般涉及到二次函数性质应用；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2024·江苏扬州）冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练
中从 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为 ，与跳台底部所在水
平面的竖直高度为 ， 与 的函数关系式为 ，当他与跳台边缘的水平距
离为 时，竖直高度达到最大值．
【答案】6
【详解】解： 运动员的竖直高度 与 的函数关系式为 ，图象是一段开
口向下的抛物线，
对称轴为： ，在区间 内，
当 ，竖直高度 达到最大值．
故答案为：6．
例2．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点 处将球传出，其运动路线为抛物线
的一部分，小亮在 处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线
的一部分．
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(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)设抛物线 的顶点为点 ，在 轴上找一点 ，求使 的值最大的点 的坐标；
(3)若小明在 轴上方2m的高度上，且到点 水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的 的
整数值．
【答案】(1)
(2) 坐标为
(3)符合条件的 的整数值为7，8
【详解】（1）解： 点 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线的表达式为 ；
（2）解：直线 与 轴的交点就是所求的点 ，如图所示：
的顶点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，解 得 ，即直线 与 轴的交点为 ，
点 坐标为 ；
（3）解： 小明在 轴上方 的高度上，且到点 水平距离不超过 的范围内可以接到球，
设接球点为点 ，点 坐标为 ，如图所示：
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则 ，
把 代入 ，得 ，
解得 ；
把 代入 ，得 ，
解得 ；
，
符合条件的 的整数值为7，8．
1． 问题提出
若一元二次方程 的两根为 ， ，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得 ，
．
已知方程 的两根为 ， ，则 ， ．
探究引申
若多项式 中，存在 ， ，则多项式 可在实数范围内分解因式，分解结
果为 ，而其中 ． 即为一元二次方程 的两根．例如：把多项式
分解因式，可以令 ，解该方程得 ， ，故多项式 在实
数范围内可分解为 ．
请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．
（1） ．
（2） ．
应用拓展
已知二次函数 与 轴的两个交点坐标分别为 和 ，请直接写出该抛物线的解析式．
【答案】 问题提出 3， ； 探究引申 （1） ；（2） ； 应用拓展
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【分析】 问题提出 根据根与系数的关系写出即可；
探究引申 （1）令 ，解得方程的解，然后写出即可；
（2）令 ，解得方程的解，然后写出即可；
应用拓展 根据二次函数与方程的关系以及根与系数的关系写出即可．
【详解】 问题提出
已知方程 的两根为 ， ，则 ， ，
故答案为：3， ．
探究引申
（1）令 ，
解得 ， ，
则 ；
（2）令 ，
解得 ， ，
则 ；
应用拓展 ∵二次函数 与 轴的两个交点坐标分别为 和 ，
∴ ，
该抛物线的解析式为 ，
2．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标
差”的最大值称为该函数的“特征值”
【感悟】根据你的阅读理解回答问题：
（1）点P （2，1）的“坐标差”为 ；（直接写出答案）
（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；
【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，
若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．
【答案】（1）-1；（2）4；（3）m＝ 或m＝
【分析】（1）根据定义直接计算即可．
（2）由坐标差的定义得到坐标差的函数解析式．然后根据一次函数的最值出特征值即可．
（3）设B点坐标为（0，c），由点A与点B的“坐标差”相等，可得A点坐标为（﹣c，0），代入解析可
得c+b＝1，再由该函数图象的“坐标差”函数解析式，由特征值求出b，c．即可得二次函数y＝﹣x2+3x﹣
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2，由函数图象对称轴位置分三种情况讨论函数的最大值即可求出m的值．
【详解】解：（1）点P （2，1）的“坐标差”＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）一次函数y＝2x+1的图象上点的坐标差为：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，
函数 y＝x+1是增函数，
当﹣2≤x≤3时，x＝3，y的最大值＝4，
∴一次函数 y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．
（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y轴于点B，
∴点B（0，c）
点A与点B的“坐标差”相等，
∴点A （﹣c，0），
∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，
∵bc≠0，
∴c+b＝1，
∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”为﹣1
即函数 y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值为﹣1
∴
解得 b＝3，
∴c＝﹣2
∴y＝﹣x2+3x﹣2，
∴ ．
∴当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，
Ⅰ．若m≤ ≤m+3时，则x＝ 时，函数的最大值为 ，
依题意得：﹣2m＝ ，
解得m＝ ；
Ⅱ．若m＞ 时，x＝m，函数取最大值为：y＝﹣m2+3m﹣2，
依题意得：：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，
解得：m＝ ＜ （舍去），m＝ ，
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Ⅲ．若m+3＜ ，即m＜﹣ 时，x＝m+3，函数取最大值为：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m
﹣2．
依题意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程无实数解．
综上所述：m＝ 或m＝ ．
3．【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面 时，水面宽 ，并画出了拱桥截
面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
(2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条
的直线 ，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线 上方抛物线上一动点，过B作 垂直于x轴，交x轴于A，交直线 于C，过点
B作 垂直于直线 ，交直线 于D，求 的最大值．
②如图3，G为直线 上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存
在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为 ；②G点坐标为 或 或 或
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由图可知抛物线经过原点，即 ，求出a的
值即可求函数的解析式；
（2）①由题可知 是等腰直角三角形，则 ，设 ，则 ，
，当 时， 的最大值为 ，即可得出问题答案；
②由①可得 ，然后根据题意可分当 时，当 时，然后根据正方形的性
质可分类进行求解．
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【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：①∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
当 时， 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ；
②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下：
由①可得 ，
∴当 时， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴H点的纵坐标为5，
∴ ，
解得 或 ，
∵G点在直线 上，
∴ 或 ；
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当 时，
∵ ，
∴ ，
设 ， ，如图，连接 ，交 于点M，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
综上所述：G点坐标为 或 或 或 ．
4．【问题背景】已知二次函数 （m为常数）．
数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁
为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．
(1)我国著名数学家 说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事
休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）
A．华罗庚 B．陈景润 C．苏步青 D．陈省身
(2)若该二次函数的对称轴为 ，关于x的一元二次方程 （t为实数）在
的范围内无解，则t的取值范围是 ．
(3)若该二次函数自变量x的值满足 时，与其对应的函数值y的最小值为 ，则m的值为 ．
【拓展应用】
(4)当 时，二次函数图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O
关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接
DE， 为等腰三角形时，求线段DF的长．
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【答案】(1)A
(2) ，或
(3) ，或
(4) ，或
【分析】（1）根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事
休．”这段话是我国著名数学家华罗庚所说
（2）根据二次函数的对称轴为 ，可求得m的值，然后利用二次函数在 上的范围，可求得t
的取值范围
（3）根据对称轴 ， ，分类讨论各种情况求得 的值
（4）根据对称性先求得点D的坐标，然后设点F的坐标，利用等腰三角形的性质，分类可求得 的长度
【详解】（1）根据题意可知“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事
休．”这段话是我国著名数学家华罗庚所说
故选：A
（2）∵次函数的对称轴为 ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为： ，
当 时， 的取值范围是： ，
∴要使得关于x的一元二次方程 （t为实数）在 的范围内无解，则t的取值
范围是： ，或
（3）由 可知对称轴为：
∵
当 时，在 处取得最小值，即 ，解得： ，或 （舍）；
当 时，在 处取得最小值，即 ，此时方程无解；
当 时，在 处取得最小值，即 ，解得： ，或 （舍）；
综上所述： ，或
（4）当 时，二次函数为 ，
∴ ， ， ，
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∵ ， ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点 与原点O关于直线BC对称，设 ，
∴
解得： ，
∴ ，
设点 ，
∴直线 为 ，
由
可得 ，
为等腰三角形时，
当 ，可得： ，
化简整理得： ，
解得： ， （舍）
∴
当 ，可得： ，
化简整理得： ，
解得： ， （舍）
∴
综上所述： ，或
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1．如图，是反比例函数 和 在第一象限的图象，直线 轴，并分别交两条双曲线
于 、 两点，若 ，则 的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，
设点 ，代入双曲线得 ，根据三角形面积公式求出 ，即可得出答案，
掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．如图是反比例函数 的图象，点 ，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，
依次截取 ，过点 ， ， ， 分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图
象于点 ， ， ， ．按照上述方法则线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
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【答案】A
【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律．
根据 和 求出点 ， ， ， ， 的坐标，再结合反比例函数的性
质求出点 ， ， ， ， 的坐标即可求解．
【详解】解：∵点 ， ，
， ， ， ， ．
∵点 ， ， ， ， 在反比例函数 的图象上，
， ， ， ， ，
， ， ，
当 时， ．
故选：A．
3．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为
2，当 时，x的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得
点A的横坐标为2，因为正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，故点B
的横坐标为 ，即可作答．
【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B
两点，
∴点B的横坐标为 ，
则当 时，x的取值范围是 或 ，
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故选：B
4．如图，入射光线 遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线 交x轴于点 ，若光线 满
足的一次函数关系式为 ，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，光的反射定律，掌握广德反射定律是解
题的关键．
延长 交 轴于点 E，则 ，继而证明 ，则 ，再将其代入
即可求解．
【详解】解：延长 交 轴于点E，
由题意得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得： ，
解得： ，
故选：A．
5．已知一次函数 ．
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（1）当 时，则 ；
（2）当 时，自变量 的负整数值恰好有2个，则 的取值范围为 ．
【答案】 1 或
【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键．
（1）将 代入解答即可；
（2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可．
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：1
（2）①当 时， 随着 的增大而增大，
∴当 时，可得 ，
解得 ，
∵自变量 的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是 ，
则
解得 ，
②当 时， 随着 的增大而减小，
∴当 时，可得 ，
解得 ，
∵自变量 的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是 ，
则
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解得 ，
综上可知， 的取值范围为 或
故答案为： 或
6．如图，一次函数 的图象与x轴交于点A．
(1)求出点A的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，求k的取值范围．
【答案】(1)A点坐标为
(2) 或
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．
（1）令纵坐标为0求解即可；
（2）求出当 时， ，把 代入 ，求得 ，然后借助图象求解即可．
【详解】（1）解：∵点A是一次函数 的图象与x轴交点，
A点的纵坐标为0，即 ，
∴
∴解得 ，
A点坐标为 ；
（2）解：如图，
∴
∵一次函数 ，
∴一次函数 过定点 ，
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当 时， ，
把 代入 ，得
解得 ，
由图象可知，当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于一次函数 的值，k的取
值范围是 或 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点
．
(1)求直线 的函数关系式；
(2)直线 与反比例 的图象交于点 ，与直线 交于点 ，连接 ，点 是直线 上一
动点，当 时，求点 的坐标：
(3)在（2）条件下，过点 作 轴于点 ，点 是 轴上一点，且 ，请求出所有符合
条件 点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
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(3) 或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，与面
积的综合问题，灵活运用各知识点是解题的关键．
（1）先求出点 ，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）联立直线 与反比例函数解析求得 ，联立直线 与直线 求得 ，
而 ，设 ，过点 作 轴交直线 于点 ，可求 ，则
，当点 在直线 右侧时，可得 ，由 ，得到
，则 ；当点 在直线 左侧时，此时 ，同理可求 ；
（3）如图，过点 作 于点 ，由 可得 为等腰直角三角形， ，由勾股
定理得， ， ，那么 ，故
，由 得 ，则 ，故 ，那么
或 ，即可求解点 坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数图象 经过 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
设直线 的函数表达式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ；
（2）解：联立直线 与反比例函数解析式得， ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ，
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联立直线 与直线 得， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
设 ，过点 作 轴交直线 于点 ，
则当 时， ，
∴ ，
∴ ，如图：
当点 在直线 右侧时，
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当点 在直线 左侧时，
，
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∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述，点 的坐标为 或 ；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
则 ；
∵ ，
∴点 距离 轴和 轴的距离相等且为 ，
∴直线 与 轴负半轴夹角为 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
8．如图正比例函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点．
(1)求反比例函数的表达式和 点坐标；
(2)直接写出 时 的取值范围；
(3)若点 是第二象限反比例函数图象上一点，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 、交直线 于点 ，
若三个点 、 、 中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点 、 、 三点为“和谐点”，直
接写出使点 、 、 三点成为“和谐点”的 的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）由 的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据反比例函数
的中心对称性求得B点的坐标；
（2）根据图象即可求解；
（3）分两种情况，根据“和谐点”的定义列方程解题即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于 ，
，
，
，
∴反比例函数的表达式为 ，
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∵正比例函数 与反比例函数 的图象交于 两点，
；
（2）解：观察图象， 时， 的取值范围是： 或 ；
（3）解：设 ，则 ，
如图1，
当 在 点的下方时， 则 ，
解得 ，
，
，
如图2，
当 在 点的上方时， ，则 ，
解得 ，
，
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，
∴点 的坐标为 或 ．
9．【定义与性质】
如图1，记二次函数 和 的图象分别为抛物线 和 ，且与 轴都
有两个交点．
定义：若抛物线 的顶点 为抛物线 的顶点 关于抛物线 与 轴交点 的对称点，则称
是 关于点 的对称抛物线，简称 是 的对称抛物线．
性质：①一条抛物线有2条对称抛物线；
②若 是 的对称抛物线，则 也是 的对称抛物线，
【理解与运用】
(1)试说明二次函数 的其中1条对称抛物线为 ；
【思考与探究】
(2)设抛物线 的函数表达式为 ．若该抛物线与 轴交于 ， 两点（且点 在点 的右侧）．
①若抛物线 关于点 的对称抛物线 与 轴的另一个交点为 ，其中 ，求 的取值
范围；
②如图2，抛物线 关于点 的对称抛物线 的顶点为 ，试问当 ， 满足什么关系时， 为等边
三角形．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②当 时， 为等边三角形
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、等边三角形的性质与判定、特殊角的三角函数值，理解新定
义并掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
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（1）先求出二次函数 的顶点为 ，与 轴的交点为 和 ，得出点 关于点
的对称点为 ，再根据新定义得出 是 的对称抛物线，即可解答；
（2）①根据对称抛物线的定义可知，点 是抛物线 与 轴的交点，得出 ，再根据对称抛
物线的性质可知，对称抛物线 上的点 关于点 的对称点在抛物线 上，得出 ，结
合 即可求出 的取值范围；②过点 作 轴于点 ，连接 、 、 ，根据对称抛物线
的性质可得点 、 分别是 、 的中点，推出 是等边三角形，再利用等边三角形的性质、二次
函数的性质和锐角三角函数的知识即可求出 ， 的关系式．
【详解】（1）证明：令 ，
解得： ， ，
二次函数 与 轴的交点为 和 ，
又 的顶点为 ，
点 关于点 的对称点为 ，
由题意得， 是 的对称抛物线，
二次函数 的其中1条对称抛物线为 ．
（2）解：①由对称抛物线的定义可知，点 是抛物线 与 轴的交点，
代入 得， ，
，
，
由对称抛物线的性质可得，对称抛物线 上的点 关于点 的对称点在抛物线 上，
点 关于点 的对称点为 ，
代入点 到 得， ，
整理得： ，
，
，
；
②如图，过点 作 轴于点 ，连接 、 、 ，
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是等边三角形，
，
抛物线 关于点 的对称抛物线 的顶点为 ，且点 是抛物线 的顶点，
点 是 的中点，
同理，点 是 的中点，
是 的中位线，且 ，
， ，
是等边三角形，
又 轴，
， ，
设 ， ，
令 ，则 ，
， ，且 ，
，
又 ，
，
，
二次函数 ，
抛物线 的顶点 ，
，
在 中， ，
，
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，
解得： 或 （舍去），
当 时， 为等边三角形．
10．已知二次函数 的图像经过点 ，点 是此二次函数的图像上的两个
动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作 轴于点
C，交 于点D，连接 ．若 ，求证 的值为定值，并求出此值；
(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线 上，且横坐标为 ，过点M作 轴于
点N，求线段 长度的最大值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析， ；
(3) 的最大值为
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，求函数解析式，三角形面积计算等知识，理解题意和熟悉函
数的性质是解题的关键．
（1）将点 的坐标代入抛物线表达式得 ，即可求解；
（2）由 ，同理可得
，即可求解；
（3）求出线 的表达式为： ，则
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，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点 的坐标代入抛物线表达式得：
，
∴ ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）证明：令 ，
∴ ，
∴点 ，
设直线 的表达式为： ，
将点 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
设点 的坐标分别为： ，则
，
同理可得：
，
∴ 为定值；
（3）解：点 的坐标为 ，则点 ，
设直线 的表达式为： ，
将点 的坐标 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
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∴ ，
∵ ，点P在第二象限，
∴当 时， 有最大值，最大值为
11．情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书
中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介
绍及“小明发现”的内容：
请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题：
“能围出面积为 的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法和能给满分）
【答案】不能围出面积为 的长方形
【分析】方法一：设这个长方形的长为 ，则这个长方形的宽为 ，令长方形的面积为 ，
得出一元二次方程求解即可；方法二：设这个长方形的长为 ，则这个长方形的宽为 ，设
面积为 ，则表示出 与 之间的函数关系，求最大值即可．
【详解】解：方法一：
设这个长方形的长为 ，则这个长方形的宽为 ，
则根据题意可得 ，
整理得： ，
∵ ，
∴此方程无解，
故不能围出面积为 的长方形；
方法二：设设这个长方形的长为 ，则这个长方形的宽为 ，设面积为 ，
则 ，
∵ ，
∴当 时，面积 的最大值为 ，
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∵ ，
∴不能围出面积为 的长方形．
12．方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与
不等式.观察表格：
… 0 1 2 3 …
… 1 4 7 10 …
… 0 4 3 0 …
(1)【数学观察】根据表中信息填空： ______；
(2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数
的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数 的图象；
(3)【独立思考】
①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是______；
②方程 的解为______；
③不等式 的解集是______；
(4)【归纳总结】若二次函数 的图象与一次函数 的图象相交，则交点
的______坐标可以看成关于 的方程 的解；
(5)【巩固应用】若二次函数 的图象与一次函数 的图象只有一个交点，则关于 的方
程 的解是______．（直接写出结果）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)① 或 ② 或 ③
(4)横
(5)
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【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系
是解题的关键．
（1）把 代入 求出 值即可；
（2）根据表格数据描点连线绘制图象即可；
（3）①根据表格信息得到交点坐标即可；
②根据交点坐标得到方程的解即可；
③借助图象得到不等式的解集；
（4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解；
（5）联立两个函数表达式得 ， 即可得到 求出 ， 即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
故答案为： ；
（2）解：根据表格数据描点连线绘制图象如下：
（3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是 或 ，
故答案为： 或 ；
②方程 的解为： 或 ，
故答案为： 或 ；
③观察图象知，不等式 的解集是
故答案为：
（4）解：由（3）知，若二次函数 的图象与一次函数 的图象相交，
则交点的横坐标可以看成关于 的方程 的解，
故答案为：横；
（5）联立两个函数表达式得： ，
则
则
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故方程为： 则
故答案为： ．
1．如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F，与 的图象交于点M，
且点M的横坐标为 ．
(1)求m的值与 的长；
(2)若点Q为x轴上一点，且 ，求点Q的坐标.
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何问题，正确求
出一次函数解析式是解题的关键．
（ ）求出点 坐标，代入 可得 的值，进而由一次函数解析式求出点 、 坐标，即可
由勾股定理求出 的长；
（ ）根据 ，可得 ，即可得 ，据此即可求解；
【详解】（1）解：∵点M在直线 上，点M的横坐标为 ，
点M坐标为 ，
又 点C在直线 上，
，
，
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直线 的函数表达式为 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，解得 ，
、 ，
；
（2）∵ ，
，
，
点Q坐标为 或 ．
2．如图，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，一次函数图象经过点
，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求 的面积．
(4)不解关于x、y的方程组 ，直接写出方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把点 代入正比例函数求出 的值，再代入一次函数即可求解；
（2）由（1）可知一次函数图像的解析式，令 ，即可求解；
（3）由一次函数解析式求出点 的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
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（4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
把 和 代入一次函数 ，得：
，解得， ，
∴ 一次函数解析式是 ．
（2）解：由（1）知一次函数表达式是 ，
令 ，则 ，
∴点 ．
（3）解：由（1）知一次函数解析式是 ，
令 ， ，
解得： ，
∴点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的面积 ．
（4）解：∵正比例函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计
算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键．
3．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 ，点 是线段
上的任意一点，过点 作直线 轴，直线 交直线 于点 ，交直线 于点 ．
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(1)求直线 的函数表达式；
(2)当 时，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) 的面积是 或 ；
【分析】本题主要考查了待定系数法求直线关系式，一次函数与几何图形．
（1）把 代入 ，求出直线 的关系式，再求出点 ，然后根据待定系数法求出
直线 的关系式；
（2）先设点 ，可表示 ， ，再根据纵坐标的差表示 ，然后根据 ，
求出m的值，接下来分两种情况求出 ，即可得出面积．
【详解】（1）解：把 代入 ，得
，
解得 ，
∴直线 的关系式为 ．
当 时， ，
∴点 ．
将点 和点 代入直线 的关系式 ，得
，
解得 ，
所以直线 的关系式 ；
（2）解：设 ，则 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得 或 ．
当 时， ，
∴ ，
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∴ ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的面积是 或 ．
4．如图，正比例函数 与一次函数 的图象互相平行，且一次函数图象经过点 ，与
轴相交于点 ．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求 的长；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 为等腰三角形．如果存在，请直接写出所有满足条件的点 的
坐标．
【答案】(1)
(2) 的长为
(3)点 的坐标为 ， ， ，
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【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，正确分类讨论是
解决此题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 与 的交点 的坐标，再利用勾股定理求解即可；
（3）设点 ，分别求得 ，分 及 三种情况讨论即可得
解．
【详解】（1）解： 正比例函数 与一次函数 的图象互相平行，
，
一次函数图象经过点 ，
，
，
一次函数的表达式为 ；
（2）解：对于 ，令 ，得 ，
，
，
的长为 ；
（3）解：存在，设点 ，
，
由勾股定理得： ，
，
时，
，解得： ，即点 的坐标为 ，
时，
，解得： ，即点 的坐标为 ， ，
时， ，解得： （舍去），即点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 ， ， ， ．
5．如图，在直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的
、 两点，与y轴交于点C，过点A作 轴，垂足为M， ， ，点B的纵坐标为 ．
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(1)求一次函数和反比例函数的表达式：
(2)结合函数图象，直接写出 时，x的取值范围；
(3)连接 、 ．若点P为图中双曲线上的一点，且 ，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）由 ， 先求出 点坐标，然后将 点坐标代入 ，即可求出 的值，进而
可得反比例函数解析式；由点 在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为 可求出 点坐标，将 、 两
点坐标代入 ，可得二元一次方程组，解方程组即可求出 、 的值，进而可得一次函数解析式；
（2）由（1）得 ， ，根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可；
（3）根据两个三角形面积相等，可推出点 一定在正比例函数 或直线 的图象上，联立方
程组求出点 的坐标即可．
【详解】（1）解：设 ，
， ，
， ，
，
点 在反比例函数图象上，
，
，
反比例函数解析式为 ，
点 在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为 ，
，
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，
，
、 两点在一次函数 的图象上，
将 ， 代入 ，得：
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；
（2）解：由（1）得： ， ，
根据函数图象及交点坐标可知：
不等式 时x的取值范围为： 或 ；
（3）解： ，
根据同底等高可知，点 一定在正比例函数 的图象上，
，
解得： ，
点 的坐标为： 或 ；
当点 在直线 右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点 在直线 的图象上，
，
解得： 或 ，
点 的坐标为： 或 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 或 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两
点，与y轴交于点C．
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(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出当 时，自变量x的取值范围；
(3)连接 ，若点P是x轴上一点，且 的面积是 面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求
点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题；
（3）首先求出 ，设 ，然后根据题意得到 ，求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数 的图象经过点 ，
，
解得： ，
，
把 的坐标代入 得 ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：观察图象可得，
不等式 的解集为： 或 ；
（3）解：由一次函数的解析式为 可得 ，
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，
∴ ，
设 ，
由题意可得 ，
则 ，
解得： ，
或 ．
7．已知抛物线 ，（ ）．
(1)求该二次函数的顶点坐标（用含 式子表示）；
(2)若 的值为1时，该二次函数的图象与 轴交于 、 两点（点 在点 左边），与 轴交于点 ，在
对称轴上是否存在点 ，使得 为 ，若存在，请求出点 坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若 的值为1时，把该二次函数的图象往上平移 个单位长度后，当 时，该二次函数上存在两
个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得出结果；
（2）根据题意得到抛物线的解析式，先求出点C的坐标，设设 ，再求出直线 的解析式，过点A
作 交 于点Q，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，证明 ，求
出点Q的坐标，即可求出 的值，金额得到点P的坐标；
（3）根据题意得到抛物线的解析式，求出平移后的解析式，当 时，该二次函数上存在两个点其
纵坐标都为横坐标的两倍，即当 时，方程 有两个不相等的实数根，利用判别式
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即不等式组求解即可．
【详解】（1）解： ，
则该二次函数的顶点坐标为 ；
（2）解：存在点 坐标为 或 时， 为 ，理由如下：
由题意得：抛物线解析式为： ，
则抛物线图象的对称轴为 ，
根据题意，设 ，直线 的解析式为 ，
将 代入 ，则 ，
∴ ，
当 时， 解得
∴
将 代入 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
过点A作 交 于点Q，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，
当点 在x轴上方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，则 ，
解得： 或 （舍去）；
当点 在x轴下方时，如图，
同理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，则 ，
解得： 或 （舍去）；
综上，当点 坐标为 或 时， 为 ；
（3）解：由题意得：抛物线解析式为： ，
则二次函数的图象往上平移 个单位长度后，抛物线解析式为： ，
当 时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，
则当 时，方程 有两个不相等的实数根，
即当 时，方程 有两个不相等的实数根，
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∴ ，即 ，
∴ ；
解方程 的
解得： 或 ，
∴ ，即 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ，
综上， 的取值范围为 ．
8．对于二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1，我们把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）称为这
两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（1，0）和抛物线
E上的点B（2，n），请完成下列任务：
【尝试】
⑴判断点A是否在抛物线E上；
⑵求n的值．
【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，请你求出定点
的坐标．
【应用】二次函数y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函数y＝x2﹣4x+3和一次函数y＝﹣x+1的一个“再生二次函数”
吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
【答案】[尝试]（1）点A在抛物线E上；（2）n=-1；[发现]：（1，0）和（2，﹣1），[应用]：是，t=-3.
【分析】[尝试]（1）将x=1代入y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）计算后进行判断；
（2）将x=2代入 y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）即可求解；
[发现]将抛物线E的表达式进行因式分解后，通过观察式子特点，即可得出经过的定点；
[应用] 根据“再生二次函数”的定义列出等式即可求解．
【详解】解：[尝试]（1）当x＝1时，y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝0，
故点A在抛物线E上；
（2）x＝2时，n＝y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝﹣1；
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[发现]
易得当x=1时，y=0，即抛物线经过点（1,0），
当x=2时，y=-1，即抛物线经过点（2，-1），
∴抛物线E总过定点（1，0）和（2，﹣1），
[应用]是，理由：
由题意得： ，
化简并整理得：t＝﹣3．
71
