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难点 07 圆的基本性质的常考题型
（6 大热考题型）
题型一：圆的基本和最值问题
题型二：垂径定理及其应用
题型三：圆心角、弦、弧之间的关系
题型四：圆周角定理
题型五：圆周角定理的推论和应用
题型六：圆内接四边形
题型一：圆的基本和最值问题
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形 中， ， ，动点E，F分别从点A，
C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直
线l的垂线，垂足为G，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【典例2】（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探
究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片 和 拼成“L”形图案，如图①．
试判断： 的形状为________．
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(2)深入探究
小红在保持矩形 不动的条件下，将矩形 绕点 旋转，若 ， ．
探究一：当点 恰好落在 的延长线上时，设 与 相交于点 ，如图②．求 的面积．
探究二：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图③．
求线段 长度的最大值和最小值．
【变式1-1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此
重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【变式1-2】（2023·江苏宿迁·中考真题）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【中考模拟即学即练】
1．（2024·安徽合肥·三模）如图，P为线段 上一动点（点P不与点A，B重合），将线段 绕点P顺
时针旋转 得到线段 ，将线段 绕点P逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，交点为Q．
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若 ，点H是线段 的中点，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．2
2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形 中， ，E为 边上的一个动点，连接 ，点B关
于 的对称点为 ，连接 ．若 的最大值与最小值之比为2，则 的长为 ．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是 上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，
为 的垂直平分线， ，若 半径为2，点B到点A的距离为4，则
在C点运动过程中， 的最大值为 ．
4．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的 个同学均匀围成一个以
点为圆心， 为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）．
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（1）若 ，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留 ）
（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移 米，再左右调整位置，使这 个同学之
间的圆弧长与原来 个同学之间的圆弧长相等．这 个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，
重复前面的操作，则每人须再往后移 米，才能使得这 个同学之间的圆弧长与原来 个同学之间的
圆弧长相同，则 ．
5．（2024·浙江·模拟预测）如图，以点A为圆心的圆交数轴于B，C两点（点C在点A的左侧，点B在点
A的右侧），若A，B两点表示的数分别为1， ，则点C表示的数是 ．
6．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形 中， ， ， 是平面内一动点，且 ，
则线段 的最大值为 ．
7．（2023·四川乐山·模拟预测）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，
描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
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【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线
为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的
同心圆上时，其坐标为 ___________．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点 ，m为正整数，以 为直径画 ，是否存在所描的点在 上，若存在，
求m的值；若不存在，请说明理由．
8．（2024·湖南·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．A，B两点均为格
点，请仅用无刻度直尺找出经过A，B两点的圆的圆心O，并保留作图痕迹．
9．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图， 的直径 垂直弦 于点 E，F是圆上一点，D是 的中点，
连接 交 于点 G， 连接 ．
(1)求证： ；
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(2)若 ， ，求 的长．
题型二：垂径定理及其应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，圆心O到 的距离 ，则
的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【变式2-1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为
拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·新疆·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若
， ，则 的长为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在 中，直径 于点E， ，则
弦 的长为 ．
【变式2-4】（2024·江西·中考真题）如图， 是 的直径， ，点C在线段 上运动，过点C的
弦 ，将 沿 翻折交直线 于点F，当 的长为正整数时，线段 的长为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2023·广东东莞·一模）如图， 是 直径，点 在 上， 垂足为 ，点 是 上动
点（不与 重合），点 为 的中点，若 ， ，则 的最大值为 ．
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2．（2025·安徽·模拟预测）已知 的半径为5， 是 的弦，P是弦 的延长线的一点，若 ，
，则圆心O到弦 的距离为（ ）
A． B．6 C． D．4
3．（2024·山西长治·模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌
溉工具）的工作原理．如图 ，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆．已知圆心 在水面上方，
且 被水面截得弦AB长为 米， 半径长为 米，若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦AB所在直
线的距离是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．（2024·云南怒江·一模）如图， 是 的弦，半径 ，垂足为D，设 ， ，则
的半径长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024·四川成都·二模）如图， 是 的弦，若 的半径 ，圆心O到弦 的距离 ，
则弦 的长为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
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6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别是以 为直径的两个半圆，其中 是半圆O的一条弦，
E是 中点，D是半圆 中点．若 ， ，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图， 是 的半径，弦 于点D，连接 ．若 的半径为
， 的长为 ，则 的长是 ．
8．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中， 是直径，弦CD与 交于点E，如果
，点M是 的中点，连接 ，并延长 与圆O交于点N，那么
．
9．（2024·湖南·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是
中弦 的中点， 经过圆心O交 于点D，且 ， ，则 m．
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10．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦 的垂直平分线交弧 于点 ，交弦
于点 ，已知 ， ．
(1)求作此残片所在的圆的圆心 （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
11．（2024·湖南·模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚．
如图，大棚跨度 ，拱高 ．
同学们讨论出两种设计方案：
方案一，设计成圆弧型，如图1，已知圆心O，过点O作 于点D交圆弧于点C．连接 ．
方案二，设计成抛物线型，如图2，以 所在直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴建立平面直角坐
标系．
(1)求方案一中圆的半径；
(2)求方案二中抛物线的函数表达式；
(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即 ．在大棚内需搭建 高的
植物攀爬竿，即 ， 于点P， 于点Q， 与 交于点K．请问哪种设
计的种植宽度 要大些?（不考虑种植间距等其他问题，且四边形 是矩形）
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题型三：圆心角、弦、弧之间的关系
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·河北·中考真题）如图，点 是 的八等分点．若 ，四边形 的周长
分别为a，b，则下列正确的是( )
A． B． C． D．a，b大小无法比较
【变式3-1】（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知
， ，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【变式3-2】（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与
量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接 ，则 的度数为 ．
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【变式3-3】（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优
弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
3
A． B． C．√3 D．
2
【中考模拟即学即练】
1．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图
①）的形状示意图 是 的一部分，D是 的中点，连接 ，与弦 交于点C，连接 ， ．
已知 ，碗深 ，则 的半径 为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南昆明·一模）如图，AB是 的直径， ．若 ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
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3．（2023·福建莆田·模拟预测）如图， 中 的度数为 ， 是 的直径，那么 等于
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东青岛·中考真题）如图， 是 上的点，半径 ， ， ，
连接AD，则扇形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东揭阳·三模）如图，在 中， ，那么（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小关系无法比较
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6．（2023·云南大理·一模）如图，在 中，AB是 的直径， ， 、 为弧AB的三等分点，
是AB上一动点， 的最小值是 ．
7．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形 中， ， ，C为 的中点，D 为
上一点，且 ，连接 ，在 绕点O旋转的过程中，当 取最小值时， 的周长
为 ．
8．（2024·浙江·模拟预测）如图，AB是半径为 的 的直径， 是 的中点，连接CD交AB于点 ，
连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求AD的长．
(3)如图 ，作 于点 ，交AD于点 ，射线CB交AD的延长线于点 ，若 ，求 的长．
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题型四：圆周角定理
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东潍坊·中考真题）如图， 是 的外接圆， ，连接 并延长交
于点 ．分别以点 为圆心，以大于 的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点 ．直线 交
于点 ，连接 ，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．四边形 为菱形
【变式4-1】（2024·海南·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且 ，
点P在 上，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·北京·中考真题）如图， 的直径 平分弦 （不是直径）.若 ，则
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【变式4-3】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图， 是 的直径， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，半径 ，连
接 ，交 于点E， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，
， ，则 的半径是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-6】（2024·江苏镇江·中考真题）如图， 是 的内接正n边形的一边，点C在 上，
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，则 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，AB是 的直径，弦 于点 ， ， 的半
径为 ，则弦CD的长为( )
A．3 B． C． D．9
2．（2024·浙江温州·三模）如图， ， 是 的直径，弦 ，连结 ， ，若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·模拟预测）如图， 是⊙O的弦，半径 ，垂足为D，弦 与 交于点F，连接
， ， ．
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(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
4．（2024·贵州·模拟预测）如图，等边 内接于 ， 是 上任一点（点 不与点 ， 重合），
连接 ， ， ，AB与 相交于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)写出图中一对相似三角形：_________；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求四边形 的面积．
5．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在 中，点A，B，C，D为圆周的四等分点， 为切线，连接
，并延长交 于点F，连接 交 于点G．
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证： 平分 ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的值．
题型五：圆周角定理的推论和应用
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·西藏·中考真题）如图， 为 的直径，点B，D在 上， ， ，
则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式5-1】（2024·湖北·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适
当长为半径画弧，交 于点M，交 于点N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两
弧在 的内部相交于点D，画射线BD，连接 ．若 ，则 的度数是
（ ）
A．30° B． C． D．
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【变式5-2】（2024·江苏常州·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 ．
若 ，则 ．
【变式5-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图， 是 的直径， ， 是 上两点， 平分 ，
若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2024·湖北·中考真题） 为半圆 的直径，点 为半圆上一点，且 ．①以点
为圆心，适当长为半径作弧，交 于 ；②分别以 为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于
点 ；③作射线 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图， 内接于 ，AD是直径，若 ，
则 ．
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【变式5-6】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是 的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆 上的
点 均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的
直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧 的中点D．
(2)连结 ，作出 的角平分线．
(3)在 上作出点P，使得 ．
【变式5-7】（2024·宁夏·中考真题）如图，在 中，点 是边 的中点，以 为直径的 经过
点 ，点 是边 上一点（不与点 重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作
法．
(1)过点 作一条直线，将 分成面积相等的两部分；
(2)在边 上找一点 ，使得 ．
【变式5-8】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的两条弦，点 与点
在 的两侧， 是 上一点（ ），连接 ，且 ．
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(1)如图1，若 ， ，求 的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）
【中考模拟即学即练】
1．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形 内接于 ， ， 为对角线， 经过圆心O．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知钝角 内接于 ，过点 作 交 于点 ，若
，则 的半径为（ ）
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A． B． C．6 D．8
3．（2024·甘肃·模拟预测）如图， 内接于 ， 是 的直径，D是 上一点，若C是 的
中点，连接 ， ，则 ．
4．（2024·江苏徐州·三模）如图，以 的边 为直径的 分别交 、 于点 、 ，连接 、
．若 ，则 °．
5．（2024·山西·模拟预测）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，连接 ， ， ，若
，则 的度数为 ．
题型六：圆内接四边形
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，
若 ，则 的度数为（ ）
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形 的两组对边，延长线相交于
点E，F．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形 是 的内接四边形， 为 延长线
上一点， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2024·吉林·中考真题）如图，四边形 内接于 ，过点B作 ，交 于点
E．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【变式6-5】（2024·江苏无锡·中考真题）如图， 是 的直径， 内接于 ， ，
的延长线相交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【变式6-6】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图， 为 的内接三角形，AB为 的直径，将
沿直线AB翻折到 ，点 在 上．连接CD，交AB于点 ，延长BD，CA，两线相交于点
，过点 作 的切线交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ．求 的值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 AB 为直径的半圆 中，弦 ，若 ，则
的度数为（ ）
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A． B． C． D．
2．（2020·四川成都·三模）如图，在圆内接四边形 中， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．60°
3．（2024·湖北宜昌·二模）如图，点O是 的外心，若 ，求弦 所对的圆周角
．
4．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在 内，若圆周角 ，则圆心角 的度数是
（ ）
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A． B． C． D．
5．（2024·河北·模拟预测）如图， 内接于 为 的直径，点D，E分别为 上的动点（不
与点A，点B，点C重合），且 为 的中点，连接 ．若 ，对于结论I，Ⅱ，
下列判断正确的是（ ）
结论I：连接 必得到等腰梯形；
结论Ⅱ：连接 的最大值为8．
A．I，Ⅱ都对 B．I，Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对
6．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，点 是
延长线上的一点，且 平分 ， 于点 ．
(1)求证： ；
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(2)若 ， ，求 的长．
7．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点 ， ， 均在 上，若 ，则锐角 的大小为____ ；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题： 是等边三角形 的外接圆，点 在 上（点 不与点 重
合），连接 ， ， ．求证： ；小聪发现，延长 至点 ，使 ，连接 ，
通过证明 ．可推得 是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3， 是 的外接圆， ， ，点 在 上，且点 与点 在 的两侧，连
接 ， ， ，若 ，则 的值为______．
28
