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专题09 函数的对称性
专项突破一 判断(证明)函数的对称性
1．函数 图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，由 向上平移一个单位得到 ，又 关于 对称，所以
关于 对称；故选：B
2．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A， 图象关于 、坐标原点 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B， 为偶函数，其图象关于 轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C， 关于点 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D， 为奇函数，其图象关于坐标原点 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
3．设函数 ，则下列函数的对称中心为 的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，由反比例函数 关于 知，
关于 对称，选项A： 由 图像上所有点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心
为 ，不满足题意；
选项B： 由 图像上所有点向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，所以对称中心
为 ，不满足题意；
选项C： 由 图像上所有点向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
所以对称中心为 ，满足题意；
选项D： 由 图像上所有点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
所以对称中心为 ，不满足题意；
故选：C
4．函数 （ 是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线 对称 B．点 对称
C．直线 对称 D．点 对称
【解析】由题意 ，它与 之间没有恒等关系，相加也不为
0，AB均错，而 ，所以 的图象关于点 对称．
故选：D．
5．有三个函数：① ，② ，③ ，其中图像是中心对称图形的函数共有
（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 ，显然函数 的图象是中心对称图形，对称中心是 ，而 的图形是由 的图象向左平行3个单位，再向下平移1个单位得到的，对称中心是 ，
由 得 ，于是 不是中心对称图形，
，中间是一条线段，它关于点 对称，因此有两个中心对称图形．
故选：C．
6．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 在 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象关于点 对称
【解析】因为 ，当 时 ，
此时 为常数函数，不具有单调性，故A、B均错误；
因为 ， ，
所以 ，所以 关于 对称，故C正确，D错误；故选：C
7．函数 的图像关于（ ）对称．
A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线
【解析】令 ，因 ， ，即 恒成立，
函数 的定义域是R， ，
因此，函数 是R上的偶函数，所以函数 的图像关于y轴对称.故选：C
8．已知函数 则（ ）
A． 在R上单调递增，且图象关于 中心对称
B． 在R上单调递减，且图象关于 中心对称
C． 在R上单调递减，且图象关于 中心对称
D． 在R上单调递增，且图象关于 中心对称
【解析】当 时， ，
当 时， ，
时， ，
即对任意实数x恒有， ，故 图象关于 中心对称；
当 时， 单调递增；当 时， 单调递增，且 图像连续，
故 在R上单调递增，故选：D.
9．对于函数 ， 时， ，则函数 的图象关于点 成中心对称．探
究函数 图象的对称中心，并利用它求 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因 ，令 ，
则 ，
两式相加得： ，解得 ，所以 的值为2021.
故选：D
10．(多选)函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数；
下列函数有对称中心的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】∵函数 为奇函数，∴ ，
即 .
对于A：由 得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是其对称中心，故A满足题
意；
对于B： ，
∵ ，
∴当 时，P(1，－2)即为其对称中心，故B满足题意；
对于C：∵ 是偶函数，图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递
减，其图象大致为：
故不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足题意；对于D： ，
根据双勾函数的图象性质可知， 关于(1，1)中心对称，故D满足题意.
故选：ABD.
11．函数 的对称轴方程为___________.
【解析】 ， ，
所以对称轴方程为
12．若 ，则 ___________.
【解析】根据题意，函数 ，则 ，
则有 ；
故 ；
13．若函数 的最大值和最小值分别为M、m﹐则函数
的图像的对称中心是_________．
【解析】函数 ，
令 ，h(x)定义域为R关于原点对称，且 ，
是奇函数，若 的最大值为 ，最小值为 ，则 ，∴ ， ， ，
∴ ，
∴当a＝1时， ，∴g(x)关于( ，1)中心对称.故答案为：( ，1).
专项突破二 利用对称性求函数解析式或函数值
1．下列函数与 关于 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 关于 对称的是 ，即 .故选：C
2．若函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且 ，则
（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解析】设 是 图象上任意一点，则 关于直线 的对称点为 ，
，即 ， ，解得 ，故选：C
3．已知函数 的定义域为 ，且其图象关于点 对称，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为图象关于点 对称，则 ，
令 ，
，两式相加得 ，
所以 .故选: .
4．函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f(x)=（ ）
A．-ex-1 B．-ex+1 C．-e-x-1 D．-e-x+1
【解析】与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式为y=-ex，
将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y=-ex-1，
而按上述变换所得图象对应的函数是f(x)，所以f(x)=-ex-1.故选：A
5．已知函数 的图象与 的图象关于点 对称，且 的图象与直线 相
切，则实数 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【解析】设 是函数 的图象上任意一点，则其关于 对称的点为 ，
因此点 在 的图象上，所以 ，
整理得 ，即 ，
又 的图象与直线 相切，所以方程 ，
即 有两个相等的实数根，
则 ，可得 ．故选：C
6．已知函数 是奇函数，当 时，函数 的图象与函数 的图象关于 对称，则 （ ）
A． B． C． D．1
【解析】因为 时， 的图象与函数 的图象关于 对称，
所以 时， ，所以 时， ，
又因为 是奇函数，所以 ，故选：B
7．已知函数 ， ， ，若 与 的图象上分别存在点 ､ ，使得
､ 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 是函数 的图象上的任意一点，其关于 对称的点的坐标为 ，
所以 ，所以函数 关于 对称的函数为 .
由于 与 的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，
故函数 与函数 图象在区间 有交点，
所以方程 在区间 上有解，
所以 ，即 ，所以 .故选：C.
8．已知函数 的图象关于点 成中心对称，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由图象关于点 成中心对称，得 ，可知 ，即 ，由 ，得 ，由此可解得 ，所以 ，
, 或 时， ， 时， ，
即 在 和 上递减，在 上递增，
画出其图象，如图所示：
对于A，因为 ，所以 即为 ，错误；
同理，对于B， ，即为 ，错误；
对于C， ，所以 ，即为 ，而
，即 ，正确；
对于D，即为 ，因为 ， ，故D错误；
故选：C.
9．若函数 ，且 ，则 （ ）
A．0 B． C．12 D．18
【解析】由 ，可知函数 的图象关于 轴对称，
则 ，得 ，故 ， .故选：D.
10．已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．【解析】因为 的图象关于直线 对称，所以 ，即 ，
解得 ，则 ．故选：B
11．已知定义域为R的函数 的图象关于点 成中心对称，且当 时， ，若
，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【解析】依题意， ，又 ，
所以 ①，而 ②，
联立①②，解得： ， ，则 ．故选：C
12．设函数 的定义域为D，若对任意的 ，且 ，恒有 ，则称
函数 具有对称性，其中点 为函数 的对称中心，研究函数 的
对称中心，求 （ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【解析】令函数 ，则 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，
可得 的图象关于 点中心对称，
即当 ，可得 ，
设 ， ，所以
所以 .故选：C.
13．若 ，若 的图象关于直线 对称，则（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
【解析】∵ ，
∴函数 关于直线 对称，
由 的图象关于直线 对称，
则 ，
即 对于任意的实数 恒成立，
由于 在 和 上 时 (或 和 上 时))分别单调递减和单
调递增，且对称轴为直线 ，
又∵ 和 取值范围都是实数集 ,且除了 时相等，其余情况下不相等，
∴ 对于 且使得 和 取值在 ( 时)或 (
时)之外的所有实数 的值恒成立，
∴ 有无穷多实数根，故 ,故选：C.
14．已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．【解析】因为 ，所以 ，所以 的对称轴为 ，
由 可得 ，所以 ，故选：B.
15．已知函数 ，且 ，则a的取值范围为________f（x）的最大值
与最小值和为________ .
【解析】由 ，
，所以 ，则 故 a的取值范围为 .
第（2）空:由 ，知 关于点 成中心对称图形，
所以 .
16．若函数 的图像关于 对称，则 的值为__________.
【解析】根据题意，函数 ，是由 的图像平移 个单位得到的（ ，向左平移，
，向右平移），所以函数 的图像的对称轴为 ，由 .
17．已知函数 b∈R)的图像关于点(1，1)对称，则a+b=____.
【解析】因为 ，
所以函数 的图像关于点 对称，因为函数 b∈R)的图像关于点(1，1)对称，
所以 ，所以
专项突破三 利用对称性研究单调性
1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，若f(x)在区间[1，2]为增函数，则f(x)（ ）
A．在区间[-4，-3]上是增函数，在区间[2，3]上是增函数；B．在区间[-4，-3]上是增函数，在区间[2，3]上是减函数；
C．在区间[-4，-3]上是减函数，在区间[2，3]上是增函数；
D．在区间[-4，-3]上是减函数，在区间[2，3]上是减函数.
【解析】由 可知 图象关于 对称，
又 为偶函数且 ，
所以 ，即 ，
为周期函数且周期为2，且在区间 ， 上是增函数，则 在区间 上是减函数，
所以函数在 上单调递减， 上单调递减，故选： ．
2．已知定义域为 函数 满足 ，且 在区间 上单调递增，如果
，且 ，则 的值（ ）
A．可正可负 B．恒为正
C．可能为 D．恒为负
【解析】由题意可得 ，故函数 的图象关于点 对称，
因为函数 在区间 上单调递增，则函数 在 上也为增函数，
因为 且 ，则 ，
所以， ，故选：B.
3．已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时， .设 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可知：函数 的图象关于直线 对称，又 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
又 ， ， ， .故选：C
4．函数 在 单调递增，且 关于 对称，若 ，则 的 的取值范
围（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 关于 对称，所以 关于 轴对称，所以 ，
又 在 单调递增，由 可得 ，解得： ，故选：D
5．设定义在 的函数 ，其图象关于直线 对称，且当 时， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 时， ，此时函数单调递减，而函数图象关于直线 对称，
因此函数在 上单调递增，而 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，故选：B
6．已知定义在 上的函数 在 上是减函数，若 是奇函数，且 ，则不等式
的解集是（ ）A． B．
C． D．
【解析】因为函数 是通过函数 向右平移2个单位得到且 ，
， .
易知函数 的对称中心为 ，又函数 在 上是减函数，则函数 在 上是减函数.
作出示意图如下图：
则不等式 的解集为： .故选：C.
7．已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， 单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 为偶函数，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 是周期为4的函数，
则 .因为 ，
所以 ， ， .
因为 为偶函数，且当 时， 单调递增，所以当 时， 单调递减，故 .故选：A.
8．已知对于任意的 ，都有 成立，且 在 上单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ，所以 关于 对称，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，故选：D.
9．已知函数 满足 ，且 在 上单调递增，当 时，
，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 图象关于点 中心对称，
又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
因为 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 ，易知 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以m的取值范围为 ，故选：A.
10．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上是减函数，令 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 是R上的奇函数，且满足 ，所以 ，
所以函数 的图象关于 对称，因为函数 在区间 是减函数，
所以函数 在 上为增函数，且 ，
由题知 ， ， ，由 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上递增，在 上递减知， ，所以 .
故选：B
11．已知定义在 上的函数 ， ，其中函数 满足 且在 上单调递减，函数
满足 且在 上单调递减，设函数 ，则对任
意 ，均有（ ）
A． B．
C． D．【解析】 ， 为偶函数，
又 在 上单调递减 在 上单调递增，
， 关于 对称，
又 在 上单调递减 ， 在 上单调递增，
当 时， ，
当 时， ，
① 若 恒成立，则 ，可知 关于 对称，
又 与 关于 对称； 与 关于 对称，
， ，
② 若 恒成立，则 ，可知 关于 轴对称，
当 时， ；当 时， ，
可排除
当 ，即 时， ， ，
当 ，即 时， ，
若 ，则 ，可排除 ，
③ 若 与 均存在，则可得 示意图如下：与 关于 对称且 ， ，
综上所述： ，故选
12．(多选)定义在R上的偶函数f（x）满足 ，且在 上是增函数，则下列关于f（x）
的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线 对称 B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数 D．
【解析】根据题意，若 ，则 ，
即 ， 是周期为2的周期函数，则有 （2） ，故D选项正确；
若 ，且函数 为偶函数，
则有 ，则函数 的图象关于直线 对称，故A选项正确；
在 ， 上是增函数，且函数 为偶函数，
则函数 在 ， 上是减函数，B选项错误；
在 ， 上是增函数，且 是周期为2的周期函数，
则函数 在在[1，2]上是增函数，C选项错误.
故选：AD.
13．已知函数 定义域为R，满足 ，且对任意 ，均有 ，则不等
式 解集为______．
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 关于直线 对称，因为对任意 ，均有 成立，所以函数 在 上单调递增．
由对称性可知 在 上单调递减．
因为 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 或 ．故答案为：
专项突破四 对称性的应用
1．函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【解析】令 ，得 ，
图象关于 对称，在 上递减.
，令 ，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称，
， 在 上递增，所以 与 有两个交点，
两个交点关于 对称，所以函数 的所有零点之和为 .故选：B
2．函数 在 上的所有零点之和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【解析】令 ，得 ，在同一直角坐标系上分别作出 和 在的大致图象如图所示，其中两个函数的图象均关于 对称，故函数
在 上的所有零点之和为 .故选：C
3．已知定义域为R的偶函数满足 ，当 时， ，则方程 在
区间 上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又函数 为偶函数，所以 ，
所以函数 是周期为2的函数，又 的图象也关于直线 对称，
作出函数 与 在区间 上的图象，如图所示：
由图可知，函数 与 的图象在区间 上有8个交点，且关于直线 对称，
所以方程 在区间 上所有解的和为 ，故选：A.
4．若定义在 上的单调增函数 对任意 恒有 ，且 时，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 ，可知函数关于点 中心对称，
因为对任意的 ， 是单调增函数，且 时， ．
二次函数开口向上，对称轴为 ，所以 ，即 ， 在 时是单调递增的，根据对称
性可知，函数 在 上也是单调递增的，又由 ，知 在 上是单调递增的.
所以即 的取值范围是 ．故选：A．
5．设函数 的定义域为D，若对任意的 ， ，且 ，恒有 ，则称
函数 具有对称性，其中点 为函数 的对称中心，研究函数 的
对称中心，则 （ ）
A．0 B．2022 C．4043 D．8086
【解析】由 ，
所以 关于 对称，
.故选：A
6．函数 满足 ， ，当 时， ，则关于x的方程
在 上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013【解析】因为函数 满足 ，所以函数 关于点 对称，
因为 ，即 ，所以函数 关于直线 对称，
因为当 时， ，所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数 为周期函数，周期为 ，
由于函数 一个周期内， 与 有2个交点，
在 上， 与 有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当 时， 与 有 个交点.
所以关于x的方程 在 上的解的个数是 个.故选：B
7．已知非零函数 的定义域为 ，函数 的图象关于直线 对称，且周期
，函数 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 的图象关于直线 对称，所以 ，又 的周期 ，
则有 ，∴ ，∴ ，
∴ 关于 对称，∴ ，则 .故选：C.
8．已知函数 的图象与函数 的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象
上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）A． B． C． D．
【解析】设 为函数 图象上任意一点，则 ，
关于直线 的对称点为 ，
设 ， ，则 ， ，所以 ，
所以 ，即函数 的图象与 的图象关于直线 对称，
所以这两点之间距离的最小值等于P到直线 距离最小值的2倍.
函数 在点 处的切线斜率为 ，令 得, ， ，
所以点P到直线 距离的最小值为 ，
所以这两点之间距离的最小值为 .故选：A
9．若函数 的图象关于直线 对称，且直线 与函数 的图象有三个不
同的公共点，则实数k的值为______．
【解析】由已知可得， 是 的两个零点，因为函数图象关于直线 ，因此 和 也是 的零点，
所以
．
由题意可知，关于 的方程 有三个不同的实数解．
令 ，则关于 的方程 有两个不同的实数解 ， ，
且关于 的方程 与 中一个方程有两个相同的实数解，另一个方程有两个不同的实数解，则 或 ，因此 与 中有一个等于 ，另一个大于 ．
不妨设 ，则 ，解得 ，此时 ，解得 、 满足条件，
因此 ．
10．方程 ， 的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m的值是
___________.
【解析】方程 ，令函数 ， ，
函数 图象关于点 对称，函数 的图象也关于点 对称，其图象如图，
区间 关于数1对称，函数 ， 在 的交点成对出现，
它们关于点 对称，因方程 在 上所有根的和等于2024，
因此，两函数图象在 上有1012对关于点 对称的交点，
则有 或 ，解得 或 ，
所以满足条件的整数m的值是1009或1010.
11．函数 的所有零点之和为__________．
【解析】由 ，令 ， ，
显然 与 的图象都关于直线 对称，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，观察图象知，函数 ， 的图象有6个公共点，其横坐标依次为 ，
这6个点两两关于直线 对称，有 ，则 ，
所以函数 的所有零点之和为9.
12．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，若
对一切 恒成立，则实数 的最大值为___________.
【解析】因为 ，故 的图象关于 中心对称
当 时， ，故 的图象如图所示：
结合图象可得：只需当 时， 即可，
即 ，故 ，故答案为： .
