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万有引力
一. 黄金代换公式的应用
1. 不计自转
1.（2023届河东一模）“心怀山海，眼有星辰。”北京时间2022年11月30日5时42分，我
国神舟15号载人飞船与天宫一号空间站组合体成功对接，与神14乘组太空胜利会师，中国
航天员完成首次在轨交接。“十四十五一相逢，便胜却古今无数！”航天员们以漂浮姿态在天
宫一号中活动，下列说法正确的是
A．航天员在天宫一号中处于漂浮姿态，说明航天员不受重力
B．航天员在天宫一号中不能用天平称量出物体的质量
C．航天员可以在天宫一号中通过举重来锻炼身体
D．航天员可以在天宫一号中通过弹簧拉力器来锻炼臂力
2.（2023届河西区一模）空间站是一种在近地轨道长时间运行、可供航天员工作和生活的载
人航天器，其运行轨道可以近似为圆。如图甲为我国三名航天员站立在空间站内地板上的情
景，图乙是航天员王亚平在空间站做的实验，下列说法正确的是（ ）
A．空间站内的航天员处于平衡状态
B．空间站内的航天员不能用拉力器锻炼肌肉力量
C．空间站的加速度比地球同步卫星向心加速度小
D．空间站内漂浮的水滴呈球形是因为水完全失重和水的表面张力共同造成的
3.（2023届高三耀华二月考）在X星球表面宇航员做了一个实
验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，
现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最
高点时，受到的弹力为 F，速度大小为v，其F-v2图像如图乙
所示。已知 X 星球的半径为 R ，引力常量为 G，不考虑星球
0
自转，则下列说法正确的是（ ）
A．X星球的第一宇宙速度
B．X星球的密度
𝑣𝑣1 =√𝑏𝑏
3𝑏𝑏
C．X星球的质量
𝜌𝜌 =4𝜋𝜋𝜋𝜋𝑅𝑅0𝑅𝑅
𝑎𝑎𝑅𝑅
D．环绕X星球的𝑀𝑀轨=道离𝑏𝑏 星球表面高度为R
0
的卫星周期
2𝑅𝑅0𝑅𝑅
𝑇𝑇 =4𝜋𝜋� 𝑏𝑏
14. （2022全国乙）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km
的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以
看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A. 所受地球引力的大小近似为零
B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
5.（2022 耀华校一模） 已知地球质量为 M，半径为 R，地球表面重力加速度为 g，一类地
行星的质量为地球的p倍、半径为地球的q倍，则类地行星表面的重力加速度为
A． B. C. D.
2
𝑞𝑞 𝑝𝑝 𝑞𝑞 𝑝𝑝
2
𝑝𝑝 𝑔𝑔 𝑞𝑞 𝑔𝑔 𝑝𝑝𝑔𝑔 𝑞𝑞𝑔𝑔
6.(2020年新课标1)火星的质量约为地球质量的 ，半径约为地球半径的 ，则同一物体在火
1 1
星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( 10) 2
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
7.（2022 届一中四月考）2021 年 5 月15 日，天问一号着落器着陆于
火星表面。着落器的着陆过程简化如下：首先在距火星表面高为 h 处
悬停，接着以恒定加速度 a 竖直下降，下降过程火箭产生的反推力大
小恒为F。当四条“缓冲脚”接触火星表面时，火箭立即停止工作，着落
器经时间t速度减至0。已知着落器的质量为m，火星半径为R（R>>h），
万有引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
(F+ma)R2
A．火星的质量约为
Gm
B．若将火星视做均匀球体，则其平均密度为 （ ）
3 𝐹𝐹+𝑚𝑚𝑎𝑎
1 4𝜋𝜋𝑅𝑅𝜋𝜋𝑚𝑚
C．火箭反推力对着落器所做的功约为− Fat2
2
D．着落器对火星表面的平均冲击力大小约为
𝑚𝑚√2𝑎𝑎ℎ
𝐹𝐹+𝑚𝑚𝑚𝑚− 𝑡𝑡
28.(2020年新课标3)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球
飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R
是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥
四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A. B. C. D.
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑄𝑄𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑄𝑄𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑄𝑄𝑅𝑅
�𝑄𝑄𝑄𝑄 � 𝑄𝑄 �𝑅𝑅𝑄𝑄 �𝑄𝑄𝑅𝑅
9.（2023•山东）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如
地球与月球）的引力具有相同的性质，且都满足F∝ 。已知地月之间的距离r大约是地球
𝑀𝑀𝑚𝑚
半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的𝑟𝑟猜2 想，月球绕地球公转的周期为（ ）
A．30 B．30 C．120 D．120
𝑟𝑟 𝑅𝑅 𝑟𝑟 𝑅𝑅
π�𝑅𝑅 π�𝑟𝑟 π�𝑅𝑅 π�𝑟𝑟
10. (2020山东)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆
火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t 、速度由v 减速到零的过程。已知火星的质量
0 0
约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大
气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动
力大小约为( )
A. B.
𝑣𝑣0 𝑣𝑣0
𝑚𝑚�0.4𝑔𝑔−𝑡𝑡0� 𝑚𝑚�0.4𝑔𝑔+𝑡𝑡0�
C. D.
𝑣𝑣0 𝑣𝑣0
𝑚𝑚�0.2𝑔𝑔−𝑡𝑡0� 𝑚𝑚�0.2𝑔𝑔+𝑡𝑡0�
32.自转对重力加速度的影响
1. 地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤
道上的物体“飘”起来，则地球的转速就应为原来的( )
g g＋a g－a g
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
a a EA A a EA A aEA
2.（2022级一中高一月考）恒星的引力坍缩的结果是形成一颗致密星，如白矮星、中子星、
黑洞等，由于在引力坍缩中很有可能伴随着引力波的释放，通过对引力坍缩进行计算机数值
模拟以预测其释放的引力波波形是当前引力波天文学界研究的课题之一、中子星（可视为均
匀球体），自转周期为 T 时恰能维持星体的稳定（不因自转而瓦解），当中子星的自转周期
0
增为T=3T 时，某物体在该中子星“两极”所受重力与在“赤道”所受重力的比值为（ ）
0
A． B． C． D．
6 7 8 9
5 6 7 8
3. 随着科技的发展，人类对外太空的探索不断深入，研究人员在某未知天体上做如下实验:
将质量为2kg的物体竖直悬挂在弹簧秤上，稳定时，在赤道处弹簧秤读数为10N，在南北极
10
处弹簧秤读数为 12N。如果该未知天体受到其它天体的影响，其自转周期变为原来的 。，
9
则该物体在赤道上的重力约为( )
A.10N B.12N C.10.4N D.9.5N
4. 已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为∆N，假设地球是质量均匀
的球体，半径为R，地球两极的重力加速度为g。则( )
mR 2mR
A．地球的自转周期为T =2π B．地球的自转周期为T =π
∆N ∆N
1 1
C．地球同步卫星的轨道半径为
mg
3
R
D．地球同步卫星的轨道半径为
2
mg
3
R
∆N ∆N
45.（2019 一中四月考）将一质量为 m 的物体分别放在地球的南北两极点时，该物体的重力
均为mg;将该物体放在地球赤道上时,该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布
0
的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出（ ）
gR2 g
A.地球的质量为 B.地球同步卫星的离地高度为R 0
3
G g −g
0
R
C.地球自转的周期为2π D.地球的第-宇宙速度大小为 gR
g −g
0
6、（2014新课标2）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两
极的大小为g ，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常数为G，则地球的密度为( )
0
3π g −g 3π g 3π 3π g
A. 0 B. 0 C. D. 0
GT2 g GT2 g −g GT2 GT2 g
0 0
7. 宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得
质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′，他还发现探测器绕该星
球表面做匀速圆周运动的周期为T，假设该星球可视为质量均匀分布的球体，则其自转周期
为（）
F′ F F −F′ F
A.T B.T C.T D.T
F F′ F F −F′
53.地下洞穴里的重力加速度
1. 理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。
现假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以 O
为原点建立坐标轴 Ox，如图所示，一个质量一定的小物体（假设它能
够在地球内部移动）在x轴上各位置受到的万有引力大小用F表示，则
下列选项中四个F随x变化的关系图正确的是（ ）
F F F F
F 0 F 0 F 0 F 0
x x x x
A B C D
2、（2012新课标）.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知
质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）
d d R−d R
A.1− B.1+ C.( )2 D.( )2
R R R R−d
3.（2012全国卷）（19分）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k。
设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，
求矿井的深度d。
4.如图所示，有一个质量为 M，半径为 R，密度均匀的大球体，从中挖去一个半
R
径为 的小球体，并在空腔中心放置一质量为 m 的质点，则 A 大球体的剩余部
2
分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）
（ ）
Mm Mm Mm
A.G B. 0 C.4G D.G
R2 R2 2R2
6二. 圆轨道绕转的定性问题
1. 能用口诀
1.(2020天津)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是
地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫
星相比，地球静止轨道卫星( )
A. 周期大 B. 线速度大 C. 角速度大 D. 加速度大
2.（2010天津）探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运
动，则变轨后与变轨前相比（ ）
A. 轨道半径变小 B. 向心加速度变小
C. 线速度变小 D. 角速度变小
3、（2014天津）研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。
假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的
相比（ ）
A、距地面的高度变大 B、向心加速度变大 C、线速度变大 D、角速度变大
4.（2022浙江6月高考） 神舟十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱
脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则（ ）
A. 天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B. 返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
C. 质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D. 返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒
5.（2022•湖北）2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的
组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是（ ）
A．组合体中的货物处于超重状态
B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
76.（2022广东）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的
冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太
阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（ ）
A. 火星公转的线速度比地球的大
B. 火星公转的角速度比地球的大
C. 火星公转的半径比地球的小
D. 火星公转的加速度比地球的小
7.（2022 届河西区一模） 2021 年5 月18 日，中国空间站天和核心舱进入轨道，其轨道可
视为圆轨道，绕地球运行的周期约为90分钟；6月17日，神舟十二号载人飞船成功对接天
和核心舱，与此前已对接的天舟二号货运飞船一起构成三舱组合体，若对接前后天和核心舱
轨道不变。下列说法正确的是（ ）
A. 空间站在轨道上运行的速度介于地球的第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B. 空间站在轨道上运行的速率大于地球同步卫星的速率
C. 对接成功后，空间站由于质量增大，运行周期变大
D. 对接成功后，空间站由于质量增大，运行速度变小
8.（2022滨海七校）2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与
空间站组合体完成交会对接，3名宇航员顺利进入“天和”核心舱。
根据任务安排，后续将发射“问天”实验舱和“梦天”实验舱，计划
在2022年前后完成空间站建造并开始运营。已知空间站离地面高
度 h 约 400km，地球半径 R 约 6370km，空间站可看成是绕地球
做匀速圆周运动，则关于空间站的说法正确的是（ ）
A.后续对接实验舱后，空间站周期仍不变
B.空间站绕地球运行线速度大于7.9km/s
C.后续对接实验舱后，由于质量变大，空间站加速度将增大
D.后续对接实验舱后，空间站绕地球运行周期将大于24h
9（. 2023•新课标）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg
的物资进入距离地面约400km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空
间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资（ ）
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
810.（2023届红桥二模）人造地球卫星可在高度不同的轨道上运转，已知地球质量为M 、半
径为R、表面重力加速度为g，万有引力常量为G，则下述关于人造地球卫星的判断正确
的是（ ）
GM
A. 各国发射的所有人造地球卫星的运行速度都超过
R
R
B. 各国发射的所有人造地球卫星的运行周期都不小于2π
g
C. 卫星的运行轨道半径越大，其运行速度也越大
D. 地球同步卫星可相对地面静止在天津的正上空
11.（2023 届河东区二模）“羲和号”卫星是我国首颗可 24 小时全天候对太阳进行观测的
试验卫星。该卫星轨道为圆轨道，通过地球南北两极上方，离地高度517km，能够24h持续
对太阳进行观测，则该卫星（ ）
A. 运行周期大于24h
B. 运行速度大于第一宇宙速度
C. 发射速度大于第二宇宙速度
D. 运行角速度大于地球同步卫星的角速度
12．（2023届一中四月考）2020年6月23日，第55颗北斗导航卫星发射成功，
这标志着我国提前半年完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署目标。第 55
颗卫星也是北斗三号全球卫星导航系统第三颗相对地球静止的同步轨道卫星，
关于这颗卫星的说法正确的是（ ）
A．它的工作轨道可在赤道平面内的任意高度
B．它的周期与地球公转周期相同
C．它的线速度大于赤道上物体随地球自转的线速度
D．它的向心加速度小于月球的向心加速度
13.（2023届一中高三二月考）为了能够减少太空垃圾的数量，目前世界各大国的卫星本身
都会设置自毁程序。简单来说，就是在卫星使用寿命即将到期前，控制中心会给卫星发射指
令，如果卫星处于高轨道上，需要点火推进把它升到比地球同步轨道高约200公里的高度，
那里被称为卫星的“坟场”；如果卫星处于低轨道，便使它逐步降低高度进入大气层，大多数
卫星在通过大气层时就会燃烧殆尽。关于卫星自毁过程中的变轨，下列说法正确的是（ ）
A．迁移到“坟场”后，卫星的线速度大于第一宇宙速度
B．迁移到“坟场”后，卫星的环绕周期大于24小时
C．在降低高度进入更低轨道后，卫星的机械能逐渐增加
D．在降低高度进入更低轨道后，卫星的加速度增大
92. 不能用口诀的两种情况
1.理想状态的“日地——拉格朗日点”是只在太阳和地球对人造卫星引力作用下(忽
略其它星体引力)，使人造卫星围绕太阳运行的周期与地球围绕太阳运行的周期相
同的点．其中两个“日地——拉格朗日点”L 、L 在日地连线上，L 在地球轨道内侧，
1 2 1
L 在地球轨道外侧，如图所示，下列说法中正确的是（ ）
2
A．人造卫星在L 处线速度大于地球的线速度
1
B．人造卫星在L 处角速度大于地球的角速度
1
C．人造卫星在上L 处加速度小于地球的加速度
1
D．同一人造卫星在L 处所受万有引力大于在L 处所受万有引力
1 2
2.（2022 级一中高一月考）探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成为世界首
颗成功进入地月拉格朗日 点的Halo使命轨道的卫星，为地月信息联通搭建
“天桥”。如图所示，该 点位于地球与月球连线的延长线上，“鹊桥”位于该
𝐿𝐿2
点，在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动。已知地球、
𝐿𝐿2
月球和“鹊桥”的质量分别为 、 、 ，地球和月球之间的平均距离为R，
e m
点离月球的距离为x，不计“鹊桥”对月球的影响，则（ ）
𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝑚𝑚 𝐿𝐿2
A．“鹊桥”的线速度等于月球的线速度
B．“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
C．x满足 e m e
𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝑀𝑀
D．x满足 e 2 2e e3
(𝑅𝑅+𝑥𝑥) + 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 (𝑅𝑅+𝑥𝑥)
𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝑀𝑀
2 2 3
(𝑅𝑅+𝑥𝑥) +𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 (𝑅𝑅+𝑥𝑥)
3. 有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨
道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置
如图所示，则( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g B．在相同时间内b转过的弧长最长
π
C．c在4小时内转过的圆心角是 D．d的运动周期有可能是20小时
6
4. 中国航天局秘书长田玉龙2015年3月6日证实，将在2015年
年底发射高分四号卫星，这是中国首颗地球同步轨道高时间分辨率
对地观测卫星。如图所示，A是静止在赤道上随地球自转的物体；
B、C是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球
半径的圆形轨道上，C是高分四号卫星。则下列关系正确的是
( )
A．物体A随地球自转的角速度大于卫星B的角速度
B．卫星B的线速度大于卫星C的线速度
C．物体A随地球自转的加速度大于卫星C的加速度
D．物体A随地球自转的周期大于卫星C的周期
105、（2018河西2模）2015年11月27日05时24分，我国在太原卫星发射中心用长征四号
丙运载火箭成功将遥感二十九号卫星发射升空。该卫星为近地轨道卫星，轨迹可视为半径与
地球半径相等的圆。卫星在运行过程中，与静止在赤道上的物体相比（ ）
A 卫星的线速度较大 B 卫星的周期较长
C 卫星的角速度较小 D 卫星的向心加速度较小
6. 为简单计，把地－月系统看成地球静止不动而月球绕地球做匀速圆周运动，如
图所示，虚线为月球轨道。在地月连线上存在一些所谓“拉格朗日点”的特殊点。在
这些点，质量极小的物体（如人造卫星）仅在地球和月球引力共同作用下可以始终
和地球、月球在同一条线上，则图中四个点不可能是“拉格朗日点”的是（ ）
A. A点 B. B点 C. C点 D. D点
7.据报道，已经发射成功的“嫦娥四号”月球探测器在月球背面实
现了软着陆，并展开探测工作，它将通过早先发射的“鹊桥”中
继卫星与地球实现信号传输及控制。在地月连线上存在一点“拉
格朗日L ”，“鹊桥”在随月球绕地球同步公转的同时，沿“Halo
2
轨道”（轨道平面与地月连线垂直）绕L 转动，如图所示。已知
2
“鹊桥”卫星位于“Halo轨道”时，在地月引力共同作用下具有跟月
球绕地球公转相同的周期。根据图中有关数据结合有关物理知
识，可估算出（ ）
A.“鹊桥”质量 B.月球质量
C.月球的公转周期 D.“鹊桥”相对于L 的线速度
2
8. 两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构
成稳定的双星系统。双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的
点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持
静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。现将“地—月系统”看做双星系统，
如图所示，O 位地球球心、O 位月球球心，它们绕着O O 连线上的O
1 2 1 2
点以角速度ω做圆周运动。P点到O 、O 距离相等且等于O O 间距离，
1 2 1 2
该点处小物体受地球引力F E和月球引力F M的合力F，方向恰好指向O，
提供向心力，可使小物体也绕着O点以角速度ω做圆周运动。因此P点
是一个拉格朗日点。现沿O O 连线方向为x轴，过O 与O O 垂直方向
1 2 1 1 2
为y轴建立直角坐标系。A、B、C分别为P关于x轴、y轴和原点O 的
1
对称点，D为x轴负半轴上一点，到O 的距离小于P点到O 的距离。根据以上信息可以判
1 1
断（ ）
A．A点一定是拉格朗日点 B．B点一定是拉格朗日点
C．C点可能是拉格朗日点 D．D点可能是拉格朗日点
11三. 圆轨道绕转的定量问题
1. 物理量求比
1.（2023届和平区三模）2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中
国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”。神舟十五卫星绕地球做匀速圆周
运动。已知地球质量为 M、引力常最为 G，卫星与地心的连线在时间 t（小于其运动周期）
内扫过的面积为S，则卫星绕地球运动的轨道半径为（ ）
2S 4S2 GMt2 t GM
A. B. C. D.
t GM GMt2 4S2 2S
2.（2023 届耀华校二模）“格物致知，叩问苍穹”，星空浩瀚无比，中国
人对宇宙的探索永无止境。2023 年 4 月 24 日是第八个中国航天日，
主场活动在安徽省合肥市举行，其中的航天科普系列展览活动中展出了
神舟十五号载人飞船成功对接空间站组合体的画面。神舟十五号与空间
站组合体完成对接后在轨道上运行可视为匀速圆周运动，已知它们的轨
道距地面的高度 h，地球半径 R，引力常量 G，地球表面重力加速度g，
下列说法正确的是（ ）
A. 对接后组合体做匀速圆周运动的周期小于 24 小时
B.根据题中所给条件，可以计算出地球的平均密度
C.对接后组合体做匀速圆周运动的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度
D.在组合体的实验舱内由静止释放一个小球，可以根据小球的下落高度和时间计算所在轨道
处的重力加速度
3.（2023 届南开中学三月考）据英国《卫报》网站 2015 年 1 月 6 日报道，在太阳系之外，
科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，它绕恒星橙矮星运行，被命名为“开普勒
438b”。假设该行星绕橙矮星的运动与地球绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，其运行的周
期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳质量的q倍。则该行星与地球的（ ）
A．轨道半径之比为
3
B．轨道半径之比为 2
�𝑝𝑝 𝑞𝑞
3
2
C．线速度大小之比为�𝑝𝑝
3 𝑝𝑝
�𝑞𝑞
D．线速度大小之比为
1
𝑝𝑝
4.（2023届十二校二模）2021年12月9日15时40 分，“天宫课堂”
第一课正式开讲，这是首次在距离地面约400km的中国载人空间站
“天宫”上进行的太空授课活动．授课期间，航天员与地面课堂的师生
进行了实时互动交流，已知“天宫”围绕地球做匀速圆周运动，运行周
期约为90分钟，引力常量G的数值也已知．下列说法正确的是（ ）
A．“天宫”的轨道高度大于地球同步卫星的轨道高度
B．“天宫”的运行速度大于9.7km/s
C．若忽略空间站离地高度，则根据题中数据可估算出地球密度
D．授课时，航天员可以用天平称量物品的质量
125.（2023届五校联考）2021年4月29日11时23分，我国在文昌航天发射场用长征五号B
遥二运载火箭成功将中国空间站天和核心舱发射升空并准确进入距离地面约400km的预定
轨道，约95分钟绕地球运行一圈。假设中国空间站天和核心舱绕地球运行的轨道为圆周，
已知地球半径约6400km，自转周期为24h，万有引力常量为G，忽略空气阻力的影响，下
列说法中正确的是（ ）
A. 天和核心舱的运行速度大于第一宇宙速度
B. 天和核心舱的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
C. 根据题中所给数据可以计算同步卫星的距地高度
D. 根据题中所给数据可以计算地球密度
6.（2023届新华中学二月考）神舟十二号载人飞船于2021
年6月17日采用自主快速交会对接模式成功与天和核心舱
对接。已知“天和核心舱”匀速圆周运动的轨道离地约400km、
周期约为93min，地球半径为6370km，万有引力常量
N m kg ．根据这些数据，下列不能大致确
𝐺𝐺 =
定的是（ −1 1 ） 2 2
6.67×10 ⋅ /
A．天和核心舱的质量 B．地表的重力加速度
C．地球的平均密度 D．地球近地卫星的周期
7.（2023届南开中学二月考）甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨
道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有（ ）
A. 由v= gR可知，甲的速度是乙的2倍
B. 由a =ω2R可知，甲的向心加速度是乙的2倍
Mm 1
C. 由F =G 可知，甲的向心力是乙的
R2 4
R3
D. 由 =k可知，甲的周期是乙的2 2倍
T2
8.（2023届高三耀华二月考）北斗系统主要由离地面高度约为6R(R为地球半径)同步轨道卫
星和离地面高度约为3R的中圆轨道卫星组成，设表面重力加速度为g，忽略地球自转。则
（ ）
A. 这两种卫星速度都大于
B. 中圆轨道卫星的向心加速 �𝑔𝑔度𝑅𝑅约为
𝑅𝑅
C. 中圆轨道卫星的运行周期大于24小16时
D. 根据 可知，卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，需向前方喷气减速
2
𝑀𝑀𝑚𝑚 𝑣𝑣
𝐺𝐺 𝑟𝑟
2
=𝑚𝑚 𝑟𝑟
139.（2022•河北）2008 年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的 2.16 米望远镜，
发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天
文学联合会分别命名为“羲和”和“和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量
的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地
球公转速度大小的比值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
√2
√2 √2
2
10.（2022•山东）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，
该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星
每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。
已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”
卫星轨道距地面高度为（ ）
A． R B． C． R D．
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
𝑔𝑔𝑅𝑅 𝑇𝑇 3 𝑔𝑔𝑅𝑅 𝑇𝑇 3 𝑔𝑔𝑅𝑅 𝑇𝑇 3 𝑔𝑔𝑅𝑅 𝑇𝑇 3
( 2 2) − ( 2 2) ( 2 2) − ( 2 2)
2𝑛𝑛 𝜋𝜋 2𝑛𝑛 𝜋𝜋 4𝑛𝑛 𝜋𝜋 4𝑛𝑛 𝜋𝜋
11.（2022 南开中学五月考）为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃和俄罗斯宇航
员一起进行了“模拟登火星”的实验活动，假设火星半径与地球半径之比为 1：2，火星质量与
地球质量之比为 1：9。已知地球表面的重力加速度为 g，地球半径为 R，万有引力常量为 G，
忽略自转的影响，则
A. 火星表面与地球表面的重力加速度之比为 2：9
B. 火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 ：3
g √2
火星的密度为
C.
3πGR
12.（2022一中五月考） 农历除夕，神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶
光富在遥远的太空专门发来视频，向祖国和人民送上祝福。如图所示，假设
空间站绕地心做近似圆周运动，地球半径为R，航天员在空间站内观察地球
的最大张角为θ。万有引力常量为 G，地球表面的重力加速度为 g，航天员
给全国人民拜年的时长为t。下列说法正确的是（ ）
A. 空间站运行的轨道半径为
𝑅𝑅
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
B. 空间站所在轨道的重力加速度为
2𝑠𝑠
𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 2
C. 空间站绕地球运动的速率为
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝜃𝜃
�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2
D. 拜年期间空间站运行的弧长为
𝑠𝑠
𝑡𝑡�𝑔𝑔𝑅𝑅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2 1413.（2022十二校一模）我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志着我国成
为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星
绕地球运动的周期，已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作
匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，可以计算出卫星（ ）
A．线速度的大小 B．向心力的大小
C．引力势能的大小 D．密度的大小
14．（2022届南开区一模）假设宇宙中有两颗相距足够远的行星A和B，半
径分别为R 和R 。各自相应的两颗卫足环绕行星运行周期的平方与轨道半
A B
径的三次方的关系如图所示，环绕相应行星表面运行的两颗卫星的环绕周期
都为T 。则（ ）
0
A．行星A的质量大于行星B的质量
B．行星A的密度等于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星 A 的卫星向心加速度大于行星 B 的卫星向心加
速度
15.（2022届南开中学高三2月考）2021年10月16日，搭载“神
舟十三号”载人飞船的“长征二号”F遥十三运载火箭将翟志刚、王
亚平、叶光富 3 名航天员送入太空，并顺利与中国“天宫”空间站
实现对接，若已知地球的自转周期 T、地球半径为 R，地球表面
的重力加速度 g，组合体运动的轨道距地面高度为 h,下列表达式
正确的是（ ）
A．组合体所在的轨道处的重力加速度
′ 𝑅𝑅𝑅𝑅
B．组合体围绕地球作圆周运动的角速度𝑔𝑔 大=小
𝑅𝑅+ℎ
𝑅𝑅
C．组合体的线速度大小 （ ） 𝜔𝜔 =�𝑅𝑅+ℎ
2𝜋𝜋 R+h
D．组合体的运行周期 𝑣𝑣 = （𝑇𝑇 ）
3
2
′ 4𝜋𝜋 R+h
𝑇𝑇 =� 𝑅𝑅𝑅𝑅 2
1516.（2022 届一中高三2月考）如图所示，某航天器围绕一颗行星做匀速圆周
运动，航天器的轨道半径为R，环绕行星运动的周期为T，经过轨道上A点时
发出了一束激光，与行星表面相切于 B点，若测得激光束 AB与轨道半径AO
夹角为θ，引力常量为G，不考虑行星的自转，下列说法正确的是（ ）
4π2(Rsinθ)3
A．行星的质量为
GT2
4π2R
B．行星表面的重力加速度为
T2sin2θ
3π
C．行星的平均密度为
GT2cos3θ
D．行星的第一宇宙速度为
2𝜋𝜋𝑅𝑅
𝑇𝑇√𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
17.（2022•辽宁）如图所示，行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动。
在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角 ，地球—金
星连线与地球—太阳连线夹角 ，两角最大值分别为
m
、
m
α，则（ ）
A．水星的公转周期比金星的β大 α β
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin
m
：sin
m
D．水星与金星的公转线速度之比为 α ： β
�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝛼𝛼𝑚𝑚 �𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝛽𝛽𝑚𝑚
162. 圆周追及
1. （2021届南开中学五次月考）2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中
心成功发射北斗系统第55颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部
署全面完战。北斗导航系统第41颗卫星为地球同步轨道卫星，第49颗卫星
为倾斜地球同步轨道卫星，它们的轨道半径约为4.2×107m，运行周期都等
于地球的自转周期24h.倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角，
如图所示。已知引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2，下列说法正确的是（ ）
A.根据题目数据可估算出地球的质量
B.两颖卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C.第41颗卫星可能经过北京上空
D.第49颗卫星一天2次经过赤道正上方
2021届河西区一模）三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速
圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自
转周期为T，B的运行周期为T，则下列说法正确的是（ ）
1 2
A.C加速可追上同一轨道上的A
TT
B.经过时间 1 2 ，A、B相距最远
2(T −T )
1 2
C.A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
D.在相同时间内，C与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积
3. （2020南开中学校模）导航系统是一种利用人造卫星对物体进行定位测速的工
具，目前世界上比较完善的导航系统有美国的GPS系统，中国的北斗系统，欧洲
的伽利略导航系统以及俄罗斯的GLONASS系统，其中美国的GPS系统采用的是运
行周期为12小时的人造卫星，中国的北斗系统一部分采用了同步卫星，现有一颗
北斗同步卫星A和一颗赤道平面上方的GPS卫量B，某时刻两者刚好均处在地面某
点C的正上方，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.A的速度比B的小
B.若两者质量相等，则发射B需要更多的能量
C.此时刻B处在A、C连线的中点
D.从此时刻起，经过12小时，两者相距最远
174.人造卫星a的圆形轨道离地面高度为h，地球同步卫星b离地面高度为H，h＜H，两卫星
共面且旋转方向相同．某时刻卫星a恰好出现在赤道上某建筑物c的正上方，设地球赤道半
径为R，地面重力加速度为g，则( )
R＋h
A．a、b线速度大小之比为
R＋HEA
R3
B．a、c角速度之比为
A R＋h3E
R＋H
C．b、c向心加速度大小之比
A R A
E
R＋h3
D．a下一次通过c正上方所需时间等于t＝2π
A gR2 E
5. 太阳系各行星可近似看成在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。设天王星公
转周期为T ，公转半径为R ；地球公转周期为T ，公转半径为R 。当地球和天王星运行到
1 1 2 2
太阳两侧，且三者排成一条直线时，(忽略两者之间的引力作用，万有引力常量为G)下列说
法正确的是( )
A．天王星公转速度大于地球公转速度
T T
B．地球与天王星相距最近至少需经历 1 2
A2（T －T ）
1 2 E
4π2R3
C．太阳的质量为 1
AAEAAEA E GT2 2E
R2
D．天王星公转的向心加速度与地球公转的向心加速度之比为 1
AAEAAEA E R2 2E
6.设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，
金星在地球轨道的内侧（称为地内行星），在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出
现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走
过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为R，“金
星凌日”每隔t 0 年出现一次，则金星的公转轨道半径为( )
3 2 2
t t 1+t t
A． 0 R B．R 0 C．R3 0 D．R3 0
1+t 1+t t 1+t
0 0 0 0
7. 地球赤道上一位观察者a，赤道平面内有一颗自西向东运行的近地卫星b，a观测发现，
其正上方有一颗静止不动的卫星c，每隔时间T卫星b就会从其正上方飞过。已知地球半径
为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．c的加速度大于b的加速度 B．a的线速度大于c的线速度
4π2R3 2πT R
C．地球的质量为 D．c的周期为
GT2 T g −2π R
18四. 椭圆与变轨
1.（2023届南开中学六月考）中国志愿者王跃参与人类历史上第一次
全过程模拟从地球往返火星的试验，假设将来人类一艘飞船从火星返
回地球时，经历如图所示的变轨过程，则下列正确的是( )
A.飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度
B.飞船在轨道Ⅰ上运动的机械能大于在轨道Ⅱ上运动的机械能
C.飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D.飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样的半径运
动的周期相同
2．（2023届一中五月考）2022年11月1日，23吨的梦天实验舱与60
吨的天和核心舱组合体顺利对接，完成了中国空间站建设最后一个模块
的搭建。若对接前天和核心舱组合体在距地高度380km正圆轨道运动，
运行速度略小于梦天实验舱对接前的速度，则（ ）
A．对接前空间站内宇航员所受地球的引力为零
B．对接时梦天舱和天和舱因冲击力而产生的加速度相同
C．对接后空间站绕地运行速度大于第一宇宙速度
D．若不启动发动机调整轨道，对接后空间站的轨道将会是椭圆
3（. 2023届南开区一模）如图所示，地球赤道上空人造卫星先沿椭圆轨道运行，
其近地点P到地球中心的距离为r，远地点Q到地球中心的距离为8r，该卫星
在远地点Q处点火变轨进入地球同步轨道，成为一颗沿圆轨道运行的地球同步
卫星，下列说法中正确的是（ ）
A．卫星在近地点和远地点的加速度之比为8 1
B．卫星变轨前从P处运动到Q处的过程中，引力势能增加，机械能减少
∶
C．卫星在远地点Q处变轨前瞬间速度变大
D．卫星进入地球同步轨道后运行的速度大于在椭圆轨道P处的速度
4（. 2023届和平区二模）中国自行研制、具有完全知识产权的“神舟”飞船，
目前已经达到国际第三代载人飞船技术水平。如图所示，其发射过程简化
如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由“长征”运载火箭送入近地点为A、
远地点为B的椭圆轨道上，通过变轨进入预定圆轨道。则（ ）
A．飞船在B点通过加速从稍圆轨道进入预定圆轨道
B．飞船在椭圆轨道上运行时，在A点的速度比B点的小
C．飞船在椭圆轨道上运行时，在A点的机械能比B点的小
D．飞船在椭圆轨道上运行时，在A 点的加速度比 B 点的小
195.（2023 届十二校一模）2021 年 5 月 15 日，“天问一号”探测器成功着陆火
星。图为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星的理想轨迹示意图，其
中轨道I、III为椭圆，轨道II为圆，不计探测器变轨时质量的变化，万有引
力常量为G，则（ ）
A. 探测器在轨道I的运行周期小于在轨道II的运行周期
B. 探测器在轨道II上的速度小于火星的“第一宇宙速度”
C. 若已知轨道II的周期和轨道半径，则可以求出火星质量
D. 探测器在轨道I上O点的速度小于轨道II上O点的速度
6.（2022 天津部分区县一模）一颗人造地球卫星先沿椭圆轨道 I 飞行，在 Q 点
突然交速后沿圆形轨道II飞行，下列说法正确的是
A. 卫星在轨道I上从P向Q运动时速度增大
B. 卫星从轨道I变为轨道II须在Q点突然加速
C. 卫星在轨道II的周期大于在轨道I的周期
D. 卫垦在轨道II上飞行的速度大于地球的第一宇宙速度
7.(2022 和平区二模)2022年4 月13 日，神州13 号飞船在历经了183天的太空
航行之后，成功返回地球，创下了中国载人航天空间站任务飞行时间最长、任
务项目最多的纪录。神州十三号此行的主要任务之一是进入太空并与天宫空间
站进行对接，飞船的运动可简化为如图所示的情境，圆形轨道 2 为天宫空间站
运行轨道，椭圆轨道 1 为载人飞船运行轨道，两轨道相切于 P 点，Q 点在地面
附近，是轨道1的近地点，则下列判断正确的是（ ）
A. 载人飞船可在到达轨道2后不断加速追上空间站实现对接
B. 载人飞船在轨道1上P点的加速度等于空间站在轨道2上P点的加速度
C. 载人飞船在轨道1上经过Q点时的速度等于7.9km/s
D. 载人飞船从Q点向P点运动过程中，万有引力不做功
8.（2021天津卷）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了
我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下中国人的印迹。天问一号探
测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道
调整，探测器先沿椭圆轨道I运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道II运
行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（ ）
A.在轨道II上处于受力平衡状态
B.在轨道I运行周期比在II时短
C.从轨道I进入II在P处要加速
D.沿轨道I向P飞近时速度增大
209.（2022届和平一模）2022年1月22日，我国实践二十一号卫星（SJ-21）将一
颗失效的北斗 2 号卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的轨
道上，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行。这颗失效
的北斗 2 号卫星原本运行在高度约 36000 公里的地球同步静止轨道上，SJ-21 在
失效卫星旁边进行了近距离操作，几个小时后将其拖离了同步轨道，经过转移轨
道抬升了1500km高度后，最终将其送到圆形卫星墓地轨道，完成任务后SJ-21随
即返回到地球静止轨道。如图所示为这个过程中几个轨道示意图，其中 1 为地球
同步静止轨道，2为转移轨道，3为墓地轨道，M为1、2轨道的切点，N为2、3轨道的切点，
下列判断正确的是
A. 北斗2号在轨道1运行时的速度为7.9km／s
B. 北斗2号在轨道1运行时的周期大于在轨道3运行时的周期
C. SJ-21俘获北斗2号后需要在M点加速才能进入轨道2
D. SJ-21返回时需要在N点加速才能进入轨道2
10.（2022天津五校联考1）我国首个火星探测器“天问一号”，于2020年
7月23日在海南文昌航天发射中心成功发射，计划于2021年5月至6
月择机实施火星着陆，开展巡视探测，如图为“天问一号”环绕火星变轨示
意图。已知地球质量为M，地球半径为R，地球表面重力加速度为g；火
1 1
星的质量约为地球质量的 ，半径约为地球半径的 ；着陆器质量为m。
9 2
下列说法正确的是（ ）
A. “天问一号”探测器环绕火星运动的速度应大于11.2m/s
3πM
B. 若轨道Ⅰ为近火星圆轨道，测得周期为T，则火星的密度约为
T2R2g
C. “天问一号”在轨道Ⅱ运行到Q点的速度大于在圆轨道Ⅰ运行的速度
4
D. 着陆器在火星表面所受重力约为 mg
9
11（. 2022届一中高三2月考）2021年2月10日，中国首次火星探测任务“天
问一号”探测器实施近火捕获制动，成为火星卫星。如图所示为探测器经过
多次变轨后登陆火星的轨道示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆，探
测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后从Q点登陆火星。O点是三个轨道的交点，轨道上的
O、P、Q三点与火星中心在一条直线上O、Q分别为椭圆轨道Ⅲ的远火点和
近火点。已知火星的半径为 R，OQ=4R，探测器在轨道Ⅱ上正常运行时经
过O点的速度为v，在此轨道上运行的周期为T，下列说法正确的（ ）
A．沿轨道Ⅰ运行时探测器与Q点的连线在相等时间内扫过的面积相等
B．沿轨道Ⅱ运行的过程中探测器处于平衡状态
6
C．沿轨道Ⅲ运行时探测器从O点到Q点的时间为 T
9
v2
D．沿轨道Ⅱ运行时探测器经过O点时的加速度为
R
2112. （2022届耀华高三2月考）一着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹变
化如图所示，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，经过P点启动变轨发动机然后切换
到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换
到椭圆轨道Ⅲ上运动。轨道上的 P、Q、S 三点与火星中心位于同一直线上，
P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ=2QS =2l。除了
变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力航行状态。着陆器在轨道Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为v 、v 、v ( )
1 2 2
A．v r >r ,忽略其他星体对它们的作用,可知这三颗星体
A B C
（ ）
A．加速度大小关系是a >a >a
A B C
B．线速度大小关系是v >v >v
A B C
C．质量大小关系是m >m >m
A B C
D．所受万有引力合力的大小关系是F >F >F
A B C
284（2015安徽）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作
用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，
分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形
所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体
质量不相同时的一般情况）。若A 星体质量为 2m，B、C 两星体的
质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小F ；
A
（2）B星体所受合力大小F ；
B
（3）C星体的轨道半径R ；
C
（4）三星体做圆周运动的周期T。
29动量
1. 碰撞的结果判断
1. A、B两小球在光滑水平面上沿同一直线运动，B球在前，A球在后。m =1kg，
A
m =2kg。经过一段时间，A、B发生正碰，碰撞时间极短，碰撞前、后两球的位
B
移一时间图像如图所示，根据以上信息可知碰撞类型属于( )
A．弹性碰撞 B．非弹性碰撞
C．完全非弹性碰撞 D．条件不足，无法判断
2.（2022湖南卷）1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质子
大致相等的中性粒子（即中子）组成。如图，中子以速度v 分别碰撞静止的氢核和氮核，
0
碰撞后氢核和氮核的速度分别为v 和v 。设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说
1 2
法正确的是（ ）
A. 碰撞后氮核的动量比氢核的小 B. 碰撞后氮核的动能比氢核的小
C. v 大于v D. v 大于v
2 1 2 0
3.(2020年新课标3)甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲
追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实
线所示。已知甲的质量为1kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为( )
A. 3 J B. 4 J C. 5 D. 6 J
在光滑的水平桌面上，质量为 的物块 以速度 向右运动，与静止在桌面上的质量为
的物块 发生正碰，以向右为正方向，碰撞后，物块 的速度可能为（ ）
4. m A v
3m B A
A .-0.8v B.-0.2v C. 0.4v D. 0.1v
305. （2021届十二校一模）质量为1kg的小球a与质量未知的小球b
在水平面上沿同一条直线运动，并发生碰撞，碰撞后两者粘在一
起运动，两者的位置x随时间t变化的图像如图所示。则
A.碰后a、b一起沿b原来运动的方向运动
B.b的质量为4kg
4
C.碰撞过程中a受到的冲量是 N•s
3
D.碰撞过程中损失的机械能为4J
6. （2023届和平区三模） 如图所示，光滑轨道的左端为半径为R=1.8m的圆弧形，右端为
水平面，二者相切，水平面比水平地面高H=0.8m，一质量为m =0.2kg的小球A从距离水平
1
面高 h=0.45m 处由静止开始滑下，与静止于水平面上的质量为 m 的小球 B 发生弹性正碰，
2
碰后小球B做平抛运动，落地时发生的水平位移为x=1.6m，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）A球刚滑到圆弧最低点时受到轨道支持力的大小；
（2）碰后瞬间B球的速度大小；
（3）B球的质量。
317.（2022届一中三月考）如图所示，质量为 =2kg的木块A静止在光滑水平面上．一质量
为 = 1kg的木块B以某一初速度v = 5m/s沿水平方向向右运动，与A碰撞后都向右运动．木
0 𝑚𝑚𝐴𝐴
块 A 与挡板碰撞后立即反弹（设木块 A 与挡板碰撞过程无机械能损失）。后来木块 A 与 B
𝑚𝑚𝐵𝐵
发生第二次碰撞，碰后A、B同向运动，速度大小分别为0.9m/s、1.2m/s．求：
（1）第一次A、B碰撞后，木块A的速度大小；
（2）第二次A、B碰撞过程中A对B做的功；
（3）第二次A、B碰撞过程中A对B做的冲量。
8．（2022 届天津）冰壶是冬季奥运会上非常受欢迎的体育项目。如图所示，运动员在水平
冰面上将冰壶A推到M点放手，此时A的速度v =2m/s，匀减速滑行x =16.8m到达N
0 1
点时，队友用毛刷开始擦 A 运动前方的冰面，使 A 与NP间冰面的动摩擦因数减小，A 继
续匀减速滑行x =3.5m，与静止在P点的冰壶B发生正碰，碰后瞬间A、B的速度分别为
2
v =0.05m/s和v =0.55m/s。已知 A、B 质量相同，A 与MN 间冰面的动摩擦因数
A B
µ =0.01，重力加速度g取10m/s2，运动过程中两冰壶均视为质点，A、B碰撞时间极短。
1
求冰壶A
（1）在N点的速度v 的大小；
1
（2）与NP间冰面的动摩擦因数µ。
2
[来源:学|科|网]
329. （2022滨海七校）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导
杆上滑动，算珠的质量m都为4g，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有
甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框 b，甲、乙相隔s =3.5×10−2m，乙与边框 a 相隔
1
s =2.0×10−2m，算珠与导杆间的动摩擦因数µ=0.1。现用手指将甲以 0.4m/s的初速度
2
拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为 =0.1m/s，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加
𝑣𝑣0 =
速度g取10m/s2。
𝑣𝑣1
求：（1）甲碰撞乙之前运动的时间t；
（2）甲乙碰撞之后乙的运动速度 ；
（3）甲乙第一次碰撞损失的机械能 E。
𝑣𝑣2
△
10、（2013重庆）（20分）在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的
小球A和小球B，从距水平地面高度为ph（p＞1）和h的地方同时由静止释
放，如题9图所示。球A的质量为m，球B的质量为3m。设所有碰撞都是弹
性碰撞，重力加速度大小为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。
（1）求球B第一次落地时球A的速度大小；
（2）若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，求p的取值范围；
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求
p应满足的条件。
332. 板块模型/子弹木块模型
1.(2018年天津卷) 质量为0.45 kg的木块静止在光滑水平面上，一质量为0.05 kg的子弹以
200 m/s的水平速度击中木块，并留在其中，整个木块沿子弹原方向运动，则木块最终速度
的大小是__________m/s。若子弹在木块中运动时受到的平均阻力为4.5×103 N，则子弹射入
木块的深度为_______m。
2.(2016天津)如图所示，方盒A静止在光滑的水平面上，盒内有一小滑块B，盒的质量是滑
块的 2 倍，滑块与盒内水平面间的动摩擦因数为μ。若滑块以速度 v 开始向左运动，与盒
的左、右壁发生无机械能损失的碰撞，滑块在盒中来回运动多次，最终相对于盒静止，则此
时盒的速度大小为 ，滑块相对于盒运动的路程为 。
3.（2009天津）(16分)如图所示，质量m =0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L=1.5
1
m,现有质量m =0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v =2 m/s从左端滑上小车，最
2 0
后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数µ=0.5,取g=10 m/s2 求
，
（1） 物块在车面上滑行的时间t;
（2） 要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v′ 不超过多少。
0
4、（2007 天津）如图所示，水平光滑地面上停放着一辆小车，左侧靠在竖直墙壁上，小车
的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，在最低点B与水平轨道BC相切，BC的长度是圆弧半径
的10倍，整个轨道处于同一竖直平面内。可视为质点的物块从A点正上方某处无初速下落，
恰好落入小车圆弧轨道滑动，然后沿水平轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出。已知物块
到达圆弧轨道最低点 B 时对轨道的压力是物块重力的 9 倍，小车的质量是物块的 3 倍，不
考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失。求：
⑴物块开始下落的位置距水平轨道BC的竖直高度是圆弧半径的几倍；
⑵物块与水平轨道BC间的动摩擦因数μ。
A
B C
345.(2022 和平区二模)某生产车间内传输货物的装置可简化为下图，A 为水平高台的边缘，
BC 为一段固定圆弧轨道，B 点和圆弧的圆心连线与竖直方向夹角 =53°，圆弧半径 R=3m，
长 L=1.5m、质量为 =1kg 的平板小车最初停在光滑水平轨道上紧靠 C 点，小车上表面刚
𝜃𝜃
好与BC轨道相切。一可视为质点、质量为 =2kg的货物从高台上的A点以初速度v =3m/s
𝑚𝑚1 o
水平抛出，到达B点时，恰好沿B点的切线方向进入BC轨道，滑上小车后带动小车向右运
𝑚𝑚2
动，小车达到与货物速度相同时货物位于小车最右端，之后小车被水平轨道上的固定挡板卡
住，站在挡板后面的工人将货物接住。已知货物与小车间的动摩擦因数μ=0.1，重力加速度
g取10m/s2，取sin53° = 0.8， cos53° = 0.6，求：
（1） A到B的竖直高度h
（2）货物到达圆弧轨道最低点C时对轨道的压力大小Fc
（3）在BC轨道上滑行过程摩擦力对货物做的功W
f
6.（2022届一中高三2月考）光滑水平轨道上放置上表面粗糙的长木板A和滑块C，滑块B
置于A的左端，A与B之间动摩擦因数为 ，三者质量分别是m =2kg，m =1kg，m=2kg。
A B c
开始时C静止，A、B一起以v =5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）
0
𝜇𝜇 =0.2
后C向右运动，经过一段时间，A，B再次达到共速一起向右运动，且恰好不再与C碰撞，
重力加速度g取10m/s2。求：
（1）A与C发生碰撞后瞬间A和C的速度大小 和 各为多少？
（2）判断A与C发生的碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰推，若为弹性碰撞请通过计算说明理
𝑣𝑣𝐴𝐴 𝑣𝑣𝐶𝐶
由：若为非弹性碰撞，请计算出碰撞时损失的机械能∆E的大小；
（3）如果滑块B不能从木板A上滑落，木板A至少多长？
357.（2023届河东区二模）如图所示为一游艺系统示意图。光滑半圆轨道竖直固定，直径AB
沿竖直方向，半径为R=0.8m，A点有一质量为m=1kg的小物块处于静止状态。光滑足够长的
水平平台上有一平板小车，质量为M=3kg，其左端恰好与半圆轨道的B点平齐，恰能使小物
块离开B点后滑上小车。在A点给物块一个水平向左的瞬时冲量I，物块以v=4m/s的速度
1
滑上小车，恰停在小车右端。已知物块与小车之间的动摩擦因数为μ=0.6，g=10m/s2。求
（1）在B点物块对轨道压力F；
（2）瞬时冲量I的大小；
（3）小车的长度。
8.（2021级一中期末考试）如图所示，一质量M=3.0kg的长方形木板B放在光滑水平地面
上，在其右端放一个质量m=1.0kg的小木块A。现以地面为参照系，给A和B以大小均为
4.0m/s方向分别向左和向右初速度，最后 A并没有滑离B板。站在地面的观察者看到在一
段时间内小木块A正在做加速运动，则在这段时间内的某时刻木板 B相对地面的速度大小
可能是（ ）
A．1.8m/s B．2.4m/s C．2.9m/s D．3.0m/s
369. （2022南开中学四月考）如图所示，质量m =4kg，长度L=2m的木板A放在光滑水平
A
面上，木板右端放着质量m =2kg的小物块 B（视为质点），它们均处于静止状态。小物块
B
B 突然受到水平向左的10N⋅s的瞬时冲量 I 作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动
能为2J，重力加速度取10m/s2，求：
(1)瞬时冲量作用结束时小物块的速度v ；
0
(2)小物块滑离木板时的速度v 及木板A和小物块B之间的滑动摩擦因数µ；
B
(3)为达到小物块B 不滑离木板的目的，需要在小物块 B 受到瞬时冲量的同时给木板A 施加
一水平向左的恒力F，求F的最小值。
10.第一次将一长木板静止放在光滑水平面上，如图7甲所示，一小铅块(可视为质点)以水平
初速度v 由木板左端向右滑动，到达右端时恰能与木板保持相对静止。第二次将长木板分
0
成A、B两块，使B的长度和质量均为A的2倍，并紧挨着放在原水平面上，让小铅块仍以
初速度v 由A的左端开始向右滑动，如图乙所示。若小铅块相对滑动过程中所受的摩擦力
0
始终不变，则下列说法正确的是( )
A.小铅块将从B的右端飞离木板
B.小铅块滑到B的右端前已与B保持相对静止
C.第一次和第二次过程中产生的热量相等
D.第一次过程中产生的热量大于第二次过程中产生的热量
3711.（2010重庆）（20分）某兴趣小组在直径为d的杯子上放了一
3
个直径为 d、质量为m的圆板，在圆板的中心放一个质量为2m
2
的小物块，物块与圆板之间的摩擦因数为µ，整个过程不考虑板
与杯口之间的摩擦力和板的翻转。现在给木板一个瞬时冲量I。
（1）求解I满足什么条件才能让物块掉落；
（2）第二问求解物块从开始运动到下落的位移S为多少？
（3）根据S与I的关系式说明要使得S减小，冲量该如何改变？
383. 小球滑块
1. （2022 天津五校联考 1）如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙
上，质量为 m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面
平滑连接，一个质量也为 m 的小球从槽上高 h 处由静止开始自由
下滑（ ）
A. 在下滑过程中，小球对槽的作用力做正功
B. 在下滑过程中，小球和槽组成的系统动量守恒
C. 被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动
D. 被弹簧反弹后，小球能回到槽上高h处
2.（2021级一中期末考试）内侧轨道为1／4圆周的小车的质量为M，半径为R，
一个质量为m的物体从小车的顶由静止滑下，物体滑离小车底端时的速度设为v，
不计一切摩擦，下列说法中正确的是（ ）
A. 物体滑离小车时的速度v=
B. 物块滑离小车时的速度v＜ �2𝑔𝑔𝑅𝑅
C. 物块滑离小车时小车的速度 �v2 ＜ 𝑔𝑔𝑅𝑅
𝑚𝑚𝑣𝑣
D. 物块滑离小车时小车的速度v= 𝑀𝑀
𝑚𝑚𝑣𝑣
𝑀𝑀
3.（2023 届南开中学六月考）(14 分)如图所示，固定光滑曲面轨道在 O 点与光滑水平地面
平滑连接，地面上静止放置一个表面光滑、质量为3m的斜面体C(未固定)。一质量为m的
小物块A从高h处由静止开始沿轨道下滑，在O点与质量为2m的静止小物块B发生碰撞，
碰撞后A、B立即粘连在一起向右运动(碰撞时间极短)，平滑地滑上斜面体，在斜面体上上
升的高度小于斜面体高度，重力加速度为g，求：
(1)A到达O点时的速度；
(2)A、B碰撞过程中损失的机械能；
(3)A和B沿C能上升的最大高度。
394（. 2023届河西二模）如图所示，质量M=0.2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=0.1kg
的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕
O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度 =4m/s，不计空
气阻力，重力加速度g取10m/s 。
𝑣𝑣0
（1）若锁定滑块，求小球通过最2 高点P时对轻杆的作用力F的大小和方向；
（2）若解除对滑块的锁定，求从小球开始运动至到达最高点过程中，滑块移动的距离x；
（3）若解除对滑块的锁定，求小球运动至最高点时的速度v 和此时滑块的速度v 。
m M
5.（2023届一中四月考）如图所示，长为L的轻质细绳一端固定，另一端悬挂一质量为m 的
小球，将细线拉至水平并刚好伸直，小球由静止开始下摆，并在最低点与质量也为m 的滑
块发生弹性碰撞。滑块右侧有一段长为0.2L的粗糙地面AB，与滑块的动摩擦因数为0.5，B
点右侧放置一质量为 2m 的 圆弧（未固定），已知重力加速度为 g，除粗糙地面 AB 外其余
1
部分摩擦均不计。 4
（1）滑块第一次到达B点时的速度大小；
（2）若滑块第一次冲上 圆弧时恰能到达其顶端，求圆弧半径。
1
4
406. (2020届一中三月考)如图所示，一上表面光滑、倾角为α的斜面体A静
止在光滑的水平面上，斜面体 A 质量为 M、底边长为 L。将一质量为 m、
可视为质点的滑块B从斜面的顶端由静止释放，滑块B经过时间t刚好滑
到斜面底端。此过程中斜面对滑块的支持力大小为F ，则下列说法中正确
N
的是（ ）
A.F =mgcosα
N
B.滑块下滑过程中支持力对B的冲量大小为F tcosα
N
C.滑块B下滑的过程中A、B组成的系统动量守恒
m
D.此过程中斜面体向左滑动的距离为 L
M +m
7.如图所示，在光滑的水平面上有一物体M，物体上有一光滑的半圆弧轨道，
最低点为C，两端A、B一样高．现让小滑块m从A点静止下滑，则（ ）
A．m不能到达小车上的B点
B．m从A到C的过程中M向左运动，m从C到B的过程中M向右运动
C．m从A到B的过程中小车一直向左运动，m到达B的瞬间，M速度为零
D．M与m组成的系统机械能守恒，动量守恒
8. 如图所示,小车静止在光滑水平面上,AB 是小车内半圆轨道的水平直径,
现将一小球从距A点正上方h高有静止释放,小球由A点沿切线方向经半圆
轨道后从B点冲出，在空中能上升的最大高度为0.8h，不计空气阻力．下
列说法正确的是（ ）
A. 在相互作用过程中，小球和小车组成的系统动量守恒
B. 小球离开小车后做竖直上抛运动
C. 小球离开小车后做斜上抛运动
D. 小球第二次冲出轨道后在空中能上升的最大高度为0.6h
414. 弹簧质量块
1.（2022 一中五月考）如图所示，水平面上有一质量 M=3kg 的小车，其右端固定一水平轻
质弹簧，弹簧左端连接一质量 =2kg 的小物块A，A与小车一起以 = 4m/s的速度向右匀
速运动，与静止在水平面上质量 =1kg的物块B发生碰撞，碰撞时间极短，弹簧始终在弹
𝑚𝑚𝐴𝐴 𝑣𝑣0
性限度内，忽略一切摩擦阻力。
𝑚𝑚𝐵𝐵
（1）若小车与B发生弹性碰撞，则碰后B的速度大小;
（2）若小车与B碰撞后粘合在一起运动，求此后弹簧能获得的最大弹性势能。
2.（2022届耀华高三3月考）如图所示，在光滑水平桌面EAB上有质量为M＝0.2 kg的小球
P和质量为m＝0.1 kg的小球Q，P、Q之间压缩一轻弹簧（轻弹簧与两小球不拴接），桌面
边缘E处放置一质量也为m＝0.1 kg的橡皮泥球S，在B处固定一与水平桌面相切的光滑竖
直半圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧，P、Q两小球被轻弹簧弹出，小球 P与弹簧分离后进
入半圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C；小球Q与弹簧分离后与桌面边缘的橡
皮泥球 S 碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的 D 点。已知水平桌面高为 h＝0.2 m，D
点到桌面边缘的水平距离为x＝0.2 m，重力加速度为g＝10 m/s2，求：
（1）小球P经过半圆形轨道最低点B时对轨道的压力大小F ；
N
（2）小球Q与橡皮泥球S碰撞前瞬间的速度大小v ；
Q
（3）被压缩的轻弹簧的弹性势能E 。
p
423.（2023届南开中学三月考）如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为 和 的两物块
相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使 瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计
𝑚𝑚1 𝑚𝑚2
时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是（ ）
𝑚𝑚1
A．从 到 时刻弹簧由拉伸状态逐渐恢复原长
B．两物块的质量之比为
𝑡𝑡3 𝑡𝑡4
C．在 、 时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都是处于拉伸状态
𝑚𝑚1:𝑚𝑚2 =2:1
D．在 时刻两物块的动能之比为
𝑡𝑡1 𝑡𝑡3 k k
𝑡𝑡2 𝐸𝐸1:𝐸𝐸2 =1:8
4.（2021•湖南卷）如图（a），质量分别为 m 、m 的 A、B 两物体用轻
A B
弹簧连接构成一个系统，外力F作用在A上，系统静止在光滑水平面上
（B 靠墙面），此时弹簧形变量为 x。撤去外力并开始计时，A、B 两物
体运动的a﹣t图像如图（b）所示，S 表示0到t 时间内A的a﹣t图线
1 1
与坐标轴所围面积大小，S 、S 分别表示t 到t 时间内A、B的a﹣t图
2 3 1 2
线与坐标轴所围面积大小。A 在t 时刻的速度为v 。下列说法正确的是
1 0
（ ）
A．0到t 时间内，墙对B的冲量等于m v
1 A 0
B．m ＞m
A B
C．B运动后，弹簧的最大形变量等于x
D．S ﹣S ＝S
1 2 3
5.（2023届耀华三月考）如图所示，在光滑水平桌面EAB上有质量为M＝0.2 kg的小球P和
质量为m＝0.1 kg的小球Q，P、Q之间压缩一轻弹簧（轻弹簧与两小球不拴接），桌面边缘
E处放置一质量也为m＝0.1 kg的橡皮泥球S，在B处固定一与水平桌面相切的光滑竖直半
圆形轨道。释放被压缩的轻弹簧，P、Q两小球被轻弹簧弹出，小球 P与弹簧分离后进入半
圆形轨道，恰好能够通过半圆形轨道的最高点C；小球Q与弹簧分离后与桌面边缘的橡皮泥
球S碰撞后合为一体飞出，落在水平地面上的D点。已知水平桌面高为h＝0.2 m，D点到桌
面边缘的水平距离为x＝0.2 m，重力加速度为g＝10 m/s2，求：
（1）小球P经过半圆形轨道最低点B时对轨道的压力大小N ′；
B
（2）小球Q与橡皮泥球S碰撞前瞬间的速度大小v ；
Q
（3）被压缩的轻弹簧的弹性势能E 。
p
436.（2022全国乙）如图（a），一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：
物块B向A运动，t =0时与弹簧接触，到t =2t 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的
0
v−t图像如图（b）所示。已知从t =0到t =t
0
时间内，物块A运动的距离为0.36v t 。A、
0 0
B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次
滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为θ(sinθ=0.6)，与水平面光滑连接。
碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A与斜面间的动摩擦因数。
447.（2021届一中五月考）如图所示，固定轨道由水平部分ABCD和半圆形部分DEF组成，两部
分相切于D点，BCDEF部分光滑，AB部分长度为L=5m，BD部分足够长。三个小滑块P、Q和N的
质量分别为m=2 kg、 m=1 kg和M=9kg，它们与AB部分的动摩擦因数均为µ=0.25，轻质弹簧
1 2
固定在Q右端，N与弹簧接触但不粘连，初始时系统保持静止。现给P一个水平向右的瞬时冲
量I=26N·s，P开始向右滑行，与Q碰后立刻粘在一起，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度
内，重力加速度g=10m/s2。
（1）求P与Q碰撞过程中损失的机械能；
（2）欲使N在半圆轨道上运动时不脱离半圆轨道，试分析讨论轨道半径需要满足的条件。
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8.（2023届一中五月考）如图所示，小球A质量为m，系在细线的一
端，线的另一端固定在O点，O点到光滑水平面的距离为h。物块B和
C的质量都是5m，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B
物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，
运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最
h
高点时到水平面的距离为 。小球与物块均可视为质点，不计空气阻
16
力，重力加速度为g，求：
（1）小球A与物块B碰撞后各自的速度大小v 、v ；
A B
（2）轻弹簧获得的最大弹性势能E 。
p
455. 绷绳子模型
1.(2017天津)如图所示,物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳相连,跨放在质量不
计的光滑定滑轮两侧,质量分别为mA=2kg,mB=1kg.初始时A静止于水平地面上,B悬
于空中.现将B竖直向上再举高h=1.8m(未触及滑轮),然后由静止释放.一段时间后细
绳绷直,A、B以大小相同的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10m/s2,
空气阻力不计。求：
（1）B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；
（2）A的最大速度v的大小；
（3）初始时B离地的高度H。
2、（2008天津理综）(18分)光滑水平面上放着质量mA=1kg的物块A与质
量mB=2kg 的物块B，A 与B均可视为质点，A 靠在竖直墙壁上，A、B 间
夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与A、B均不拴接)，用手挡住B不动，此时弹
簧弹性势能 Ep=49J．在 A、B 间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然
长度，如图所示，放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲
上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R=0.5m，B恰能到达最高点
C取g=10m/s2，求
(1)绳拉断后瞬间B的速度v 的大小；
B
(2)绳子拉断过程中对B的冲量I的大小；
(3)绳拉断过程绳对A所做的功W．
463.如图所示，三个物体A、B、C的质量相同，A、B放在水平桌面上，中间用长为L的不可伸长
的轻线连接，开始时两者靠在一起，它们与水平面间的动摩擦因数皆为μ。B、C用轻线经光
滑滑轮连在一起，开始时系统静止，C与地面间的距离为2L，现释放系统，求：
（1）从释放到A、B间细线张紧用的时间及张紧前瞬间B的速度；
（2）C落地前瞬间的速度（B没有碰到滑轮）。
A B
C
2h
476.动量和传动带结合
1.（2018天津一中四月考）如图所示，水平传送带两轮间的距离
L=10m，传送带以恒定的速率 v=2m/s 顺时针匀速转动，两个完全
0
一样的滑块 P、Q（视为质点）用一根轻绳连接，中间夹着一根被压
紧到不能再压缩的轻质弹簧（弹簧与物体不拴接，P、Q 可视为一个
整体），现把 P、Q从传送带的最左端由静止开始释放，t=4s 时突
1
然烧断轻绳，极短时间内弹簧伸长至原长（不考虑弹簧的长度的影响），此时两滑块运动方
向相反且滑块Q 的速率刚好是P 的速率的两倍。已知两滑块的质量都是 m=0.2kg，两滑块
与传送带之间的动摩擦因数都是μ=0.1，重力加速度 g=10m/s 2 ，求：
（1）轻绳烧断前，两滑块的位移；
（2）弹簧的最大弹性势能；
（3）轻绳烧断后，再经过多长时间滑块 P 离开传送带。
2. 如图所示,质量M=1.0 kg的木块随传送带一起以v=2.0 m/s的速度向左匀速运动,木块与传
送带间的动摩擦因数 μ=0.50。当木块运动至最左端 A 点时,一颗质量为 m=20 g 的子弹以
v =3.0×102 m/s水平向右的速度击穿木块,穿出时子弹速度v =50 m/s。设传送带的速度恒定,
0 1
子弹击穿木块的时间极短,且不计木块质量变化,g取10 m/s2。求:
(1)在被子弹击穿后,木块向右运动距A点的最大距离。
(2)子弹击穿木块过程中产生的内能。
(3)从子弹击穿木块到最终木块相对传送带静止的过程中,木块与传送带间由于摩擦产生的内
能。
483. 如图所示，足够长的水平传送带以速度 v 匀速转动，质量分别为 2m、m
的小物块 P、Q 用不可伸长的轻质细绳通过固定光滑小环 C 相连。小物块 P
放在传送带的最右端，恰好处于静止状态，C、P间的细绳水平。现有一质量
为 m 的子弹以 v =9m/s 的速度射入小物块 P 并留在其中，重力加速度 g 取
0
10m/s2，子弹射人物块P的时间可以忽略不计。求:
(1)小物块P与传送带间的动摩擦因数；
(2)从子弹射人小物块P至细绳再次拉直的时间；
(3)要使小物块P不从传送带的左端离开传送带，传送带至少多长?
4.（2023届南开中学二月考）如图，光滑的四分之一圆弧轨道PQ竖直放置，底端与一水平
传送带相切，一质量m =1kg的小物块a从圆弧轨道最高点P由静止释放，到最低点Q时
a
与另一质量m =3kg 小物块 b 发生弹性正碰（碰撞时间极短）。已知圆弧轨道半径
b
R =0.8m，传送带的长度L=1.25m，传送带以速度v=1m/s顺时针匀速转动，小物体与传
送带间的动摩擦因数µ=0.2，g =10m/s2。求
（1）碰撞前瞬间小物块a对圆弧轨道的压力大小；
（2）碰后小物块a能上升的最大高度；
（3）小物块b从传送带的左端运动到右端所需要的时间。
495.（2023届高三南开中学一月考）一个送货装置如图所示，质量为 kg的货物（可视为
质点）被无初速度地放在倾斜传送带的最上端 A 处，被保持 m s匀速运动的传送带向
𝑚𝑚 =1
下传送，到达传送带下端B时滑上平板车，随后在平板车上向左运动，经过一段时间后与平
𝑣𝑣 =8 /
板车速度相同，且到达平板车的最左端，此时刚好与水平面上P点的弹性装置发生碰撞（弹
性装置形变量很小），货物由于惯性被水平抛出，平板车则被原速弹回。已知传送带 之间
的距离 L 为 m，传送带与水平面的夹角 ，货物与传送带间的摩擦因数 ，
𝐴𝐴𝐴𝐴
货物与平板车的摩擦因数 ，平板车与地面的摩擦因数 ，平板车的质量也为
12.2 𝜃𝜃 =37° 𝜇𝜇1 =0.5
kg，重力加速度 m s 货物从传送带滑上；平板车时无动能损失，忽略空阻力。
𝜇𝜇2 =0.3 𝜇𝜇3 =0.1
求： 2
𝑚𝑚=1 𝑔𝑔 =10 /
（1）货物在传送带上的运动时间；
(sin37°=0.6 ,cos37°=0.8)
（2）平板车的长度l；
（3）如果平板车刚好能接到下一个货物，则每隔多长时间在传送带顶端释放一个货物。
507. 动量守恒与数列
1. (2020年新课标2)水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，
他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运
动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向
挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，
运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，
该运动员的质量可能为
A. 48 kg B. 53 kg C. 58 kg D. 63 kg
2、（2011北京）（20分）（1）如图1所示，ABC为一固定
在竖直平面内的光滑轨道，BC 段水平，AB 段与 BC 段平
滑连接。质量为 m 的小球从高位h处由静止开始沿轨道
1
下滑，与静止在轨道BC段上质量为m 的小球发生碰撞，
2
碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞
过程中无机械能损失。求碰撞后小球m 的速度大小v ；
2 2
（2）碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们采
用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型。如图 2
所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为m、m、m ……m 、m ……的若干个球沿
1 2 3 n−1 n
直线静止相间排列，给第1个球初能E ，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第n个球经
k1
过依次碰撞后获得的动能E 与E 之比为第1个球对第n个球的动能传递系数k
kn k1 1n
a.求k
1n
b.若m =4m ,m =m ,m 为确定的已知量。求m 为何值时，k 值最大？
1 0 3 0 0 2 13
513.（2023届新华中学二月考）如图所示为某种弹射装置的示意图，该装置由三部分组成，传
送带左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量 kg的物块
A，装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带的皮带轮
𝑀𝑀 =6.0
逆时针匀速转动，使传送带上表面以 m/s匀速运动，传送带的右边是一半径 m
位于竖直平面内的光滑 圆弧轨道，质𝑢𝑢量=2.0 kg的物块B从 圆弧的最高处由静𝑅𝑅止=释1放.25。
1 1
已知物块B与传送带之4间的动摩擦因数 𝑚𝑚 =2.0，传送带两轴之4 间的距离 m，设物块
A、B之间发生的是正对弹性碰撞，第一次碰撞前，物块A静止。取 m/s 。求：
𝜇𝜇 =0.10 𝑙𝑙 =4.5
2
（1）物块B滑到 圆弧的最低点C时的速度大小； 𝑔𝑔 =10
1
（2）物块B与物4块A第一次碰撞后弹簧的最大弹性势能；
（3）如果物块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时弹簧都会被立即锁定，而当它
们再次碰撞前锁定被解除，求物块B第一次与物块A碰撞后在传送带上运动的总时间。
524. (2020山东)如图所示，一倾角为 的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质
量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v 与Q发生弹性
0
𝜃𝜃
碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无
摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为
𝑡𝑡𝑚𝑚𝑛𝑛𝜃𝜃
零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。
(1)求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小v 、v ；
P1 Q1
(2)求第n次碰撞使物块Q上升的高度h ；
n
(3)求物块Q从A点上升的总高度H；
(4)为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。
53电场
1. 电场线和等势面的关系
1. 一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内 、、三点的位置如图
所示，三点的电势分别为18V、20V、26V，下列说法正确的是
a b c
A. 坐标原点处的电势为12V
( )
B. 电场强度的大小为
C. 电子在a点的电势能比在b点的电势能高2eV
√2V/cm
D. 电子从b点运动到c点，克服电场力做功为6eV
2、（2012安徽）.如图所示，在平面直角 中，有方向平行于坐标
平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电
势为6 V, 点B处的电势为3 V, 则电场强度的大小为（ ）
A.200V/m B.200 3 V/m
C.100 V/m D. 100 3 V/m
3、（2007新课标1卷）匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB
的长度为 1 m，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于ΔABC所在
平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V。设场强大小为E，一电量为
1×10－6 C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则（ ）
A．W＝8×10－6 J，E＞8 V/m B．W＝6×10－6 J，E＞6 V/m
C．W＝8×10－6 J，E≤8 V/m D．W＝6×10－6 J，E≤6 V/m
4.(2017年新课标Ⅲ)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、
c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法
正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
545. 如图，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为20cm的正六边形的六个
顶点，已知电场方向与六边形所在平面平行，若A、B、C三点电势分别为2V、3V、
4V，则下列说法正确的是
A. F点的电势为1V
( )
B. 匀强电场的场强大小为
10√3
C. 匀强电场的场强方向由C3点𝑉𝑉指/𝑚𝑚向B点
D. 将电量为 的点电荷从F点移到D点，其电势能增加
−10 −10
−1.6×10 𝐶𝐶 3.2×10 𝐽𝐽
6.如图所示，匀强电场中的六个点A、B、C、D、E、F为正八面体的六个顶
点，已知BE中点O的电势为零，A、B、C三点的电势分别为7V、-1V、3V，
则E、F两点的电势分别为( )
A. 2V、-2V B. 1V、-3V
C. 1V、-5V D. -2V、-4V
552. 带电粒子在电场中的运动
（1）非点电荷电场
1.(2018年天津)如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一
带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φ 、
M
φ ，粒子在M和N时加速度大小分别为a 、a ，速度大小分别为v 、v ，电
N M N M N
势能分别为E 、E ．下列判断正确的是（ ）
PM PN
A．v ＜v ，a ＜a B．v ＜v ，φ ＜φ
M N M N M N M N
C．φ ＜φ ，E ＜E D．a ＜a ，E ＜E
M N PM PN M N PM PN
2（. 2023届南开中学5月考）如图所示，实线表示某一电场中电场线的分布情况，
虚线为一带电粒子在电场中只受电场力作用时的运动轨迹。则下列判断中正确的
是（ ）
A．若粒子从A运动到B，则粒子带正电；若粒子从B运动到A，则粒子带负电
B．不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子在B点的加速度总是大于
在A点的加速度
C．不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子在B点的动能总是大于在A
点的动能
D．不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子在B点的电势能总是大于在A点的电
势能
3.（2023届南开中学三月考）某静电场中的电场线如图所示，带电粒子在电场中仅
受电场力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由 M 点运动到 N 点，以下说法正确
的是（ ）
A．粒子是正电荷
B．粒子受到的电场力为恒力
C．粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
D．粒子在M点的动能小于在N点的动能
4.（2021届南开中学四次月考）如图所示，实线表示电场线，虚线ABC表示一带电
粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，其中过B点的切线与该处的电场线垂直。下列
说法正确的是（ ）
A.粒子带正电
B.粒子在B点的加速度大于它在C点的加速度
C.粒子在B点时电场力做功的功率不为零
D.粒子从A点运动到C点的过程中电势能一直增加
5.(2011 年江苏)一粒子从 A 点射入电场，从 B 点射出，电场的等势面和粒子
的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力。下
列说法正确的有( )
A．粒子带正电荷 B．粒子带负电荷
C．粒子的速度不断增大 D．粒子的电势能先减小，后增大
56（2）单点电荷电场
1.（2023•乙卷）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释
放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一
段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP＞OM，OM＝ON，则小球（ ）
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
2.（2023届南开中学二月考）三个带电粒子从同一点O，以相同的初速度v射
入一电场中，在某段时间内的运动轨迹如图虚线所示，其中a粒子刚好做圆周
运动。图中实线为电场线，不计粒子重力，则下列有关粒子在该段时间内的运
动以及相关说法正确的是（ ）
A. 粒子a带负电，c带正电
B. c粒子运动过程中电势能增加
C. 运动过程中，b、c两粒子的速度均增大
D. 运动过程中，a粒子的加速度和动能均不变
3.（2022南开区二模）如图所示，虚线表示某点电荷Q所激发电场的等势面，已
知 a、b 两点在同一等势面上，c、d 两点在另一个等势面上，甲、乙两个带电粒
子以相同的速率，从同一点 a 沿不同的方向射入电场，在电场中甲、乙分别沿曲
线 acb、adb 运动到点 b。则 （ ）
A. 甲、乙两粒子所带的电荷电性相同
B. 甲粒子经过 c 点时的速率大于乙粒子经过 d 点的速率
C. 两个粒子的电势能都是先减小后增大
D. 经过 b 点时，两粒子的动能一定相等
4.（2022天津部分区县一模）如图所示，A点固定一个点电荷，B、C、D是另一个点电荷
q运动轨迹上的三点，点电荷q经过C、D两点时的速率相同，不计点电荷q的重力，选
无穷远处电势为0。下列说法正确的是（ ）
A. C、D两点的电势相同
B. q在C点的电势能可能为正值
C. q从B到C运动过程中动能不断增大
D. q从B到D运动过程中电势能不断减小
5. (2016年新课标2)如图，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子
Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若
Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为 ， ， ，速度大小
分别为 ， ， ，则( )
𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑚𝑚𝑐𝑐
A． ； B． ；
𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑏𝑏 𝑣𝑣𝑐𝑐
C． ； D． ；
𝑚𝑚𝑎𝑎 >𝑚𝑚𝑏𝑏 >𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑎𝑎 >𝑣𝑣𝑐𝑐 >𝑣𝑣𝑏𝑏 𝑚𝑚𝑎𝑎 >𝑚𝑚𝑏𝑏 >𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑣𝑣𝑏𝑏 >𝑣𝑣𝑐𝑐 >𝑣𝑣𝑎𝑎
𝑚𝑚𝑏𝑏 >𝑚𝑚𝑐𝑐 >𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑏𝑏 >𝑣𝑣𝑐𝑐 >𝑣𝑣𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑏𝑏 >𝑚𝑚𝑐𝑐 >𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑎𝑎 >𝑣𝑣𝑐𝑐 >𝑣𝑣𝑏𝑏
576. (2020河西一模) 如图所示，带正电的点电荷Q固定，电子仅在库仑力作
用下，做以Q点为焦点的椭圆运动，M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上
离Q最近的点。ϕ 、ϕ 和E 、E 分别表示电子在M、N两点的电势和电场
M N M N
强度，则电子从M点逆时针运动到N 点( )
A.ϕ >ϕ ,E E
M N M N M N M N
C.电子的动能先增加后减小 D.电场力对电子做的总功为正功
7（. 2021届河西区二模）如图，在等边三角形abc的中心O处有一带正电的点电荷，
d为ac边的中点，则在该点电荷产生的电场中（ ）
A.a、b、c点的电场强度相同
B.a、c、d点的电势差满足U =U
ad dc
C.电子在a点时的电势能小于在b点的电势能
D.电子在a点时的电势能大于在d点的电势能
8.(2017年天津)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一
条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运
动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为a 、a ，电势能分
A B
别为E 、E 。下列说法正确的是( )
pA pB
A．电子一定从A向B运动
B．若a >a ，则Q靠近M端且为正电荷
A B
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有E ϕ=ϕ>ϕ
1 2 3 0 1 2 3 3 2 0 1
D.x x 段的电场强度大小和方向均不变
2 3
10．(2019 一中五月考)).如图所示，粗糙绝缘的水平面附近存在一
个平行于水平面的电场，其中某一区域的电场线与x 轴平行，在x
轴上的电势φ 与坐标x 的关系用图中曲线表示，图中斜线为该曲
线过点（0.15，3）的切线。现有一质量为 0.20kg，电荷量为+2.0
×10－8 C 的滑块P（可视作质点），从x=0.l0m 处由静止释放，其
与水平面的动摩擦因数为0.02。取重力加速度g=l0m/s2。则下列说
法正确的是 （ ）
A．x=0.15m 处的场强大小为2.0×l06 N/C
B．滑块运动的加速度逐渐减小
C．滑块运动的最大速度约为0.1m/s
D．滑块最终在0.3m处停下
11.（反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场
φ/V
中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场
的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示。一质量m＝ 20
1.0×10-20kg，电荷量 q＝1.0×10-9C 的带负电的粒子从（-1，0）点
由静止开始，仅在电场力作用下在 x 轴上往返运动。忽略粒子的
x/cm
重力等因素。求： -1 O 0.5
E
（1）x轴左侧电场强度E 和右侧电场强度E 的大小之比 1 ；
1 2
E
2
（2）该粒子运动的最大动能E ；
km
（3）该粒子运动的周期T。
6912、（2010江苏物理）空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E
随X变化的图像如图所示。下列说法正确的是（）
（A）O点的电势最低 （B）X 点的电势最高
2
（C）X 和-X 两点的电势相等 （D）X 和X 两点的电势相等
1 1 1 3
13、(2014 上海)静电场在 x 轴上的场强 E 随 x 的变化关系如图所示，x E
轴正方向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷（ ）
（A）在x2和x4处电势能相等
（B）由x
1
运动到x
3
的过程中电势能增大 O x
1
x
2
x
3
x
4
x
（C）由x 运动到x 的过程中电场力先增大后减小
1 4
（D）由x 运动到x 的过程中电场力先减小后增大
1 4
14. 有一沿x轴分布的电场，电场强度E随x变化的图象如图所示，x轴正向为
电场强度的正方向，在x轴上 ～ 间某点处由静止释放一个质量为m，电荷量
为q的带负电的粒子，仅在电0场力𝑥𝑥1作用下运动，下列说法正确的是
A. x轴上 处电势最高
( )
B. x轴上 处电势最高
𝑥𝑥1
C. 粒子在向右运动的过程中，粒子的电势能可能先减小后增大，再减小
𝑥𝑥2
D. 粒子在向右运动的过程中，如果到达 处速度刚好为零，则粒子运动的最大速度一定大
于
- 𝑥𝑥2
𝑞𝑞𝐸𝐸0(𝑥𝑥2𝑥𝑥1)
� 𝑚𝑚
15.(2020一中四月考)沿某一电场方向建立x轴，电场仅分布在-d0 t ≤2�q𝐸𝐸0
704.电容器
1.（2023届一中五月考）手机自动计步器的原理如图所示，电容
器的一个极板M固定在手机上，另一个极板N与两个固定在手
机上的轻弹簧连接，人带着手机向前加速运动阶段与静止时相比，
手机上的电容器（ ）
A. 电容变大 B.两极板所带电荷量减少
C. 两极板间电压降低 D. 两极板间电场强度变大
2.（2023届河东区二模）微信运动步数的测量是通过手机内电容式加速
度传感器实现的。其原理如图所示，R为定值电阻，M和 N为电容器两
极板，M极板固定在手机上，N极板两端与固定在手机上的两轻弹簧连
接。当手机的加速度变化时，N极板只能按图中标识的“前后”方向运
动。手机运动时下列说法正确的是（ ）
A. 匀速运动时，电阻R以恒定功率发热
B. 由向前匀速突然减速时，电容器的电容会增大
C. 由静止突然向前加速时，电流由b向a流过电流表
D. 保持向后的匀加速运动时，MN之间的电场强度持续减小
3.（2023届一中四月考）如图所示电路中，合上开关S后，电压表和电
流表的读数分别为U、I，定值电阻R 消耗的功率为P，电容器所带的电
2
荷量为Q，两电表均为理想电表．当滑动变阻器的滑片向右移动时，下
列有关物理量之间变化关系图象正确的是（ ）
A B C D
4.（2023届十二校二模）如图为某一机器人上的电容式位移传
感器工作时的简化模型图，电介质板长度等于电容器极板长度，
开始时电介质板有一半处于极板间，电容器两极板带等量异号
电荷，当被测物体在左右方向发生位移时（位移大小小于极板
长的一半），电介质板随之在电容器两极板之间移动．当被测
物体向左移动时（ ）
A．电容器的电压增大 B．电容器的电量变小
C．电容器的电容增大 D．静电计的指针张角变小
715（. 2023届耀华三月考）如图所示，两块较大的金属板A、B平行水平放置并与一电源相连，
开关S闭合后，两板间有一质量为m、带电量为q的油滴恰好在P点处于静止状态。则下列
说法正确的是（ ）
A. 在 S 仍闭合的情况下，若将A 板向下平移一小段位移，则油滴向上加速运动，G中有方
向为b→a的电流
B. 在 S 仍闭合的情况下，若将 A 板向右平移一小段位移，则油滴向上加速运动，G 中有方
向为a→b的电流
C. 若将S断开，再将A板向下平移一小段位移，P点电势不变
D. 若将S断开，且将A板向左平移一小段位移，P点电势升高
6.（2023届南开中学二月考）如图所示，平行板电容器与电动势
为 E′的直流电源（内阻不计）连接，下极板接地，静电计所带电
荷量很少，可被忽略。一带负电的油滴被固定于电容器中的P点。
现将平行板电容器的上极板竖直向下平移一小段距离，则下列说
法正确的是（ ）
A. 平行板电容器的电容将变小
.
B 静电计指针张角变小
C. 带电油滴的电势能减少
D. 若将上极板与电源断开后再将下极板左移一小段距离，则油滴所受电场力不变
7、（2008新课标）如图所示，C为中间插有电介质的电容器，a和
b为其两极板；a板接地；P和Q为两竖直放置的平行金属板，在
两板间用绝缘线悬挂一带电小球；P板与b板用导线相连，Q板接
地。开始时悬线静止在竖直方向，在b板带电后，悬线偏转了角度
α。在以下方法中，能使悬线的偏角α变大的是（ ）
A.缩小a、b间的距离 B.加大a、b间的距离
C.取出a、b两极板间的电介质 D.换一块形状大小相同、介电常数更大的电介质
8.如图所示，两个平行板电容器的正极板a、c导线相连，负极
板b、d分别接地。ab极板之间有电介质。cd板之间的p点有一
个静止的负电油滴。下列说法正确的是（ ）
A 取出ab间电介质，油滴向上运动
B 加大cd的板间距，油滴向下运动
C 取出ab间电介质，P点的电势降低
D 加大ab的板间距，ab极板上的电荷量减小
729.如图所示，D是一只具有单向导电性的理想二极管，水平放置的平行板
电容器AB内部有带电微粒P处于静止状态．下列措施下，关于P的运动情
况的说法中不正确的是
A. 保持S闭合，增大A、B板间距离，P仍静止
( )
B. 保持S闭合，减小A、B板间距离，P向上运动
C. 断开S后，增大A、B板间距离，P向下运动
D. 若B板接地，断开S后，A板稍下移，P的电势能不变
10. 如图所示，平行板电容器与直流电源、理想二极管(正向电阻为零可以
视为短路，反向电阻无穷大可以视为断路)连接，电源负极接地。初始电容
器不带电，闭合开关稳定后，一带电油滴位于电容器中的P点且处于静止
状态。下列说法正确的是（）
A.减小极板间的正对面积，带电油滴会向上移动，且P点的电势会降低
B.将上极板下移，则P点的电势不变
C.将下极板下移，则P点的电势升高
D.无论哪个极板上移还是下移，带电油滴都不可能向下运动
11.如图所示，A、B为水平放置平行正对金属板，在板中央分别有一小孔
M、N，D为理想二极管，R为滑动变阻器。闭合开关S，待电路稳定后，
将一带负电荷的带电小球从M、N的正上方的P点由静止释放，小球恰
好能运动至小孔N处。下列说法正确的是（ ）
A．若仅将B板下移，带电小球仍将恰好运动至小孔N处
B．若仅将B板上移，带电小球将从小孔N穿出
C．若仅将R的滑片上移，带电小球将无法运动至N处
D．若仅断开开关S，带电小球仍将恰好运动至小孔N处
735.电场中类平抛
1.（2022 耀华校一模）如图所示，a、b、c、d 为匀强电场中的等势面，
一个质量为m，电荷量为q的质子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨
迹上的两个点。已知该粒子在 A 点的速度大小为 v ，且方向与等势面平
1
行，在B点的速度大小为v ，A、B连线长为L，连线与等势面间的夹角
2
为θ，不计粒子受到的重力，则（ ）
A．粒子的速度v 一定大于v
2 1
B．等势面b的电势比等势面c的电势低
C．粒子从A点运动到B点所用的时间为
𝐿𝐿𝑐𝑐𝐿𝐿𝑠𝑠𝑠𝑠
m(v2−v2)𝑣𝑣1
D．匀强电场的电场强度大小E= 2 1
2qLsinθ
2（. 2022届河西区一模）如图所示，图中a、b、c、d为电场的四个等势面，
且其电势关系为ϕ<ϕ<ϕ<ϕ ，一带电粒子自 A 点以初速度 v 平行于等
a b c d 0
势面射入电场，其运动轨迹如虚线AB所示。不计粒子重力，则（ ）
A．粒子一定带负电
B．粒子一定做匀速圆周运动
C．粒子从A到B的运动过程中，动能先减小后增大
D．粒子从A到B的运动过程中，电势能不断减小
3.（2022届一中三月考）如图静止的一价、二价铜离子经同一电场加
速，再垂直进入同一偏转电场后打在荧光屏上。不计离子的重力，关
于两种离子以下说法中正确的是 ( )
A. 一价离子打到屏上的速度大
B. 一价离子经过加速电场过程中所受电场力冲量小
C. 两种离子打到屏上的位置到屏上中心点O的距离相等
D. 从进入偏转电场开始计时，二价离子到达屏上所用的时间较长
4. （2015 天津）如图所示，氕核，氘核，氚核三种粒子从同一位置无
初速度地飘入电场线水平向右的加速电场E ,之后进入电场线竖直向下
1
的匀强电场 E 发生偏转，最后打在屏上。整个装置处于真空中，不计粒
2
子重力及其相互作用，那么( )
A.偏转电场 E 对三种粒子做功一样多
2
B.三种粒子打在屏上时的速度一样大
C.三种粒子运动到屏上所用时间相同
D.三种粒子一定打在屏上的同一位置
745. (2020十二校2模)如图所示，在竖直放置的平行金属板A、B之间
加有恒定电压 U，A、B两板的中央留有小孔 、 ，在 B板的右侧
有平行于极板的匀强电场 E，电场范围足够大，感光板 MN垂直于电
O1 O2
场方向固定放置。第一次从小孔O1处由静止释放一个质子，第二次从
小孔O1处由静止释放一个α粒子，不计质子与α粒子的重力。关于这
两个粒子的运动，下列判断正确的是
A. 质子和α粒子打到感光板上的位置相同
( )
B. 质子和α粒子在整个过程中运动的时间相等
C. 质子和α粒子打到感光板上时的动能之比为2：1
D. 质子和α粒子在O2处的速度大小之比为1：2
6.(2019南开中学3月考)示波器是一种用途十分广泛的电子测量仪器。它
−
能把肉眼看不见的电信号变换成看得见的图像，便于人们研究各种电现
A
象的变化过程。示波器利用狭窄的、由高速电子组成的电子束，打在涂
+
有荧光物质的屏面上，就可产生细小的光点。其内部结构如图所示，A
R
板发出的电子经加速后，水平射入水平放置的两平行金属板间，金属板 P
间所加的偏转电压为 U，电子最终打在荧光屏 P 上，关于电子的运动，
则下列正确的是（ ）
A.滑动触头向右移动时，其他不变，则电子打在荧光屏上的位置下降
B.滑动触头向左移动时，其他不变，则电子打在荧光屏上的位置上升
C.偏转电压U增大时，其他不变，则电子打在荧光屏上的速度大小不变
D.偏转电压U增大时，其他不变，则电子从发出到打在荧光屏上的速度变大
7. (2020年浙江7月选考)如图所示，一质量为m、电荷量为 （ ）的粒子
以速度 从 连线上的P点水平向右射入大小为E、方向竖直向下的匀强电场
𝑞𝑞 𝑞𝑞 >0
中。已知 与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达 连线
𝑣𝑣0 𝑀𝑀𝑀𝑀
上的某点时（ ）
𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝑀𝑀
A. 所用时间为
𝑚𝑚𝑣𝑣0
B. 速度大小为 𝑞𝑞𝐸𝐸
C. 与P点的距3离𝑣𝑣为0
2
2√2𝑚𝑚𝑣𝑣0
D. 速度方向与竖直方𝑞𝑞向𝐸𝐸的夹角为30°
8 如图所示，半径为 R 的圆所在平面与某一匀强电场平行，ABC为圆周上三
个点，O为圆心，D为AB中点。粒子源从C点沿不同方向发出速率均为v 的
0
带正电的粒子，已知粒子的质量为m、电量为q（不计重力和粒子之间的相互
作用力）。若沿CA方向入射的粒子恰垂直AB方向过D点。则以下说法正确的
是（ ）
A．A、B、C三点电势高低为：ϕ =ϕ >ϕ
B C A
B．沿垂直BC方向入射的粒子可能经过A点
3mv2
C．若∠ACB=60°，则匀强电场的场强为E= 0
4qR
v
D．若∠ACB=45°，则过D点速率可能为 0
2
759. (2020年新课标1)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的
圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为 m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自 A点先
后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，
自圆周上的C点以速率v 穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
0
(1)求电场强度的大小；
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv ，该粒子进入电场时的速度应为多大？
0
10、（2008上海）（12分）如图所示为研究电子枪中
电子在电场中运动的简化模型示意图。在 Oxy 平面
的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电
场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不
计电子所受重力）。
（1）在该区域 AB 边的中点处由静止释放电子，求
电子离开ABCD区域的位置。
（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求
所有释放点的位置。(加问,这些点中哪个点出发到D点的末动能最小)
（3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离
开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置。
766.电场和重力场里的抛体运动
1.（2023届和平区二模）如图所示，在空间中存在水平向右的足够大匀强
电场，一带电小球从电场中的A点以某一速度水平向右进入电场，一段时
间后到达最右端B点，之后又回到A点正下方的C点(图中未标出)，不计
空气阻力，下列分析正确的是（ ）
A．小球从A点运动到B点电势能增加量等于动能的减小量
B．小球从A点到B点所用时间与从 B点到 C点所用时间相等
C．小球在C点时的动能一定大于在A点时的动能
D．A、B两点间与B、C两点间竖直位移相等
2.（2022届和平一模）如图所示，由两水平面（虚线）所夹的区域内，
有水平向右的匀强电场，自该区域上方的A点，将质量相等、带等量异
种电荷的小球a、b 先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小
球在重力的作用下从B 点进入电场区域，并从该区域的的下边界离开，
已知a球在电场中做直线运动之后从M点离开电场，b球从N点离开电
场且离开电场时速度方向竖直向下，根据上述信息，下列判断正确的是
A. a球带负电，b球带正电
B. a球和b球在电场中运动的时间相等
C. M点到B点的水平距离是N点到B点的水平距离的3倍
D. b球离开电场时比其进入电场时电势能大
3.（2021届和平区二模）如图所示，在空间中存在水平向右的匀强电场，一带电小球从电场
中的A点竖直向上抛出，一段时间后到达最高点B，之后又到达与A点在同一条电场线上的C
点（图中未标出），不计空气阻力，下列分析正确的是（ ）
A.从A点运动到B点电势能增加量等于动能的减小量
B.A、B两点间与B、C两点间水平位移之比为1：3
C.小球在C点时的动能一定大于在A点时的动能
D.小球从A点运动到B点的过程中动能在不断减小
4.（2019 天津）如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为 m 的带电小球，以初速度 v
从 M 点竖直向上运动，通过 N 点时，速度大小为 2v，方向与电场方向
相反，则小球从M运动到N的过程（ ）
1
A.动能增加 mv2 B.机械能增加2mv2
2
3
C.重力势能增加 mv2 D.电势能增加2mv2
2
775.（2022 全国甲卷）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球
自电场中Р点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的
零点均取在Р点。则射出后，（ ）
A. 小球的动能最小时，其电势能最大
B. 小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C. 小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D. 从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
6.(2016天津)(18 分)如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度E=5 N/C.
同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场强度垂直，磁感应强度大小B=0.5T,有一
√3
带正电的小球，质量m=1x10-6kg，电荷量q=2x10-6C。正以速度 v 在图示的竖直面内做
匀速直线运动当经过P点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象），取g=10m/s2，
求：
（1）小球做匀速直线运动的速度V的大小和方向。
（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
7.真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带
正电的小球由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°（取sin37°＝0.6，cos37°
＝0.8）。现将该小球从电场中某点以初速度v 竖直向上抛出。求运动过程中
0
（1）小球受到的电场力的大小及方向；
（2）小球从抛出点至最高点的电势能变化量；
（3）小球的最小动量的大小及方向。
788.（2021届南开中学四次月考）（12分）如图所示，在水平方向的匀
强电场中有一表面光滑、与水平面成45角的绝缘直杆AC，其下端（C
端）距地面高度h=0.8m，有一质量为500g的带电小环套在直杆上，正
以某一速度沿杆匀速下滑，小环离杆后正好通过C端的正下方P点处.
（g取10m/s2）求：
（1）小环离开直杆后运动的加速度大小和方向.
（2）小环从C运动到P过程中的动能增量.
（3）小环在直杆上匀速运动速度的大小v
0
9.（2023届一中四月考）控制带电粒子的运动在现代科学技术、生产生活、仪器电器等方面
有广泛的应用。如图，以竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿x轴
正方向、电场强度大小 N/C的匀强电场和方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小
B=0.5T 的匀强磁场。原点 O 处的粒子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量
𝐸𝐸 =5√3
kg、电荷量q=-2×10-6C的粒子束，粒子恰能在xOy平面内做直线运动，重力加速度
𝑚𝑚 =
为g=10−m6 /s2，不计粒子间的相互作用。
1×10
(1)求粒子发射速度的大小和方向；
(2)若保持 E 初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子从 O 点射出时立即取消磁场，求粒子
从O点射出后再次运动到y轴时的坐标（不考虑磁场变化产生的影响）；
(3)若保持E、B初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子从O点射出时，立即将电场变为竖
直向下、场强大小变为 N/C，求从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标范围
（不考虑电场变化产生的′影响）。
𝐸𝐸 =5
797.电场和重力场里的圆周运动
1. (2020一中三月考)如图所示，MPQO为有界的竖直向下的匀强电场，电场
强度为 E，ACB 为光滑固定的半圆形轨道，圆轨道半径为 R，A、B 为圆水平
直径的两个端点，AC为圆弧，一个质量为m、电荷量为-q的带电小球，从A
点正上方高为H处的G点由静止释放，并从A点沿切线进入半圆轨道。不计
空气阻力及一切能量损失，关于带电小球的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A.小球一定能从B点离开轨道
B.若小球能从B点离开，上升的高度一定小于H
C.小球在AC部分可能做匀速圆周运动
D.小球到达C点的速度可能为零
2. 如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为
l=0.20m 的绝缘轻线把质量为 m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在
O点，小球静止在B点时轻线与竖直方向的夹角为θ=37°。现将小球拉
至位置 A，使轻线水平张紧后由静止释放。g 取 10m/s2，sin37°=0.60，
cos37°=0.80。求：
（1）小球所受电场力的大小；
（2）小球通过最低点C时的速度大小；
（3）小球通过最低点C时轻线对小球的拉力大小。
3. 如图，AB为竖直的 光滑圆弧绝缘轨道，其半径为0.5m，A点与圆心
O等高，最低点B与绝缘水平面平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀
强电场中，场强为5×103N/C。将一个质量为0.1kg、电荷量为+8×10-5C
的小滑块(可视为质点)从A由静止释放，已知小滑块与水平面间的动摩
擦因数为0.05，取g=10m/s2，则小滑块（ ）
A.第一次经过B点时速度值为 10m/s
B.第一次经过B点时对B点的压力为1.2N
C.在水平面向右运动的加速度值为3.5m/s2
D.在水平面上通过的总路程为6m
804.在竖直平面内有水平向右、场强为E =1×104N /C 的匀强电场，在场中有
一根长为L=2m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为0.04kg 的
带电小球，它静止时细线与竖直方向成37角，如图所示，给小球一个初速度
让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能
和重力势能的零点，下列说法正确的是（cos37 =0.8，g =10m/s2）
A. 小球所带电量为q =3.5×10−5C
B. 小球恰能做圆周运动的动能最小值是0.96J
C. 小球恰能做圆周运动的电势能最小值是0
D. 小球恰能做圆周运动的机械能最小值是1.54J
5.(2020红桥二模)(18分)如图所示，一质量为m＝2kg带正电的小球，用几
乎不可伸长的长为L＝2m的绝缘细线悬挂于O点，处于一水平向右的匀强电
场中，静止时细线右偏与竖直方向成45°角，位于图中的P点（g =10m/s2）
（1）求静止在P点时线的拉力是多大？
（2）如将小球向左拉紧至与O点等高的B点由静止释放，求小球刚运动到
C点时的速度大小？
（3）如将小球向左拉紧至与O点等高的B点由静止释放，求小球到达A点
时绳的拉力是多大？
6.在竖直平面内有一方向斜向上且与水平方向成α=30°角的匀强电场，电场中
有一质量为m，电量为q的带电小球，用长为 L的不可伸长的绝缘细线悬挂
于O点，如图所示。开始小球静止于M点时，细线恰好水平。现用外力将小
球拉到最低点P，然后由静止释放，则以下判断正确的是（ ）
A．小球再次到M点时，速度刚好为零
B．小球从P到M过程中，合外力对它做功为 3mgL
C．小球从P到M过程中，其机械能增加了 3mgL
D．如果小球运动到M点时，细线突然断裂，小球以后将做匀变速曲线运动
81
