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专题17 圆锥曲线的综合应用（解答题）
1、【2022年全国甲卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两
点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最
大值时，求直线AB的方程．
(3 )
2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,−2),B ,−1
2
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1,−2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
⃑MT=⃑TH．证明：直线HN过定点．
x2 y2
3、【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C: − =1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，
a2 a2−1
直线AP,AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．x2 y2
4、【2022年新高考2卷】已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为
a2 b2
y=±√3x．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ,y ),Q(x ,y )在C上，且x >x >0,y >0．
1 1 2 2 1 2 1
过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
5、【2020年高考全国Ⅲ文21理数20】已知椭圆 的离心率为 ， 分
别为 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ，求△ 的面积．
6、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为
2．
（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
7、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
8、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.题型一 圆锥曲线中的最值问题
1-1、（2022·江苏无锡·高三期末）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，
点 是 轴正半轴上的一点，过椭圆 的右焦点 和点 的直线 与椭圆 交于 两点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 的取值范围.
1-2、（2022·江苏如皋·高三期末）设椭圆 经过点M ，离心率为 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，过定点 且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与
直线 的交点分别为P，Q，求 面积的最小值.
题型二 圆锥曲线中的定点问题
2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P（1，1）作两条动直线l ，l 分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径
1 2
的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．2-2、（2022·广东汕尾·高三期末）已知点M为直线 ：x=-2上的动点，N（2，0），过M作直线 的垂线
l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且 ，试问直线AB是否过定点？若不过定
点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标．
题型三 圆锥曲线中的定值问题
3-1、（2022·山东青岛·高三期末）已知 为坐标原点，点 在椭圆 上，椭
圆 的左右焦点分别为 ，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在椭圆 上，原点 为 的重心，证明： 的面积为定值.
3-2、（2022·山东泰安·高三期末）设点 是椭圆 上一动点， 分别是椭圆 的左，右焦点，射线 分别交椭圆 于 两点，已知 的周长为8，且点 在
椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明： 为定值.
题型四 圆锥曲线中的角度问题
4-1、（2022·广东东莞·高三期末）已知点 为椭圆 的左顶点，点 为右焦点，
直线 与 轴的交点为 ，且 ，点 为椭圆上异于点 的任意一点，直线 交 于点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明： .
4-2、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】已知椭圆 ： 的离心率为 ，点
在 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为坐标原点， ，试判断在椭圆 上是否存在三个不同点 (其中 的纵坐标不相等)，满足 ，且直线 与直线 倾斜角互补？若存在，求出直线 的方
程，若不存在，说明理由.
题型五 圆锥曲线中的探索性问题
5-1、（2022·山东淄博·高三期末）已知双曲线 的左焦点为F，右顶点为A，渐近
线方程为 ，F到渐近线的距离为 ．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线x=t与直线AP，AQ的交点分别为
M，N．是否存在实数t，使得|⃑FM+⃑FN|=|⃑FM−⃑FN|？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
5-2、（2021·江苏南京市高三三模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，经过
的直线 与 交于 两点.
（1）若 ，求 长度的最小值；
（2）设以 为直径的圆交 轴于 两点，问是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.1、(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)的左，
右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，＝3，·＝3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k ，k ．若k(k ＋k)＝
1 2 1 2
1，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
2、（2022·山东枣庄·高三期末）如图， 为椭圆 的左顶点，过原点且异于 轴的直线与椭圆
交于 两点，直线 与圆 的另一交点分别为 ．
(1)设直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值；
(2)设 与 的面积分别为 ，求 的最大值．3、（2022·江苏苏州·高三期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，直线 与直线
的斜率之积为 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)若点 为曲线 上的任意一点（不含短轴端点），点 ，直线 与直线 交于点 ，直线
与 轴交于点 ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值．
4、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆 的离心率为 ， 是其右焦点，
直线 与椭圆交于 ， 两点， .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设 ，若 为锐角，求实数 的取值范围.
5、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(12分)已知椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，点A(0，－1)是椭圆
E短轴的一个四等分点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设过点A且斜率为k 的动直线与椭圆E交于M，N两点，且点B(0，2)，直线BM，BN分别交⊙C：于异
1
于点B的点P，Q，设直线PQ的斜率为k，求实数λ，使得k＝λk 恒成立．
2 2 1
