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专题 17 球与几何体的切接
一、单选题
1．（2024届四川省仁寿高三上学期9月月考）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一
个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆柱的底面半径为 ，则 ，解得 或 （舍去），
所以圆柱的体积 .故选C
2．（2024届广东省四校高三上学期联考）如图，在边长为2的正方形 中， 分别是 的中
点，将 ， ， 分别沿 ， ， 折起，使得 三点重合于点 ，若三棱锥
的所有顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得 ，且 ，
所以三棱锥 可补成一个长方体，则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，
如图所示，设长方体的外接球的半径为 ，可得 ，所以 ，
所以外接球的表面积为 ，故选C
3．（2023届山西省运城市学业水平考试）在三棱锥 中， 平面 ，
且 ，当三棱锥 的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，故三棱锥 的体积 ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，则 在 上单调递增，
在 上单调递减，从而 ，
即三棱锥 体积的最大值是 ，此时 ，即 ，
因为 平面 ，把三棱锥 不成一个长方体，则三棱锥 与所补成的长方体
有相同的外接球，所以外接球的半径 ，则三棱锥 外接球的体积为
．
故选B.
4．（2023届江西省九江市高三第一次模拟）三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三
角形，若平面 平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
如图，取 中点 ，连接 ， ，则 ， ，
因为平面 平面 ，所以可得 平面 ， 平面 ，
取 的外心 ， 的外心 ，分别过 作平面 与平面 的垂线交于点 ， 即为球
心，连接 ，易得 ， ， ，
.故选B.
5．（2023届河北省秦皇岛市高三冲刺卷）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成
的组合体，设它的体积为 ，它的内切球的体积为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，四边形 为该几何体的轴截面，则四边形 的内切圆的半径即为该几何体内切球
的半径，设内切球的半径为 ，由 ，得 ，则 ， ，
所以 .故选D.6．（2023届海南省高三全真模拟）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ，
在底面 中， ， ，若球 的体积为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意，设球 的半径为 ，则 ，
由 ， 外接圆半径 ，
根据线面垂直模型知： .
故选A
7．（2024届安徽省皖东名校联盟体高三上学期9月质量检测）直观想象是数学六大核心素养之一，某位
教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进
棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】我们先来证明如下引理：如下图所示：
设正四面体棱长为 ， 面 ， ，所以 ，
，
显然 为面 的重心，所以 ，由勾股定理可得面
,
所以正四面体的高等于其棱长的面 倍.接下来我们来解决此题：
如下图所示：
10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体 中，成三棱锥形状，有3层，
则从上到下每层的小球个数依次为：1， ， 个，
当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底
面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体 ，则该正四面体 的棱长为 ，可求得其高为 ，
所以正四面体 的高为 ，
进而可求得其棱长a的最小值为 ．故选B.
8．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）已知四面体 中， ， ，
，直线 与 所成的角为 ，且二面角 为锐二面角．当四面体 的体积
最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
因为 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，此时底面
△BCD面积最大， ，
将AD沿 平移至 ，则点A与 到底面BCD的距离相同，且 ，
为使四面体ABCD高最大，则直线 在底面BCD的射影为直线BC，此时 面BCD，设点A在底面
BCD的投影为 ，可知四边形BCDB'为菱形，且 的外心为 ，此时满足二面角 为锐二
面角，故四面体ABCD的外接球的球心 在直线 上，因为 ， ，，所以在 中， ，解得 ，
此时外接球的表面积为 ，故选B
9．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）将一个半径为 的球削成一个体积最大的圆锥，则
该圆锥的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为 ，则高为 ，
所以圆锥的体积为 ，
令 ，得 ，
所以 ，
则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得最大值，即 时，圆锥的体积最大，
此时圆锥的高为 ，母线长为 ，
设圆锥的内切球半径为 ，圆锥的轴截面图如图所示，则
，
因为 ，
所以 ，所以 ,
即 ，解得 ，故选D10．（2024届广东省高三上学期新联合质量测评）已知等腰直角 中， 为直角，边 ，
P，Q分别为AC，AB上的动点（P与C不重合），将 沿PQ折起，使点A到达点 的位置，且平面
平面BCPQ．若点 ，B，C，P，Q均在球O的球面上，则球O体积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】显然P不与A重合，由点 ，B，C，P，Q均在球D的球面上，得B，C，P，Q共圆，则
，
又 为等腰直角三角形，AB为斜边，即有 ，
将 翻折后， ， ，又平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 ， 平面BCPQ，于是 平面BCPQ， 平面 ，
显然 ，BP的中点D，E分别为 ，四边形BCPQ外接圆圆心，
则 平面 ， 平面 ，因此 ， ，
取PQ的中点F，连接DF，EF，则有 ， ，
四边形EFDO为矩形，设 且 ， ， ，
设球O的半径R，有 ，
当 时， ，所以球O体积的最小值为 ．故选C．
11．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研）已知一个棱长为2的正方体，点 是其内切球上
两点， 是其外接球上两点，连接 ，且线段 均不穿过内切球内部，当四面体 的
体积取得最大值时，异面直线 与 的夹角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径 ，
依题意知， 最长为 ， 最长为内切球的直径2，由三角形面积公式 ，若 为定值时， 时面积最大，
画出图形如图所示，其中 分别是所在正方形的中心， 是内切球与外接球的球心，
由正方体性质知 ， ， ， ，
又 ，故此时四面体 的体积取得最大，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 异面直线 与 所成的角，
在 中， ，
由余弦定理得 ，故选D
12．（2023届重庆市巴蜀中学校高三下学期4月月考）已知正四棱锥 的底面边长为 ，高为
3．以点 为球心， 为半径的球 与过点 的球 相交，相交圆的面积为 ，则球 的半径为
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】当公共圆面在四棱锥内部时，如下图所示，设相交圆的圆心为 ，点 为相交圆上的一点，也是两球的公共点，
设球 的半径为 ，
因为相交圆的面积为 ，所以相交圆的半径为1，即
底面正方形边长为 ，所以 ，
由勾股定理有 ，所以 ，
设 ，则 ①， ②，
联立①②解得 ．
当公共圆面在四棱锥外部时，如下图所示，
同上可求 ， ， ，
则 ③， ④，
联立③④解得 ．故选B．
二、多选题13．（2023届辽宁省实验中学高三第五次模拟）在棱长为2的正方体 中， 分别为
棱 ， ， 的中点， 为侧面 的中心，则（ ）
A．直线 平面
B．直线 平面
C．三棱锥 的体积为
D．三棱锥 的外接球表面积
【答案】BCD
【解析】由题意，在正方体 中，棱长为2，P，E，F分别为棱 ， ，BC的中点，
为侧面 的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，
则 ,
,A项，，设面 的法向量为 ，
则 ，即 解得： ，当 时， ，
∵ ，∴直线 与面 不平行，A错误；B项，
，设面 的法向量为 ，
则 ，即 解得： ，当 时， ，
∵ ，∴直线 与平面 平行，B正确；C项，
，C正确；D项，如图，三棱锥 恰好在长方体 上，且 为体对角线，
∴ 为三棱锥 外接球的直径，
由几何知识得 ，
∴三棱锥 的外接球表面积为 ，D正确；故选BCD.
14．（2024届广东省广州市培英中学高三上学期月考）已知四面体 的所有棱长均为 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成角为 B．点 到平面 的距离为
C．四面体 的外接球体积为 D．四面体 的内切球表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A中，如图所示，取 中点 ，连接 ，
因为 且 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以异面直线 与 所成角为 ，所以A错误；
对于B中，在四面体 中，过点 作 面 于点 ，
则 为为底面正三角形 的重心，因为所有棱长均为 ，可得 ，
所以 ，即点 到平面 的距离为 ，所以B正确；
对于C、D中，设 为正四面体的中心，则 为内切球的半径， 是外接球的半径，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以四面体 的外接球体积 ，所以C正确；
四面体 的内切球表面积为 ，所以D正确.故选BCD.
15．（2024届山东省齐鲁名校高三上学期联合检测）已知正六棱柱 的底面边长为
2，侧棱长为 ，所有顶点均在球 的球面上，则（ ）
A．直线 与直线 异面
B．若 是侧棱 上的动点，则 的最小值为
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．球 的表面积为【答案】BD
【解析】对于A，如图①，连接 ， ，则 ， ，所以 ，
所以直线 与直线 共面，故A错误；
对于B，将平面 沿着 翻折到与平面 共面的位置，得到矩形 ，如图②所示．
因为底面边长为2， ，所以 ，
则 的最小值为 ，故B正确；
对于C，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图①所示的空间直
角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，故C错误；
对于D，如图③，设球 的半径为 ，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心
的连线的中点处.
,则 ，
所以球 的表面积 ，故D正确．故选BD
16．（2023届安徽省合肥市庐阳区高三12月月考）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1
的正方形． 底面 ， ，点E是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面PCD内一点，则
（ ）
A．一定存在点E，使 平面PCD
B．一定存在点E，使 平面ACE
C． 的最小值为
D．以D为球心，半径为1的球与四棱锥 的四个侧面的交线长为
【答案】BD
【解析】在四棱锥 中， 底面 ，且底面 是边长为1的正方形，
以点 作原点，射线 分别为 轴非负半轴，建立空间直角坐标系，则 ，令 ， ，
，
显然平面 的一个法向量 ，而 ，即有 与 不垂直，
因此 与平面 不平行，即不存在点E，使 平面 ，A错误；
显然 ， ，即有 ，
由 ，得 ，解得 ，
因此存在点E，使得 ，而 平面 ，则 平面 ，B正确；
由 底面 ， 平面 ，得 ，而 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，于是 ，同理 ，且 ，
把 展开置于同一平面内，要 取得最小值，当且仅当点 在 上，且 ，如图，
显然 ，而 ，
因此 ， ，C错误；依题意，球面与 的交线如图中圆弧 ， ， ，
则 ，于是弧 的长为 ，由对称性知球与 的交线长也为 ，
过 作 于 ，显然 平面 ，则 ，而 平面 ，
于是 平面 ，显然 ，球面与平面 的交线是以 为圆心，半径为
的圆，
显然点 到直线 的距离为 ，因此球面与 的交线是半径为 的半圆，
交线长为 ，由对称性知球与 的交线长也为 ，
所以球与四棱锥 的四个侧面的交线长为 ，D正确.故选BD
17．（2024届山西省山西大学附属中学高三上学期月考）如图所示，有一个棱长为4的正四面体
容器， 是 的中点， 是 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A．直线 与 所成的角为
B． 的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
【答案】ACD
【解析】A选项，连接 ，由于 为 的中点，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 ， 平面 ，
所以直线 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，故A正确；
B选项，把 沿着 展开与平面 同一个平面内，连接 交 于点 ，
则 的最小值即为 的长，
由于 ， ，，
，
所以 ，
故 ， 的周长最小值为 ，B错误；
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设球心为 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 垂直于 于点 ，
则 为 的中心，点 在 上，过点 作 ⊥ 于点 ，
因为 ，所以 ，同理 ，
则 ，
故 ，
设 ，故 ，
因为 ∽ ，所以 ，即 ，
解得 ，C正确；D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平
面相切，
设小球半径为 ，四个小球球心连线是棱长为 的正四面体 ，
由C选项可知，其高为 ，
由C选项可知， 是正四面体 的高， 过点 且与平面 交于 ，与平面 交于 ，
则 ， ，
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的 得，如图正四面体 中， ， ，
正四面体 高为 ，解得 ，D正确.
故选ACD
三、填空题
18．（2024届广西柳州市高三摸底考试）已知圆锥的底面直径为 ，轴截面为正三角形，则该圆锥内半
径最大的球的体积为 .
【答案】
【解析】依题意，圆锥内半径最大的球为圆锥内切球，如图作出轴截面，圆O和AC相切于点D，
因为 是正三角形，所以 ， ， ，
设内切球半径为R，在 中可得， ，
所以 ，解得 ，球的体积为 .
19．（2024届浙江省绍兴市上虞中学高三上学期开学考）卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍
华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长
为 ，高为 ，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为 .
【答案】
【解析】如图，连接 、 ，交于 ，连接 ，则球心在 上（或延长线上），
在正四棱锥中， ，且 ， ，
设 ，所以 ，解得 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，得 ，
所以球心 到四棱锥侧面的距离为 .
20．（2023届宁夏石嘴山市高三一模）已知正六棱锥 的各顶点都在球 的球面上，球心 在
该正六棱锥的内部，若球 的体积为 ，则该正六棱锥体积的最大值是 .
【答案】
【解析】若球 半径为 ，则 ，可得 ，
又外接球的球心 在正六棱锥的内部，如下图示，
若 为底面中心，正六棱锥的侧棱长为 ，底面边长为 ，易知 ，
则体高 ，且 ，则 ，故
，所以 ，即 ，
由棱锥的体积 ，令 ， ，
当 时 ， 递增；当 时 ， 递减；
所以 ，故 ，
仅当 ， 时等号成立，此时 满足题设.
21．（2023届广东省深圳市实验中学、深圳市高级中学、珠海市第一中学、北江中学、湛江市第一中学等
五校高三期中联考）已知正四棱台 的体积为 ，记侧面与底面的夹角为 ，且
，记正四棱台的侧面积为 ，底面积为 ，且 ，若正四棱台所有顶点都在同一球面
上，则该球的体积为 .
【答案】
【解析】不妨设 ， ，
又因为 ，
所以 ，则正四棱台的高为
所以正四棱台的体积为
即 ①
又因为 ，
所以 ②联立①②解得： ， ，
设正四棱台上下底面所在圆面的半径 ， ，
所以 ， ，高为
设球心到上下底面的距离分别为 ， ，球的半径为 ，
所以 ， ，
故 或 ，即 或 ，
解得 ，即 符合题意，
所以球的体积为 .
22．（2023届辽宁省实验中学高三第五次模拟）斜三棱柱 中，平面 平面 ，若
， ， ，在三棱柱 内放置两个半径相等的球，使这两个球相
切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱 的高为 ．
【答案】
【解析】在斜三棱柱 中，与平面 相切的球的球心为 ，与平面 相切的球的球心为
，
因为球 、球 与平面 都相切，令切点分别这 ，有 ，
又球 、球 与平面 都相切，则 平面 ，又 平面 ，
于是 平面 ，而 平面 ，平面 平面 ，因此 ，且，
在平面 内过点 作 ，在平面 过点 作 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，则 平面 ，
以点 作原点，射线 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
在 中， ， ，则 ，
的方向向量 ， 的方向向量 ，
由 ，得 的方向向量 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
令球 的半径为 ，设点 ，则 ，
由 ，得 ，
显然点 到平面 的距离等于等腰 底边 上的高 ，即有 ，
由 ，得 ，代入 ，解得
，，线段 在 轴上的投影为 ，
显然三棱柱 的高等于点 到平面 的距离 ， 到平面 的距离 与 在 轴上的
投影的和，所以三棱柱 的高为 .
