文档内容
专题 17 解三角形（七大题型+模拟精练）
目录：
01 余弦定理、正弦定理
02 判断三角形的形状
03 解三角形与平面向量
04 解三角形几何的应用
05 取值范围、最值问题
06 解三角形的实际应用
07 解三角形解答题
01 余弦定理、正弦定理
1．（2024·浙江金华·三模）在 中，角 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，
则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【答案】C
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【解析】由余弦定理得 ,
即 ，即 ，解得 或 （舍）.
故选：C.
2．（21-22高一下·江苏连云港·期中） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ，
△
，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值.
【解析】 ，∴ ，
∴ .
故选：A.
3．（2022·河南·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 （ ）
A． B．5 C．8 D．【答案】A
【分析】由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案
【解析】由题意可知， ，得
，
由余弦定理可得：
整理得： ，
故选：A
4．（2022·山西晋城·三模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
，则 的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据余弦定理可求得 ，再根据三角形的面积公式 ，即可求出结果.
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 的面积为 .
故选：C.
5．（2023·四川南充·三模）在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理即可求解.
【解析】由 得 ，所以 ，
由于 ,
故选：A
02 判断三角形的形状
6．（21-22高二上·广西桂林·期末） 内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ，则
一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用余弦定理角化边整理可得.【解析】由余弦定理有 ，整理得 ，故 一定是直角三角形.
故选：C
7．（2023·上海嘉定·一模）已知 ，那么“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ）
A．充分条件但非必要条件 B．必要条件但非充分条件
C．充要条件 D．以上皆非
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【解析】 ，即 ，
由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ，故 为钝角三角形，充分性成立，
为钝角三角形，若 为钝角，则 为锐角，则 ，必要性不成立，
综上：“ ”是“ 为钝角三角形”的充分条件但非必要条件.
故选：A
8．（2023·贵州·一模）在 中， 分别为角 的对边，且满足 ，则 的
形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换得 ，再由余弦定理解决即可.
【解析】由题知， ，
所以 ，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 的形状为直角三角形，
故选：A
03 解三角形与平面向量
9．（2024·江苏盐城·模拟预测） 中，若 ，则
（ ）A．54 B．27 C．9 D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理求出 ，再利用数量积的运算律求解即得.
【解析】在 中，若 ，由正弦定理得 ，
所以 .
故选：A
10．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
，则 的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ，即点 四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.
【解析】设 ，
由 ， ， ，则 ，
所以 ，又 ，所以 ，
即点 四点共圆，要使 最大，即 为圆的直径，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，又由正弦定理可得 ，
即 的最大值为 ，
故选：A
11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知在同一平面内的三个点A，B，C满足 ， ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，利用向量数量积的运算性质可得 ，从而点 在度数为 的优
弧上运动，或点 在圆的内部，然后根据三角形中线性质和圆的性质可解.【解析】设 ， ，
则 是与 同方向的单位向量， 是与 同方向的单位向量，
对于 ，即 ，
两边平方得 ，化简得 ，
因此可以得到 与 的夹角 ，在构成等边三角形时取等号，
在如图所示的圆中，点 在圆上，其中劣弧 的度数为 ，
点 在度数为 的优弧上运动，或点 在圆的内部，
若点 在圆上，根据正弦定理，
可得圆的半径 满足 ，即 ，
设 为 的中点，则 ，
当 时， 长达到最大值，此时 为等边三角形，
可知 ，即 ，
当点 在圆的内部时，则 重合时， ，
此时取最小值 ，又 ，
综上所述， 的取值范围为 .
故选：D
04 解三角形几何的应用
12．（2024·北京·三模）在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ，
，则 的周长为（ ）
A．10 B．11 C． D．12
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出 即得.【解析】在四棱锥 中，连接 交于 ，连 ，则 为 的中点，如图，
正方形 中， ， ，
在 与 中， ，则 ≌ ，
于是 ，
由余弦定理得 ，
所以 的周长为 .
故选：C
13．（2024·广东广州·模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，
的平分线 的长为 ，则 边上的中线 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由设 ， 可得 的值，进而可求得 的值，
结合余弦定理可得 ，由 可求得 ，即可求得结果.
【解析】由题意知，设 ，则 ，如图所示，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，在 中，由余弦定理得 ，所以 ，
由 是 边上的中线，得
.
所以，中线长 .
故选：A
14．（2023·四川南充·二模）在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ，则
的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【分析】利用正弦定理和余弦定理有 ，再根据条件整体
代换即可.
【解析】因为 ，
则根据正弦定理和余弦定理有
.
故选：B.
05 取值范围、最值问题
15．（2024·江苏连云港·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
，则边b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得 ，又由正弦定理得 ，根据角
A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.
【解析】由 ， 得， ，
由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，所以 或 （舍去），所以 ，
由正弦定理得, ，而 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 .
故选：B
16．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角 的三个内角 的对边分别为 ，且 ，
则 的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【解析】在 中，由 可得 ，
由正弦定理 得：
又 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
令 ，则 ，
因为 在 时单调递增，
所以 ，则 .
故选：C
17．（2024·河南·三模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由正弦定理得 ，再通过两角和的正切公式得 ，最后使用基本
不等式求解即可.
【解析】因为 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 .
所以 ，
显然 必为正（否则 和 都为负，就两个钝角），
所以 ，
当且仅当 ，即 取等号.
所以 .
故选：B.
18．（2023·陕西榆林·一模） 的内角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦、余弦定理可得 ，结合 即可求解.
【解析】因为 ，由正弦定理得 .又 ，
所以 .因为 ，
所以 ，故 .
故选：A.
06 解三角形的实际应用
19．（2024·陕西西安·模拟预测）在 高的楼顶 处，测得正西方向地面上 两点 与楼底在
同一水平面上）的俯角分别是 和 ，则 两点之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.【解析】由题意，
而 ，
所以 .
故选：D
20．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，
将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移 ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 ，
已知人的眼睛距离地面的高度为 ，则钟楼的高度大约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设钟楼的高度为 ，根据相似得到 ，代入数据计算得到答案.
【解析】如下图，设钟楼的高度为 ，
由 ，可得： ，
由 ，可得： ，
故 ，
故 ，
故选：D.
21．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太
阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面
所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻 ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴
影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻 最可能为（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出示意图形，在四边形 中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形 的外接圆直径
大小，然后在 中利用锐角三角函数定义，算出 的大小，即可得到本题的答案.
【解析】如图所示，
设两竖直墙面的交线为 ，点 被太阳光照射在地面上的影子为点 ，
点 分别是点 在两条墙脚线上的射影，连接 ， ， ，
由题意可知 就是太阳高度角.
∵四边形 中， ， ，
∴ ，
∴ 中， ，
可得 ，
∵四边形 是圆内接四边形， 是其外接圆直径，
∴设 的外接圆半径为 ，则 ，
在 中， ，
所以 ，对照题中表格，可知时刻 时，太阳高度角为 ，与 最接近.
故选：B.
22．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地
球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在 位置
时，测出 ；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了 位置，测出
， ．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：
）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，根据给定条件，在 中利用正弦定理求出 ，再在 中利用余弦定理求
解即得.
【解析】连接 ，在 中， ，又 ，则 是正三角形， ，
由 ， ，得 ， ，
在 中， ，由正弦定理得 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 .
故选：A
07 解三角形解答题
23．（2024·内蒙古·三模）在 中，内角 的对边分别为 ，且.
(1)求 的值；
(2)若 ，证明： 为直角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由正弦定理和逆用正弦和角公式得到 ，求出答案；
（2）由（1）得到 ，结合 ，得到 ，化简得到
， ，得到答案.
【解析】（1）由 ，
可得 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，即 .
（2）证明：由（1）可得 .
又 ，所以 ，
即 ，
故 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 为锐角，
解得 （负值舍去），即 ，
所以 为直角三角形.
24．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积等于 ， 为 边的中点，当中线 的长最短时，求 边的长.
【答案】(1)
(2) .【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得 ，再结合辅助角公式即可求解.
（2）先由面积公式 得 ，再在 中，由余弦定理结合基本不等式即可得中线
的最小值，进而可得 长.
【解析】（1）在 中，由正弦定理得， .
因为 , ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，则 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得：
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
此时 ，
故 .
25．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足
.
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案；（2）由正弦定理得 ， ，代入三角形面积公式化简得
，结合角 的范围求出答案.
【解析】（1）由正弦定理得， ，
所以 ，
即 ，
化简得： ，即 ，
又 ，所以 .
（2）由正弦定理得： ，
所以 ， ，
所以
，
因为 是锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
26．（2024·江西·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，且
．
(1)若 ，求 的大小．
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由 ，得 ，再利用两角和
差的正余弦公式化简，进而可求得 的关系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出 ，再根据 的关系结合三角函数的性质即可得解.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，即 ，
而 ，所以 或 ，
所以 或 （舍去），
又因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
因为 ，
所以 ，
，
则 ，
又由 ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
27．（2023·全国·模拟预测）记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
△
．
(1)若 ，求A；
(2)若 ABC为锐角三角形，求 的取值范围．
△
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程即可.
（2）根据锐角三角形得B的范围，运用正弦定理边化角，将所求式子转化为关于 的对勾函数，研
究其值域即可.
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又 ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
（2）由（1）知 ，
①当 时，因为 ，所以 ，即 ，与 ABC为锐角三角形矛盾，
△所以不成立；
②当 时，因为 ，所以 ，
所以 ．
由 ，得 ．
所以 ，
故
．
因为 ，所以 ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
一、单选题
1．（2024·湖南·模拟预测）在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理，求出 ，从而求出角 .
【解析】由正弦定理得， ，
所以 ，解得 ，
由 为三角形内角，所以 ，
故选：B.
2．（2024·吉林·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，“ ”是“
”（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】根据正弦定理和正切函数的性质以及充要条件的判定即可得到答案.
【解析】当 ，根据正弦定理得 ，显然A， ，
则 ，因为A，B为三角形内角，则 ,则充分性成立；
当 ，因为A，B为三角形内角，则不会存在 的情况，则A， ，
则 ，则 ，根据正弦定理则 ，故必要性成立；
则“ ”是“ ” 的充分必要条件.
故选：C．
3．（2024·江西九江·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.
【解析】因为 ，
由正弦定理，
因为 ，
展开化简 ，
又 .
故选:B.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，若 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】利用正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得 ，结合余弦定理计算即可求解.
【解析】 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
即 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，而 ，
由余弦定理得 .
故选：A
5．（2024·浙江绍兴·三模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若
，则A等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题先根据诱导公式对条件式进行化简，再用余弦定理进行边角互化，即可得出答案.
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，
如图，过B点作 于D，可知 ，
，
所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
故选：D.
6．（2024·重庆·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求得 ，进而利用三角形的面积公式求得正确答案.
【解析】由余弦定理得 ，即 ，
所以三角形 的面积为 .
故选：A
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 且满足
， ，则 面积取最大值时， （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角 的关系，再用角 的三角函数表示 的面
积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角 的三角函数值，再利用角 的关系，求 .
【解析】因为 ，
又由余弦定理： ，所以 ，
所以 .
由正弦定理得：
，
所以 或 （舍去），故 .
因为 ，所以 .
由正弦定理： .
所以 .
因为 ，所以 .
设 ， .
则 ，
由 ，
由 ，
所以 在 上单调递增，在 上递减，
所以当 时， 有最大值.
即当 时， 的面积最大.
此时
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式 ，因为有些教材不讲这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要.
8．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，若 ，且
，则 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． D．3
【答案】B
【分析】由 可求 ，再根据 ，化简可得
，用对应角的正弦来表示边，得 ，最后结合两角差的
正弦公式、辅助角公式即可求解.
【解析】由 ，
又 ，
所以 ，则 ．
因为 ,
根据正弦定理得 ，
故 ，
即 ，
所以 ，即 ．
根据正弦定理得 ，
所以 ， ．
因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ， ，即 ， ，解得 ，
所以．
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于用正弦定理的边角互化，求出 和用对应角表示对应边，将所求
边长之和转化为关于角的三角函数进行化简，再根据所求角的范围来求值域即可.
二、多选题
9．（2023·安徽·模拟预测）在 中， ，若满足条件的三角形有两个，则 边的取值
可能是（ ）
A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8
【答案】BC
【分析】根据 即可求解.
【解析】根据题意可得：满足条件的 有两个，可得 ，
故选:BC
10．（2024·江苏南京·二模）已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的重心，
， ，则（ ）
A． B．
C． 的面积的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【分析】延长 交 于点 ，根据平面向量的线性运算可得出 ，可判断选项A；结
合 ，利用平面向量的数量积定义、数量积运算法则及基本不等式可判断选项B；由
和平面向量数量积的定义可得出 ，由 求出 ，再根据三角形
面积公式可判断选项C；结合选项B得出 ，再利用余弦定理即可判断选项D.
【解析】延长 交 于点 .
因为 是 的重心，
所以点 是 中点， ，
则 .
对于选项A：因为 ，故选项A正确；
对于选项B：由 得： ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
又因为 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，故选项B正确；
对于选项C：因为 ，当且仅当 时等号成立，
，
所以 ，故选项C正确；
对于选项D：由 ， ，
得 ，
所以由余弦定理 可得：
，即 ，当且仅当 时
等号成立，
所以 的最小值是 ，故选项D错误.
故选：ABC.
11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 的面积为 .则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的取值范围为
C．若 ，则 的外接圆的半径为2
D．若 ，则 的面积的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对A：借助面积公式与余弦定理计算即可得；对B：借助锐角三角形定义与三角形内角和计算即
可得；对C：借助正弦定理计算即可得；对D：借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量 表示出
来，结合 的范围即可得解.
【解析】对A：由题意可得 ，由余弦定理可得 ，
即有 ，即 ，
由 ，故 ，即 ，故A正确；
对B：则 ， ，解得 ，故B正确；
对C：由正弦定理可得 ，即 ，故C错误；
对D：若 ，则 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
即
，
由 ，则 ，故 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D选项关键点在于借助正弦定理，结合面积公式将面积用单一变量 表示出来，结
合 的范围即可得解.三、填空题
12．（2024·湖南长沙·二模）在 中，若 ， ， ，则 .
【答案】
【分析】由同角三角函数关系求解 ，再由正弦定理可得解.
【解析】由已知 ， ，
则 ， ，
又 ，
所以 ， ，
又根据正弦定理 ，
则 ，
故答案为： .
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在 中， ，点D在线段 上， ， ，
，点M是 外接圆上任意一点，则 最大值为 .
【答案】
【分析】根据题中条件，结合勾股定理、余弦定理，可得 ， ，由正弦定理，可得
外接圆半径，根据向量的线性运算法则，结合数量积公式，可得 的最大值，即可得答案.
【解析】由题意可得： ，
，
所以 ，
解得 ，则 ，
设 的外心为 ，外接圆的半径为 ，由正弦定理得： ，解得 ，
可得 ．
由平面向量的线性运算知， ，
所以 ，
由图可知： ．
当 且同向时， ，
所以 最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：平面向量解题方法
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基
于“数”，借助坐标运算来实现．
2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化
思想的应用．
提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向．
14．（2024·江苏·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，若
分别在边 和 上，且 把 的面积分成相等的两部分，则 的
最小值为 .
【答案】
【分析】根据题目中 ，可求出b及角B大小，再根据三角形面积公式及题意可求
出 ，进而可得出 ，根据余弦定理表示出 ，最后利用基本不等式即可求出 的最小值.
【解析】由 ，得 ，
即 ，解得 ，
，
，令 ，
令 ，得 ， ，
所以 ，当且仅当 即 时等号成立.
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求出 与 的等量关系，利用基本不等式的性质求出 的
最小值.
四、解答题
15．（2024·河北秦皇岛·三模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且
， 的外接圆半径为 .
(1)求 的面积；
(2)求 边 上的高 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理可求出 ，利用面积公式计算即可；
（2）根据三角形面积公式即可求.
【解析】（1）在 中，由正弦定理可得， ，则 ，根据余弦定理 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
（2） ，所以 .
16．（2024·四川南充·模拟预测）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出 的最大值，即可得解.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
由余弦定理 ，
， .
（2）因为 ，
即 ，
，当且仅当 时取等号，
，即 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
周长 ，
即 周长的最大值为
17．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ，
， 的角平分线与 相交于点 ，且 .(1)求 的大小；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中利用正弦定理结合已知条件求出 ，即可得解；
（2）依题意可得 ，由 求出 ，再在 中利用余弦定理计算可得.
【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
因为 平分 ，所以 .
因为 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
解得 ，
因为 ，所以
，所以 .
18．（2022·河南濮阳·模拟预测）在 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
．
(1)求 ;
(2)若 ,D为边AC上一点,且 ．求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用倍角公式化简即可；
（2）根据 ，利用余弦定理求解.
【解析】（1）由倍角公式得
所以
即
即
（2）
不妨设 ,则
所以 ,由题知
设 ,则 ①
在 中由余弦定理得
在 中由余弦定理得
因为 ,所以即 ②,联立①②，解得
所以
【点睛】关键点点睛：本题属于多三角形问题，关键要抓住多个三角形之间的联系.
19．（2024·河北·二模）若 内一点 满足 ，则称点 为 的布洛卡
点， 为 的布洛卡角．如图，已知 中， ， ， ，点 为的布洛卡点，
为 的布洛卡角．
(1)若 ，且满足 ，求 的大小．
(2)若 为锐角三角形．
（ⅰ）证明： ．
（ⅱ）若 平分 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断 与 相似，进而得到 ，应用余弦定理求出 的值即可；
（2）（ⅰ）在 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，针对 分别在 、 和 内，三次应用余弦
定理以及三角形的面积公式，且 表示出三角形的面积，由余弦定理形式相
加，再化简整理得： ，即可得证；（ⅱ）得出 与 的等量关系，再利用
余弦定理和
三角形的面积公式， 平分 ，将 代入，化简整理即可得证.
【解析】（1）若 ，即 ，得 ，
点 满足 ，则 ，
在 和 中， ， ，所以 与 相似，且 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得： ，且 ， ，
得 ，且 ，
所以 ；
（2）（ⅰ）在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，
三式相加可得： ①
在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在 和 内，同理： ， ，
三式相等： ，
因为 ，由等比性质得：
②
由①②式可证得： ；
（ⅱ）因为 ，
即 ，
所以 ，
在 中，
分别由余弦定理得： ， ，，
三式相加整理得 ，
，
将 代入得：
若 平分 ，则 ， ，
所以 ③
又由余弦定理可得： ④
由③-④得：
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：根据 表示出三角形得面积，在 中，
由余弦定理相加，得出 与 的等量关系，是解决本题的关键.
