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2025-2026学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷
第Ⅰ卷选择题：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数的共轭复数是（ ）
A．i+2 B．﹣2﹣i C．i﹣2 D．2﹣i
2．（5分）已知，则M∩N＝（ ）
A．M B．N C．（0，1） D．
3．（5分）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下∅列结论错误的是（ ）
A．解释变量和响应变量线性相关
B．相关系数r＝±1
C．决定系数R2＝1
D．残差平方和等于1
4．（5分）的展开式的中间一项是（ ）
A．20 B．﹣20 C． D．
5．（5分）已知a、b是异面直线，设平面 满足a ，且b∥ ，则这样的 （ ）
A．不存在 α B．⊂有α且仅有1α个 α
C．有且仅有2个 D．有无数多个
6．（5分）已知，则的取值范围是（ ）
A．（5，7） B． C．（3，13） D．
7．（5分）已知点P是椭圆16x2+25y2＝400上一点，且在x轴上方，F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，
1 2
直线PF 的斜率为，则△PF F 的面积是（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
8．（5分）设y＝f（x），x R满足 x，y，z R，f（x+y）+f（y+z）+f（z+x）≥3f（x+2y+z），则f（1）
﹣f（0）的值为（ ）∈ ∀ ∈
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）设Ox、Oy是平面内相交的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，
且它们的夹角为60°．若向量，则把有序实数对（x，y）叫做在坐标系Oxy中的坐标，即，设，则（
）
第1页（共16页）A．
B．
C．在上的投影向量的坐标为
D．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣bx2+c，函数y＝f（x+1）+2是奇函数，则（ ）
A．f（x）＝x3﹣2x2﹣1
B．f（x）有两个零点
C．不等式f（x）＜﹣2的解集为
D．曲线y＝f（x）在点（1，﹣2）处的切线与曲线y＝f（x）有三个公共点
（多选）11．（6分）在正三棱柱ABC﹣A B C 中，D、E分别是侧棱BB 、CC 上的点，EC＝BC＝
1 1 1 1 1
2BD，则（ ）
A．平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值为
B．直线DE与平面A B C 所成角的正切值为
1 1 1
C．在侧棱AA 上存在唯一的一点F，使FC⊥DE
1
D．若棱柱ABC﹣A B C 的外接球半径R＝BC，则
1 1 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去 30天苹果的日销售量（单位：
kg），结果如下：83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新
鲜，又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进
千克的苹果．
13．（5分）以双曲线（a＞0，b＞0）上一点M为圆心的圆与x轴相切于双曲线的一个焦点F，且与y轴
相交于P、Q两点，若△MPQ为正三角形，则双曲线的离心率是 ．
14．（5分）把1到37这37个整数排成一个数列{a }，其前n项和为S ，已知a ＝37，且对于任意的
n n 1
n≤36，n N*，都有S 能被a 整除，则a ＝ ．
n n+1 37
四、解答题：∈本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）据调查，某校学生40%的人近视，而该校有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的
近视率为50%．
（1）从该校任选一名学生，记事件A＝“该生每天玩手机超过1小时”，B＝“该生近视”，试判断
A与B是否相互独立，并说明理由；
第2页（共16页）（2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
（3）根据上述结果，能得出什么结论？
16．（15分）已知函数f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）在上的单调递增区间；
（2）设a、b、c分别是△ABC内角A、B、C的对边，若，成等比数列，求证：a，b，c成等比数列，
并求公比q的取值范围．
17．（15分）已知抛物线C：y2＝4x，过C的焦点F作直线交C于A、B两点，直线AO（O为C的顶
点）交C的准线l于点P．
（1）求证：BP⊥l；
（2）求|PO|•|PA|的最小值．
18．（17分）已知矩形ABCD中，为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A DE，如图所示．
1
（1）证明：不存在某个位置，使DE⊥A C；
1
（2）设点M为线段A C的中点，
1
①判断线段MB的长是否为定值，并说明理由；
②当平面A DE与平面ABCD的夹角 为45°时，求异面直线BM与EC所成角 的余弦值．
1
α β
19．（17分）某些函数如y＝x2和y＝ex的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下
方．这个性质可表示为：设h（x）是定义在区间I上的函数，则对于I上的任意x 、x 与任意 （0，
1 2
1），总有h（ x +（1﹣ ）x ）≤ h（x ）+（1﹣ ）h（x ）成立． λ∈
1 2 1 2
（1）设f（x）λ＝x2+ax+bλ，求证：；λ
λ
（2）设g（x）＝ekx（k≠0），求证：；
（3）某同学研究发现，若函数 h（x）在I上存在导函数h′（x），则上述性质的充要条件为 h′
（x）在I上递增，求证：，其中a、b均为正数．
第3页（共16页）2025-2026学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B B C C A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD BC ACD
第Ⅰ卷选择题：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数的共轭复数是（ ）
A．i+2 B．﹣2﹣i C．i﹣2 D．2﹣i
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：，其共轭复数为﹣2+i．
故选：C．
2．（5分）已知，则M∩N＝（ ）
A．M B．N C．（0，1） D．
【分析】由指数函数和幂函数的单调性解不等式，再求交集可得． ∅
【解答】解：因为，所以N＝{x|x＞0}，
因为，所以M＝{x|0≤x＜1}，
所以M∩N＝（0，1）．
故选：C．
3．（5分）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（ ）
A．解释变量和响应变量线性相关
B．相关系数r＝±1
C．决定系数R2＝1
D．残差平方和等于1
【分析】根据散点图得这两个变量线性相关，由此判断各选项．
【解答】解：若散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则直线对应的函数为一次函数，
第4页（共16页）故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确；
因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数|r|＝1，所以r＝±1，所以B正确；
决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数R2＝1，残差平方和为0，故C正确，D
错误．
故选：D．
4．（5分）的展开式的中间一项是（ ）
A．20 B．﹣20 C． D．
【分析】分析可得中间一项为第4项，结合通项公式，整理计算，即可得答案．
【解答】解：由n＝6可得展开式共有7项，故中间一项是第4项，
即．
故选：B．
5．（5分）已知a、b是异面直线，设平面 满足a ，且b∥ ，则这样的 （ ）
A．不存在 α B．⊂有α且仅有1α个 α
C．有且仅有2个 D．有无数多个
【分析】在a上任取一点A作b的平行线c，然后由过两条相交直线的平面有且只有一个可得答案．
【解答】解：已知a、b是异面直线，设平面 满足a ，且b∥ ，
在a上任取一点A作b的平行线c，因a∩c＝Aα，则经⊂过αa，c的平α面只有1个，设为 ．
则a ，又b∥c，c ，b ， β
则b⊂∥β，从而 ＝ ，⊂β即这⊄样β的平面有且只有一个．
故选：βB． α β
6．（5分）已知，则的取值范围是（ ）
A．（5，7） B． C．（3，13） D．
【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案．
【解答】解：因为，
所以，，
则．
故选：C．
7．（5分）已知点P是椭圆16x2+25y2＝400上一点，且在x轴上方，F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，
1 2
直线PF 的斜率为，则△PF F 的面积是（ ）
2 1 2
A． B． C． D．
【分析】将椭圆方程化成标准形式，可得它的焦点为 F （﹣3，0），F （3，0）．再设点P（m，
1 2
第5页（共16页）n），结合题意建立关于m、n的方程组，解之得m，n＝2，最后用三角形面积公式可算出△PF F 的
1 2
面积．
【解答】解：椭圆16x2+25y2＝400化成标准形式：
∴a2＝25，b2＝16，可得c3
所以椭圆的焦点为F （﹣3，0），F （3，0）
1 2
设位于椭圆x轴上方弧上的点P（m，n），则，
解之得m，n＝2（舍负）
∴△PF F 的面积SF F ×26
1 2 1 2
故选：C．
8．（5分）设y＝f（x），x R满足 x，y，z R，f（x+y）+f（y+z）+f（z+x）≥3f（x+2y+z），则f（1）
﹣f（0）的值为（ ）∈ ∀ ∈
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据不等式结构，通常通过特殊值方法求解
【解答】解： x，y，z R，f（x+y）+f（y+z）+f（z+x）≥3f（x+2y+z），
令x＝﹣y＝z，∀得：f（2∈x）≥f（0） f（1）≥f（0），
令x＝y＝﹣z，得：f（0）≥f（2x）⇒f（0）≥f（1），
所以f（1）＝f（0）， ⇒
故f（1）﹣f（0）＝0．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）设Ox、Oy是平面内相交的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，
且它们的夹角为60°．若向量，则把有序实数对（x，y）叫做在坐标系Oxy中的坐标，即，设，则（
）
A．
B．
C．在上的投影向量的坐标为
D．
【分析】对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，
由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案．
【解答】解：由题可得，，，，
第6页（共16页）A选项，根据向量模的计算公式可知，
，故A选项正确；
B选项，根据数量积的运算律可知，
，故B选项错误；
C选项，在上的投影向量为，由B分析可得，
又，
则，故C选项正确；
D选项，，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣bx2+c，函数y＝f（x+1）+2是奇函数，则（ ）
A．f（x）＝x3﹣2x2﹣1
B．f（x）有两个零点
C．不等式f（x）＜﹣2的解集为
D．曲线y＝f（x）在点（1，﹣2）处的切线与曲线y＝f（x）有三个公共点
【分析】对于A，根据题意，确定f（x）的解析式即可判断A；
对于B，令f（x）＝0，利用因式分解求解即可；
对于C，不等式等价于x3﹣3x2+2＜0即（x﹣1）（x2﹣2x﹣2）＜0，则或，再解不等式组即可；
对于D，利用导数的几何意义得到切线方程为y＝﹣3x+1，再联立求解即可判断．
【解答】解：因为f（x）＝x3﹣bx2+c，函数y＝f（x+1）+2是奇函数，
所以f（x+1）+2＝（x+1）3﹣b（x+1）2+c+2
＝x3+（3﹣b）x2+（3﹣2b）x﹣b+c+3是奇函数，
所以，解得，
所以f（x）＝x3﹣3x2，故A错误；
令f（x）＝x3﹣3x2＝0，即x2（x﹣3）＝0，解得x＝0或x＝3，
所以f（x）有两个不同的零点，故B正确；
解不等式f（x）＜﹣2，即x3﹣3x2＜﹣2，移项得x3﹣3x2+2＜0，
即（x﹣1）（x2﹣2x﹣2）＜0，
所以或，
解得或，
所以解集为，故C正确；
因为f（x）＝x3﹣3x2，所以f′（x）＝3x2﹣6x，
第7页（共16页）则f′（1）＝3﹣6＝﹣3，
则切线方程为y﹣（﹣2）＝﹣3（x﹣1），即y＝﹣3x+1，
联立，得x3﹣3x2+3x﹣1＝0，
即（x﹣1）3＝0，解得x＝1，
所以切线与曲线只有一个公共点，故D错误．
故选：BC．
（多选）11．（6分）在正三棱柱ABC﹣A B C 中，D、E分别是侧棱BB 、CC 上的点，EC＝BC＝
1 1 1 1 1
2BD，则（ ）
A．平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值为
B．直线DE与平面A B C 所成角的正切值为
1 1 1
C．在侧棱AA 上存在唯一的一点F，使FC⊥DE
1
D．若棱柱ABC﹣A B C 的外接球半径R＝BC，则
1 1 1
【分析】对于A，求出两个平面的法向量，进而求出两平面夹角的余弦值；
对于B，利用向量法求线面夹角的正弦值，进而求出正切值；
对于C，根据向量垂直数量积为0，判断F的个数；
对于D，根据三棱柱外接球的半径确定侧棱长与底面边长的关系，再利用三棱锥和四棱锥的体积公式
求解．
【解答】解：取BC的中点O，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长为2a，侧棱长为b（a＞0，b≥2a），
1 1 1
则EC＝BC＝2BD＝2a，
所以，
对于选项A，易知平面ABC的一个法向量为，
，
设平面ADE的法向量为，
第8页（共16页）则，所以，
令y＝1，则，
所以，
所以，
所以平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值为，故A正确；
对于选项B：易知是平面A B C 的一个法向量，
1 1 1
又，
设直线DE与平面A B C 所成的角为 ，
1 1 1
则， α
所以，
所以，故B错误；
对于选项C，假设在侧棱AA 上存在点F，使FC⊥DE，
1
设，又C（0，a，0），所以，
所以，又a≠0，解得c＝2a，
所以侧棱AA 上存在唯一的一点F，使FC⊥DE，故C正确；
1
对于选项D，棱柱ABC﹣A B C 的外接球半径R＝BC＝2a，
1 1 1
则，
即，所以，
则，
，
所以，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去 30天苹果的日销售量（单位：
kg），结果如下：83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新
鲜，又能80%地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进
99.5 千克的苹果．
【分析】利用百分位数的定义进行求解．
【解答】解：过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：
55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，
第9页（共16页）99，99，100，101，104，107，107，117
∵30×80%＝24，
故第80百分位数：．
故答案为：99.5．
13．（5分）以双曲线（a＞0，b＞0）上一点M为圆心的圆与x轴相切于双曲线的一个焦点F，且与y轴
相交于P、Q两点，若△MPQ为正三角形，则双曲线的离心率是 ．
【分析】由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x＝c，代入双曲线的方程，
可得M的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得，再由等边三角形的性质，可得a，c的方程，运用离
心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（c，0），
MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，
设x＝c，代入双曲线的方程可得，
即有，
可得圆的圆心为M，半径为，
即有M到y轴的距离为c，
可得，
由△MPQ为等边三角形，可得，
化简可得3b4＝4a2c2，
由c2＝a2+b2，可得3c4﹣10c2a2+3a4＝0，
由，可得3e4﹣10e2+3＝0，
解得舍去），
即有．
14．（5分）把1到37这37个整数排成一个数列{a }，其前n项和为S ，已知a ＝37，且对于任意的
n n 1
n≤36，n N*，都有S 能被a 整除，则a ＝ 1 9 ．
n n+1 37
【分析】∈根据题意可得a
1
＝37，a
2
＝1，又S
36
能被a
37
整除，则S
37
也能被a
37
整除，再由，可知37×19
的正因数有1，19，37，37×19，结合a ＝37，a ＝1即可得到a ＝19．
1 2 37
【解答】解：把1到37这37个整数排成一个数列{a }，其前n项和为S ，
n n
因为a ＝37，任意的n≤36，n N*，都有S 能被a 整除，
1 n n+1
所以S 1 能被a 2 整除， ∈
因为37是质数，所以a ＝1或a ＝37，
2 2
又数列是1到37的排列，a ＝37，
1
第10页（共16页）所以a ≠37，故a ＝1，
2 2
因为S 能被a 整除，S ＝S +a ，
36 37 37 36 37
所以S 也能被a 整除，，
37 37
因为37×19的正因数有1，19，37，37×19，且a ＝37，a ＝1，
1 2
所以a ＝19．
37
故答案为：19．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）据调查，某校学生40%的人近视，而该校有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的
近视率为50%．
（1）从该校任选一名学生，记事件A＝“该生每天玩手机超过1小时”，B＝“该生近视”，试判断
A与B是否相互独立，并说明理由；
（2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
（3）根据上述结果，能得出什么结论？
【分析】（1）求出P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，P（AB）＝0.1，根据相互独立事件的定义判断即可；
（2）利用全概率公式，即可得到；
（3）由P（B|A）＝0.5和，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联．
【解答】解：（1）A与B不相互独立，理由如下：
已知P（A）＝0.2，P（B）＝0.4，P（B|A）＝0.5，
所以P（AB）＝P（A）•P（B|A）＝0.2×0.5＝0.1，
因为P（A）P（B）＝0.2×0.4＝0.08，
所以P（AB）≠P（A）P（B），
所以A与B不相互独立；
（2）设为“每天玩手机不超过 1 小时”，
因为P（A）＝0.2，
则P（）＝1﹣P（A）＝1﹣0.2＝0.8，
因为，
即，
所以，
即从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，他近视的概率为0.375；
（3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%，明显高于不超过1小时的学生
近视率37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联．
第11页（共16页）16．（15分）已知函数f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）在上的单调递增区间；
（2）设a、b、c分别是△ABC内角A、B、C的对边，若，成等比数列，求证：a，b，c成等比数列，
并求公比q的取值范围．
【分析】（1）根据和差角与倍角的正弦、余弦公式化简函数表达式，再由正弦函数的单调性即可求得．
（2）先求出并化简，，然后根据等比数列的性质化简得到 sin2B＝sinAsinC，然后根据正弦定理进而证
明结论，最后根据余弦定理和cosB的范围列出不等式求出q的范围．
【解答】解：（1）f（x）＝cos4x+2sinxcosx﹣sin4x＝（sin2x+cos2x）（cos2x﹣sin2x）+sin2x
．
由，可得．
因为，当k＝0时，；当k＝1时，；
所以f（x）在上的单调递增区间为．
（2）由（1）知，
则，，．
因，成等比数列，则，
即，也即sin2B＝sinAsinC，
由正弦定理得b2＝ac，所以a，b，c成等比数列，因，则b＝aq，c＝aq2，
由余弦定理，可得，
因为B （0， ），所以﹣1＜cosB＜1，即．
解得，∈所以公π比q的取值范围是（）．
17．（15分）已知抛物线C：y2＝4x，过C的焦点F作直线交C于A、B两点，直线AO（O为C的顶
点）交C的准线l于点P．
（1）求证：BP⊥l；
（2）求|PO|•|PA|的最小值．
【分析】（1）设，由直线AB过点F（1，0），可得y y ＝﹣4，再求出P（﹣1，y ），因此BP方程
1 2 2
为y＝y ，所以BP⊥l；
2
（2）令y ＝t，（t＞0），求出，再利用基本不等式求解即可．
1
【解答】解：（1）证明：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1，顶点O（0，0），
设，
第12页（共16页）因为直线AB过点F（1，0），
所以，即，
即（y ﹣y ）（y y +4）＝0，
2 1 1 2
因为y ≠y ，所以y y ＝﹣4，
1 2 1 2
直线AO的方程为，代入准线l：x＝﹣1，得，
因为y y ＝﹣4，所以，所以P（﹣1，y ），
1 2 2
所以点与P（﹣1，y ）的纵坐标相同，
2
因此BP方程为y＝y ，与准线l：x＝﹣1垂直，
2
所以BP⊥l；
（2）令y ＝t，（t＞0），则，
1
则，
所以，
，
所以，
当且仅当时取等，
故|PO|•|PA|的最小值为9．
18．（17分）已知矩形ABCD中，为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A DE，如图所示．
1
（1）证明：不存在某个位置，使DE⊥A C；
1
（2）设点M为线段A C的中点，
1
①判断线段MB的长是否为定值，并说明理由；
②当平面A DE与平面ABCD的夹角 为45°时，求异面直线BM与EC所成角 的余弦值．
1
α β
第13页（共16页）【分析】（1）假设存在某个位置，使DE⊥A C，进而根据勾股定理可得到DE⊥EC，进而得到DE⊥
1
平面A EC，然后根据线面垂直得到线线垂直DE⊥A E，与已知条件矛盾，从而证明结论．
1 1
（2）①取DC的中点N，连接MN，BN，先求出MN，BN，根据勾股定理求出MB；
②取DE中点为F，连接A F，FN，先确定∠A FN为平面A DE与平面ABCD的夹角 ，然后根据余
1 1 1
弦定理求出A N和cos∠A DN，然后取A D的中点为G，连接CG，MG，EG，根据α余弦定理求出
1 1 1
CG，最后根据余弦定理求出∠GEC，从而求出了异面直线BM与EC所成角 的余弦值．
【解答】解：（1）证明：假设存在某个位置满足要求， β
由题易知，故，
所以△ADE，△BCE都是等腰直角三角形，
故∠AED＝∠BEC＝45°，所以DE⊥EC，
DE⊥A C，且DE⊥EC，A C∩EC＝C，A C，EC 面A EC，则DE⊥面A EC，
1 1 1 1 1
又A 1 E 面A 1 EC，故DE⊥A 1 E， ⊂
显然与⊂△A
1
DE是由△ADE翻折而成，∠A
1
ED＝∠AED＝45°矛盾，
故不存在位置，使DE⊥A C；
1
（2）①线段MB的长是定值，理由如下：
取DC的中点N，连接MN，BN，如图所示：
由题易知，MN∥A D，，
1
又，故可以求得，
N为DC的中点，，所以，
根据勾股定理可得，
又MN∥A D，BN∥DE，∠A DE＝45°，故∠MNB＝45°，
1 1
，
则，
解得，所以MB的长度为定值；
②取DE中点为F，连接A F，FN，如图所示：
1
第14页（共16页）根据勾股定理可得，
又FN∥CE，CE⊥DE，FN，故FN⊥DE，
故∠A FN即为面A DE与面ABCD的夹角 ，所以∠A FN＝ ＝45°，
1 1 1
， α α
，
取A D的中点为G，连接CG，MG，EG，如图所示：
1
，
又MG∥CD，MG，BE∥CD，BE，故MG∥BE，MG＝BE，
故四边形MGEB为平行四边形，则MB∥EG，MB＝EG，
故异面直线BM与EC所成角 即为EG与EC所成的角，即∠GEC＝ ，
由①知，故， β β
则，
故异面直线BM与EC所成角 的余弦值为．
19．（17分）某些函数如y＝x2和β y＝ex的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下
方．这个性质可表示为：设h（x）是定义在区间I上的函数，则对于I上的任意x 、x 与任意 （0，
1 2
1），总有h（ x +（1﹣ ）x ）≤ h（x ）+（1﹣ ）h（x ）成立． λ∈
1 2 1 2
（1）设f（x）λ＝x2+ax+bλ，求证：；λ
λ
（2）设g（x）＝ekx（k≠0），求证：；
（3）某同学研究发现，若函数 h（x）在I上存在导函数h′（x），则上述性质的充要条件为 h′
（x）在I上递增，求证：，其中a、b均为正数．
【分析】（1）求出和，作差与0比较大小即可；
（2）通过构造函数，将不等式成立问题转化为求最值的问题，进一步证明即可；
（3）通过构造函数G（x）＝xlnx，证明G'（x）单调递增，利用题干中性质结合对数运算证明即可．
【解答】（1）证明：因为f（x）＝x2+ax+b，
所以，
，
所以
第15页（共16页），
即，
所以；
（2）证明：要证，
即成立，
只需证（因为，
即成立，
令，则只需证成立，
整理得2t5﹣5t2+3≥0，
令F（t）＝2t5﹣5t2+3，t＞0，则F'（t）＝10t4﹣10t＝10t（t3﹣1），
令F′（t）＝0，解得t＝1，
当t （0，1）时，F′（t）＜0，F（t）单调递减，
当t∈（1，+∞）时，F（t）＞0，F（t）单调递增，
所以∈F（t）在t＝1处取得最小值，所以F（t）≥F（1）＝0，故原不等式成立，
所以；
（3）证明：因为当a＞0，b＞0时，，当且仅当a＝b时取等号，
所以若证，只需证成立，
同时取自然对数得，
即证成立，
也即证成立，
令G（x）＝xlnx，x＞0，则G′（x）＝lnx+1，
令 （x）＝lnx+1，则，
因为φ x＞0，所以 ′（x）＞0，故G'（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以G（x）＝xlnφx具有题干中的性质，
所以，即，故原不等式成立，
因此当a、b均为正数时，．
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