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2025-2026 学年广东省深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念
中学港澳台班高三（上）第一次联考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的）.
1．（6分）已知集合A＝{﹣1，0，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{2，8}
2．（6分）若复数z满足 （i为虚数单位），则|z|＝（ ）
3−
A．1 B ．= 1+ C． D．
3．（6分）已知等差数列{an}的2前n项和为Sn ，若a4+3a6 ＝26，S5 ＝35，则a5
10
＝（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
4．（6分）若圆C1 ：x2+y2＝4和圆C2 ：x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．x+y＝0 B．x+y＝2 C．x﹣y＝2 D．y＝x+2
5．（6分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则（ ）
A． B．
→ → → → → →
2 1 1 2
= + = +
C． 3 2 D． 2 3
→ → → → → →
2 2 3 3
= + = +
3 3 2 2
6．（6分）若2a＝3＝logb9， ，则实数a，b，c的大小顺序为（ ）
2
3
A．a＞b＞c B． a＞=c ＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
7．（6分）某圆台形无盖水桶的表面积为220 cm2，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则
该水桶的容积为（水桶壁与底的厚度忽略不π计）（ ）
A．600 cm3 B．700 cm3 C．800 cm3 D．900 cm3
8．（6分）π已知 f（x）是定义域π为R 的偶函数，且f（πx+1）﹣1为奇函数，π则f（2）+f（3）+f（4）＝
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（6分）高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，
第1页（共15页）且丙、丁排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
1 1 39 47
10．（6 3分）已知双曲线C： 6 （a＞0，b＞1 0 8）0的左右焦点分别为1 F 8 1 0、F2 ，A为双曲线的左顶点，
2 2
2 − 2 = 1
以F1F2 为直径的圆交双曲 线的 一条渐近线于P、Q两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
2
∠ =
3
A． B． C． D．
21
二、填空2题（本大题共5小题，3每小题6分，共30分）． 13
3
11．（6分） 的展开式中常数项是 ．
2 1 6
12．（6分）(已 知+函 数) f（x）＝f′（0）e ﹣x﹣e2x，则f（0）＝ ．
13．（6分）设 ＜ ＜ ，若 ，则sin ＝ ．
5
14．（6分）若点0 A（a ，a）2，B（b， e b ）（ a +，b R (）4，则− A )，= B两2 点间距离α |AB|的最小值为 ．
15．（6分）如图所示四棱锥P﹣ABC∈D，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB，BC
＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为 ，则线段OP的长
2 3
为 ．
5
三、解答题（本题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ．
1
（1）求a； =− 3 =2 2
（2）若△ABC的面积为 ，求AB上的高CD．
5 2
2
第2页（共15页）17．（15分）已知数列{an}满足a1 ， ， ．
1 3
（1）证明：数列{an+1 ﹣an}为等=比2数列 2 ；= 2 +2+3 =4 +1
（2）求{an}的通项公式；
（3）记bn ＝2an+1，数列 的前n项和为Sn ，证明： ＜ ．
1 1
{ } ≤
18．（15分）已知函数 +1． 16 8
+1
( )= 2
（1）求出函数f（x）在 ，( +1上) 的最值；
1
（2）若关于x的不等式[ ln （e x ]）﹣2ax＞a（x2+1）存在唯一的整数解，求实数a的取值范围．
19．（15分）已知椭圆 ： ＞，＞ 的离心率为 ， ， 是E的左、右焦点，且
2 2
6
，直线l1 过点 F1 与 2E+交 于2 =A1，( B两0点． 0) 3 1 2 | 1 2|=
4（12）求E的方程；
（2）若 ，求l1 的方程；
| |=2 3
（3）若直线l2 过点F2 与E交于C，D两点，且l1 ，l2 的斜率乘积为 ， ， 分别是线段AB，CD的
1
中点，求△OMN面积的最大值． − 3
第3页（共15页）2025-2026 学年广东省深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念
中学港澳台班高三（上）第一次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C D B D B C
一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的）.
1．（6分）已知集合A＝{﹣1，0，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{2，8}
【分析】先求集合B，再根据集合的交集定义得出答案．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，2，8}，B＝{x|x3＝x}＝{0，﹣1，1}，
故A∩B＝{﹣1，0}．
故选：C．
2．（6分）若复数z满足 （i为虚数单位），则|z|＝（ ）
3−
=
A．1 B．1+ C． D．
【分析】首先化简复数z，再2代入复数模的公式，即3可求解． 5
【解答】解：由 ，
3−
=
得 1+ ，
3− 3− (3− )(−1− ) −4−2
= = = = =−2−
则|z| (1+ ) −1+ (−1+ )．(−1− ) 2
2 2
故选=：D(．−2) +(−1) = 5
3．（6分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a4+a6 ＝26，S5 ＝35，则a10 ＝（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【分析】根据a4+a6 ＝26，S5 ＝35，求出a1 ＝1，d＝3，则a10 ＝a1+9d＝28．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a4+a6 ＝26，S5 ＝35，
第4页（共15页）所以 ，解得 ，
1+3 + 1+5 =26 1 =1
所以a51 0 ＝1+a11+09 d＝=13+59×3＝28． =3
故选：B．
4．（6分）若圆C1 ：x2+y2＝4和圆C2 ：x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．x+y＝0 B．x+y＝2 C．x﹣y＝2 D．y＝x+2
【分析】由题意，把两个圆的一般方程的左边相减，即为所求．
【解答】解：由圆C1 ：x2+y2＝4和圆C2 ：x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称，
把两个圆的方程相减，可得 x2+y2+4x﹣4y+4﹣（x2+y2﹣4）＝0，
即两个圆的交线为 x﹣y+2＝0，
可得两圆关于直线 x﹣y+2＝0对称，
故选：D．
5．（6分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则（ ）
A． B．
→ → → → → →
2 1 1 2
= + = +
C． 3 2 D． 2 3
→ → → → → →
2 2 3 3
= + = +
3 3 2 2
【分析】求出 ，从而求出 ，再求出 即可．
→ → →
【解答】解：∵ ，
→ → → → → → → → →
1 1
=− + + =− + + = −
， 2 2
→ → → →
2 2 1
= = −
∴ 3 3 3 ，
→ → → → → → → →
2 1 2 2
故选 ：= C ． + = + 3 − 3 = 3 + 3
6．（6分）若2a＝3＝logb9， ，则实数a，b，c的大小顺序为（ ）
2
3
A．a＞b＞c B． a＞=c ＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【分析】结合指数及对数函数单调性分别判断a，b，c的范围即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：因为2a＝3＝logb9， ，
2
3
=
第5页（共15页）所以a＝log23 （1，2），b ＞2，c ，
2
3 2
所以b＞a＞c．∈ =3 =
3
故选：D．
7．（6分）某圆台形无盖水桶的表面积为220 cm2，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则
该水桶的容积为（水桶壁与底的厚度忽略不π计）（ ）
A．600 cm3 B．700 cm3 C．800 cm3 D．900 cm3
【分析】π根据圆台的表面积公π式及体积公式，即可求π解． π
【解答】解：设圆台形无盖水桶的母线长为lcm，
则根据题意可得圆台形无盖水桶的表面积为 （10+5）l+25 ＝220 ，
解得l＝13，所以圆台形无盖水桶的高为 π π12cm，π
2 2
所以该水桶的容积为 13 −(10− 7 5 0 ) 0 = cm3．
1
故选：B．
3
× (100 +25 +50 ) × 12 = π
8．（6分）已知 f（x）是定义域为R 的偶函数，且f（x+1）﹣1为奇函数，则f（2）+f（3）+f（4）＝
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）为偶函数，则y轴为该函数图象的一条对称轴；
由函数f（x+1）﹣1为奇函数，即函数f（x+1）﹣1关于（0，0）对称，
则（1，1）是函数f（x）的一个对称中心，
直线x＝0与x＝2关于点（1，1）对称，则直线x＝2是函数f（x）图象的对称轴，
同理：（3，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，
则f（2）+f（4）＝2，且f（3）＝1，
所以f（2）+f（3）+f（4）＝3．
故选：D．
9．（6分）高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，
且丙、丁排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
1 1 39 47
【分析】根据题意，由排列组合公式计算“六名同学任意安排出场顺序”和“甲排在后三位，且丙、丁
3 6 180 180
排在一起”的排法，由古典概型公式计算可得答案．
第6页（共15页）【解答】解：根据题意，六名同学任意安排出场顺序，有A6 6＝720种情况，
若甲排在后三位，且丙、丁排在一起，分3种情况讨论：
若甲排在第四位，有3A A 种排法，
2 3
若甲排在第五位，有3A2A3种排法，
2 3
若甲排在第六位，有4A2A3种排法，
2 3
故有3A A 4A A 32A 3A 120种排法，
2 3 2 3 2 3
2 3+ 2 3+ 2 3 =
则甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率P ，
120 1
故选：B． = 720 = 6
10．（6分）已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 、F2 ，A为双曲线的左顶点，
2 2
2 − 2 = 1
以F1F2 为直径的圆交双曲 线的 一条渐近线于P、Q两点，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
2
∠ =
3
A． B． C． D．
21
【分析2】根据向量的夹角公3式建立方程即可求解． 13
3
【解答】解：根据题意易得A（﹣a，0），P（﹣a，﹣b），Q（a，b），
∴ ， ， ， ，又＜ ， ＞ ，
→ → → →
2
=(0 − ) =(2 ) =∠ =
3
∴cos＜ ， ＞ cos ，
→ →
→ → 2
⋅ − 2 1
= → → = 2 2 = =−
× 4 + 3 2
| || |
∴ ，
1
∴4a4 2 + 2 b+ 2＝ 2 4 = b2，2∴4a2＝3b2，
∴4a2＝3（c2﹣a2），
∴7a2＝3c2，
∴ ，
2
2 7
= 2 =
∴e ． 3
21
=
3 第7页（共15页）故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．
11．（6分） 的展开式中常数项是 15 ．
2 1 6
【分析】(求 出+二 项) 展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，即可求解常数项．
【解答】解： 的展开式的通项公式为Tr+1 x2（6﹣r） x12﹣3r，
2 1 6 1
令12﹣3r＝0，( 解+得
r
)＝4， = 6 (
) = 6
所以 的展开式中常数项是 15．
2 1 6 4
故答案( 为+： 1 ) 5． 6 =
12．（6分）已知函数f（x）＝f′（0）e ﹣x﹣e2x，则f（0）＝ ﹣2 ．
【分析】根据导数的性质即可求解．
【解答】解：对f（x）求导，f'（x）＝f'（0）•（﹣e ﹣x）﹣2e2x，
令x＝0，f'（0）＝f'（0）•（﹣e0）﹣2e0，则f'（0）＝﹣1，
将f'（0）＝﹣1代入原函数f（x），得：f（x）＝﹣e ﹣x﹣e2x，
令x＝0，f（0）＝﹣e0﹣e0＝﹣1﹣1＝﹣2．
故为答案：﹣2．
13．（6分）设 ＜ ＜ ，若 ，则sin ＝ ．
5 3 10
【分析】由同0角 三角函数的 关 系+， 结 (合两−角 )和=与差的三角α函数求解．
2 4 2 10
【解答】解：已知 ，
1− 5
整理得（tan ﹣3）（ 2 t an + + 1 ） (＝40 −， )= + 1+ = 2
因为 ＜ ＜α ， α
0
所以tan ＞0，2
α
所以 ， ．
3 10
=3 =
故答案为： ． 10
3 10
14．（6分）若点10A（a，a），B（b，eb）（a，b R），则A，B两点间距离|AB|的最小值为 ．
2
【分析】根据题意，点A在直线y＝x上运动∈ ，点B是函数y＝ex图象上任意一点，由此利用切线方程
2
和点到直线的距离，算出|AB|的最小值．
【解答】解：∵A（a，a），B（b，eb）（a，b R），
第8 ∈页（共15页）∴点A在直线y＝x上运动，点B是函数y＝ex图象上任意一点，
对y＝ex求导数得y′＝ex，所以函数图象在x＝b处的切线斜率k＝eb，
当曲线y＝ex在x＝b处的切线与y＝x平行时，切点B到直线y＝x的距离就是|AB|的最小值．
令k＝eb＝1，得b＝0，此时点B（0，1），点B到直线y＝x的距离d ．
|0−1| 2
= =
因此，A、B两点间距离|AB|的最小值为 ． 2 2
2
故答案为： ． 2
2
15．（6分）如图所示四棱锥P﹣ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB，BC
2
＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为 ，则线段OP的长
2 3
为 ．
5
3
【分析】取CD中点M，连接OM，以O为原点，以OB，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空
间直角坐标系，求出平面PCD与平面POD的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可．
【解答】解：取CD中点M，连接OM，则OM∥BC，∴OM⊥AB，
∵PA＝PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO 平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD， ⊂
∵AB，OM 平面ABCD，∴PO⊥AB，PO⊥OM，
以O为原点⊂，以OB，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
第9页（共15页）设OP＝h，BC＝1，AB＝2，AD＝3，
则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（﹣1，3，0），P（0，0，h），
，， ， ，， ，设平面PCD的法向量为 ， ， ，
→ → →
=(−2 2 0) =(−1 3 −ℎ) 1=( 1 1 1)
则 ，则 ，∴ ，
→ → → →
⊥ 1 ⋅ 1=0 −2 1+2 1 =0
→ → → →
− 1+3 1−ℎ 1 =0
⊥ 1 ⋅ 1=0
取x1 ＝1，解得 ， ，则 ，， ，
→
2 2
1 =1 1 = 1=(1 1 )
ℎ ℎ
，， ， ，， ，设平面POD的法向量为 ， ， ，
→ → →
=(−1 3 −ℎ) =(−1 3 0) 2=( 2 2 2)
则 ，则 ，∴ ，
→ → → →
⊥ 2 ⋅ 2=0 − 2+3 2 =0
→ → → →
− 2+3 2−ℎ 2 =0
⊥ 2 ⋅ 2=0
取y2 ＝1，解得x2 ＝3，z2 ＝0， ，， ，
→
2=(3 1 0)
∵ ，， ，∴ ，∵ ，， ， ，
→ → → →
2 4
1=(1 1 ) | 1|= 2+ 2 2=(3 1 0) | 2|= 10
∴ ， ℎ ℎ
→ →
1⋅ 2=4
∴ ，
→ →
→ →
1⋅ 2 4
| 〈 1⋅ 2〉|= | → → |= 4
| 1|⋅| 2| 2+ ℎ2 10
设平面PCD与平面POD的夹角为 ，则 ，
2 3
α =
∵ ， ， 5
→ →
| |=| 〈 1 2〉|
∴ ，
4 2 3
=
4
5
∴ 2+ ℎ2， 10 ∴ ．
故答ℎ=案为3： ． = 3
三、解答题（本3题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
第10页（共15页）16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ．
1
（1）求a； =− 3 =2 2
（2）若△ABC的面积为 ，求AB上的高CD．
5 2
【分析】（1）根据同角关系解得sinC，再使用正弦定理即可求解a；
2
（2）根据面积求解b，再利用余弦定理求得c，再次使用面积 ，即可求解．
1
= ⋅
【解答】解：（1）因为 ，C （0， ）， 2
1
=− ∈ π
3
所以 ，
2 2
=
因为 3 ，
=
即 ，
= =2 2
所以 ，
2 2
即a＝ 3⋅；
3
=2 2
（2） ，
1 1 2 2 5 2
= = ×3× × =
解得 2， 2 3 2
5
=
2
则 ，
2 2 2 25 2
+ − 9+4− 1
= = 5 =−
2 2×3×2 3
即 ，
25 2
9+ − =−5
解得 4 ，
9
=
2
则 ，代入 ，
1 5 2 9
= ⋅| |= =
解得 2 ．2 2
10 2
| |=
17．（15分）已知9数列{an}满足a1 ， ， ．
1 3
（1）证明：数列{an+1 ﹣an}为等=比2数列 2 ；= 2 +2+3 =4 +1
（2）求{an}的通项公式；
（3）记bn ＝2an+1，数列 的前n项和为Sn ，证明： ＜ ．
1 1
【分析】（1）根据给定的递{ 推 公 +式1 }，利用构造法，结合等比数 16 列≤定 义 推 8 理得证；
（2）由（1）求得 ，再利用累加法求出通项；
−1
+1− =3 第11页（共15页）（3）由（2）求得 ，再利用裂项相消法求和即得．
【解答】解：（1）证 明 +：1在数列{an}中，因为an+2+3an ＝4an+1 ，
变形得an+2 ﹣an+1 ＝3an+1 ﹣3an ＝3（an+1 ﹣an ），
又 ， ，所以 ，
1 3 3 1
所以 1 { = an2+1 ﹣ a 2 n} =是2以1为首 2 项−， 1 3 =为2公−比2的=等1比≠数0列；
（2）由（1）知 ，
−1 −1
当n≥2时，an ＝ （ + a 1 n −﹣ a n﹣ = 1 ）1+×（3an﹣1 =﹣3an﹣2 ）+（an﹣2 ﹣an﹣3 ）+ ⋯ +（a2 ﹣a1 ）+a1
−2 −3 −4 0 1
=3 +3 +3 +⋯+3 +
2
， 满足上式，
−2 1
3 (1− 3 −1) 1 3 −1 1
= 1 + = 1 =
1−3 2 2 2
所以{an}的通项公式为 ；
−1
3
（3）证明：由（2）得 = 2 ，
−1
=2 +1= 3 +1
所以 ，
−1
3 1 1 1
= −1 = ( −1 − )
则Sn +1 2(3 +1)(3 +1) 4 3 +1 3 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= [( 0 − 1 )+( 1 − 2 )+( 2 − 3 )+...+( −1 − )]
4 3 +1， 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 3 +1
1 1 1
= ( − )
显然4 { 2 Sn}是3 递+1增数列，因此 ，
1
≥ 1 =
又 ＞，则 ＜ ， 16
1 1 1 1
0 × =
所以3 +1 ＜ ，得4证．2 8
1 1
≤
18．（151分6 ）已知函8数 ．
+1
( )= 2
（1）求出函数f（x）在 ，( +1上) 的最值；
1
（2）若关于x的不等式[ ln （e x ]）﹣2ax＞a（x2+1）存在唯一的整数解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值；
（2）把不等式n（ex）﹣2ax＞a（x2+1）化为 ＜ ，由f（x）的单调性结合端点函数值分
+1
( )= 2
析求解即可； ( +1)
【解答】解：（1）因为 ， ， ，所以 ，
1
1 +1 −(2 +1)
∈[ ] ( )= 2 ′ ( )= 3
( +1) ( +1)
第12页（共15页）令f'（x）＝0，令 ，因为函数 ，y＝﹣2lnx﹣1在（0，+∞）上单调递减，
1 1
( )= −(2 +1) =
所以 在（0，+∞）上单调递减，又 t（1）＝1﹣（2ln1+1）＝0，
1
( )= −(2 +1)
所以方程 得解为x＝1，
1
f′（x）， f (（ ) x）=的 −变(化2 情 况+如1)下=表0所示：
x ， 1 （1，e） e
1 1
( 1)
f'（x） + + 0 ﹣ ﹣
f（x） 0 单调递增 单调递
1 2
减
2
4 ( +1)
所以，f（x）在区间 ， 上单调递增，在区间（1，e）上单调递减．
1
( 1)
当x＝1时，f（x）有极 大值 ， 也是f（x）的最大值．
1 1
(1)=
又因为 ， 4 ，所以4 ＞ ，所以0为f（x）的最小值．
1 2 1
( )=0 ( )= 2 ( ) ( )
（2）因为 x＞0，所以不等( 式+1 ln )（ex）﹣2ax＞a（ x2+1）可化为 ＜ ，
+1
( )= 2
由（1）可知 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）( 上+单1)调递减．
+1
( )= 2
因为f（x）的最大值 ( +1) ， ＜ ，
1 1+ 2
所以 x N*x＝1时， f（(1 x )）=最4大， (2所)以=不等9式ln（ (1 ex )）﹣2ax＞a（x2+1），
＞
即a＜∀ f（∈ x）存在唯一的整数解只能为1，所以 ，
(1)
所以 ＜ 所以a的取值范围为 ， (2)≤．
1+ 2 1 1+ 2 1
≤ [ )
19．（15分9）已知椭圆4： ＞，＞ 9 的离 4 心率为 ， ， 是E的左、右焦点，且
2 2
6
，直线l1 过点 F1 与 2E+交 于2 =A1，( B两0点． 0) 3 1 2 | 1 2|=
4（12）求E的方程；
（2）若 ，求l1 的方程；
| |=2 3
（3）若直线l2 过点F2 与E交于C，D两点，且l1 ，l2 的斜率乘积为 ， ， 分别是线段AB，CD的
1
中点，求△OMN面积的最大值． − 3
【分析】（1）根据椭圆焦距公式．椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中a，b，c的关系进行求解即可；
（2）根据直线l1 的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可
第13页（共15页）（3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆E离心率为 ， ，
6
| 1 2|= 4 2
3
所以 ，
6
=
3
2 =4 2
2 2 2
解得a ＝2= ，+b＝ 2，
3
则椭圆E的方程为 ；
2 2
（2）当直线l1 的斜
1
率
2
+为零
4
时=，1
此时直线l1 的方程为y＝0，
解得 ，
此时 =±2 3 ，不符合题意，
所以直| 线|=l1 的4 斜3率存在，
设直线l1 的方程为 ，A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），
= −2 2
联立 ，消去x并整理得 ，
= −2 2 2 2
2 2
( +3) −4 2 −4=0
此时 12 + 4 =1 ＞，
2 2
=(−4 2 ) +16( +3) 0
由韦达定理得 ， ，
4 2 −4
所以|AB| 1+ 2 = 2 +3 1 2 = 2 +3
2 2
= 1+ ⋅ ( 1+ 2) −2 1 2
• 2 ，
2 4 2 2 16
=解得1m+＝ ±1，(
2
+3
) +
2
+3
= 3
所以直线l1 的方程为 ，或 ；
− +2 2=0 + +2 2=0
（3）由（2）知 ，
4 2
1+ 2 = 2
所以 +3 ，
−12 2
1+ 2 = 1−2 2+ 2−2 2= 2
即M ， ， +3
−6 2 2 2
设直线( l 2 1+ 的 3 方程 为2 +3 ) ，C（x3 ，y3 ），D（x4 ，y4 ），
= +2 2
联立 ，消去x并整理得 ，
= +2 2 2 2
2 2
( +3) +4 2 −4=0
此时 12 + 4 =1 ＞，
2 2
=(−4 2 ) +16( +3) 0 第14页（共15页）由韦达定理得 ，
−4 2
3+ 4 = 2
所以 +3 ，
12 2
3+ 4 = 1+2 2+ 2+2 2= 2
即N ， ， +3
6 2 −2 2
( 2 2 )
因为l
1
，+l2 3的斜 率+乘3积为 ，
1
−
所以 ， 3
1 1 1
解得 mn ⋅＝ ﹣=− 3， 3
即N ， ，
2
2 2 2 2
显然(边 M 2 +N3 与横 轴2 + 平 3 行)，
所以 ，
2
1 2 2| | 2 2 6 2 4 4
△ = × 2 ×| 2 + 2 |= 3 ≤
2 +3 +3 +3 | |+| | 3
2 | |⋅| |
即
2 3
△ ≤
当 时3，即 时，等号成立．
3
| |= =± 3
| |
则△OMN面积的最大值 ．
2 3
3
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