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2025-2026学年广东省深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念
中学港澳台班高三（上）第一次联考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的）.
1．（6分）已知集合A＝{﹣1，0，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{2，8}
2．（6分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．
3．（6分）已知等差数列{a }的前n项和为S ，若a +a ＝26，S ＝35，则a ＝（ ）
n n 4 6 5 10
A．27 B．28 C．29 D．30
4．（6分）若圆C ：x2+y2＝4和圆C ：x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
1 2
A．x+y＝0 B．x+y＝2 C．x﹣y＝2 D．y＝x+2
5．（6分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（6分）若2a＝3＝log 9，，则实数a，b，c的大小顺序为（ ）
b
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
7．（6分）某圆台形无盖水桶的表面积为220 cm2，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，
则该水桶的容积为（水桶壁与底的厚度忽略π不计）（ ）
A．600 cm3 B．700 cm3 C．800 cm3 D．900 cm3
8．（6分）π已知f（x）是定义域π为R的偶函数，且f（xπ+1）﹣1为奇函数，则πf（2）+f（3）+f（4）＝（
）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（6分）高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，
且丙、丁排在一起的概率为（ ）
第1页（共13页）A． B． C． D．
10．（6分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F 、F ，A为双曲线的左顶点，以F F 为
1 2 1 2
直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．
11．（6分）的展开式中常数项是 ．
12．（6分）已知函数f（x）＝f′（0）e﹣x﹣e2x，则f（0）＝ ．
13．（6分）设，若，则sin ＝ ．
14．（6 分）若点 A（a，αa），B（b，eb）（a，b R），则 A，B 两点间距离|AB|的最小值为
． ∈
15．（6分）如图所示四棱锥P﹣ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB，BC
＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为
．
三、解答题（本题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
（1）求a；
（2）若△ABC的面积为，求AB上的高CD．
17．（15分）已知数列{a }满足a ．
n 1
（1）证明：数列{a ﹣a }为等比数列；
n+1 n
（2）求{a }的通项公式；
n
第2页（共13页）（3）记b ＝2a +1，数列的前n项和为S ，证明：．
n n n
18．（15分）已知函数．
（1）求出函数f（x）在上的最值；
（2）若关于x的不等式ln（ex）﹣2ax＞a（x2+1）存在唯一的整数解，求实数a的取值范围．
19．（15分）已知椭圆的离心率为是E的左、右焦点，且，直线l 过点F 与E交于A，B两点．
1 1
（1）求E的方程；
（2）若，求l 的方程；
1
（3）若直线l 过点F 与E交于C，D两点，且l ，l 的斜率乘积为分别是线段AB，CD的中点，求
2 2 1 2
△OMN面积的最大值．
第3页（共13页）2025-2026学年广东省深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念
中学港澳台班高三（上）第一次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C D B D B C
一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的）.
1．（6分）已知集合A＝{﹣1，0，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{2，8}
【分析】先求集合B，再根据集合的交集定义得出答案．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，2，8}，B＝{x|x3＝x}＝{0，﹣1，1}，
故A∩B＝{﹣1，0}．
故选：C．
2．（6分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】首先化简复数z，再代入复数模的公式，即可求解．
【解答】解：由，
得，
则|z|．
故选：D．
3．（6分）已知等差数列{a }的前n项和为S ，若a +a ＝26，S ＝35，则a ＝（ ）
n n 4 6 5 10
A．27 B．28 C．29 D．30
【分析】根据a +a ＝26，S ＝35，求出a ＝1，d＝3，则a ＝a +9d＝28．
4 6 5 1 10 1
【解答】解：设等差数列{a }的公差为d，
n
因为a +a ＝26，S ＝35，
4 6 5
所以，解得，
所以a ＝a +9d＝1+9×3＝28．
10 1
故选：B．
第4页（共13页）4．（6分）若圆C ：x2+y2＝4和圆C ：x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
1 2
A．x+y＝0 B．x+y＝2 C．x﹣y＝2 D．y＝x+2
【分析】由题意，把两个圆的一般方程的左边相减，即为所求．
【解答】解：由圆C ：x2+y2＝4和圆C ：x2+y2+4x﹣4y+4＝0关于直线l对称，
1 2
把两个圆的方程相减，可得 x2+y2+4x﹣4y+4﹣（x2+y2﹣4）＝0，
即两个圆的交线为 x﹣y+2＝0，
可得两圆关于直线 x﹣y+2＝0对称，
故选：D．
5．（6分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出，从而求出，再求出即可．
【解答】解：∵，
，
∴，
故选：C．
6．（6分）若2a＝3＝log 9，，则实数a，b，c的大小顺序为（ ）
b
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【分析】结合指数及对数函数单调性分别判断a，b，c的范围即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：因为2a＝3＝log 9，，
b
所以a＝log 3 （1，2），b2，c，
2
所以b＞a＞c．∈
故选：D．
7．（6分）某圆台形无盖水桶的表面积为220 cm2，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，
则该水桶的容积为（水桶壁与底的厚度忽略π不计）（ ）
A．600 cm3 B．700 cm3 C．800 cm3 D．900 cm3
【分析】π根据圆台的表面积公π式及体积公式，即可求π解． π
【解答】解：设圆台形无盖水桶的母线长为lcm，
第5页（共13页）则根据题意可得圆台形无盖水桶的表面积为 （10+5）l+25 ＝220 ，
解得l＝13，所以圆台形无盖水桶的高为12cmπ， π π
所以该水桶的容积为700 cm3．
故选：B． π
8．（6分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）﹣1为奇函数，则f（2）+f（3）+f（4）＝（
）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）为偶函数，则y轴为该函数图象的一条对称轴；
由函数f（x+1）﹣1为奇函数，即函数f（x+1）﹣1关于（0，0）对称，
则（1，1）是函数f（x）的一个对称中心，
直线x＝0与x＝2关于点（1，1）对称，则直线x＝2是函数f（x）图象的对称轴，
同理：（3，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，
则f（2）+f（4）＝2，且f（3）＝1，
所以f（2）+f（3）+f（4）＝3．
故选：D．
9．（6分）高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，
且丙、丁排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由排列组合公式计算“六名同学任意安排出场顺序”和“甲排在后三位，且丙、
丁排在一起”的排法，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，六名同学任意安排出场顺序，有A 6＝720种情况，
6
若甲排在后三位，且丙、丁排在一起，分3种情况讨论：
若甲排在第四位，有3AA种排法，
若甲排在第五位，有3AA种排法，
若甲排在第六位，有4AA种排法，
故有3AA4AA3AA120种排法，
则甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率P，
故选：B．
10．（6分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F 、F ，A为双曲线的左顶点，以F F 为
1 2 1 2
直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
第6页（共13页）A． B． C． D．
【分析】根据向量的夹角公式建立方程即可求解．
【解答】解：根据题意易得A（﹣a，0），P（﹣a，﹣b），Q（a，b），
∴，，又，
∴coscos，
∴，
∴4a2+b2＝4b2，∴4a2＝3b2，
∴4a2＝3（c2﹣a2），
∴7a2＝3c2，
∴，
∴e．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）．
11．（6分）的展开式中常数项是 1 5 ．
【分析】求出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，求出r的值，即可求解常数项．
【解答】解：的展开式的通项公式为T x2（6﹣r）x12﹣3r，
r+1
令12﹣3r＝0，解得r＝4，
所以的展开式中常数项是15．
故答案为：15．
12．（6分）已知函数f（x）＝f′（0）e﹣x﹣e2x，则f（0）＝ ﹣ 2 ．
【分析】根据导数的性质即可求解．
【解答】解：对f（x）求导，f'（x）＝f'（0）•（﹣e﹣x）﹣2e2x，
令x＝0，f'（0）＝f'（0）•（﹣e0）﹣2e0，则f'（0）＝﹣1，
将f'（0）＝﹣1代入原函数f（x），得：f（x）＝﹣e﹣x﹣e2x，
令x＝0，f（0）＝﹣e0﹣e0＝﹣1﹣1＝﹣2．
第7页（共13页）故为答案：﹣2．
13．（6分）设，若，则sin ＝ ．
【分析】由同角三角函数α的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
【解答】解：已知，
整理得（tan ﹣3）（2tan +1）＝0，
因为， α α
所以tan ＞0，
所以． α
故答案为：．
14．（6分）若点A（a，a），B（b，eb）（a，b R），则A，B两点间距离|AB|的最小值为 ．
【分析】根据题意，点A在直线y＝x上运动，∈点B是函数y＝ex图象上任意一点，由此利用切线方程
和点到直线的距离，算出|AB|的最小值．
【解答】解：∵A（a，a），B（b，eb）（a，b R），
∴点A在直线y＝x上运动，点B是函数y＝ex图∈象上任意一点，
对y＝ex求导数得y′＝ex，所以函数图象在x＝b处的切线斜率k＝eb，
当曲线y＝ex在x＝b处的切线与y＝x平行时，切点B到直线y＝x的距离就是|AB|的最小值．
令k＝eb＝1，得b＝0，此时点B（0，1），点B到直线y＝x的距离d．
因此，A、B两点间距离|AB|的最小值为．
故答案为：．
15．（6分）如图所示四棱锥P﹣ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝PB，BC
＝1，AB＝2，AD＝3，O是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为
．
第8页（共13页）【分析】取CD中点M，连接OM，以O为原点，以OB，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空
间直角坐标系，求出平面PCD与平面POD的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可．
【解答】解：取CD中点M，连接OM，则OM∥BC，∴OM⊥AB，
∵PA＝PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO 平面PAB，
∴PO⊥平面ABCD， ⊂
∵AB，OM 平面ABCD，∴PO⊥AB，PO⊥OM，
以O为原点⊂，以OB，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设OP＝h，BC＝1，AB＝2，AD＝3，
则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（﹣1，3，0），P（0，0，
h），
，，设平面PCD的法向量为，
则，则，∴，
取x ＝1，解得，则，
1
，，设平面POD的法向量为，
则，则，∴，
取y ＝1，解得x ＝3，z ＝0，，
2 2 2
∵，∴，∵，，
∴，
∴，
第9页（共13页）设平面PCD与平面POD的夹角为 ，则，
∵， α
∴，
∴，∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
（1）求a；
（2）若△ABC的面积为，求AB上的高CD．
【分析】（1）根据同角关系解得sinC，再使用正弦定理即可求解a；
（2）根据面积求解b，再利用余弦定理求得c，再次使用面积，即可求解．
【解答】解：（1）因为，C （0， ），
所以， ∈ π
因为，
即，
所以，
即a＝3；
（2），
解得，
则，
即，
解得，
则，代入，
解得．
17．（15分）已知数列{a }满足a ．
n 1
（1）证明：数列{a ﹣a }为等比数列；
n+1 n
（2）求{a }的通项公式；
n
（3）记b ＝2a +1，数列的前n项和为S ，证明：．
n n n
【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证；
（2）由（1）求得，再利用累加法求出通项；
（3）由（2）求得，再利用裂项相消法求和即得．
【解答】解：（1）证明：在数列{a }中，因为a +3a ＝4a ，
n n+2 n n+1
第10页（共13页）变形得a ﹣a ＝3a ﹣3a ＝3（a ﹣a ），
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
又，，所以，
所以{a ﹣a }是以1为首项，3为公比的等比数列；
n+1 n
（2）由（1）知，
当n≥2时，a
n
＝（a
n
﹣a
n﹣1
）+（a
n﹣1
﹣a
n﹣2
）+（a
n﹣2
﹣a
n﹣3
）+⋯+（a
2
﹣a
1
）+a
1
，满足上式，
所以{a }的通项公式为；
n
（3）证明：由（2）得，
所以，
则S
n
，
显然{S }是递增数列，因此，
n
又，则，
所以，得证．
18．（15分）已知函数．
（1）求出函数f（x）在上的最值；
（2）若关于x的不等式ln（ex）﹣2ax＞a（x2+1）存在唯一的整数解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值；
（2）把不等式n（ex）﹣2ax＞a（x2+1）化为，由f（x）的单调性结合端点函数值分析求解即可；
【解答】解：（1）因为，，所以，
令f'（x）＝0，令，因为函数，y＝﹣2lnx﹣1在（0，+∞）上单调递减，
所以在（0，+∞）上单调递减，又t（1）＝1﹣（2ln1+1）＝0，
所以方程得解为x＝1，
f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x 1 （1， e
e）
f'（x） + + 0 ﹣ ﹣
f（x） 0 单调递增 单调
递减
所以，f（x）在区间上单调递增，在区间（1，e）上单调递减．
当x＝1时，f（x）有极大值，也是f（x）的最大值．
又因为，，所以，所以0为f（x）的最小值．
第11页（共13页）（2）因为x＞0，所以不等式ln（ex）﹣2ax＞a（x2+1）可化为，
由（1）可知在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
因为f（x）的最大值，，
所以 x N*x＝1时，f（x）最大，所以不等式ln（ex）﹣2ax＞a（x2+1），
即a＜∀f（∈ x）存在唯一的整数解只能为1，所以，
所以所以a的取值范围为．
19．（15分）已知椭圆的离心率为是E的左、右焦点，且，直线l 过点F 与E交于A，B两点．
1 1
（1）求E的方程；
（2）若，求l 的方程；
1
（3）若直线l 过点F 与E交于C，D两点，且l ，l 的斜率乘积为分别是线段AB，CD的中点，求
2 2 1 2
△OMN面积的最大值．
【分析】（1）根据椭圆焦距公式．椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中a，b，c的关系进行求解即
可；
（2）根据直线l 的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可
1
（3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）因为椭圆E离心率为，，
所以，
解得a＝2，b＝2，
则椭圆E的方程为；
（2）当直线l 的斜率为零时，
1
此时直线l 的方程为y＝0，
1
解得，
此时，不符合题意，
所以直线l 的斜率存在，
1
设直线l 的方程为，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 1 2 2
联立，消去x并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以|AB|
•2，
解得m＝±1，
第12页（共13页）所以直线l 的方程为，或；
1
（3）由（2）知，
所以，
即M，
设直线l 的方程为，C（x ，y ），D（x ，y ），
1 3 3 4 4
联立，消去x并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
即N，
因为l ，l 的斜率乘积为，
1 2
所以，
解得mn＝﹣3，
即N，
显然边MN与横轴平行，
所以，
即
当时，即时，等号成立．
则△OMN面积的最大值．
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第13页（共13页）
