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六年级数学·下 新课标[人]
第 3 单元 圆柱与圆锥
本单元是围绕圆柱、圆锥的相关知识展开的教学,包括:圆柱的认识,圆柱的表面积和体
积,圆锥的认识,圆锥的体积,在知道长方体和正方体表面积和体积的计算公式的基础上,展
开对圆柱和圆锥的认识及表面积和体积的学习。本单元的教学突出了几何图形的形象直观
性,同时也突出了知识点的实践性,扩大了学生对几何图形的认识范围。在实践活动中,树立
空间概念,为今后的学习打好基础。新课标要求:“扩大学生认识图形的范围,增加形体知识,
进一步发展空间概念”。在观察、操作中理解图形之间的联系,运用图形帮助理解图形。从
生活实际出发,理解和掌握运用图形相关知识解决实际的生产生活问题,发展学生的空间观
念,使学生体会转化、推理等数学思想。
理解和掌握圆柱表面积、体积和圆锥体积的计算方法,及其在实际生活中的具体应用是
本单元教学的重、难点。教学中注意图形与现实生活的具体联系,运用实物引发学生对图形
的理解,注意把理论联系实际的思想运用到教学中。注重对图形表面积、体积公式的推导,
使转化等数学思想的方法逐步形成。通过剪剪、拼拼,与曾经学过的长方体、正方体表面积
和体积公式推导相联系,探索出圆柱的体积公式,帮助解决问题。
设计教学方案时,注意引导学生主体参与实践与理论相结合的探究学习,注重学生空间
观念的形成,从学生认知出发,用旧知识联系新知识,通过学生动手操作、剪剪拼拼,帮助学
生探究出圆柱的表面积和体积公式、圆锥的体积公式,进而帮助解决生活中的问题,树立空
间观念的同时,进一步培养学生发现问题、解决问题的能力。
1.初步认识圆柱、圆锥的图形特点,初步认识圆柱、圆锥各部分的名称,如:圆柱的底面、
侧面、高,圆锥的底面和高。
2.掌握圆柱表面积和体积公式,圆锥体积公式及其推导过程。
3.熟练运用公式,掌握公式在实际生活中的运用,解决实际生活中的问题。学生在学习本单元之前已经对正方体和长方体有了初步的认识,对于立体图形已经建立
了初步的空间概念,圆柱、圆锥的学习是对学生进一步的立体空间感的构建,使学生建立完
整的空间概念,形成完整的空间思维体系。
在社会实践活动中完成对知识的理解渗透,掌握在实践中得到新知的方法。感受实际生
活中灵活运用操作、分析、转移的方法获得知识的数学体验,树立自主合作探究的意识。
1.在初步认识圆柱、圆锥图形特点的基础上建立学习数学几何图形的兴趣,培养学生乐
于思考、勇于创新的学习精神。
2.通过动手操作,手脑并用,培养学生养成良好的学习习惯,形成良好的学习品质。
3.在合作学习中,学会与他人合作相处。
【重点】
了解圆柱、圆锥的图形特点,理解圆柱、圆锥体积公式,能运用公式正确计算圆柱表面
积和体积,圆锥的体积。
【难点】
运用公式、多种方法解决实际生活中的问题。
1.加强直观演示和动手操作,提高学生的合作探究意识。
图形与几何的教学离不开直观演示教学,在教学中利用直观模型教具或者学生课前搜集
制作的简易教具,以及教师准备好的课件,帮助学生理解、分析图形形状的异同,通过理解、
观察使实物转化成抽象的圆柱体,帮助学生在头脑中建立初步的圆柱的印象,使教学由直观
到抽象的转变自然而然,在学生的探究操作中推导出圆柱表面积和体积公式、圆锥体积公式,
发展合作探究意识,提高学生发现问题、解决问题的能力。
2.联系生活实际,把握形体结构,注重空间想象力的形成,在自主探究中形成连贯的数学
思想。利用学生对生活中实际物品的了解,把握图形特点,注重利用拆分的方法得到知识的过
程,培养学生空间思维的逐步形成,懂得图形之间的转化,懂得实际生活中的问题与数学问题
的互相转化。善于用转化的思想激活学生思维,在实践中发展学生的空间观念,形成完整的
数学逻辑思维能力。
1 圆 柱
本节教学是联系生活实际,展现现实中的实物,通过观察、分析、理解,得到抽象的圆柱
的型体认识。通过探究得出圆柱体的特点,懂得圆柱体是由两个底面相同的圆形和一个侧面
(展开一般为长方形)组成的,及长方形的长、宽与圆柱体的底面周长和高的关系,实现从生
活实物到抽象立体空间思维的转换,得到知识转换的过程,从实践活动及合作探究中推导出
圆柱的表面积公式、体积公式,通过推导迁移的方法,在长方体的表面积和体积公式中得到圆柱体表面积和体积公式,从中获得发展空间想象能力的机会,实现平面与曲面之间的转换,
完善学习过程中数学思想的转变。
1.认识圆柱体的图形特点及圆柱的各部分名称。
2.利用已有知识,推导出圆柱体表面积、体积公式。
3.灵活运用圆柱体表面积、体积公式解决实际生活中的问题,提高学生分析问题、解决
问题的能力。
4.通过由实物到抽象的立体图形,培养学生空间想象力,培养学生独立的抽象思维的能
力。
【重点】
理解圆柱体表面积、体积公式的推导过程。
【难点】
利用圆柱体表面积、体积公式解决实际问题。
第 课时 圆柱的认识
1.了解圆柱体的各部分名称,理解圆柱的型体特点。
2.探究侧面展开图(一般为长方形)的长、宽与圆柱的底面周长、高的关系。
3.培养学生在合作探究中获取知识,在实际操作中获得抽象思维的能力,体会学习数学
的乐趣,建立初步的空间观念。
【重点】
认识圆柱的图形特征,了解圆柱各部分名称。
【难点】
理解圆柱的侧面展开图的长、宽和圆柱底面周长、高之间的关系。【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 生活中常见的圆柱体实物。
指出下面图形的长、宽、高。
师:同学们,通过以前学过的长方体图形特点指出长方体的长、宽、高。
预设 生1:
生2:
生3:相交于同一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
师:同学们标注的很正确,相交于同一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
方法一
师: 同学们,观察下面的物体,你发现了什么?(PPT课件出示图片)
预设 生1:我发现它们都是像柱子一样的物体。
生2:老师我知道,它们都像圆柱。
生3:它们的底都是圆形。
师:现在我们找到这些物体类似的图形。(生讨论后,得到选择的图形,如下图)
师:今天我们就来学习一下这些形状相似的图形——圆柱。(教师板书课题:圆柱的认
识)
方法二
师:我们曾经学习过哪些立体图形呢?
预设 生:长方体和正方体。
师:观察下面的图形,找出它们的相似之处。
预设 生1:它们都是立体图形。
生2:它们的两个底面都是圆形。
师:今天就和老师一起认识这样的图形——圆柱。(教师板书课题:圆柱的认识)
[设计意图] 联系生活实际导入,使学生看到熟悉的画面,能够联系到图形,学生在教师
的引导下能够利用知识的迁移走进新知。
方法三
(PPT课件出示图片)
师:同学们,今天老师带着大家做一个有趣的游戏“摸口袋”,愿意参加吗?
预设 生:愿意。
师:老师的口袋里有很多有趣的玩具,谁想来摸一摸有没有你喜欢的。
(学生摸到后,发现都是类似的图形)
师:今天老师就和大家一起了解一下这样的立体图形。(教师板书课题:圆柱的认识)[设计意图] 游戏导入,在玩中开始新课的学习,使学生没有被动接受,而是在教师的引
领下轻松主动地参与学习。
一、师生合作探究圆柱的各部分名称。
1.请学生拿出手中的自制教具圆柱的模型,引导学生观察后,回答问题,得出圆柱各部分
的名称。
问题:
(1)你发现圆柱体由哪些部分组成?
(2)每一部分叫什么名字?观察后发现有什么特点?
师:同学们,你和同桌手中的圆柱模型有什么共同点呢?
预设 生1:我们手中的模型都是立体的,不是长方形和正方形,它们的立体效果和长方体、
正方体相似。
生2:这个圆柱体模型有两个相同的底是圆形。
生3:圆柱体周围是由一个面围成的。
(教师出示PPT课件)
师:请同学们根据刚才的发现给它们的名称对号入座好吗?然后同桌探讨一下,你还有什
么发现?
预设 生1:我刚才说的上、下的两个底面就是圆柱的底面,原来它们是完全相同的。
生2:刚才我猜想的上、下两底面之间的距离就是侧面的高度,原来是圆柱的高。
师:对,圆柱有两个完全相同的底面,都是圆形,有一个侧面,侧面是一个曲面,两底面之
间的距离就是圆柱的高。
师:请同学们考虑一下,一个圆柱能画出几条高?然后小组讨论,你能画出几条?
预设 生:两个底面之间能画无数条高。
师:对,一个圆柱有无数条高。
(教师出示PPT课件,请学生熟记,教师适时板书)2.小组合作,按照下面的操作程序,感受平面图形与立体图形之间的转换。
(1)教师讲述操作程序。
师:操作程序:
a.请学生拿出手中的学具(一张长方形的纸)。
b.把纸的一边贴在木棒上。
c.快速旋转木棒,反复做。
d.你发现旋转出来的是什么形状?
e.小组合作探究,得出结论。
师:同学们,按照上面的程序开始我们的探究活动吧!
(学生活动,教师巡回指导,注意引导学生,活动中感悟发现,探讨最后所要得到的结论)
(2)学生操作后,汇报操作结论。
师:老师发现你们合作得很愉快,现在能把你们的操作结论汇报给大家吗?
(学生选出代表,做简洁汇报)
预设 生:我们通过操作发现快速转动后看到的是一个圆柱。
师:同学们,你们观察得很细致,是啊,快速转动后看到的是一个圆柱,而不再是平面图形
了。
师:这个圆柱中的高是谁?底面半径是谁?
预设 生:贴在木棒上的长方形的一边是圆柱的高,另一边是底面半径。
3.出示练习,学以致用。
师:根据刚才你们的操作及理解,拿出你手中的学具,标出圆柱体的底面、侧面和高。
(学生利用学具完成后,教师检查,并完成板书)
二、师生探究例2。
圆柱的侧面展开后是什么形状?把罐头盒的商标纸按如下图所示那样剪开,再展开。
(1)教师利用手中的教具,演示例2,学生观察后注意思考:圆柱的侧面展开后是什么形状?
(教师演示后,学生观察教师将罐头盒商标纸展开后的图形)师:老师操作完,看一看,老师手中得到的是什么图形?(教师将操作后的图形展示给大家
看看)
预设 生:长方形。
师:圆柱的侧面沿高展开是一个长方形。
(2)教师引导学生按照操作步骤完成过程。
师:拿着手中操作得到的长方形,小组内合作,比比,想想,议议,思考长方形的长、宽与
圆柱的底面周长和高的关系。
(学生按照教师要求分组探究,教师巡视探究过程,适时指导)
(3)探究操作,得出操作结论。
师:同学们,刚才老师引导你们按照上面的过程操作,探讨老师的问题,现在开始你们的
探讨汇报吧!
预设 生1:我们发现长方形的长就是圆柱的底面周长。(教师适时板书)
生2:我们发现长方形的宽就是圆柱的高。
师:同学们,你们观察得很仔细,长方形的长就是圆柱的底面周长,长方形的宽就是圆柱
的高。
师:如果圆柱的底面周长和高相等,那么圆柱沿高展开得到的图形是什么?
预设 生:正方形。
师:所以圆柱的侧面沿高展开得到的图形是一个长方形或正方形。
[设计意图] 引导学生在操作中体会物体的空间观念,通过看看、比比、说说、练练的
探究式学习,使学生在操作中了解到圆柱的各部分名称,在操作中得到理论知识的升华,建立
初步的空间立体感。
1.教材第19页“做一做”第1题。
2.教材第19页“做一做”第2题。
【参考答案】 1.3个图形都是沿着圆柱侧面上一条线展开的。 2.长
=3.14×2×5=31.4(cm),宽是20 cm。
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我知道了圆柱有两个底面,一个侧面。
生2:圆柱的两个底面都是圆,并且大小相同;圆柱的侧面是曲面;一个圆柱有无数条高。生3:知道圆柱的侧面沿高展开是一个长方形或正方形。
生4:圆柱的侧面沿高展开不但是一个长方形,而且长方形的长是底面圆形的周长,宽就
是圆柱的高。
师:这节课我们通过动手操作,合作探究,知道了圆柱是由两个底面和一个侧面组成的,
圆柱的侧面沿高展开是一个长方形或正方形,长方形的长就是底面圆形的周长,宽就是圆柱
的高。
作业1
教材第20页练习三第1,2,3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)判断下列图形哪些是圆柱,在括号里打“√”。
2.(基础题)填空题。
(1)圆柱上、下两个面叫做( ),它们是面积相等的两个( ),两个底面之间的距离叫做
( )。
(2)圆柱有( )个底面,有( )个侧面。
(3)若圆柱的侧面沿高展开后是长方形,该长方形的宽相当于圆柱的高,则长方形的长相当于
( )。
(4)如果将一个圆柱的侧面展开后是一个正方形,那么圆柱的( )一定等于圆柱的(
)。
3.(易错题)判断题。
(1)圆柱的上下粗细是一样的。( )
(2)圆柱只有一条高,就是上、下两个底面圆心的连线。 ( )(3)圆柱的侧面展开图可能是一个长方形,也可能是正方形。 ( )
(4)一张长方形的纸,可以卷成两种不同形状的圆柱。(不浪费纸张) ( )
(5) 沿虚线旋转一周会形成圆柱。 ( )
【提升培优】
4.(变式题)选择题。
(1)将圆柱的侧面展开,一定不会得到( )。
A.三角形 B.平行四边形
C.长方形 D.正方形
(2)圆柱的高有( )条。
A.1 B.2
C.3 D.无数
5.(探究题)一个圆柱的侧面展开图如下。这个圆柱的底面半径可能是多少厘米?
【思维创新】
6.(情景题)丽丽生日的时候,妈妈送给丽丽一个大蛋糕。蛋糕盒是圆柱形的,服务员阿姨说
要配上十字形的丝带才漂亮,你知道至少买多长的丝带才合适吗?(蝴蝶结需要15 dm)
【参考答案】
作业1:1.(√)( )(√)( )(√) 2.长方体 正方体 圆柱 3.第一个图形是圆柱的展开
图。4. 5.圆柱
作业2:1.①④⑦是圆柱 2.(1)底面 圆 高 (2)2 1(3)圆柱的底面周长 (4)高 底面
周长 3.(1)√(2)✕ (3)√ (4)√ (5)√ 4.(1)A(2)D 5.当圆柱的底面周长是9.42
cm时,r=9.42÷3.14÷2=1.5(cm),当圆柱的底面周长是12.56 cm时,
r=12.56÷3.14÷2=2(cm)。 6.6×4+4×4+15=55(dm)圆柱的认识
本节课的教学是围绕“圆柱的认识”展开的,通过动手操作,小组合作探究,注重发展学
生的空间想象能力,通过了解圆柱的形体特点知道圆柱的各部分名称,利用教学中的契机,通
过直观演示,引导学生理解圆柱体侧面沿高展开是一个长方形,长方形的长就是圆柱的底面
周长,长方形的宽就是圆柱的高,从而建立立体空间观念,锻炼学生逻辑思维能力和空间想象
能力,形成转化迁移的数学思想,发展学生的合作精神,切实地将探索知识、发展空间观念渗
透给学生,使学生形成完整的数学概念。
(1)学生在实物联系抽象立体图形的环节中,由于立体空间观念还不完善,致使思维不到
位,没有达到预期的效果。
(2)学生的思维还比较局限,对于从不同角度思考问题完成得不好。
再教这个内容时,教师注意运用已有的知识进行迁移,有步骤地进行知识的转换,使立体
空间概念逐步形成,通过发散思维及图形与实物之间的联系,培养学生从不同角度思考问题
的能力,避免形成思维定式。
【做一做·18页】
2.(1)以AB或CD边所在直线为轴,底面半径为2 cm,高为1 cm。 (2)以AD或BC边所在直
线为轴,底面半径为1 cm,高为2 cm。【做一做·19页】
2.长:3.14×2×5=31.4(cm),宽:20 cm。
【练习三·20页】
1.(√)( )(√)( )(√) 2.长方体 正方体 圆柱 3.第一个图形是圆柱的展开图。
4. 5.圆柱
在圆柱的上、下底面圆周上分别任取一点,设为A点、B点,连接AB(AB不是圆柱
的高线,但展开后是直的),沿着AB将圆柱的侧面展开,会得到一个什么图形?
[名师点拨] 沿着AB展开,得到的侧面展开图不可能是长方形,而是平行四边形。
[解答] 侧面展开图是一个平行四边形,这个平行四边形的底边长等于圆柱的底面周长,
平行四边形的高等于圆柱的高。
【知识拓展】 圆柱的侧面展开图不能一概而论,展开后是什么图形要看是怎样展开的。
圆周率
圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始,这个数就引起了人们的兴趣。
作为一个非常重要的常数,圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题而提出的。几千年来,
古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。回顾历史,人类对π的认识过
程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。对π的研究,在一定程度上反映了这个地
区或时代的数学水平。德国数学史家康托说:“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,
可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”
圆柱在生活中的应用
为什么生活中很多东西是圆柱体?这与圆柱体的特点有关,它的上、下底面是圆形的,对
称且受力均匀,作为支柱就很合理,不会上下受力不均。侧面沿高展开就是长方形,长方形围起来变成桶状,制作原理很简单,制作盛放东西的容器就很容易。圆是很完美的图形,所以圆
柱体也有其美观性。
星期天,有几位同学在小明家玩,小明要浇花,拿了一只水桶去提水,大家纷纷帮小明打
水,不知谁说了一句: “水桶、油桶为什么做成圆柱形的?”一石激起千层浪,大家七嘴八舌
地说开了,各说各道理,谁也不让谁。小红说:“水桶做成圆柱形的提起来方便。”小亮说:
“油桶做成圆柱形,盖封住,把它放倒可以滚动,装卸方便。”小明的爷爷见到这个情况,说:
“长方体和圆柱体的表面积相等时,体积是圆柱体大。”由此大家都明白了水桶、油桶做成
圆柱体的原因。这时,小明的爷爷说:“水桶做成圆柱体,好处多着呢!”
第 课时 圆柱的表面积
1.借助对圆柱体的各部分组成的认识,总结出圆柱体表面积的构成,理解表面积的含义,
探索出表面积的计算公式。
2.正确地运用公式求出圆柱的侧面积和表面积。
3.灵活根据实际情况,运用表面积公式解决实际问题,学习解决问题中的近似值的取舍。
4.培养学生在合作探究中获得解决问题的能力,树立学生探求知识的信念。
【重点】
掌握圆柱侧面积和表面积公式推导过程及计算方法。
【难点】
理解圆柱底面半径(直径)、高和侧面积之间的关系,进一步灵活运用公式解决实际问题。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 圆柱体模型,相关学具。1.辨别下列图形,说出图形的名称。
(学生观察后,指名回答)
2.在这些图形中有立体图形,有平面图形。你能区分开吗?
(注意学生区分立体图形和平面图形,建立立体空间观念)
3.圆柱的侧面沿高展开是什么形状?长是圆柱体的什么?宽是圆柱体的什么?
(老师注意强调侧面与底面之间的关系)
【参考答案】 1.长方体、圆柱、正方体、圆、平行四边形 2.长方体、圆柱体、正
方体是立体图形,圆形和平行四边形是平面图形。 3.侧面沿高展开是一个长方形,长是圆
柱底面的周长,宽是圆柱的高。
方法一
师: 同学们,我们以前学过长方体的表面积,回忆一下,表面积指的是什么?
预设 生:长方体的表面积指的是长方体的表面面积的总和。
师:利用这个解释,想想圆柱体的表面积指的是什么?
预设 生:圆柱的两个底面面积和侧面面积的总和。
师:这节课我们就来探讨一下圆柱体的表面积。(板书课题:圆柱的表面积)
[设计意图] 由联系旧知识的谈话导入,使学生通过已有知识联系新知识,对于学习的
开始没有陌生感,自然地进入学习状态。
方法二
师:圆柱的表面积指的是什么?
预设 生:圆柱的表面积指的是圆柱的两个底面面积和侧面面积的总和。
师:下面我们就来学习圆柱的表面积。(板书课题:圆柱的表面积)
[设计意图] 直接导入,开门见山地直进主题,使学生对本节课的知识清楚明了,集中注
意力展开本节课的学习。
一、探究学习圆柱体的表面积公式。
1.引导学生理解圆柱表面积的意义。(1)拿出手中的学具,拆拆、分分,理解圆柱的表面积的意义。
师:拿出你手中的自制教具圆柱,动手拆拆,看看圆柱是由哪几部分组成的。
(学生动手操作,教师巡回指导,引导学生在操作过程中注意圆柱的组成)
(2)学生操作后汇报操作的结论。(PPT课件出示演示图)
师:说说你的操作结果,看看圆柱的表面是由哪几部分组成的。
预设 生:圆柱的表面是由两个底面和一个侧面组成的。
师:圆柱的表面积是指什么?
预设 生:圆柱的表面积是指圆柱的两个底面积和侧面积之和。
2.教师直观演示,学生小组合作、动手操作,探究圆柱侧面积的计算方法。
师:同学们,动动你的小手和老师一起,探索圆柱的表面积公式。
(1)PPT课件出示演示过程,教师讲解并演示。
按照如下的步骤操作:
把圆柱按照上、下底面和侧面打开。
(2)学生按照教师讲述的步骤操作。
(3)师生探讨侧面积的求法。
师:想想,展开的侧面是一个什么图形,怎样计算它的面积?
预设 生:展开的侧面是一个长方形,长方形的面积=长×宽。
师:回忆上节课,长方形的长就是圆柱的什么?长方形的宽就是圆柱的什么?
预设 生:长方形的长就是圆柱底面周长,长方形的宽就是圆柱的高。
师:综合上面的回忆和我们的理解,同桌商议一下,得出圆柱体的侧面积公式吧!
(同桌商议后得出侧面积公式)
预设 生:圆柱的侧面积=长方形面积=长×宽=圆柱的底面周长×高。
师:圆柱的侧面沿高展开就是一个长方形,长方形的面积是长×宽,长就是圆柱的底面周
长,宽就是高,所以得出结论:
圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×高=πdh=2πrh。
(教师适时板书)
(4)学生根据以上分析,得出圆柱体表面积公式。
师:刚才我们得到了圆柱体的侧面积公式,想想表面积公式怎么表示?预设 生:圆柱表面积=侧面积+两个底面积。
师:用字母表示呢?
预设 生:圆柱表面积:S=πdh+2πr2=2πrh+2πr2。(教师板书)
二、利用圆柱的表面积公式,解决实际生活中的问题。
(1)教师出示教材例4,指名学生读题,学生思考问题。
一顶圆柱形厨师帽,高30 cm,帽顶直径20 cm。做这样一顶帽子至少要用多少平方厘米
的面料?(得数保留整十数)
(2)读题后,教师提出思考问题,学生思考。
师:想求厨师的帽子需要多少平方厘米的面料实际上就是求圆柱的什么呢?
预设 生:实际上就是求圆柱的表面积。
师:厨师圆柱形的帽子表面都有哪几个面呢?
(同桌讨论,交流讨论结果)
预设 生:因为帽子没有下底,所以只是求出侧面积加上一个底面面积。
(3)学生自由列式解答,教师巡回指导,汇报解答结果。
预设 生1:老师,我是这样列式的,先求出帽子的侧面积:3.14×20×30=1884(cm2)
帽顶的面积:3.14×(20÷2)2=314(cm2)
帽子用的面料=1884+314=2198(cm2)
生2:老师,我用的是综合算式:
3.14×20×30+3.14×(20÷2)2
=1884+314
=2198(cm2)
(4)师生探讨结果的“进一法”取值。
师:想一想,同学们平常买布的时候有没有按照刚好需要的面料的多少去买?
预设 生:没有。
师:都是按照什么单位买布的呢?
预设 生:一般都是按照米或者尺买布。
师:那我们应该精确到多少?(学生思考片刻回答)
预设 生:得数保留整十数,也就是应该大约是2200 cm2。
师:为什么必须用进一法?
预设 生:不管计算结果最后一位是比四小,还是比五大,都进一,因为制作的时候少一点
布都不够做成帽子。
[设计意图] 引导学生在合作探究中找到解决问题的方法,体会圆柱体表面积公式在实
际生活中的具体应用,在合作中完善发现问题、解决问题的能力,促进学生的良好的数学思
维的形成。
1.教材第21页“做一做”。
2.教材第22页“做一做”第1题。
3.教材第22页“做一做”第2题。
【参考答案】 1.(教材第21页做一做)3.14×2×5×20=628(cm2) 2.(教材第22页做
一做)1.(1)1.6×0.7=1.12(m2) (2)2×3.14×3.2×5=100.48(dm2) 3.(教材第22页做一
做)2.3.14×8×13+3.14×(8÷2)2=376.8(cm2)
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我学会了圆柱体表面积公式的推导过程:圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×高,
圆柱表面积=侧面积+两个底面积,即S=πdh+2πr2。
生2:我学会了用圆柱体的表面积公式去解决实际问题。
生3:我理解了在实际问题中的“进一法”。
师:我们每天都在现实生活中遇到很多问题,需要结合实际,运用我们所学知识,帮助我
们更适应生活和学习。
作业1
教材第23页练习四第1,2,3,4,5,6,7题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)判断题。(1)一个底面周长和高都是9.42厘米的圆柱,将侧面沿高展开后一定是正方形。 (
)
(2)如果两个圆柱的侧面积相等,那么它们的底面周长也相等。 ( )
(3)圆柱的表面积等于底面周长乘高。 ( )
(4)圆柱的高越大,它的侧面积就越大。( )
2.(基础题)填空题。
(1)一个圆柱的侧面积是62.8平方厘米,高是5厘米,这个圆柱的底面半径是( )厘米。
(2)一个圆柱底面周长是12.56厘米,高是4厘米,它的侧面沿高展开后是( )形。
3.(变式题)选择题。
(1)一个物体上下面是面积相等的两个圆,那么它( )是圆柱。
A.可能 B.一定 C.不可能
(2)一个圆柱侧面沿高的展开图是一个正方形,这个圆柱的高是底面直径的( )倍。
A.2 B.4 C.π
(3)把一个底面半径是4分米,高是2米的圆柱形木材截成2段圆柱后,表面积与原来相比,(
)。
A.保持不变
B.增加50.24平方分米
C.增加100.48平方分米
4.(重点题)计算题。
(1)一个圆柱底面周长是24厘米,高是7厘米,它的侧面积是多少平方厘米?
(2)计算右面圆柱的表面积。(单位:cm)
【提升培优】
5.(重点题)生活中的数学。
(1)圆柱形铁皮油桶(有盖)的底面周长是12.56分米,高是4分米,做这样一对油桶至少需要
多少平方分米铁皮?(2)要搭建一个横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚,如果不考虑塑料薄膜埋在土里
的部分,那么搭建一个这样的蔬菜大棚至少需要用塑料薄膜的面积是多少平方米?
【思维创新】
6.(竞赛题)有一块长方形的铁皮,长是18.84 cm,宽是12.56 cm,以它作为侧面(不浪费材
料)做一个圆柱形状的容器,要配一个什么样的底面?有几种不同的配法?
【参考答案】
(6) 2 (40) 2
作业1:1.3.14×6×12+3.14× ×2=282.6(cm2) 3.14×40×3+3.14×
2 2
(18) 2
×2=2888.8(cm2) 3.14×18×15+3.14× ×2=1356.48(cm2)
2
(3) 2
2.3.14×1.2×2=7.536(m2)3.3.14×1.5×2.5=11.775(m2) 4.3.14×
2
+3.14×3×2=25.905(m2) 5.长:6×6=36(cm),宽:6×4=24(cm),高12 cm。
6.10×10×2+10×15×4=800(cm2) 6×6×6=216(dm2)
(20) 2
3.14×52×2+2×3.14×5×12=533.8(cm2) 7.黑布:3.14×20×10+3.14×
2
=942(cm2),红布:3.14×(202- 102)=942(cm2),一样多。
作业2:1.(1)√ (2)✕ (3)✕ (4)✕ 2.(1)2(2)长方 3.(1)A (2)C (3)C 4.
(1)24×7=168(平方厘米) (2)3.14×(4÷2)2×2+3.14×4×2.5=56.52(cm2) 5.
(1)12.56×4+(12.56÷2÷3.14)2×3.14×2=75.36(平方分米) 75.36×2=150.72(平方分
米) (2)3.14×(4÷2)2+3.14×4×20÷2=12.56+125.6=138.16(平方米) 6.有两种不同的
配法。用18.84 cm作底面周长,需要直径是6 cm的底面,用12.56 cm作底面周长,需要直
径是4 cm的底面。
圆柱的表面积
圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×高圆柱的表面积:S=πdh+2πr2
例4 3.14×20×30+3.14×(20÷2)2
=1884+314
=2198≈2200(cm2)
答:做这样一顶帽子至少用2200 cm2的面料。
1.本节课的教学是在“圆柱的认识”的基础上进行的,通过动手操作、直观演示、小组
合作探究等学习方式使学生探索出圆柱的表面积公式的同时理解公式推导过程,掌握推导公
式的正确方法,发展学生的空间思维能力和实践能力的有机结合。在理论联系实际的基础上,
解决实际生活中出现的问题,锻炼学生发现问题、解决问题的能力,注重教会学生在实际生
活中怎样理解“进一法”。帮助学生解决今后实际生活中出现的问题,从而也提高了学生的
实践能力,通过数学知识激发学生热爱生活的情感。
2.掌握理论联系实际的学习方法在解决问题中的具体应用,使学生在树立空间的思维的
同时走向社会生活的实践能力进一步增强。
1.由于学生涉及社会生活的机会不多,所以在解决问题的时候,思维有局限性,理解不到
位,“进一法”和“四舍五入法”在实践中容易不会运用。
2.在探究过程中由于课堂的局限性,学习过程不活跃。
再教这个内容时,教师应多给学生安排一些实践性的活动,这样学生对于生活中的事情
和解决问题能够有机联系,思维广泛发展,再教问题就不会混淆,课堂学习顺畅,教师把课堂
交给学生,让学生的思维不受局限,自由思考,自主学习。
【做一做·21页】
3.14×2×5×20=628(cm2)
【做一做·22页】(8) 2
1.(1)1.6×0.7=1.12(m2) (2)2×3.14×3.2×5=100.48(dm2) 2.3.14×
2
+3.14×8×13=376.8(cm2)
【练习四·23页】
(6) 2 (40) 2
1.3.14×6×12+3.14× ×2=282.6(cm2) 3.14×40×3+3.14× ×2=2888.8(cm2)
2 2
(18) 2
3.14×18×15+3.14× ×2=1356.48(cm2)2.3.14×1.2×2=7.536(m2)
2
(3) 2
3.3.14×1.5×2.5=11.775(m2) 4.3.14× +3.14×3×2=25.905(m2) 5.
2
长:6×6=36(cm),宽:6×4=24(cm),高12 cm。 6.10×10×2+10×15×4=800(cm2)
6×6×6=216(dm2) 3.14×52×2+2×3.14×5×12=533.8(cm2) 7.黑
(20) 2
布:3.14×20×10+3.14× =942(cm2),红布:3.14×(202- 102)=942(cm2),一样多。 8.
2
(18) 2
花布:3.14×18×80=4521.6(cm2),黄色的布:3.14× ×2=508.68(cm2)。答:花布需
2
(20) 2
4521.6 cm2,黄色的布需508.68 cm2。 9.3.14×20×30+3.14× ×2-
2
3 (9) 2
78.5×2=2355(cm2) 10.12× =9(dm)3.14×9×12+3.14× =402.705(dm2)11.
4 2
(12) 2
(1)12×12×2+12×16×4=1056(cm2) 1056- 3.14×
2+3.14×12×55=3015.36(cm2),3015.36 cm2=0.301536 m2
(2)0.301536×30×5≈45.23(元)
d d 1
12.188.4÷(2×3.14×2)=15(dm)13.3.14×0.32×6=1.6956(m2) 14.h=C=πd = =
h πd π
一个圆柱,底面直径是0.5 m,高是1.8 m,求它的侧面积。(得数保留两位小数)
[名师点拨] 根据公式C=πd先求出圆柱的底面周长,再根据侧面积公式S=Ch进行计算,
求出圆柱的侧面积。
[解答] 3.14×0.5×1.8
=1.57×1.8
≈2.83(m2)
答:它的侧面积约是2.83 m2。
【知识拓展】 求圆柱的侧面积,可根据实际情况,用下面的公式来计算。
分面包
面包师傅将一个底面直径是10厘米、高是15厘米的圆柱形大面包平均分给阿丰和阿富
两兄弟,面包的表面都要抹一层果酱,怎样切既能使兄弟俩满意又让面包师傅省一点果酱呢?
请你帮面包师傅想想办法吧!(只允许横着切或竖着切)
【参考答案】 有两种切法。第一种切法:平行于底面切,切成两个完全相同的圆柱,每
个圆柱的表面积包括上、下两个圆的面积和大圆柱侧面积的一半(即底面直径为10厘米,高
为7.5厘米的圆柱侧面积),所以它的表面积是
3.14×(10÷2)2×2+3.14×10×(15÷2)=392.5(平方厘米)。第二种切法:沿着底面直径垂
直于底面切,每个半圆柱的表面积包括上、下两个半圆(相当于一个整圆)的面积、圆柱的半
个侧面面积和一个长方形的面积,所以它的表面积是15×10+3.14×(10÷2)2+3.14×10×15÷2=150+78.5+235.5=464(平方厘米)。要使兄弟俩
满意又能让面包师傅省一点果酱,应采用第一种切法。
蜡烛为什么要做成圆柱形
蜡烛要做成圆柱形的原因,主要有两个:
(1)从制造工艺的角度看,圆柱形最简单方便。
(2)从实用效果看,我们知道,蜡烛在点燃过程中,烛心火焰的热量逐渐把周围的蜡熔化,
圆柱形周围的蜡与烛心的火焰等距离,因此蜡烛的熔化是均匀的。如果做成其他形状的棱柱,
那么烛心火焰到边和角的距离就不同,离烛心近的边上的蜡先熔化,离烛心较远的角上的蜡
就慢熔化,甚至不熔化,造成浪费.
第 课时 圆柱的体积
1.借助长方体体积公式,探索出圆柱体体积的计算公式。
2.正确运用公式求出圆柱的体积。
3.灵活根据实际情况,运用体积公式解决实际问题。
4.培养学生在合作探究中获得综合性的解决问题的能力,树立学生探求知识的信念。
【重点】
掌握圆柱体体积公式及实际运用。
【难点】
理解圆柱体体积公式的推导及运用。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 圆柱体模型,相关学具。1.求出下面圆柱体的表面积。
r=5 cm,h=10 cm;表面积S=?
(学生自读题目后,练习完成)
2.说说什么叫做物体的体积,写出长方体和正方体的体积公式。
【参考答案】 1.3.14×52×2+3.14×5×2×10=471(cm2) 2.物体所占空间的大小叫
做物体的体积。长方体体积V=Sh=abh,正方体体积V=a·a·a=a3。
方法一
(PPT课件出示长方体和正方体的图形及体积公式)
V=Sh=abh V=a·a·a=a3
师: 同学们,我们以前学过长方体的体积和正方体的体积,今天就和老师一起做一个手
工游戏,探索圆柱体的体积,好吗?
生3:好!
师:现在和老师一起走进圆柱体积的探究游戏中去吧!
(板书课题)
[设计意图] 由游戏导入,通过激发学生兴趣,引起学生好奇心,从而激发学生求知欲,
使学生在积极的状态下进入本节课的学习。
方法二
师:刚才我们回顾了体积的定义,今天我们利用曾经学过的知识,一起探讨圆柱的体积公
式。
(板书课题)
[设计意图] 直接导入,使学生通过教师简练的语言,了解利用原有知识学习新知识,懂
得知识具有连贯性,跟随教师自然地进入课堂教学。一、探究学习圆柱体的体积公式。
1.引导学生探究圆柱体体积的意义。
(1)根据体积定义,归纳出圆柱体的定义。
师:上课伊始,我们就回顾了体积的定义,谁愿意再重复一下,什么是物体的体积?
预设 生:物体所占空间的大小叫做物体的体积。
师:同理,讨论一下,能不能推想出圆柱的体积怎样解释呢?
(学生自由讨论,交流讨论意见,汇报讨论结果)
预设 生:圆柱所占空间的大小叫做圆柱的体积。(教师板书)
2.师生合作探究圆柱的体积公式的推导过程。
师:我们会计算长方体和正方体的体积,那么圆柱体的体积怎样计算?能不能将圆柱转化
成我们学过的立体图形,计算出它的体积呢?
(1)观看课件,按照PPT课件的步骤,拿出手中的学具,同桌合作操作,教师巡回指导。
师:(出示PPT课件)
按照图示把圆柱转化成长方体,比较圆柱体和长方体的图示各部分之间的名称的联系。
步骤:
将事先准备好的圆柱体分割图形拿出来。
把分成若干等份的两个半圆柱插起来。就得到了一个长方体。
(学生按照步骤操作,教师巡回指导)
(2)学生将做好的操作结果展示出来。
师:(启示学生)说一说你发现了什么。
预设 生:我发现按照步骤得到的图形是长方体。
师:分的等份越多,得到的图形就越接近长方体。
(3)圆柱体和长方体进行比较,探究各部分名称之间的联系。
师:同学们,圆柱体和长方体体积及各部分名称之间的关系是怎样的呢?现在我们一起来
探讨。
(学生观察上面演示的长方体,结合圆柱体,完成下表,完成过程中,注意两种图形的对
比。)体积
长方体 长(a) 宽(b) 高(h)
(abh)
底面周长的一
半
半径
圆柱 高(h) 体积
(1 ) (r)
πd或πr
2
(4)学生根据实践操作,合作探究完成表格。
师:同学们,刚才大家合作完成了上面的表格,谁愿意向大家汇报一下你的收获?
预设 生1:老师,我刚才学习知道了长方体的长就是圆柱的底面周长的一半。
生2:长方体的宽就是圆柱的半径,它们的高是相等的。
师:长方体体积和圆柱体体积有什么关系呢?
(学生思考片刻,回答)
预设 生1:因为把圆柱转换成长方体,所以它们的形状不同,但体积的大小相等。
生2:长方体和圆柱体的底面积相等。
生3:长方体和圆柱体的高相等。
生4:长方体和圆柱的体积都可以用底面积乘高得到。
生5:近似的长方体体积就是圆柱体积,长就是底面周长的一半,所以长方体的体积就是
(2πr÷2)×r×h.
生6:也就是用圆柱的各部分的名称表示出长方体体积,也就得到圆柱的体积了。
师:说得真好。现在,就开始你们的获取圆柱体积公式的活动吧!
(学生活动,教师巡回指导。)
(5)总结公式推导。
师:得出结论:
(6)学生识记公式,理解公式意义,掌握公式推导过程。
3.拓展练习,理解公式。
(1)圆柱形钢坯,底面积为25 cm2,高为60 cm,它的体积是多少?
(2)给出周长(C)和高(h),表示出圆柱体积(V)。
【参考答案】 (1)25×60=1500(cm3)( C ) 2
(3)V=π h(教师板书)
2π
二、出示例6,在实际生活中利用圆柱体积公式解决问题。
(PPT课件出示例6)
下图中的杯子能不能装下这袋牛奶?(数据是从杯子里面测量得到的。)
(1)指名学生读题,学生思考。
师:谁愿意给大家读一读,其余同学思考,最后我们需要用哪个公式来解答?
预设 生1:(读题)
生2:先求出杯子的容积,再和牛奶比较。
师:同学们很聪明,现在就按照你们的想法,开始列式计算吧!(学生列式计算,教师巡回
指导。)
(2)汇报列式计算结果,教师适时板书。
预设 生:杯子的底面积:
3.14×(8÷2)2
=3.14×42
=50.24(cm2)
杯子的容积:
50.24×10
=502.4(cm3)
=502.4(mL)
(3)师生讨论计算出来的结果能不能装下这袋牛奶。
师:怎样比较知道杯子能不能装下这袋奶?
学生讨论后,汇报结果。
预设 生1:杯子的容积大于牛奶的容积就能装下,相反就装不下。
生2:因为502.4大于498,所以杯子能装下这袋牛奶。
[设计意图] 引导学生在推理、迁移的过程中获取圆柱体积公式,在合作探究中,理清
公式的推导过程,利用公式在实际的生活中解决问题,学以致用,发展学生的逻辑思维能力,
形成正确的思维理念。教材第25页“做一做”。
(1) 2
【参考答案】 1.75×90=6750(cm3) 2.3.14× ×10=7.85(m3)
2
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我学会了圆柱的体积的推导公式。
生2:我还知道用周长和高表示圆柱体积公式。
生3:我感受到了合作学习的快乐。
师:在学习圆柱的表面积的基础上,我们今天学习了圆柱的体积,利用把圆柱的体积转换
成长方体体积进而得到圆柱体的体积公式的这种迁移的方法,帮助我们今后的探究学习。
作业1
教材第28页练习五第1,2,3,4,5,6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。
(1)圆柱的体积等于( )乘( ),用字母表示它的计算公式是( )。
(2)把一个底面直径和高都是2分米的圆柱切拼成一个近似的长方体,这个长方体的长约是(
)分米,宽约是( )分米,底面积约是( )平方分米,体积约是( )立方分米。
(3)一个圆柱的底面积是105平方分米,高是40厘米,体积是( )立方分米。
2.(易错题)判断题。
(1)把一个圆柱切成两半,表面积和体积都增加了。 ( )
(2)两个圆柱的侧面积相等,它们的体积也一定相等。 ( )
【提升培优】
3.(重点题)求下面圆柱的体积(单位:cm)。4.(难点题)生活中的数学。
(1)一个圆柱形水槽,从里面量底面半径是8厘米,水槽中完全浸没着一块铁,当铁块取出时,
水面下降了5厘米,这块铁的体积是多少?
(2)薯片盒可看成圆柱,其规格如右图所示,它大约能装多少立方厘米的薯片?(厚度忽略不
计)
【思维创新】
5.(创新题)有一块正方体形状的木料,它的棱长为6分米,把这块木料加工成一个最大的圆
柱,这个圆柱的体积是多少立方分米?
【参考答案】
(4) 2 (8) 2
作业1:1.3.14×52×2=157(cm3) 3.14× ×12=150.72(cm3) 3.14×
2 2
×8=401.92(cm3)2.3.14×(60÷2)2×90=254340(cm3) 254340 cm3=254.34 L
3.3.14×(3÷2)2×0.5×2=7.065(m3)4.80÷16=5(cm)
5.3.14×1.52×2×750=10597.5(kg) 10597.5 kg=10.5975 t 6.表面
积:3.14×6×12+3.14×(6÷2)2×2=282.6(cm2) (15×10+15×20+10×20)×2=1300(cm2)(14) 2
3.14×14×5+3.14× ×2=527.52(cm2) 体积:3.14×(6÷2)2×12=339.12(cm3)
2
(14) 2
15×10×20=3000(cm3) 3.14× ×5=769.3(cm3)
2
作业2:1.(1)底面积 高 V=Sh (2)3.14 13.14 6.28 (3)420 2.(1)✕ (2)✕ 3.
(1)3.14×102×4=1256(cm3) (2)3.14×(6÷2)2×20=565.2(cm3)
(3)3.14×(8÷2)2×8=401.92(cm3) 4.(1)3.14×82×5=1004.8(立方厘米)
(2)3.14×(6÷2)2×16=452.16(cm3) 5.3.14×(6÷2)2×16=169.56(立方分米)
圆柱的体积
圆柱所占空间的大小叫做圆柱的体积。
圆柱的体积=圆柱底面积×高
( C ) 2
V=πr2×h V=π h
2π
3.14×(8÷2)2 50.24×10
=3.14×42 =502.4(cm3)
=50.24(cm2) =502.4(mL)
答:因为502.4大于498,所以杯子能装下这袋牛奶。
1.本节课的教学是在“圆柱的认识”的基础上进行的,通过推理、迁移、小组合作探究
等学习方式使学生主动探索出圆柱的体积公式的同时理解公式推导过程、掌握推导公式的
正确方法,发展学生遇到问题的推理能力及逻辑思维能力。在推理的过程中培养发现问题和
解决问题的能力,学会将新知识迁移到已有知识的转变,为发散思维更全面转向集中思维做
好充分的基础,帮助学生在小学阶段形成良好的思维习惯及思维结构。
2.理论联系实际的学习方法在解决问题中的具体应用,学生在理解公式推理的全过程的
基础上,牢固把握圆柱体积公式,在实际问题中应用,使数学知识更加具有实践性。1.由于运用长方体的体积进行迁移,所以学生对于这一环节还是略有脱节,使学生对于
推理过程欠缺清晰的层次。
2.在探究过程中学生欠缺推理能力,推理问题的能力不完善,使公式推理不能独立完成。
再教这个内容时,教师将长方体的迁移过程事先演示,学生在已有印象的基础上进行操
作、迁移,得到正确的理解过程。在推理进程中,教师进行适当的点拨。教学中利用帮扶的
原则,帮助学生进行推理,完善学生的推理过程,逐步提高推理能力。
【做一做·25页】
(1) 2
1.75×90=6750(cm3) 2.3.14× ×10=7.85(m3)
2
【做一做·26页】
(8) 2 (0.4) 2
1.3.14× ×15=753.6(cm3) 753.6 cm3=753.6 mL<1 L 不够喝 2.3.14×
2 2
×5÷0.02≈31(张)(用去尾法取近似值)
一个圆柱体的底面周长是31.4 cm,高是12 cm,它的体积是多少立方厘米?
[名师点拨] 要求圆柱的体积,必须求出圆柱的底面积,可以根据底面周长求出圆柱的
底面半径,进而求出底面积,再用底面积乘高求出体积。
[解答] 3.14×(31.4÷3.14÷2)2×12
=942(cm3)。
答:它的体积是942 cm3。
【知识拓展】 知道圆柱底面上的一个条件和高,就可以求出圆柱的体积;而已知圆柱
的体积和高(或底面积),也可以求出圆柱的底面积(或高)。
祖冲之关于圆周率的两大贡献其一,求得圆周率的范围:3.1415926<π<3.1415927。
22 355
其二,得到π的两个近似分数,即约率为 ,密率为 。
7 113
他算出的π的精确度,不但在当时是最高的,而且保持世界纪录九百多年。这一结果是
如何获得的呢?追根溯源,正是基于对刘徽割圆术的继承与发展,祖冲之才能得到这一非凡的
成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时,不要忘记他的成就的取得是他站在数学伟人刘徽的
肩膀上的缘故。
第 课时 解决问题
1.熟记圆柱体积公式的推理过程,牢固掌握圆柱体积公式。
2.借助圆柱体体积公式,进一步解决实际生活中的问题。
3.根据实际情况,掌握运用转化的方法解决问题,灵活地处理实际生活中的特殊问题,培
养学生解决问题的能力。
4.培养学生在解决问题的实践活动中的推理、概括能力。
【重点】
进一步掌握圆柱体积公式的运用。
【难点】
推理、迁移的方法在解决问题中的实际应用。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 实物演示器具、学生学习材料。1.写出圆柱表面积公式及体积公式。
2.底面半径是3 cm,高是1 cm的圆柱,表面积是多少?体积是多少?
【参考答案】 1.圆柱表面积S=2πr2+2πrh 圆柱体积V=πr2h。 2.75.36 cm2
28.26 cm3
方法一
师: 同学们,今天老师带大家来到超市逛逛,看看超市的饮品区。
(PPT课件出示饮品区图片)
师:同学们,今天和老师探讨有关饮品的兴趣题,解决实际生活中的一些问题,好吗?
预设 生:好!
师:今天,和老师一起解决饮品的容积问题。
(板书课题)
[设计意图] 由设计情景导入,形象逼真的情节,引导学生主动地参与教学,使学生的思
维在教学中活跃起来,参与到教学中,投身到容积的解决问题中去。
方法二
师:同学们,在上节课我们学习了圆柱体积公式的推导及在生活中的简单应用,今天,我
们继续学习在实践生活中利用公式解决问题。(板书课题)
[设计意图] 直接导入,引导学生通过教师简练的语言,了解本节课的知识要点,使学生
带着清晰的知识框架走进本节课的学习。
探究学习圆柱体的体积公式在实际的生活中的进一步应用。
师生分析题意,理解转化迁移对于解决问题的重要性。(教师出示PPT课件,例7)一个内直径是8 cm的瓶子里,水的高度是7 cm,把瓶盖拧紧倒
置放平,无水部分是圆柱形,高度是18 cm。这个瓶子的容积是多少?
(1)学生自由读题,交流,理解。
(2)师生分析题意,理清解题思路。
师:观察两个饮品的瓶,观察中,你发现了什么?
(学生注意观察,注意理解,迁移推理)
预设 生:能不能把不规则的饮品容积转化成圆柱?
(按照学生的设想,假定一下思维过程)
师:按照同学们的思维设想,同学们进行一下操作、理解,小组合作,试试设想是否成立。
(学生按照设想操作,理解探究,教师巡回指导。)
预设 生:(学生讨论后,得到结论)实际按照操作瓶子水的高度和瓶子剩余的高度的容积
的和就是瓶子的容积。
(如下图所示)
师:不管怎样放置瓶子,瓶子里水的体积并没有变化。正放时水的体积加上倒置时无水
部分圆柱的体积等于瓶子的容积。所以,将不规则的物体体积转化成规则的圆柱体积进行计
算。
预设 生:(理清思路后,得到结论)瓶子的容积=水高7 cm的圆柱容积+无水高18 cm的圆
柱容积。
师:同学们,现在就根据你们的理解,将问题列式解答吧!
(学生解答,教师巡回指导)
(3)学生汇报解答结果,师生评议。
师:请把你们的解答结果汇报给大家,我们一起评议一下,好吗?
预设 生:瓶子的容积=3.14×(8÷2)2×7+3.14×(8÷2)2×18=1256(cm3)=1256(mL)(板
书解题过程)师:让我们一起理解,评议解答情况。
预设 生1:这个同学解答得对,我们赞同他的观点。
生2:先求出水高7 cm的圆柱容积,再求出无水的圆柱的容积,最后求出它们的和。
教材27页“做一做”。
(6) 2
【参考答案】 3.14× ×10=282.6(cm3)=282.6(mL)
2
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我学会了利用圆柱的体积的推导公式,进一步解决实际问题。
生2:求不规则的物体的体积或容积,可以利用转化的方法,将其转化成规则的图形进行
计算。
生3:我感受到探究中带来的乐趣。
师:在学习中感受到学习的快乐,获得了分析问题、解决问题的能力,注意学会转化的学
习方法。
作业1
教材第29页练习五第10,11,12,13题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)圆柱的体积公式为( )。圆柱侧面展开是一个近似长方形,长方形的一边
长是圆柱的( ),长方形的另一边长是圆柱的( )。
2.(易错题)判断题。
(1)长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高的方法来计算。 ( )
(2)圆柱的体积和容积实际上是相等的。 ( )
【提升培优】
3.求出下面圆柱的体积。(单位:cm)r=5,h=10。
【思维创新】
4.一块长方体形状的木料,长是10分米,宽是8分米,高是16分米,把这块木料加工成最大
的圆柱,圆柱的体积是多少立方分米?
【参考答案】
(10) 2 (1.2) 2
作业1:10.3.14× ×2=157(cm3) 11.3.14× ×20×50=1130.4(mL),1130.4
2 2
mL=1.1304 L>1 L,能装满水。 12.3.14×(10÷2)2×80- 3.14×(8÷2)2×80=2260.8(cm3)
13.30×10×4÷6=200(mL)
作业2:1.圆柱的体积=底面积×高 底面周长 高2.(1)√ (2)✕
3.3.14×52×10=785(cm3)4.3.14×(8÷2)2×16=803.84(cm3)
解决问题
瓶子的容积=3.14×(8÷2)2×7+3.14×(8÷2)2×18 =1256(cm3)=1256(mL)
答:瓶子的容积是1256 mL。
1.本节课是在理解掌握圆柱体积公式的基础上展开的解决问题的教学,通过探究例题的
解决方法:转移的方法,解决圆柱的容积问题。根据体积不变的特性,明确瓶子正放和倒放时
无水部分的容积是相等的,这样就把不规则的图形转变成了规则的图形,得到转化的方法。
在探究中牢固掌握转化的学习方法,帮助学生解决实际生活中的问题,渗透基本的数学思想
方法。
2.用联系实际的方法解决问题,从中懂得知识来源于生活,回归生活去学以致用,既增强
了学习的积极性,又培养学生探索精神。1.由于学生刚刚接触转化的方法解决问题,所以转化的过程中有些思维受逻辑思维和实
践的影响,出现思维脱节,致使教学过程中学生理解滞待。
2.学生的独立理解能力还是不完善,所以转化的思想方法理解得不透彻。
再教这个内容时,教师环节上设置多增加实物演示环节,这样更加利于理解和接受。
【做一做·27页】
(6) 2
3.14× ×10=282.6(cm3)=282.6(mL)
2
【练习五·28页】
(4) 2 (8) 2
1.3.14×52×2=157(cm3) 3.14× ×12=150.72(cm3) 3.14× ×8=401.92(cm3)
2 2
2.3.14×(60÷2)2×90=254340(cm3) 254340 cm3=254.34 L
3.3.14×(3÷2)2×0.5×2=7.065(m3)4.80÷16=5(cm)
5.3.14×1.52×2×750=10597.5(kg) 10597.5 kg=10.5975 t 6.表面
积:3.14×6×12+3.14×(6÷2)2×2=282.6(cm2) (15×10+15×20+10×20)×2=1300(cm2)
(14) 2
3.14×14×5+3.14× ×2=527.52(cm2) 体积:3.14×(6÷2)2×12=339.12(cm3)
2
15×10×20=
(14) 2
3000(cm3) 3.14× ×5=769.3(cm3) 7.35- 3.14×(2÷2)2×0.25=34.215(m3)
2
8.3.14×(6÷2)2×11=310.86(cm3),310.86×3=932.58(cm3),1L=1000 cm3 ,1000>932.58。
(10) 2
答:明明和客人每人一杯够。9.81÷4.5×3=54(dm3) 10.3.14× ×2=157(cm3)
2(1.2) 2
11.3.14× ×20×50=1130.4(mL),1130.4 mL=1.1304 L>1 L,能装满水。
2
12.3.14×(10÷2)2×80- 3.14×(8÷2)2×80=2260.8(cm3)13.30×10×4÷6=200(mL)
14.3.14×10×10×20=6280(cm3) 3.14×20×20×10=12560(cm3)15.以18 dm为底面周长,
以2 dm为高卷成的圆柱体积最大。以2 dm为底面周长,以18 dm为高卷成的圆柱体积最小。
侧面积不变,底面周长越长,卷成圆柱的体积越大,底面周长越短,卷成圆柱的体积越小。
将一块棱长为4厘米的正方体铁块浸没在一个圆柱形量杯中,水面升高0.8厘米,
求量杯的底面积。(量杯厚度忽略不计)
[名师点拨] 将一块棱长为4厘米的正方体铁块浸没在一个圆柱形量杯中,则升高那部
分水的体积等于正方体铁块的体积。用正方体铁块的体积除以水面升高的高度,就得到量杯
的底面积。
[解答] 4×4×4÷0.8=80(平方厘米)
答:量杯的底面积是80平方厘米。
将物体浸没在容器里,物体的体积等于升高那部分的溶液的体积;如果物体没有完全浸
没在液体里,则浸在液体中的那部分的体积等于升高那部分液体的体积。
2 圆 锥
本节课的内容是在学生学习了圆柱知识和体积的计算公式的基础上,通过实物和抽象图
形认识圆锥,掌握圆锥的特征及各部分的名称,能用正确的方法测量圆锥的高,并引导学生通
过小组合作交流和自己动手操作来积极参与知识的形成过程,通过学生的动手操作、小组合
作使学生理解和掌握圆锥的体积计算公式,能运用公式正确地求出圆锥的体积。通过圆锥的体积的推导过程,培养学生动手操作能力、观察能力和初步的空间想象能力。引导学生合作
交流、动手操作,培养学生勇于探索的求知精神,使学生感受到数学来源于生活,激发对数学
的学习兴趣,培养学生的自主学习精神,并同时为以后立体图形的学习打下良好基础。
1.使学生认识圆锥,掌握圆锥的特征,知道圆锥各部分的名称。
2.认识圆锥的高,掌握圆锥高的正确测量方法。
3.使学生理解和掌握圆锥的体积计算公式,能运用公式正确地求出圆锥的体积。
4.通过圆锥的体积的推导过程,培养学生动手操作能力、观察能力和初步的空间想象能
力。
5.引导学生合作交流、动手操作,培养学生自主学习和勇于探索的求知精神,使学生感
受到数学来源于生活,激发对数学的学习兴趣。
【重点】
1.掌握圆锥的特征及各部分名称。
2.理解圆锥的体积公式,能运用公式正确求出圆锥的体积。
【难点】
1.正确测量圆锥的高的方法。
2.推导圆锥的体积公式。
第 课时 圆锥的认识
1.使学生认识圆锥,掌握圆锥的特征,知道圆锥各部分的名称。
2.认识圆锥的高,掌握圆锥高的正确测量方法。
3.引导学生合作交流、动手操作,培养学生自主学习的精神。
4.通过学生动手操作,培养学生观察、分析和空间想象能力。
【重点】掌握圆锥的特征及各部分名称。
【难点】
正确测量圆锥的高的方法。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 圆柱体、圆锥形物体、三角板、直尺、沙子。
PPT课件出示圆柱图形和圆柱体,并复习:
(1)圆柱有几个底?分别是什么形状?
(2)圆柱的侧面展开图是什么形?
(3)什么是圆柱的高?圆柱有多少条高?
师:前几节课,我们学习了圆柱的相关知识,那
么我们来检验复习一下。
(引导学生观察图形,总结回答)
预设 生1:有两个底面,是圆形。
生2:侧面展开图是一个长方形或正方形。
生3:两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
生4:高有无数条。
……
【参考答案】 (1)圆柱有上、下两个底面,是完全相同的两个圆。 (2)圆柱的侧面展
开图是一个长方形或是正方形。 (3)圆柱的两个底面之间的距离叫做圆柱的高。圆柱有无
数条高。
方法一师: 同学们,前几节课,我们学习认识了圆柱形,今天我们来认识一种新的图形,我们来
看图片。(PPT课件出示)
师:我们观察一下,这些物体的形状有什么共同的特点?
预设 生1:这些物体的上面都是一个尖锥形。
生2:底面都是一个圆。
师:这些物体共同的形状就是今天我们要学习的新的图形——圆锥。(板书课题:圆锥)
[设计意图] 由课件出示相关图片,通过学生的观察,使学生对圆锥有初步的感知,进而
直接引入课题,使学生带着兴趣走入新知的学习。
方法二
教师指导学生把装在圆柱形容器里的沙子倒在桌子上,并观察。
师:沙子原来是什么形状?现在的形状和原来有什么不同?(PPT课件出示)
预设 生1:原来是圆柱形。
生2:现在的图形是原来的圆柱形的上面的圆形变成了一个点。
师:那么这个图形和原来的图形有什么共同点呢?
预设 生:下面的底都是圆形。
师:今天我们就来认识像倒在桌子上的沙子的形状。(板书课题:圆锥)
[设计意图] 通过学生的动手操作,把圆柱形的沙子倒出来形成圆锥形,在学生的实践
操作和观察中感知圆锥形与圆柱形的不同,为新知的学习打下基础。
方法三
师:前几节课,我们学习了圆柱形的相关知识,今天我们来学习和圆柱形相近的另外一个
图形——圆锥。(板书课题:圆锥)
[设计意图] 用简洁的语言直接导入,把学生的注意力快速集中到要学习的新知上来。一、初步认识圆锥
1.感知生活中的圆锥。(PPT课件出示)
师:图片中的塔顶、帽子、灯光的外形有什么共同的特点?
预设 生:上面是尖锥形,下面是圆形。
师:和老师前面教具中的哪个是一样的形状?你能从你手中的学具里找出来吗?
预设 生1:和那个上面是尖锥的物体是一样的。(教师用圆锥体进行展示)
生2:这个就是一样的。(学生用圆锥体演示)
2.归纳认识圆锥。
师:通过刚才的学习,我们认识了一种新的图形,老师把它们进行了归类,我们来看一看:
(PPT课件出示)
师:上图中这些物体的形状都是圆锥体,简称圆锥。
师:我们生活中还有哪些常见圆锥形的物体呢?
预设 生1:铅笔的笔尖是圆锥形。
生2:漏斗。
生3:越南人的斗笠。
生4:蛋卷冰淇淋。
……
3.巩固练习,加深理解。
师:通过刚才的学习,我们知道了圆锥和圆柱一样,是生活中常见的立体图形,我们来看
看下面的图形中,是圆锥的在下面的括号里画“√”,不是的画“✕”。师:我们怎么来区分是不是圆锥体呢?哪些是圆锥体?哪些不是圆锥体?
预设 生1:圆锥体上面是锥形,下面是圆形。
生2:第一个和第四个是圆锥体。
生3:第二个、第三个和第五个不是圆锥体。
师生共同完成:
(√) (✕) (✕) (√) (✕)
[设计意图] 通过区分圆锥体与非圆锥体的练习,使学生加深对圆锥形物体的认识,为
下面学习圆锥体的各部分名称及高的测量打好基础。
二、探究学习P32例1,掌握圆锥的各部分名称及高的测量。
1.认识圆锥的侧面。
师生共同取出课前准备的圆锥形物体,引导学生观察并思考:
师:我们手中有一个圆锥体,我们用手摸一摸,并观察一下,和圆柱相比,它有什么不同点?
预设 生1:圆柱有二个底,圆锥有一个底。
生2:圆柱的侧面展开是长方形,圆锥的侧面展开不是长方形。
师:我们观察圆锥的侧面可能不是长方形,是什么图形?我们用手摸摸,再放在桌上滚动
一下,感觉一下,看是什么图形。
预设 生:圆锥的侧面展开是一个扇形。
2.认识圆锥的高。
师:我们来自学P32例1,说说什么是圆锥的高,圆锥的高和圆柱的高有什么不同。(PPT
课件出示)
预设 生1:从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
生2:圆柱的高有无数条。生3:圆锥的高只有一条,就是连接顶点到底面圆心的线段。
师:我们来共同总结圆锥的组成都有哪些部分。(PPT课件出示)(板书图)
预设 生1:圆锥的侧面是一个曲面。
生2:圆锥的底面是一个圆。
生3:从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
3.学习圆锥高的测量方法。
师:我们知道了什么是圆锥的高,那么怎么来测量圆锥的高呢?观看教材第32页图片,小
组讨论学习怎样测量圆锥的高。
预设 生1:先把圆锥的底面放平。
生2:把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面。
生3:用直尺测出二块平板间的距离。
(板书测量方法)
师:测量时有哪些是需要我们注意的?
预设 生1:圆锥的底面放置要水平地放。
生2:上面的平板要水平地放在圆锥的顶点的上面。
生3:应从尺子的“0”刻度开始。
4.认识圆锥的形成。
师:圆锥是怎样形成的呢?我们来看一看。(PPT课件出示)
师:我们利用手中的学具,怎样来快速形成一个圆锥呢?(学生描述,教师演示)
预设 生:把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上,快速转动木棒,转动起来形成一个圆锥。
师:你能指出圆锥的高和底面半径吗?
预设 生1:贴在木棒上的直角边长是形成的圆锥的高。
生2:另一条直角边是圆锥的底面半径。5.巩固练习。
师:刚才我们对圆锥有了初步的认识,我们来一起总结一下圆锥是由哪些部分组成的。
预设 生1:圆锥有一个圆形的底面。
生2:有一个侧面,是个曲面,展开是扇形。
生3:圆锥有一条高。
生4:从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
[设计意图] 通过学生的动手操作来学习圆锥的高和高的测量,这样既锻炼了学生的动
手能力,又为学习圆锥的体积在学生头脑中形成立体图形打下基础。
教材第32页“做一做”。
【参考答案】
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我知道了生活中有好多的圆锥形的物体。
生2:一个直角三角形通过转动可以形成圆锥。
生3:圆锥有一个圆形的底面。
生4:有一个曲面的侧面,侧面展开是一个扇形。
生5:我知道怎样测量圆锥的高。
生6:从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高,圆锥只有一条高。
作业1
教材第35页练习六第1,2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。
(1)圆锥的底面是个( ),圆柱的侧面是一个( )面。
(2)从圆锥的顶点到( )的距离是圆锥的高。(3)圆锥有( )条高,用字母( )表示。
(4)圆锥的侧面展开后是一个( )形。
(5)以直角三角形的一条直角边所在直线为轴,旋转一周,就可以得到一个( )。
2.(操作题)巧牵妙连。
下面图形以粗线为轴旋转一周后会形成什么图形?
3.(基础题)下面的图形哪些是圆锥?是圆锥的在括号里画“√”。
【提升培优】
4.(易错题)判断题。
(1)圆锥有一个底面和一个侧面。 ( )
(2)圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面任一点连线的长度。 ( )
(3)将圆锥的侧面展开一定得到半圆。 ( )
(4)圆锥的底面是一个椭圆。 ( )
(5)生活中圆锥形状的事物很少,而且用处不大。 ( )
5.(变式题)把表填完整。
底面 底面 底面
名称 底面积
半径 直径 周长
圆锥 2 cm
圆锥 8 dm
9.42
圆锥
dm
【思维创新】6.(探究题)某公路有一段需要维修,工人摆了一些圆锥形路障,每个圆锥底面直径约50厘米,
一共摆了15个,每两个圆锥间的距离是1.5米,从第一个圆锥到最后一个圆锥共占多长的路
面?
7.(开放题)一张三角形纸能不能卷成一个圆锥?为什么?
【参考答案】
作业1:1.由圆柱和圆锥等组成的。
2.
作业2:1.(1)圆 曲 (2)底面圆心 (3)一 h (4)扇 (5)圆锥
2. 3.(√)( )( )( )( )(√)4.(1)√ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)✕
5.4 cm12.56 cm 12.56 cm2 4 dm 25.12 dm 50.24 dm21.5 dm 3 dm 7.065 dm2
6.28.5米 7.不能,原因是圆锥的侧面展开图是一个扇形
圆锥的认识
测量方法:1.把圆锥放在二块平行的平板上。
2.用直尺测出二块平板间的距离。1.能结合圆柱知识的学习,对比进行教学和引导,让学生在比较中学习,充分利用原有知
识结构,学生学起来比较轻松。
2.在教学中,充分发挥学生的积极性,让学生动手参与,通过触摸、感知、测量圆锥,使
抽象的知识具体化,提高了学生的观察分析和空间想象能力。
1.在测量圆锥的高时,个别同学还是操作不够准确,这与测量方法的指导不到位有一定
的关系。
2.个别学生在小组合作的学习中,没有明确自身的责任,出现了小组学习效果不好的问
题。
再教这节课时,要充分做好测量前方法的指导,同时和圆柱的高结合教学,让学生多动手
参与、多观察,既调动学习的积极性,又可以把抽象的知识具体化。
用一把刻度尺、一个圆锥形教具、两块平板,怎样测量圆锥的高?
[名师点拨] 从圆锥的顶点到底面圆心的距离即是圆锥的高。
[解答] 先把圆锥的底面放平,放在一块平板上;再竖直放置一把刻度尺,使刻度尺的0
刻度线与圆锥的底面对齐;最后,把另一块平板放在圆锥的顶点上面,并且与底面一样平。读
出对应的刻度,即为圆锥的高。如下图。
两块平板间的距离即是圆锥的顶点到底面圆心的距离。
【知识拓展】 1.从圆锥的顶点到底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线,圆锥母线
的长度大于圆锥的高。
2.任意画一条母线,沿母线剪开,可知圆锥的侧面展开图是一个扇形。3.把圆锥平行于底面进行切割,切面是两个完全相同的圆,圆的面积要比圆锥的底面圆
小(图1)。把圆锥沿高线垂直于底面进行切割,切面则是两个完全相同的等腰三角形(图
2)。
欧 拉
欧拉(1707~1783),瑞士数学家及自然科学家,1707年4月15日出生于瑞士的巴塞
尔,1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭,自幼受父亲的教育,13岁
时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把数学推至几乎
整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家,写了大量的力学、分析学、几何学、变分
法等课本,《无穷小分析引论》《微分学原理》《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。
欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域,为微分几何及分析学的一些重要分支(如无穷级数、
微分方程等)的产生与发展奠定了基础。欧拉对数学的研究如此广泛,因此在许多数学的分
支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
第 课时 圆锥的体积
1.使学生理解和掌握圆锥的体积计算公式,能运用公式正确地求出圆锥的体积。
2.通过圆锥的体积的推导过程,培养学生动手操作能力、观察能力和初步的空间想象能
力。
3.引导学生合作交流、动手操作,培养学生勇于探索的求知精神,使学生感受到数学来
源于生活,激发对数学的学习兴趣。
【重点】理解圆锥的体积公式,能运用公式正确地求出圆锥的体积。
【难点】
推导圆锥的体积公式。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 等底等高的圆柱、圆锥形水槽。
PPT课件出示,并复习:
(1)圆柱的体积公式是什么?
(2)我们是如何推导圆柱的体积公式的?
(3)你能说出圆锥的各部分的名称吗?
师:前几节课,我们学习了圆柱和圆锥的一些知识,那么我们来检验复习一下。
(引导学生观察图形,总结回答)
预设 生1:圆柱的体积等于底面积乘高。
生2:推导圆柱的体积时是把圆柱转化成长方体。
生3:圆锥有底面、侧面、高。
……
【参考答案】 (1)V=Sh=πr2h。 (2)把圆柱转化成长方体。 (3)底面、侧面、高。
方法一
师: 同学们,我们通过原来的学习,已经认识了
圆锥和圆柱,谁能根据手中的水槽,介绍一下圆柱和圆锥的底面和高?
(教师引导学生根据手中实物演示介绍。)
预设 生1:圆锥的底面是圆形的。
生2:圆锥的底面有一个。生3:圆柱的底面有二个。
生4:圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。有一条。
生5:圆柱的高是二个底面之间的距离。有无数条。
师:我们可以看出圆锥和圆柱的许多相同和不同,知道通过把圆柱转化成长方体,推导出
了圆柱的体积,那么我们可不可以借助圆柱的体积来推导出圆锥的体积呢?这节课我们就来
探讨这些知识。(板书课题:圆锥的体积。)
[设计意图] 通过对比圆柱和圆锥及圆柱体积的推导过程,设置疑问,让学生对圆锥体
积的推导产生浓厚的兴趣。
方法二
(学生拿出手中的学具)
师:我们手中都有一个等底等高的圆柱和圆锥形水槽,我们来操作一下,看看彼此之间的
容积有什么关系。
(教师指导学生把装在圆锥里的水倒进圆柱里,并观察。)
师:我们是否能利用圆柱体的体积转化出圆锥的体积呢?今天就和老师尝试一下。(教师
板书课题)
[设计意图] 通过学生的动手操作,初步感知圆锥的体积可能和圆柱的体积之间的关系,
并设置疑问,让学生带着兴趣进入到新课的学习。
方法三
师:前几节课,我们学习了圆柱的体积和认识了圆锥,这节课,我们来根据圆柱的体积推
导圆锥的体积是怎样计算的。(板书课题:圆锥的体积)
[设计意图] 开门见山,直入主题,有利于学生迅速集中注意力进入到新知识的学习中
来。
一、推导圆锥的体积。
1.引导学生观察等底等高的圆锥和圆柱。
(1)师生预设结论。
师:我们通过观察,感觉它们之间的体积关系应该是什么样的呢?
预设 生:等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。
2.师生探讨得出鉴定预设结论是否正确的方法。
师:我们的猜测是不是对的呢?那么我们用什么方法可以研究出等底等高的圆锥和圆柱
的体积之间的关系呢?预设 生1:可以用实验的方法,看它们之间的容积之间的关系。
生2:把圆锥内装满水,然后倒入圆柱内,看看几次可以倒满。
师:下面我们就用实验的方法来推导圆锥的体积公式。
指导学生小组合作根据教材第33页介绍做实验,并PPT课件出示指导问题:
(1)等底等高的圆锥和圆柱的体积之间是什么关系?
(2)圆锥的体积可以怎么样来计算?公式是怎样的?
3.师:通过刚才的小组合作,哪个小组来汇报一下你们的学习成果?
预设 生1:圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。
生2:可以先算出与圆锥等底等高圆柱的体积,再除以3。
生3:圆锥的体积公式是:
1 1
V = V = Sh(板书公式)
圆锥 3 圆柱 3
师:你是怎么推导出来的呢?谁来演示一下?
(学生操作并说明)
预设 生1:在空的圆锥形容器里装满水,然后全部倒入与它等底等高的圆柱形容器里,3
次正好倒满。
生2:说明圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。
师:我们还可以怎么样来推导圆锥体积呢?
预设 生1:把圆柱形容器里装满水,然后倒入与它等底等高的圆锥形容器里,每次都倒满,
正好倒3次。
生2:圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的三分之一。
师:那么圆锥的体积怎么计算呢?
预设 生1:可以先算出与圆锥等底等高的圆柱的体积,然后再除以3。
生2:圆锥的体积公式是:
1 1
V = V = Sh
圆锥 3 圆柱 3
4.巩固练习,加深理解。
师:通过刚才的学习,我们学习了圆锥的体积的计算方法,下面我们来看下面的问题:
1.等底等高的圆柱和圆锥,圆锥的体积是圆柱体积的( ),圆柱的体积是圆锥体积的(
)。
2.圆锥的体积公式都可以通过哪些已知条件来计算?
引导学生回忆动手操作得出圆锥体积的推导过程和复习刚刚学过的知识,完成练习。1
预设 生1:可以已知底面积和高来计算。即V= Sh。
3
1
生2:已知底面半径和高来计算。即V= πr2h。
3
1
生3:已知底面直径和高来计算。即V= π(d÷2)2h。
3
1
生4:已知底面周长和高来计算。即V= π(C÷2π)2h。
3
【参考答案】 1.三分之一 三倍 2.已知底面积和高来计算; 已知底面半径和高来
计算; 已知底面直径和高来计算; 已知底面周长和高来计算。
[设计意图] 通过动手操作和仔细观察来推导圆锥的体积,既锻炼了学生的合作能力和
动手操作能力,同时也有助于培养学生学习数学的浓厚兴趣。
二、探究学习P34例3,掌握圆锥体积公式的应用。
1.引导学生分析理解(PPT课件出示例3)。
工地上有一堆沙子,近似于一个圆锥(如下图)。这堆沙子的体积大约是多少?如果每立
方米沙子重1.5 t,这堆沙子大约重多少吨?(得数保留两位小数)
师:我们通过刚才的读题,知道这个问题里已知条件有什么,所求问题是什么。
预设 生1:已知条件是沙堆的底面直径是4 m。
生2:已知沙堆的高是1.2 m。
生3:所求问题是这堆沙子的重量。
生4:这堆沙子呈圆锥形。
师:可以怎样来思考解决,求出沙子的质量呢?
预设 生:要求出沙子的重量,得先求出沙子的体积。
师:要求沙子的体积,得用哪个计算公式?
1 1
预设 生:V = V = Sh
圆锥 3 圆柱 3
师:要用这个公式来计算,已经知道哪些条件,还得先计算出什么?怎么计算?
预设 生1:已经知道了高,得求出底面积。
生2:可以利用底面半径来计算底面积。
师:计算结果要注意什么?预设 生:得数保留两位小数。
2.完成计算解答。
师:请同学们按照刚才分析的过程自己解答,然后小组内交流。
(学生自由完成,教师巡回指导)
3.师生总结、汇报解答结果。
(4) 2
预设 生1:沙堆的底面积:3.14× =3.14×4=12.56(m2)。
2
1
生2:沙堆的体积: ×12.56×1.2=5.024≈5.02(m3)。
3
生3:沙堆重:5.02×1.5=7.53(t)。(板书)
[设计意图] 通过细致的分析,然后由学生小组完成习题的解答,让学生掌握利用圆锥
体积的公式来解答生活中的问题,使学生感受到数学与现实生活的紧密联系。
教材第34页“做一做”。
1 1 (4) 2
【参考答案】 1. ×19×12=76(cm3) 2. ×3.14× ×5×7.8≈163(g)
3 3 2
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我知道了圆锥的体积公式的推导过程。
生2:圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的三分之一。
1 1
生3:V = V = Sh。
圆锥 3 圆柱 3
生4:会用圆锥的体积公式来解答生活中的问题。
作业1
教材第35页练习六第4,5,6,7题,第36页第8,9,10,11题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。(1)圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的( )。圆锥体积公式用字母表示是(
)。
(2)一个圆柱的底面半径是6 cm,高是7 cm,与它等底等高的圆锥的体积是( )cm3。
(3)一个圆锥的底面积是7.8 cm2,高是1.8 cm,与它等底等高的圆柱的体积是( )cm3。
(4)将一个体积是75.36 cm3的圆柱削成一个最大的圆锥,这个圆锥的体积是( )cm3。
2.(易错题)判断题。
(1)圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 ( )
(2)圆锥的体积小于圆柱的体积。 ( )
(3)圆锥的底面半径和高同时扩大到原来的2倍,它的体积扩大到原来的8倍。 ( )
1
(4)如果圆柱的高是圆锥高的 ,那么它们的体积相等。( )
3
(5)一个圆锥高不变,半径扩大到原来的3倍,它的体积也扩大到原来的3倍。 ( )
【提升培优】
3.(重点题)求下面图形的体积。
(1)底面积是3.6 cm2,高是1.2 cm的圆锥。
(3)底面周长是31.4 cm,高是12 cm的圆锥。
4.(探究题)解决问题。
(1)一个圆锥的体积是5.024立方分米,底面直径是4分米,这个圆锥的高是多少分米?
(2)一个圆柱形铁块,底面半径是2分米,高是4分米,将它熔铸成一个底面半径是4分米的
圆锥,圆锥的高是多少分米?
【思维创新】
5.(竞赛题)有一个底面直径是6厘米,高是15厘米的圆柱形钢材,要把它削成一个与它等底
等高的圆锥形零件,要削去钢材多少立方厘米?
【参考答案】
1
作业1:4.(1)25.12 (2)423.9 5.(1)✕ (2)√ (3)✕ 6.r=31.4÷3.14÷2=5(cm)
3
1
×3.14×52×9=235.5(cm3) 7.3.14×(18.84÷3.14÷2)2×2× =18.84(m3)
31
1.4×18.84≈26(t) 8.(1) ×3.14×12×1≈1.05(m3) (2)650×1.05=682.5(kg)
3
1
(3)682.5÷0.25=2730(kg) (4)2.8×682.5=1911(元)9.4×3=12(dm) 10.28.26×
3
=9.42(cm2) 11.1000 km2=1000000000 m2 220 mm=0.22 m
1000000000×0.22=220000000(m3) 220000000 m3=2.2亿立方米 2.2×20%=0.44(亿立方
米) 能满足
1 1
作业2:1.(1) V= Sh (2)263.76 (3)14.04(4)25.12 2.(1)✕ (2)✕ (3)√
3 3
(4)✕(5)✕ 3.(1)3.6×1.2÷3=1.44(cm3) (2)3.14×92×15÷3=1271.7(cm3) (3)
(31.4÷2÷3.14)2×3.14×12÷3=314(cm3) 4.(1)5.024×3÷3.14÷(4÷2)2=1.2(分米)
2
(2)3.14×22×4×3÷3.14÷42=3(分米) 5.3.14×(6÷2)2×15× =282.6(立方厘米)
3
圆锥的体积
1 1
V = V = Sh
圆锥 3 圆柱 3
(4) 2
例3:3.14× =3.14×4=12.56(m2)
2
1
×12.56×1.5=6.28(m3)
3
6.28×1.5=9.42(t)
1.在讲授新课前,及时复习了圆柱的体积公式,使学生在推导出圆锥的体积公式后,能正
确地进行圆锥的体积计算,建立了新旧知识之间的联系,减少了学生的学习压力。
2.在教学中,充分发挥学生的积极性,让学生自己通过小组合作来动手操作,去验证自己
的假设,体验学习的乐趣。1.在圆锥的体积的推导过程中,没有强调好圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的
三分之一,使个别学生误以为任意圆锥的体积就是任意圆柱体积的三分之一。
2.学生在计算的过程中,出现计算不准确的问题,主要是有的按圆柱的计算方法来计算,
需要教师多加指导和练习。
再教这节课时,要指导学生做好假设,然后通过动手操作和计算来验证,并且可以选用不
是等底等高的一组圆锥和圆柱来进行对比实验,使学生加深“圆锥的体积是与它等底等高的
圆柱体积的三分之一”的认识。在解题过程中,要指导学生仔细认真的好习惯。
【做一做·34页】
1 1 (4) 2
1. ×19×12=76(cm3) 2. ×3.14× ×5×7.8≈163(g)
3 3 2
【练习六·35页】
1
4.(1)25.12 (2)423.9 5.(1)✕ (2)√ (3)✕6.r=31.4÷3.14÷2=5(cm)
3
1
×3.14×52×9=235.5(cm3) 7.3.14×(18.84÷3.14÷2)2×2× =18.84(m3)
3
1
1.4×18.84≈26(t) 8.(1) ×3.14×12×1≈1.05(m3) (2)650×1.05=682.5(kg)
3
1
(3)682.5÷0.25=2730(kg) (4)2.8×682.5=1911(元) 9.4×3=12(dm) 10.28.26×
3
=9.42(cm2) 11.1000 km2=1000000000 m2220 mm=0.22 m 1000000000×0.22=220000000
m3=2.2亿立方米 2.2×20%=0.44(亿立方米) 能满足
【整理和复习·37页】
1.提示:按圆柱和圆锥分类。 2.从左至右,从上到下依次填10 dm,282.6 dm2,314 dm3,1
m,10.676 m2,2.198 m3,40 cm,3140 cm2,6280 cm3,2 dm,10.048 dm3,1 m,1.1775 m3。 3.
(1)3.14×(10÷2)2×2+3.14×10×20=785(cm2) (2)3.14×(10÷2)2×20=1570(cm3)1
1570 cm3=1.57 dm3=1.57升>1.5 L 够喝 4.(1) 3.14×22×2+ ×3.14×22×4
3
4
×0.65=3.14×4× 2+ ×0.65≈27.21(kg)(2)27.21×70%≈19.0(kg)
3
【练习七·38页】
1
1.12.56×5×4÷(3.14×22)=20(dm) 2.2 cm=0.02 m
3
×28.26×2.5÷10÷0.02=117.75(m)
3.3.14×(12÷2)2×9- 3.14×(2÷2)2×9×12=678.24(cm3) 678.24 cm3=0.67824 dm3
4.3.14×(4÷2)2×4=50.24(dm3) 5.5 mm=0.5 cm 0.5÷2=0.25(cm)
(4) 2
120÷(3.14×0.25×0.25×2×2)=120÷0.785≈153(天) 6.3.14× ×5=62.8(dm3)
2
62.8 dm3=62.8 L
用一段底面直径是20厘米,高是24厘米的圆柱形木料,削成一个最大的圆锥体,
圆锥的体积是多少立方厘米?
1
[名师点拨] 要使削成的圆锥的体积最大,令圆锥与圆柱等底等高即可。根据V= π
3
(d) 2
h可求解。
2
1
[解答] 3.14×(20÷2)2×24×
3
=2512(立方厘米)
答:圆锥的体积是2512立方厘米。【知识拓展】 1.等底等高的圆柱和圆锥:圆柱的体积是圆锥体积的3倍,或者说圆柱
1
的体积比圆锥的体积多2倍;圆锥的体积是圆柱体积的 ,或者说圆锥的体积比圆柱的体积
3
2
少 。
3
2.等底等体积的圆柱和圆锥:圆锥的高是圆柱的高的3倍,或者说圆锥的高比圆柱的高
1 2
多2倍;圆柱的高是圆锥的高的 ,或者说圆柱的高比圆锥的高少 。
3 3
3.等高等体积的圆柱和圆锥:圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍,或者说圆锥的底面
1
积比圆柱的底面积多2倍;圆柱的底面积是圆锥的底面积的 ,或者说圆柱的底面积比圆锥
3
2
的底面积少 。
3
三角几何里认识另一个世界
埃尔米特有着真正完美的人格。埃尔米特逝世于1901年1月4日。他晚年写道:“三角
几何是永恒的、是不朽的。自然界里没有任何一个东西是绝对的三角形,但是在人的脑中却
存在着完美、绝对的三角形去衡量外面的形形状状。没有人知道为什么三角形三个内角的
总和就是180°,没有人知道为什么三角形的最长边对应最大角。这些三角几何的基本特性,
不是人去发明出来或想象出来的,而是人在懵懂无知的时候,这些三角特性就存在,并且无论
时空如何改变,这些特性也不会改变,我只不过是一个无意中发现这些特性的人。三角几何
的存在,证明有一永久不改变的世界存在。”
第3单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、填空题(16分)
1.把圆锥的侧面沿一条母线展开,得到一个( )。
2.从圆锥的( )到( )的距离叫做圆锥的高。3.一个圆柱体的体积是20立方分米,底面积是4平方分米,它的高是( )分米。
4.一个圆柱的底面半径是3厘米,高是10厘米,这个圆柱的体积是( )立方厘米,与它等
底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。
5.一个体积是62.8立方厘米的圆锥形铁块,要熔铸成一个底面半径是2厘米的圆柱体,圆柱
的高是( )厘米。
6.把一块棱长为10分米的正方体木料加工成一个最大的圆柱体,这个圆柱的体积是( )
立方分米。
二、判断题(20分)
1.求做一节圆柱形通风管需要多少铁皮,就是求圆柱的侧面积。( )
1
2.将一块圆柱形木料削成一个圆锥体,需要削去木料的 。 ( )
3
3.长方体、正方体和圆柱体、圆锥的体积都可以用底面积乘高来计算。( )
4.圆锥的体积等于圆柱的体积。 ( )
5.一个圆柱形水杯,它的容积就是它的体积。 ( )
三、选择题(24分)
1.将一个圆锥形铁块熔铸成一个和它底面积相等的圆柱形铁块,则它的高( )。
A.等于圆锥形铁块的高
1
B.等于圆锥形铁块的高的
3
C.等于圆锥形铁块的高的3倍
2.修一个底面直径为4米,深为3米的圆柱形蓄水池,这个蓄水池占地( )。
A.37.68平方米
B.12.56平方米
C.25.12平方米
3.将底面周长与高不相等的圆柱的侧面沿着一条高线展开,得到一个( )。
A.圆 B.长方形
C.三角形 D.平行四边形
4.把一根长2米,底面积是40平方厘米的圆柱形木料截成3段圆柱,表面积增加了( )平
方厘米。
A.240 B.80 C.160
5.有一个圆柱,底面直径是10 cm,若高增加2 cm,则侧面积增加( )cm2。
A.31.4 B.20 C.62.86.一根圆柱形钢管,内直径是20 cm,管内水的流速是每秒40 cm,水管内每分钟流过的水的
体积是( )cm3。
A.125600 B.502400
C.753600
四、解决问题(40分)
1.下图是北方孩子经常在冰上玩的冰嘎,求出这个冰嘎的体积。(结果保留一位小数)
2.用铁皮制作一个圆柱形油桶,底面的半径是4分米,高是12分米,制作这个油桶至少需要
铁皮多少平方分米(用“进一法”取值,得数保留整平方分米)?这个油桶的容积是多少立方
分米(铁皮厚度忽略不计)?
3.一个圆锥形煤堆,底面半径是2.5米,高是0.9米,如果每立方米煤约重1.4吨,这堆煤约
有多少吨?(得数保留整吨)
4.在一个内半径是20 cm,高是50 cm的圆柱形桶里盛满了制作冰淇淋的原材料,这些原材
料能制作半径为2.5 cm,高为10 cm的圆锥形冰淇淋多少个?
★附加题
一个圆柱形水桶,底面内半径是20厘米,里面盛有40厘米深的水,现将一个底面周长是
1
62.8厘米的圆锥形铁块完全沉入水中,水比原来上升了 ,圆锥形铁块的高是多少厘米?
20
(水没有溢出)
【参考答案】
一、1.扇形 2.顶点 底面圆心 3.5 4.282.6 94.2 5.5 6.785
二、1.√ 2.✕ 3.✕ 4.✕ 5.✕
三、1.B 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C
1
四、1.3.14×(8÷2)2×2+ ×3.14×(8÷2)2×4≈167.5(立方厘米)
3
2.2×3.14×4×12+3.14×42×2=401.92≈402(平方分米) 3.14×42×12=602.88(立方分1
米) 3.3.14×2.52×0.9× ×1.4=8.2425≈8(吨) 4.3.14×202×50=62800(cm3)
3
1
62800÷ ×3.14×2.52×10 =960(个)
3
1 [1 ]
附加题 3.14×202× 40× ÷
×3.14×(62.8÷3.14÷2)2
=24(厘米)
20 3
