文档内容
2025-2026学年浙江省杭州高级中学高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|3x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，2}
2．（5分）已知复数z ＝1﹣2i，z ＝1+i，则复数z z 的模|z z |等于（ ）
1 2 1 2 1 2
A． B． C． D．
3．（5分）已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）函数y＝8（x﹣2）2ln|x|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）记T 为数列{a }的前n项积，已知，则T ＝（ ）
n n 10
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（5分）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从A，B，C，D，E这5种菜中任意选用2种，则A菜有
2人选用、B菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54 B．81 C．135 D．162
7．（5分）过B （0，﹣1）作直线l交圆x2+y2＝1于另一点E，连结B （0，1）和E的直线交椭圆于另
1 2
一点F，设直线B E、B F的斜率分别为k 、k ，则（ ）
1 1 1 2
A．k ＝2k B．k ＝2k C．k ＝3k D．k ＝4k
1 2 1 2 1 2 1 2
8．（5分）若函数y＝f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，f（4﹣x）+f（x）＝4，设f（x）的导函数为f′
第1页（共16页）（x），当x [0，1]时，f（x）＝x2，则（ ）
A．65 ∈ B．70 C．75 D．80
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列关于统计的知识，说法正确的是（ ）
A．若数据x ，x ，x ，…，x 的方差为0，则所有的x（i＝1，2，3，…，n）都相等
1 2 3 n i
B．已知样本数据x ，x ，x ，…，x （n≥5），去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数
1 2 3 n
小于原样本的中位数
C．数据﹣2，﹣1，3，7，8，9，10，11的第70百分位数是8.5
D．若一组样本数据（x，y）（i＝1，2，3，…，n）的对应样本点都在直线y＝﹣0.5x+1上，则这组
i i
样本数据的相关系数为﹣1
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝cos（2x+ ）（0＜ ＜ ）的图像关于对称，则（ ）
A．f（x）在（0，上单调递减 φ φ π
B．f（x）在上有两个极值点
C．直线是y＝f（x）的对称轴
D．直线是y＝f（x）的切线
（多选）11．（6分）在xOy平面上，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），准线为l，点P
在曲线E上且位于第一象限，设∠PFO的角平分线交l于点Q，交E于点S．已知|QS|＝2|SF|，点S关
于x轴的对称点为T，则以下说法正确的有（ ）
A．PQ⊥l B．|PF|＝2
C．P，F，T三点共线 D．Q，O，T三点共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）展开式中x2项的系数为 ．
13．（5分）在三棱锥ABCD中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为 ，内
切球表面积为 ．
14．（5分）在四边形ABCD中，已知A（﹣1，0），B（2，0），∠ABC＝2∠BAC，|DB|＝2|DA|，若
C，D两点关于y轴对称，则|CD|＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2﹣a2＝ac
（1）求证：B＝2A；
（2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围．
第2页（共16页）16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，底面ABC是边长为2的正三角形，A B＝AB，，D为AC的
1 1 1 1
中点．
（1）求证：A B⊥平面ABC；
1
（2）求直线A D与平面ABC 所成角的正弦值．
1 1
17．（15分）进行独立重复试验，设每次成功的概率为p（0＜p＜1），则失败的概率为1﹣p，将试验进
行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负
二项分布，记为X～NB（r，p）．
（1）若X～NB（3，），求P（X＝5）；
（2）若X～NB（2，），n N*，n≥2．
①求P（X＝i）； ∈
②要使得在n次内结束试验的概率不小于，求n的最小值．
18．（17分）设双曲线的右焦点为F（3，0），F到其中一条渐近线的距离为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M．
（i）求的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，记，求实数 的值．
19．（17分）设，x R，a R．已知函数y＝f（x）﹣x2在x＝0处的切线方程λ为y＝x．
（1）求a，b的值∈； ∈
（2）当x [0，1]时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例．
（3）证明∈：若正实数x
0
满足，n N*，则必有．
∈
第3页（共16页）2025-2026学年浙江省杭州高级中学高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B D C A A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD BCD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|3x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，2}
【分析】先化简集合B，然后利用交集的定义进行求解即可．
【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，
故A∩B＝{﹣2，﹣1}．
故选：A．
2．（5分）已知复数z ＝1﹣2i，z ＝1+i，则复数z z 的模|z z |等于（ ）
1 2 1 2 1 2
A． B． C． D．
【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出z z ，再求出其模作答．
1 2
【解答】解：复数z ＝1﹣2i，z ＝1+i，则z z ＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i，
1 2 1 2
所以．
故选：B．
3．（5分）已知向量满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据向量模的公式得，再求模即可．
【解答】解：因为，，，
所以，
所以，
又，
第4页（共16页）所以．
故选：C．
4．（5分）函数y＝8（x﹣2）2ln|x|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据f（x）的零点情况和取值情况，可得f（x）的大致图象．
【解答】解：由已知，f（2）＝f（1）＝f（﹣1）＝0，所以排除AD，
又x＞2时，f（x）＞0，故排除C．
故选：B．
5．（5分）记T 为数列{a }的前n项积，已知，则T ＝（ ）
n n 10
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】当n＝1时，有T ＝a ，当n≥2时，有，从而化归转化可得：{T }是以首项为2，公差为1的
1 1 n
等差数列，从而可得解．
【解答】解：当n＝1时，，∵T ＝a ，∴a ＝2；
1 1 1
当n≥2时，由，可得，
∴，
∴T
n﹣1
＝T
n
﹣1，
∴T
n
﹣T
n﹣1
＝1，（n≥2），又T
1
＝a
1
＝2，
∴{T }是以首项为2，公差为1的等差数列，
n
∴T ＝2+（10﹣1）×1＝11，
10
故选：D．
6．（5分）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从A，B，C，D，E这5种菜中任意选用2种，则A菜有
第5页（共16页）2人选用、B菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54 B．81 C．135 D．162
【分析】先选出选择A菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解
即可．
【解答】解：A菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了A菜，
①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从C，D，E中任意选用1种，有种，
丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有；
②丙选用了B菜，丙再从C，D，E中任意选用1种，有种，甲、乙再从C，D，E中各任意选用1种，
有种，故共有；
由①②可知所有情形是54+81＝135．
故选：C．
7．（5分）过B （0，﹣1）作直线l交圆x2+y2＝1于另一点E，连结B （0，1）和E的直线交椭圆于另
1 2
一点F，设直线B E、B F的斜率分别为k 、k ，则（ ）
1 1 1 2
A．k ＝2k B．k ＝2k C．k ＝3k D．k ＝4k
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】直线B E的斜率为k ，则B E的斜率为，写出B E所在直线方程，与椭圆方程联立，求得F
1 1 2 2
的坐标，可得B F的斜率k ，则答案可求．
1 2
【解答】解：直线B E的斜率为k ，则B E的斜率为，
1 1 2
可得B E所在直线方程为，
2
联立，得，
可得，代入，得，即F（），
则k ，可得k ＝2k ．
2 1 2
故选：A．
8．（5分）若函数y＝f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，f（4﹣x）+f（x）＝4，设f（x）的导函数为f′
（x），当x [0，1]时，f（x）＝x2，则（ ）
A．65 ∈ B．70 C．75 D．80
【分析】由题意可知函数关于点（1，1），（2，2）成中心对称，进而得到f（x）为向上攀爬的类周
期函数，且f（k）＝k（k N*），再根据函数的周期性和对称性求解即可．
【解答】解：由f（2﹣x）∈+f（x）＝2，f（4﹣x）+f（x）＝4，
可得函数关于点（1，1），（2，2）成中心对称，且f（1）＝1，f（2）＝2，如图，
f（x）为向上攀爬的类周期函数，且f（k）＝k（k N*），
∵当x [0，1]时，f（x）＝x2， ∈
∈
第6页（共16页）∴f'（x）＝2x，∴f'（）＝1，
由图象可知，f'（k）＝f'（）＝1，k N*，
所以． ∈
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列关于统计的知识，说法正确的是（ ）
A．若数据x ，x ，x ，…，x 的方差为0，则所有的x（i＝1，2，3，…，n）都相等
1 2 3 n i
B．已知样本数据x ，x ，x ，…，x （n≥5），去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数
1 2 3 n
小于原样本的中位数
C．数据﹣2，﹣1，3，7，8，9，10，11的第70百分位数是8.5
D．若一组样本数据（x，y）（i＝1，2，3，…，n）的对应样本点都在直线y＝﹣0.5x+1上，则这组
i i
样本数据的相关系数为﹣1
【分析】由方差的计算公式判断A；由中位数的定义判断B；由百分位数的定义判断C；由样本相关系
数判断D．
【解答】解：选项A，根据方差的计算公式（其中为平均数），
若方差s2＝0，即，则，即，因此所有的x（i＝1，2，3，…，n）都相等，所以A正确；
i
选项B，假设一组数据样本1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中位数为5，去掉其中的一个最小数和一
个最大数后，
数据样本为2，3，4，5，6，7，8，其中位数仍为5，所以B错误；
选项C，因为8×0.7＝5.6，所以数据的第70百分位数是9，故C错误；
选项D，这组数据负相关，所以样本数据的相关系数为﹣1，故D正确．
第7页（共16页）故选：AD．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝cos（2x+ ）（0＜ ＜ ）的图像关于对称，则（ ）
A．f（x）在（0，上单调递减 φ φ π
B．f（x）在上有两个极值点
C．直线是y＝f（x）的对称轴
D．直线是y＝f（x）的切线
【分析】根据f（x）的图象关于对称，结合余弦曲线的对称性求得 ，可得f（x）的解析式，利用余
弦函数的单调性判断出A项的正误；根据函数极值点的概念，利用余φ弦函数的性质判断 B项的正误；
利用余弦曲线的对称性判断出C项的正误；根据导数的几何意义求解f（x）图象的切线方程，可判断
出D项的正误．
【解答】解：因为f（x）的图象关于对称，所以，k Z，
结合0＜ ＜ ，取k＝2得，所以， ∈
当时，，φ π
结合余弦函数的性质，可知f（x）在（0，上不单调，故A不正确；
当时，，
结合余弦函数的性质，可知f（x）有两个极值点，故B正确；
根据，可知直线是y＝f（x）的对称轴，故C正确；
求导数得，
令，即，
可得或，
解得x＝k 或，
结合，所以π x＝0时的切线方程为，
即，可知直线是f（x）图象的切线，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（6分）在xOy平面上，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），准线为l，点P
在曲线E上且位于第一象限，设∠PFO的角平分线交l于点Q，交E于点S．已知|QS|＝2|SF|，点S关
于x轴的对称点为T，则以下说法正确的有（ ）
A．PQ⊥l B．|PF|＝2
C．P，F，T三点共线 D．Q，O，T三点共线
【分析】由题意得抛物线准线l：x＝﹣1，设Q坐标为（﹣1，m），由QS|＝2|SF|且Q，S，F共线（S
在Q和F之间），结合抛物线方程，可得，，进而可得，利用角平分线性质结合抛物线方程求得，根
第8页（共16页）据PQ方程为可判定A；由抛物线定义，可得|PF|，从而判定B；根据直线斜率相等且过同一点可判定
CD．
【解答】解：由抛物线E：y2＝2px的焦点F（1，0），得p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，
设Q在准线l上，坐标为（﹣1，m），
由QS|＝2|SF|且Q，S，F共线（S在Q和F之间），
利用定比分点公式得，
因S在抛物线上，代入得，解得，
故，，
角平分线FQ的斜率为，方程为，
利用角平分线性质（角平分线上点到两边距离相等），
取Q到FO（y＝0）的距离，设FP方程为y＝k（x﹣1）（k＞0），
由点到直线距离公式得，解得，
故FP方程为，联立抛物线得，
S关于x轴对称点，
选项A：由，，
可得PQ方程为，又准线l⊥x轴，故PQ⊥l，故A正确；
选项B：由抛物线定义，可得|PF|＝3﹣（﹣1）＝4≠2，故B错误；
选项C：由，，两直线斜率相等且都过点F，
可得P，F，T共线，故C正确；
选项D：由，两直线斜率相等且都过点O，
可得Q，O，T共线，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）展开式中x2项的系数为 ﹣ 4 0 ．
【分析】把二项展开，只有﹣40x与x相乘得到x2项，由此即可得到本题答案．
【解答】解：因为，
所以展开式中x2项的系数为1×（﹣40）＝﹣40．
故答案为：﹣40．
13．（5分）在三棱锥ABCD中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为 ，内切球表面积为
． π
第9页（共16页）【分析】将三棱锥A﹣BCD补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥A﹣BCD
的外接球半径，计算出A﹣BCD的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用
球体的体积和表面积公式可求得结果．
【解答】解：因为三棱锥A﹣BCD每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥A﹣BCD放入长方体中，
设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，如下图所示：
则2，，，解得x＝y＝2，z＝1，
外接球直径2R3，其半径为R，
三棱锥A﹣BCD的体积V＝xyz，
在△ABC中，AC＝BC，AB＝2，取AB的中点E，连接CE，如下图所示：
则CE⊥AB，且CE，所以S△ABC ，
因为三棱锥A﹣BCD的每个面的三边分别为、、2，
所以三棱锥A﹣BCD的表面积为S＝4S△ABC ＝4，
设三棱锥A﹣BCD的内切球半径为r，则V，可得r，
所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为4 r2．
故答案为：；． π
14．（5分）在四边形ABCD中，已知A（﹣1，0），B（2，0），∠ABC＝2∠BAC，|DB|＝2|DA|，若
C，D两点关于y轴对称，则|CD|＝ 3 ．
【分析】由于∠ABC＝2∠BAC，可得k 与k 的关系，再结合条件，|DB|＝2|DA|，若C，D两点关于
AC BC
y轴对称，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝2∠BAC，
∴tan∠ABC＝tan2∠BAC，，
第10页（共16页）当点C在x轴上方时，tan∠BAC＝k ，tan∠ABC＝﹣k ，
AC BC
故有，
当点C在x轴下方时，tan∠BAC＝﹣k ，tan∠ABC＝k ，
AC BC
故有，
两者都有，
∴，
设C点的坐标为（x，y），
又∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴，化简得，
∴△ABC的顶点C的轨迹方程为，
由|DB|＝2|DA|，设，
得点D的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4（y≠0），把圆（x+2）2+y2＝4（y≠0）沿y轴翻折，得到圆的方
程为（x﹣2）2+y2＝4（y≠0），
翻折后圆的方程与联立，
解得，
∴|CD|＝3，
故答案为：3．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2﹣a2＝ac
（1）求证：B＝2A；
（2）若△ABC是锐角三角形，求的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到a＝c﹣2acosB，再利用正弦定理将边化角得
到sinA＝sinC﹣2sinAcosB，即可得到sinA＝sin（B﹣A），从而得证；
（2）由（1）可知C＝ ﹣3A，再根据三角形为锐角三角形，得到角A的取值范围，则，即可求出的取
值范围． π
【解答】解：（1）证明：由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
代入b2﹣a2＝ac得ac＝c2﹣2accosB，则a＝c﹣2acosB，
由正弦定理得sinA＝sinC﹣2sinAcosB，
所以sinA＝sin（A+B）﹣2sinAcosB，
所以sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣2sinAcosB＝cosAsinB﹣sinAcosB，
得sinA＝sin（B﹣A）
第11页（共16页）由b2﹣a2＝ac＞0知b＞a，故B＞A，
所以A＝B﹣A或A+（B﹣A）＝ （舍去），
所以B＝2A； π
（2）C＝ ﹣3A，由得，
所以， π
，
，
由，得，1＜4sin2A＜2，
所以1＜3﹣4sin2A＜2，
所以，即．
16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，底面ABC是边长为2的正三角形，A B＝AB，，D为AC的
1 1 1 1
中点．
（1）求证：A B⊥平面ABC；
1
（2）求直线A D与平面ABC 所成角的正弦值．
1 1
【分析】（1）利用勾股定理证出A B⊥AB，A B⊥BC，即可得证；
1 1
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线A D与平面ABC 所成角的正弦值．
1 1
【解答】解：（1）证明：因为A B＝AB＝2，，
1
所以，即A B⊥AB，
1
又底面ABC是边长为2的正三角形，
所以BC＝2，所以，
即A B⊥BC，又因为AB∩BC＝B，且AB，BC 平面ABC，
1
所以A 1 B⊥平面ABC； ⊂
（2）以B为原点，直线BA为x轴，在平面ABC内过点B与AB垂直的直线为y轴，直线BA为z轴建
立空间直角坐标系，如图所示，
第12页（共16页）由（1）知，，
则B（0，0，0），A（2，0，0），A （0，0，2），，，
1
所以，，，，
所以．
设平面ABC的法向量为，
则有，得，
取，得，
设直线A D与平面ABC 所成角为 ．
1 1
则， θ
所以直线A D与平面ABC 所成角的正弦值为．
1 1
17．（15分）进行独立重复试验，设每次成功的概率为p（0＜p＜1），则失败的概率为1﹣p，将试验进
行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负
二项分布，记为X～NB（r，p）．
（1）若X～NB（3，），求P（X＝5）；
（2）若X～NB（2，），n N*，n≥2．
①求P（X＝i）； ∈
②要使得在n次内结束试验的概率不小于，求n的最小值．
【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得；
（2）①依题意可得，再利用裂项相消法求和即可；
②由①可知，即，令（n≥2），判断a 的单调性，再由特殊值即可求出n的取值范围，即可得解．
n
【解答】解：（1）因为，所以；
（2）①因为，
所以，
所以
第13页（共16页）；
②由①可知，所以，
令，则，
所以单调递减，又，
所以当n≥5时，则n的最小值为5．
18．（17分）设双曲线的右焦点为F（3，0），F到其中一条渐近线的距离为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M．
（i）求的值；
（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，记，求实数 的值．
【分析】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和a2+b2＝c2，即可λ求得本题答案；
（2）（i）设AB直线方程为x＝my+3，A（x ，y ），B（x ，y ），得，直线方程与双曲线方程联立消
1 1 2 2
x，然后由韦达定理得，，把逐步化简，即可求得本题答案；
（ii）把QM和OB的直线方程分别求出，联立可得到点P的坐标，由此即可得到本题答案．
【解答】解：（1）因为双曲线其中一条渐近线方程为bx+ay＝0，又点F（3，0）到它的距离为2，
所以，又c＝3，得b＝2，
又因为a2+b2＝c2，所以a2＝5，
所以双曲线C的方程为；
（2）设AB直线方程为x＝my+3，则，
代入双曲线方程整理得：（4m2﹣5）y2+24my+16＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），则，，
1 1 2 2
（i，
而（y y ﹣y y ）﹣（y y ﹣y y ）＝2y y ﹣y （y +y ）
1 2 1 M 2 M 2 1 1 2 M 1 2
，
所以y y ﹣y y ＝y y ﹣y y ，则|y y ﹣y y |＝|y y ﹣y y |，
1 2 1 M 2 M 2 1 1 2 1 M 2 M 2 1
所以；
（ii）过M平行于OA的直线方程为，
直线OB方程为与联立，
得，
即，
则，
所以，
第14页（共16页）由，两式相除得，
，则，
所以，
因为y ＝0，所以，
Q
故P为线段MQ的中点，
综上所述，2，因此 ＝﹣2．
19．（17分）设，x R，λ a R．已知函数y＝f（x）﹣x2在x＝0处的切线方程为y＝x．
（1）求a，b的值∈； ∈
（2）当x [0，1]时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例．
（3）证明∈：若正实数x
0
满足，n N*，则必有．
【分析】（1）利用导数的几何意∈义导数值等于切线的斜率即可求解．
（2）x [0，1]时，将不等式恒成立，转化为恒成立，构造函数和 h（x）＝x+2+（x﹣2）ex分别证明不
等式两∈侧恒成立即可．
（3）利用（2）的结论当x [0，1]时，不等式恒成立，则当x [0，1]时，由f（x）≥x2+x可证明，再
由可证明所以即可求解． ∈ ∈
【解答】解：（1）y＝f（x）﹣x2，
则y′，
所以当x＝0时，y，y′，
则y＝f（x）﹣x2在x＝0处的切线方程为：
与y＝x对照，
可得，，
所以a＝1，b＝﹣1；
（2）由（1）知，
结论：当x [0，1]时，不等式恒成立，
证明：由，∈
推得，x [0，1]．
设，则g∈′（x）＝ex﹣x﹣1，
令 （x）＝ex﹣x﹣1，当x [0，1]时， ′（x）＝ex﹣1≥0，
所以φ （x）在[﹣2，﹣1]，∈[0，1]上单调φ递增，又 （0）＝0，
故 （φx）＝ex﹣x﹣1≥ （0）＝0，所以g′（x）φ＝ex﹣x﹣1≥0．
所以φ在[﹣2，﹣1]，[0，φ1]上单调递增，又g（0）＝0，
第15页（共16页），
所以，
而，
设h（x）＝x+2+（x﹣2）ex，x [0，1]，
则h′（x）＝1+（x﹣1）ex，令∈m（x）＝1+（x﹣1）ex，
m′（x）＝xex≥0，
所以m（x）＝1+（x﹣1）ex在[﹣2，﹣1]，[0，1]上递增，又m（x）≥m（0）＝0，
即h′（x）＝1+（x﹣1）ex≥0，
所以h（x）＝x+2+（x﹣2）ex在[﹣2，﹣1]，[0，1]上递增，又h（0）＝0，
所以h（x）≥h（0）＝0，即，
所以，x [0，1]，
（3）证∈明：因为[0，+∞）上递增，
故当时，必有x [0，1]，
0
由（2）知当x [∈0，1]时，f（x）≥x2+x，
所以， ∈
当时，有，即，
设，对称轴，
欲证，只需证，
即证，
即证（n+4）（n+1）≥（n+2）2，即证n≥0，成立，所以，
又由（2）知，
所以，
当时，有，即，
设，p（x ）在[﹣2，﹣1]，[0，1]递增，
0
欲证，只需证，
即证，
即证，
即证，即证：，
即证n（2n+1）≤2（n+1）2，即证0≤3n+2 成立，所以．
综上，，n N*．
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