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2025-2026 学年浙江省杭州高级中学高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|3x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，2}
2．（5分）已知复数z1 ＝1﹣2i，z2 ＝1+i，则复数z1z2 的模|z1z2|等于（ ）
A． B． C． D．
5 10 2 5 5 2
3．（5分）已知向量 ， 满足 ， ， ， ，则 （ ）
→ → → → → → → →
A． B． | |= 1 | |=3 C ．− =(3 1) |3 D ．− |=
4．（5分2）2函数y＝8（x﹣2）2l1n5|x|的图象是（ ）3 2 2 5
A． B．
C． D．
5．（5分）记Tn 为数列{an}的前n项积，已知 ，则T10 ＝（ ）
1 1
A．8 B．9 C +． 1 0 = 1 D．11
6．（5分）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从A，B，C，D，E这5种菜中任意选用2种，则A菜有2
人选用、B菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54 B．81 C．135 D．162
7．（5分）过B1 （0，﹣1）作直线l交圆x2+y2＝1于另一点E，连结B2 （0，1）和E的直线交椭圆
2
2
于另一点F，设直线B1E、B1F的斜率分别为k1 、k2 ，则（ ）
2
+ = 1
A．k1 ＝2k2 B．k1 ＝2 k2 C．k1 ＝3k2 D．k1 ＝4k2
3
第1页（共20页）8．（5分）若函数y＝f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，f（4﹣x）+f（x）＝4，设f（x）的导函数为f′（x），
当x [0，1]时，f（x）＝x2，则 （ ）
10
1
A．∈ 65 B．70 =1 [ ( )+′ C ．( 7 + 5 2 )]= D．80
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列关于统计的知识，说法正确的是（ ）
A．若数据x1 ，x2 ，x3 ，…，xn 的方差为0，则所有的xi （i＝1，2，3，…，n）都相等
B．已知样本数据x1 ，x2 ，x3 ，…，xn （n≥5），去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小
于原样本的中位数
C．数据﹣2，﹣1，3，7，8，9，10，11的第70百分位数是8.5
D．若一组样本数据（xi ，yi ）（i＝1，2，3，…，n）的对应样本点都在直线y＝﹣0.5x+1上，则这组样
本数据的相关系数为﹣1
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝cos（2x+ ）（0＜ ＜ ）的图像关于 对称，则（ ）
2
φ φ π =
A．f（x）在（0， 上单调递减 3
5
)
B．f（x）在 1，2 上有两个极值点
11
(− )
C．直线 是12 y＝f（12 x）的对称轴
7
=
D．直线 6 是y＝f（x）的切线
1
（多选）11． （= 6 −分3） 在− 2xOy平面上，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），准线为l，点P在
曲线E上且位于第一象限，设∠PFO的角平分线交l于点Q，交E于点S．已知|QS|＝2|SF|，点S关于
x轴的对称点为T，则以下说法正确的有（ ）
A．PQ⊥l B．|PF|＝2
C．P，F，T三点共线 D．Q，O，T三点共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分） 展开式中x2项的系数为 ．
2 5
13．（5分）在(1三+棱 )锥( A − BC ) D中，对棱 ， ， ，则该三棱锥的外
接球体积为 ，=内 切=球2表2面积 为 = = 5 = = ．5
14．（5分）在四边形ABCD中，已知A（﹣1，0），B（2，0），∠ABC＝2∠BAC，|DB|＝2|DA|，若C，D
第2页（共20页）两点关于y轴对称，则|CD|＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2﹣a2＝ac
（1）求证：B＝2A；
（2）若△ABC是锐角三角形，求 的取值范围．
16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C 1 中，底面ABC是边长为2的正三角形，A1B＝AB， ，
D为AC的中点． 1 = 1 =2 2
（1）求证：A1B⊥平面ABC；
（2）求直线A1D与平面ABC1 所成角的正弦值．
17．（15分）进行独立重复试验，设每次成功的概率为p（0＜p＜1），则失败的概率为1﹣p，将试验进行
到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二
项分布，记为X～NB（r，p）．
（1）若X～NB（3， ），求P（X＝5）；
1
（2）若X～NB（2，3），n N*，n≥2．
1
①求 P（X＝i）；
2
∈
=2
②要使得在n次内结束试验的概率不小于 ，求n的最小值．
3
18．（17分）设双曲线 ： 的右焦4点为F（3，0），F到其中一条渐近线的距离为2．
2 2
（1）求双曲线C的 方程
；2−
2 =1
（2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 于点M．
5
=
（i）求 的值； 3
| |⋅| |
（ii）过| M 平|⋅| 行 于| OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，记 ，求实数 的值．
→ →
= λ
19．（17分）设 ，x R，a R．已知函数y＝f（x）﹣x2在x＝0处的切线方程为y＝x．
1 2
( )= + + ∈ ∈
2
第3页（共20页）（1）求a，b的值；
（2）当x [0，1]时，不等式 是否恒成立，若是，给予证明；若否，给
2 4 1 2
出反例．∈ + ≤ ( )≤−2+
2−
+
2
（3）证明：若正实数x0 满足 ，n N*，则必有 ．
1 2 1 2
≤ ( 0) ≤ ∈ ≤ 0 ≤
+1 +1 +2
第4页（共20页）2025-2026 学年浙江省杭州高级中学高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B D C A A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AD BCD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|3x＜1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，2}
【分析】先化简集合B，然后利用交集的定义进行求解即可．
【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，1，2}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，
故A∩B＝{﹣2，﹣1}．
故选：A．
2．（5分）已知复数z1 ＝1﹣2i，z2 ＝1+i，则复数z1z2 的模|z1z2|等于（ ）
A． B． C． D．
【分析5】根据给定条件，利1用0复数乘法运算求出z2 1z2 5，再求出其模作答．5 2
【解答】解：复数z1 ＝1﹣2i，z2 ＝1+i，则z1z2 ＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i，
所以 ．
2 2
故选：| 1B ．2|= 3 +(−1) = 10
3．（5分）已知向量 ， 满足 ， ， ， ，则 （ ）
→ → → → → → → →
A． B． | |= 1 | |=3 C ．− =(3 1) |3 D ．− |=
2 2 15 3 2 2 5
【分析】根据向量模的公式得 ，再求模即可．
→ →
⋅ =0
【解答】解：因为 ， ， ， ，
→ → → →
| |=1 | |= 3 − =(3 1)
第5页（共20页）所以 ，
→ → → → → → → → → →
2 2 2 2
( − ) =| − | = + −2 ⋅ =1+9−2 ⋅ =10
所以 ，
→ →
⋅ =0
又 ，
→ → → → → →
2 2 2
|3 − | =9 + −6 ⋅ =18
所以 ．
→ →
故选：|3 C．− |= 3 2
4．（5分）函数y＝8（x﹣2）2ln|x|的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据f（x）的零点情况和取值情况，可得f（x）的大致图象．
【解答】解：由已知，f（2）＝f（1）＝f（﹣1）＝0，所以排除AD，
又x＞2时，f（x）＞0，故排除C．
故选：B．
5．（5分）记Tn 为数列{an}的前n项积，已知 ，则T10 ＝（ ）
1 1
A．8 B．9 C +． 1 0 = 1 D．11
【分析】当n＝1时，有T1 ＝a1 ，当n≥2时，有 ，从而化归转化可得：{Tn}是以首项为2，
公差为1的等差数列，从而可得解． −1 =
【解答】解：当n＝1时， ，∵T1 ＝a1 ，∴a1 ＝2；
1 1
+ = 1
当n≥2时，由 ，1 可 得1 ，
1 1
+ = 1 =
∴ ， −1
=
−1 −1 第6页（共20页）∴Tn﹣1 ＝Tn ﹣1，
∴Tn ﹣Tn﹣1 ＝1，（n≥2），又T1 ＝a1 ＝2，
∴{Tn}是以首项为2，公差为1的等差数列，
∴T10 ＝2+（10﹣1）×1＝11，
故选：D．
6．（5分）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从A，B，C，D，E这5种菜中任意选用2种，则A菜有2
人选用、B菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54 B．81 C．135 D．162
【分析】先选出选择A菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解
即可．
【解答】解：A菜有2人选用有 种，比如甲、乙选用了A菜，
2
①甲、乙之中有1人选用了B菜 ，3 有 种，比如甲用了B菜，则乙从C，D，E中任意选用1种，有
1 1
种，丙从C，D，E中任意选用2种， 有2 种，故共有 ； 3
2 2 1 1 2
②丙选用了B菜，丙再从C，D，E中任 意3 选用1种， 3有 2 3种 ，3 =甲5、4乙再从C，D，E中各任意选用1
1
种，有 种，故共有 ； 3
1 1 2 1 1 1
由①② 3可 3知所有情形是 35 43+ 831 ＝3 =1385．1
故选：C．
7．（5分）过B1 （0，﹣1）作直线l交圆x2+y2＝1于另一点E，连结B2 （0，1）和E的直线交椭圆
2
2
于另一点F，设直线B1E、B1F的斜率分别为k1 、k2 ，则（ ）
2
+ = 1
A．k1 ＝2k2 B．k1 ＝2 k2 C．k1 ＝3k2 D．k1 ＝4k2
【分析】直线B1E的斜率为k1 ，则3 B2E的斜率为 ，写出B2E所在直线方程，与椭圆方程联立，求
1
−
得F的坐标，可得B1F的斜率k2 ，则答案可求． 1
【解答】解：直线B1E的斜率为k1 ，则B2E的斜率为 ，
1
−
可得B2E所在直线方程为 ， 1
1
=− +1
1
联立 ，得 ，
1
=− 1 +1 2 2
2 ( 1 +2) −4 1 =0
2
+ =1
2
可得 ，代入 ，得 ，即F（ ， ），
2 2
4 1 1 1 −2 4 1 1 −2
= 2 =− +1 = 2 2 2
1 +2 1 1 +2 1 +2 1 +2
第7页（共20页）2
则k2 1 −2 ，可得k1 ＝2k2 ．
2 +1 2
+2
1 2 1 1
= 4 = =
1 4 1 2
2
故选：A． 1 +2
8．（5分）若函数y＝f（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，f（4﹣x）+f（x）＝4，设f（x）的导函数为f′（x），
当x [0，1]时，f（x）＝x2，则 （ ）
10
1
A．∈ 65 B．70 =1 [ ( )+′ C ．( 7 + 5 2 )]= D．80
【分析】由题意可知函数关于点（1，1），（2，2）成中心对称，进而得到f（x）为向上攀爬的类周期函
数，且f（k）＝k（k N*），再根据函数的周期性和对称性求解即可．
【解答】解：由f（2∈﹣x）+f（x）＝2，f（4﹣x）+f（x）＝4，
可得函数关于点（1，1），（2，2）成中心对称，且f（1）＝1，f（2）＝2，如图，
f（x）为向上攀爬的类周期函数，且f（k）＝k（k N*），
∵当x [0，1]时，f（x）＝x2， ∈
∈
∴f'（x）＝2x，∴f'（ ）＝1，
1
由图象可知，f'（k 2）＝f'（ ）＝1，k N*，
1 1
+ ∈
所以 2 2 ．
10
1
故选： A ．=1 [ ( )+′ ( + 2 )]=(1+2+⋯+10)+10=65
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列关于统计的知识，说法正确的是（ ）
A．若数据x1 ，x2 ，x3 ，…，xn 的方差为0，则所有的xi （i＝1，2，3，…，n）都相等
第8页（共20页）B．已知样本数据x1 ，x2 ，x3 ，…，xn （n≥5），去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小
于原样本的中位数
C．数据﹣2，﹣1，3，7，8，9，10，11的第70百分位数是8.5
D．若一组样本数据（xi ，yi ）（i＝1，2，3，…，n）的对应样本点都在直线y＝﹣0.5x+1上，则这组样
本数据的相关系数为﹣1
【分析】由方差的计算公式判断A；由中位数的定义判断B；由百分位数的定义判断C；由样本相关系
数判断D．
【解答】解：选项A，根据方差的计算公式 （其中 为平均数），
2 1 2
若方差s2＝0，即 ，则 = ， =即1 ( −， )因此所有 的xi （i＝1，2，3，…，n）都
2
相等，所以A正确 ； =1 ( − ) =0 − =0 =
选项B，假设一组数据样本1，2，3，4，5，6，7，8，9，其中位数为5，去掉其中的一个最小数和一
个最大数后，
数据样本为2，3，4，5，6，7，8，其中位数仍为5，所以B错误；
选项C，因为8×0.7＝5.6，所以数据的第70百分位数是9，故C错误；
选项D，这组数据负相关，所以样本数据的相关系数为﹣1，故D正确．
故选：AD．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝cos（2x+ ）（0＜ ＜ ）的图像关于 对称，则（ ）
2
φ φ π =
A．f（x）在（0， 上单调递减 3
5
)
B．f（x）在 1，2 上有两个极值点
11
(− )
C．直线 是12 y＝f（12 x）的对称轴
7
=
D．直线 6 是y＝f（x）的切线
1
=− 3 −
【分析】根据f（x）的2图象关于 对称，结合余弦曲线的对称性求得 ，可得f（x）的解析式，利
2
用余弦函数的单调性判断出A项 的=正3误；根据函数极值点的概念，利用余φ弦函数的性质判断B项的正
误；利用余弦曲线的对称性判断出C项的正误；根据导数的几何意义求解f（x）图象的切线方程，可
判断出D项的正误．
【解答】解：因为f（x）的图象关于 对称，所以 ，k Z，
2 2
= 2× + = ∈
结合0＜ ＜ ，取k＝2得 ，所以 3 3，
2 2
φ π = ( )= (2 + )
3 第9页（共20页）3当 ， 时， ， ，
5 2 2 3
∈ (0 ) 2 + ∈( )
结合余弦函1数2的性质，可知3 f（x 3）在（2 0， 上不单调，故A不正确；
5
)
当 ， 时， ， 12，
11 2 5
结合 ∈余(弦−函12数的性12质)，可2知 + f（3x）∈有(两2 个极2值) 点，故B正确；
根据 ，可知直线 是y＝f（x）的对称轴，故C正确；
7 7
( )= 3 =−1 =
求导数得6 ， 6
2
′ ( )=−2 (2 + )
3
令 ，即 ，
2 2 3
−2 (2 + )=− 3 (2 + )=
可得 3 或 3 ，2 ，
2 2 2
2 + =2 + 2 + =2 + ∈
解得x＝k 或3 3 ， 3 3
π =− +
6
结合 ，所以x＝0时的切线方程为 ，
1 1
(0)=− + =− 3( −0)
即 2 ，可知直线 是f（x 2）图象的切线，故D正确．
1 1
故选 =：− BC 3 D ．− 2 =− 3 − 2
（多选）11．（6分）在xOy平面上，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），准线为l，点P在
曲线E上且位于第一象限，设∠PFO的角平分线交l于点Q，交E于点S．已知|QS|＝2|SF|，点S关于
x轴的对称点为T，则以下说法正确的有（ ）
A．PQ⊥l B．|PF|＝2
C．P，F，T三点共线 D．Q，O，T三点共线
【分析】由题意得抛物线准线l：x＝﹣1，设Q坐标为（﹣1，m），由QS|＝2|SF|且Q，S，F共线（S
在Q和F之间），结合抛物线方程，可得 ， ， ， ，进而可得 ， ，利用
1 2 3 1 2 3
角平分线性质结合抛物线方程求得 ， (−，1根据2 P 3 Q ) 方 程( 3为 3 ) 可判定A； 由( 3抛物−线定3 义)，可得
|PF|，从而判定B；根据直线斜率相 等(3且过2 同3)一点可判定CD． =2 3
【解答】解：由抛物线E：y2＝2px的焦点F（1，0），得p＝2，
故抛物线方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，
设Q在准线l上，坐标为（﹣1，m），
由QS|＝2|SF|且Q，S，F共线（S在Q和F之间），
利用定比分点公式得 ， ，
2 + 1
= =( )
3 3 3 第10页（共20页）因S在抛物线上，代入得 ，解得 ，
2 1
( ) =4⋅ =2 3
3 3
故 ， ， ， ，
1 2 3
(−1 2 3) ( )
3 3
角平分线FQ的斜率为 ，方程为 ，
2 3−0
利用角平分线性质（角平分线上=−点到3两边距离相 等=−），3( −1)
−1−1
取Q到FO（y＝0）的距离 ，设FP方程为y＝k（x﹣1）（k＞0），
2 3
由点到直线距离公式得 ，解得 ，
2( + 3)
故FP方程为 2，联立=抛2物3线得 ，= 3 ，
+1
= 3( −1) (3 2 3)
S关于x轴对称点 ， ，
1 2 3
选项A：由 ， ( 3，− 3 ，) ，
可得PQ方程 (为3 2 3) ， (又−准1线2l⊥3x)轴，故PQ⊥l，故A正确；
选项B：由抛物 线=定2义，3 可得|PF|＝3﹣（﹣1）＝4≠2，故B错误；
选项C：由 ， ，两直线斜率相等且都过点F，
可得P，F， T 共=线，3 故 C 正=确3；
选项D：由 ， ，两直线斜率相等且都过点O，
可得Q，O， T 共=线−，2 故3 D 正 确=．−2 3
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分） 展开式中x2项的系数为 ﹣40 ．
2 5
(1+ )( − )
【分析】把 二项展开，只有﹣40x与x相乘得到x2项，由此即可得到本题答案．
2 5
( − )
【解答】解： 因为 ，
2 5 32 80 80 3 5
所以展开式中x2项 ( 的 1+ 系 数 )( 为 − 1× ) （﹣ = 4 (1 0） + ＝ ) ﹣ ( 4 5 0． − 3 + −40 +10 − )
故答案为：﹣40．
13．（5分）在三棱锥ABCD中，对棱 ， ， ，则该三棱锥的外
= =2 2 = = 5 = = 5
接球体积为 ，内切球表面积为 ．
9 2
【分析】将三棱
2
π锥A﹣BCD补成长方体，计
3
算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥A﹣BCD
的外接球半径，计算出A﹣BCD的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用
第11页（共20页）球体的体积和表面积公式可求得结果．
【解答】解：因为三棱锥A﹣BCD每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥A﹣BCD放入长方体中，
设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，如下图所示：
则 2 ， ， ，解得x＝y＝2，z＝1，
2 2 2 2 2 2
外接 球+直 径= 2R 2 + = 5 3，其 半+径 为= R 5，
2 2 2 3
= + + = =
三棱锥A﹣BCD的体积V＝xyz 2 ，
1 1 4
在△ABC中，AC＝BC ，A − B＝6 2 ×，4取= A3B 的 中=点3E，连接CE，如下图所示：
= 5 2
则CE⊥AB，且CE ，所以S
△ABC
，
2 2 1
因为三棱锥A﹣BCD =的 每 个−面 的 三=边分3别为 、 、= 22 ，⋅ = 6
所以三棱锥A﹣BCD的表面积为S＝4S
△ABC
＝54 ，5 2
6
设三棱锥A﹣BCD的内切球半径为r，则V ，可得r ，
1 3 4 6
= = = =
所以该三棱锥的外接球体积为 ，内3切球表面积为 4 r24 6 ．6
4 3 9 2
= π =
故答案为： ； ． 3 2 3
9 2
14．（5分）在四
2
边形
3
ABCD中，已知A（﹣1，0），B（2，0），∠ABC＝2∠BAC，|DB|＝2|DA|，若C，D
两点关于y轴对称，则|CD|＝ 3 ．
【分析】由于∠ABC＝2∠BAC，可得kAC 与kBC 的关系，再结合条件，|DB|＝2|DA|，若C，D两点关于
y轴对称，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝2∠BAC，
∴tan∠ABC＝tan2∠BAC， ，
2 ∠
∠ = 2
1−第 1 2页∠（ 共 20页）当点C在x轴上方时，tan∠BAC＝kAC ，tan∠ABC＝﹣kBC ，
故有 ，
2
− = 2
当点C在x轴1下− 方 时，tan∠BAC＝﹣kAC ，tan∠ABC＝kBC ，
故有 ，
−2
= 2
两者都有 1− ，
2
+ 2 =0
∴ 1− ，
2
设 C 点(1的−坐 标 )为+（2x ， y=），0
又∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴ ，化简得 ，
2 2
2
⋅ (1 − 2)+ 2 ⋅ = 0 − =1
∴△ −A2BC的顶(点 +C1)的轨迹方程 +为1 ＞ ，3
2
2
由|DB|＝2|DA|，设 ， ， − 3 =1( 1) ，
2 2 2 2
得点D的轨迹方程 为( （x +)2）2+(y 2＝−42（) y+≠ 0），=把2 圆( （+x+12)）+2+ y2＝4（y≠0）沿y轴翻折，得到圆的方程
为（x﹣2）2+y2＝4（y≠0），
翻折后圆的方程与 ＞ 联立，
2
2
− =1( 1)
解得 ， 3
3
∴|CD |＝= 32，
故答案为：3．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2﹣a2＝ac
（1）求证：B＝2A；
（2）若△ABC是锐角三角形，求 的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理将角化边
，再结合余弦定理得到a＝c﹣2acosB，再利用正弦定理将边化角得
到sinA＝sinC﹣2sinAcosB，即可得到sinA＝sin（B﹣A），从而得证；
（2）由（1）可知C＝ ﹣3A，再根据三角形为锐角三角形，得到角A的取值范围，则 ，
1
π = 2
即可求出 的取值范围． 3−4
【解答】解
：（1）证明：由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
第13页（共20页）代入b2﹣a2＝ac得ac＝c2﹣2accosB，则a＝c﹣2acosB，
由正弦定理得sinA＝sinC﹣2sinAcosB，
所以sinA＝sin（A+B）﹣2sinAcosB，
所以sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣2sinAcosB＝cosAsinB﹣sinAcosB，
得sinA＝sin（B﹣A）
由b2﹣a2＝ac＞0知b＞a，故B＞A，
所以A＝B﹣A或A+（B﹣A）＝ （舍去），
所以B＝2A； π
（2）C＝ ﹣3A，由 ＜ ＜ ，＜ ＜ ，＜ ＜ 得 ＜ ＜ ，
π 0 0 2 0 −3
2 2 2 6 4
所以 ＜ ＜ ，
1 2
2 2 ，
= = = = =
( −3 ) 3 ( +2 ) 2 + 2
= 2 = 2
(2 −1)+2 − +4 ，
1
= 2 = 3 = 2
− +4(1− ) 3 −4 3−4
由 ＜ ＜ ，得 ＜ ＜ ，1＜4sin2A＜2，
1 2 1 2 1
所以1 ＜ 3 ﹣4sin2A＜2，
2 2 4 2
所以 ， ，即 ， ．
1 1 1
16．（153 分 − ） 4 如 图2 ，三∈棱( 2 柱A 1 B ) C﹣A 1B ∈ 1C ( 12 中，底1)面ABC是边长为2的正三角形，A1B＝AB， ，
D为AC的中点． 1 = 1 =2 2
（1）求证：A1B⊥平面ABC；
（2）求直线A1D与平面ABC1 所成角的正弦值．
【分析】（1）利用勾股定理证出A1B⊥AB，A1B⊥BC，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线A1D与平面ABC1 所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：因为A1B＝AB＝2， ，
第14 页 1 （=共 20 1 页 ）=2 2所以 ，即A1B⊥AB，
2 2 2
又底面 1 AB+C 是 边=长 为1 2的正三角形，
所以BC＝2，所以 ，
2 2 2
即A1B⊥BC，又因 为1 AB+∩ B C＝=B ，1 且AB，BC 平面ABC，
所以A1B⊥平面ABC； ⊂
（2）以B为原点，直线BA为x轴，在平面ABC内过点B与AB垂直的直线为y轴，直线BA为z轴建
立空间直角坐标系，如图所示，
由（1）知 ， ，
3 2 2 2 2
= = 3 1 = 1 − = (2 2) −2 =2
则B（0，0，0），2 A（2，0，0），A1 （0，0，2）， ， ， ， ， ， ，
3 3
(1 3 0) ( 0)
所以 ，， ， ，， ， ， ， ， 2 2 ， ， ，
→ → → →
3 3
=(2 0 0) 1=(0 0 2) =(−1 3 0) 1 =( −2)
所以 ， ， ． 2 2
→ → → → →
1= 1+ 1 1= 1+ =(−1 3 2)
设平面ABC的法向量为 ，， ，
→
=( )
则有 ，得 ，
→ →
→ ⋅ → =0 2 =0
⋅ 1=0 − + 3 +2 =0
取 ，得 ， ， ，
→
设 直=线3 A1D与 平=面(0 AB − C1 2所成3角)为 ．
θ
则 ＜， ＞ ，
→ → → → 3 3
| ⋅ 1 | |0×2−2×2+ 3×(−2)| 3 3
| =| 1 |= → → = 2 2 2 3 2 3 2 2 = 7
| || 1 | 0 +(−2) +( 3) (2) +(2) +(−2)
所以直线A1D与平面ABC1 所成角的正弦值为 ．
3 3
17．（15分）进行独立重复试验，设每次成功的概率为p（0＜p＜1），则失败的概率为1﹣p，将试验进行
7
到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二
第15页（共20页）项分布，记为X～NB（r，p）．
（1）若X～NB（3， ），求P（X＝5）；
1
（2）若X～NB（2，3），n N*，n≥2．
1
①求 P（X＝i）；
2
∈
=2
②要使得在n次内结束试验的概率不小于 ，求n的最小值．
3
【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式
4
计算可得；
（2）①依题意可得 ，再利用裂项相消法求和即可；
1 1
( = )= −1( )( ≥ 2)
②由①可知 ，即 2，令 （n≥2），判断an 的单调性，再由特殊值即可求出
+1 3 +1 1 +1
n的取值范围，1−即可2 得≥解4．
2
≤
4
=
2
【解答】解：（1）因为 ～ ， ，所以 ；
1 2 1 2 1 2 1 8
(3 ) ( =5)= 4( ) ×(1− ) × =
（2）①因为 ～ ， ， 3， ， 3 3 3 81
1 ∗
(2 ) ∈ ≥2
所以 ，2 ，
1 1
( = )= −1( ) ( ≥2)
所以 2
1 1 −1 +1
=2 ( = )= =2 −1( ) = =2 = =2 ( −1− )
2 2 2 ；2
2 2+1 3 3+1 4 4+1 +1 +1
= 1− 2 + 2− 3 + 3− 4 +⋯+ −1− =1−
②
2由① 2可知 2 2 2，所以2 ，2 2 2
+1 3 +1 1
1− ≥ ≤
令 2，则4 2 4 ＜，
+1 +2 +1
= ( ≥2) +1− = +1− =− +1 0
所以 2 单调递减，又 ＞2 ， 2 ＜2，
+1 5 1 3 1
= 4 = 5 =
所以当n≥2 5时 ，则n的最16小值4为5． 16 5
+1 1
≤
18．（17分）设双曲2线 ：4 的右焦点为F（3，0），F到其中一条渐近线的距离为2．
2 2
（1）求双曲线C的 方程
；2−
2 =1
（2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线 于点M．
5
=
（i）求 的值； 3
| |⋅| |
（ii）过| M 平|⋅| 行 于| OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，记 ，求实数 的值．
→ →
【分析】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和a2+b2＝ c2， =即 可 求 得本题答λ案；
第16页（共20页）（2）（i）设AB直线方程为x＝my+3，A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），得 ，直线方程与双曲线方程
4
=−
联立消x，然后由韦达定理得 ， ，把 3 逐步化简，即可求得本题
−24 16 | |⋅| |
答案； 1+ 2 = 4 2 −5 1 2 = 4 2 −5 | |⋅| |
（ii）把QM和OB的直线方程分别求出，联立可得到点P的坐标，由此即可得到本题答案．
【解答】解：（1）因为双曲线其中一条渐近线方程为bx+ay＝0，又点F（3，0）到它的距离为2，
所以 ，又c＝3，得b＝2，
3 3
又因为 2 a+ 2+ b 22＝ = c2 ， = 所以 2 a2＝5，
所以双曲线C的方程为 ；
2 2
− = 1
（2）设AB直线方程为5x＝my4+3，则 ，
4
代入双曲线方程整理得：（4m2﹣5）y2 + 24 = m − y+31 6＝0，
设A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），则 ， ，
−24 16
1+ 2 = 2 1 2 = 2
（i 4 ，−5 4 −5
| |⋅| | | 1|⋅| 2− | | 1 2− 1 |
) = =
而（|y 1 y2 |﹣⋅| y 1y| M ）|﹣ （− y2 1y|⋅ M | ﹣2|y2y1 |） 2＝ 2−y1 y2 2 ﹣1|yM （y1+y2 ）
，
32 −24 4
= 2 − 2 ⋅(− )=0
所以4 y1−y52 ﹣y41y M ＝−5y2yM ﹣3y2 y1 ，则|y1y2 ﹣y1yM|＝|y2yM ﹣y2y1|，
所以 ；
| |⋅| |
= 1
（ii）| 过 |M⋅| 平 |行于OA的直线方程为 ，
4 1 5
+ = ( − )
直线OB方程为 与 3 1+3 联立3，
2 4 1 5
= + = ( − )
得 2+3 3， 1+3 3
4 1 2+3 5
+ = ( − )
3 1+3 2 3
即 ，
4 5
2( 1+3) + ( 1+3) 2 = 1( 2+3) − 1 2
则 3 ， 3
4
3( 2− 1) =−3 1 2− 2
所以 ，
4
−3 1 2− 2
=
由 3( 2− 1，) 两式相除得，
−24 16
1+ 2 = 2 1 2 = 2
4 ，则−5 4 −5 ，
1 2 2 2
= 1 2 =− ( 1+ 2)
1+ 2 −3 3
第17页（共20页）所以 ，
4 2 4 2
−3 1 2− 2 ( 1+ 2)− 2 ( 1− 2) 2
= = = =−
因为yQ ＝0，3(所 2以− 1) 3(， 2− 1) 3( 2− 1) 3
+
故P为线段MQ的 中 =点，2
综上所述， 2 ，因此 ＝﹣2．
→ →
=− λ
19．（17分）设 ，x R，a R．已知函数y＝f（x）﹣x2在x＝0处的切线方程为y＝x．
1 2
（1）求a，b (的 )值=； + 2 + ∈ ∈
（2）当x [0，1]时，不等式 是否恒成立，若是，给予证明；若否，给
2 4 1 2
出反例．∈ + ≤ ( )≤−2+
2−
+
2
（3）证明：若正实数x0 满足 ，n N*，则必有 ．
1 2 1 2
【分析】（1）利用导数的几何
意≤义 导( 数 0)值≤等
于
+1
切线∈的斜率即可求
解
+1
．≤ 0 ≤
+2
（2）x [0，1]时，将不等式 恒成立，转化为
2 4 1 2 1 2 4
∈ + ≤ ( )≤−2+ + 1+ + ≤ ≤−1+
恒成立，构造函数 和h（2− x） ＝2 x+2+（x﹣2）ex分别证明不等2 式两侧恒成立即2可− ．
1 2
( )= − − −1
（3）利用（2）的结论当x [0 2，1]时，不等式 恒成立，则当x [0，1]
2 4 1 2
∈ + ≤ ( )≤−2+ + ∈
时，由f（x）≥x2+x可证明 ，再由 可2证− 明所2以 即可求解．
2 4 1 2 1
0 ≤ ( )≤−2+ + 0 ≥
【解答】解：（1）y＝f（x）﹣x2 +2 ， 2− 2 +1
1 2
= − +
则y′ ， 2
= −
所以当x＝ 0时，y ，y′ ，
1 1
则y＝f（x）﹣x2在= x ＝+ 0 处的切=线 方程为：
与y＝x对照，
1 1
= +( + )
可得 ， ，
1 1
所以 a＝= 1 1，b ＝+﹣ 1；= 0
（2）由（1）知 ，
1 2
( )= + −1
结论：当x [0，1]时，不等式2 恒成立，
2 4 1 2
∈ + ≤ ( )≤−2+ +
证明：由 ， 2− 2
2 4 1 2
+ ≤ ( )≤−2+ +
2− 2 第18页（共20页）推得 ，x [0，1]．
1 2 4
1+ + ≤ ≤−1+ ∈
设 2 ，则2 g −′ （x）＝ex﹣x﹣1，
1 2
令 (（ ) x）=＝ e −x﹣2x ﹣− 1， 当−1 x [0，1]时， ′（x）＝ex﹣1≥0，
所以φ （x）在[﹣2，﹣1]，∈[0，1]上单调φ递增，又 （0）＝0，
故 （φx）＝ex﹣x﹣1≥ （0）＝0，所以g′（x）φ＝ex﹣x﹣1≥0．
φ φ
所以 在[﹣2，﹣1]，[0，1]上单调递增，又g（0）＝0，
1 2
( )= − − −1
2 ＞ ，
1 2
( )= − − −1 (0)= 0
所以 2 ，
1 2
≥ + +1
而 2 ，
4
设 h（≤ x −）1＝+ x+2−2+ （⇔ x﹣ 2 +）2 e +x，( x − [0 2，) 1]，≥0
则h′（x）＝1+（x﹣1）ex，令∈m（x）＝1+（x﹣1）ex，
m′（x）＝xex≥0，
所以m（x）＝1+（x﹣1）ex在[﹣2，﹣1]，[0，1]上递增，又m（x）≥m（0）＝0，
即h′（x）＝1+（x﹣1）ex≥0，
所以h（x）＝x+2+（x﹣2）ex在[﹣2，﹣1]，[0，1]上递增，又h（0）＝0，
所以h（x）≥h（0）＝0，即 ，
4
≤−1+
所以 ，x [ 2 0 −， 1]，
1 2 4
1+ + ≤ ≤−1+ ∈
（3）证明：因2为 2− [0，+∞）上递增，
1 2
( )= + −1
故当 时，必有2 x0 [0，1]，
1 2
由（ 2）≤知 当( 0 x ) ≤ [0， +11]时，f（x）≥∈ x2+x，
所以 ∈ ，
2
( 0)≥ 0+ 0
当 时，有 ，即 ，
2 2 2 2 2
( 0)≤ 0+ 0 ≤ 0+ 0− ≤0
设 +1 ，对称 轴+1 ， +1
2 2 1
( 0)= 0+ 0− 0 =−
欲证 ，只需证 +1 2 ，
2 2 2 2 2 2
0 ≤ ( )=( ) + − ≥0
即证 +2 ， +2 +2 +2 +1
2 +4 2
× ≥
+2 +2 +1
第19页（共20页）即证（n+4）（n+1）≥（n+2）2，即证n≥0，成立，所以 ，
2
0 ≤
又由（2）知 ， +2
4 1 2
( )≤−2+ +
所以 2− ，2
4 1 2
( 0)≤−2+ + 0
2− 0 2
当 时，有 ，即 ，
1 1 4 1 2 4 1 2 1
( 0)≥ ≤− 2+ + 0 −2+ + 0− ≥0
设 2−， 0p（2x0 ）在[﹣2，﹣2 1 − ] ，0 [0，2 1]递增 ，
4 1 2 1
( 0)=−2+ + 0−
欲证 ，只2−需 0证 2 ，
1 1 4 1 1 2 1
0 ≥ ( )=−2+ 1 + ( ) − ≤0
即证 +1 +1 ， 2− +1 2 +1
4( +1) 1 1 2 1
−2+ + ( ) − ≤0
2 +1 2 +1
即证 ，
2
2 2 1 (2 +1)( +1)
−2(2 +1)( +1) +4( +1)( +1) + (2 +1)− ≤0
2
即证 ，即证： ，
2 2
2 1 (2 +1)( +1) 1 ( +1)
2( +1) + (2 +1)− ≤0 (2 +1) − ≤ 0
即证n（2n+1）≤22（n+1）2，即证0 ≤3n+2 成立，所以 2 ．
1
0 ≥
综上， ，n N*． +1
1 2
≤ 0 ≤ ∈
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