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第 3 讲 导数的几何意义及函数的单调性
[考情分析] 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填
空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高
考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属
综合性问题．
考点一 导数的几何意义与计算
核心提炼
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′·u′.
u x
例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是
____________________．
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过
点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必
以点P为切点．
跟踪演练 1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线 y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为
__________，____________.
(2)(2022·保定联考)已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝bex，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图
象都相切，则a＋的最小值为( )
A．2 B．2e
C．e2 D.考点二 利用导数研究函数的单调性
核心提炼
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f(x)的导数f′(x)．
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
例2 (2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若f(x)在x＝0处的切线与直线y＝ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
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规律方法 (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限
制．
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．
(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
跟踪演练2 (2022·北京模拟)已知函数f(x)＝.
(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
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考点三 单调性的简单应用
核心提炼
1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成
立．
2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D
上有解．
例3 (1)若函数f(x)＝ex(cos x－a)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．(－，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．[，＋∞)
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则( )
A．a0)，且x
