专题1　第5讲　母题突破3　零点问题_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_2023年高考数学二轮复习讲义+课件（新高考版）_2023年高考数学二轮复习讲义（新高考版）_学生版_528

母题突破 3 零点问题 母题 (2022·武汉检测)已知函数f(x)＝，g(x)＝tan x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，试判断F(x)在∪内的零点个数． 思路分析 ❶求f′x，判断f′x的符号 ↓ ❷等价变形Fx＝0，构造新函数hx＝xsin x－excos x ↓ ❸分类讨论hx的单调性 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [子题1] (2021·全国甲卷改编)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)，若曲线y＝f(x)与直线y＝ 1有且仅有两个交点，求a的取值范围． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [子题2] 设函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2(a∈R)． 函数g(x)＝ax－1，证明：当a≤2时，函数H(x)＝f(x)－g(x)至多有一个零点． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 规律方法 (1)三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区 间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解． (2)已知零点求参数的取值范围：①结合图象与单调性，分析函数的极值点；②依据零点确 定极值的范围；③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论． 1．(2022·河南六市联考)已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)讨论函数f(x)的零点个数． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2．(2022·北京模拟)设函数f(x)＝x2＋mln(x＋1)(m∈R)． (1)若m＝－1，求曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若函数f(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数m的取值范围． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________