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专题 2.1 函数的解析式与定义域、值域【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 具体函数的定义域的求解】......................................................................................................................2
【题型2 抽象函数的定义域的求解】......................................................................................................................2
【题型3 已知函数定义域求参数】..........................................................................................................................3
【题型4 已知函数类型求解析式】..........................................................................................................................4
【题型5 已知f(g(x))求解析式】...............................................................................................................................4
【题型6 函数值域的求解】......................................................................................................................................5
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】..............................................................................................................6
1、函数的解析式与定义域、值域
函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容。函数问题定义域优先，在解答函数问题时
首先要考虑定义域；函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范
畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题、实际应用问题；基本不等式问题；数列
的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；解析几何的函数性研究问题等；常常需要转化为
求最值问题。在二轮复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，也要多训练综合性较强的题目.
【知识点1 函数的定义域的求法】
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等
式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1.函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)
的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与 或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【题型1 具体函数的定义域的求解】
√3−x
【例1】（2023上·江苏南京·高一校考阶段练习）函数f (x)= 的定义域为（ ）
x−1
A．(−∞,3] B．(1,+∞) C．(1,3] D．(−∞,1)∪[3,+∞)
1
【变式1-1】（2023·海南·模拟预测）函数f (x)=√2− x+ 的定义域为( )
x−1
A．(−∞,1 ] B．(1,2] C．(−∞,2 ] D．(−∞,1 )∪(1,2]
2
【变式1-2】（2023上·江西景德镇·高一统考期中）函数f(x)=(x−3) 0+√3−x+ 的定义域为（ ）
x−1
A．(−∞,1)∪[2,3) B．(−1,2)∪(3,+∞)
C．(−∞,1)∪(1,3) D．(−1,2)∪(2,3]
【变式1-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数y=f (x)的定义域为[0,4]，则函数
f(x+1)
y= +(x−2) 0 的定义域是（ ）
√x−1
A．(1,5] B．(1,2)∪(2,5) C．(1,2)∪(2,3] D．(1,3]
【题型2 抽象函数的定义域的求解】
【例2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若函数y=f (2x)的定义域为[−2,4]，则y=f (x)−f (−x)
的定义域为（ ）
A．[−2,2] B．[−2,4]C．[−4,4] D．[−8,8]
f (3−4x)
【变式2-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数f (2x−1)的定义域为[−3,1]，则y=
√x−1
的定义域为（ ）
( 3] (3 5] ( 5]
A．{1} B． 1, C． , D． 1,
2 2 2 2
【变式2-2】（2022上·湖南衡阳·高一校考期中）已知函数f (x+1)的定义域为[1,7]，则函数
的定义域为（ ）
ℎ(x)=f(2x)+√9−x2
A．[4,16] B．(−∞,1]∪[3,+∞) C．[1,3] D．[3,4]
1
【变式2-3】（2021·高一单元测试）已知函数f(x)的定义域为(0,1)，若c∈(0, )，则函数
2
g(x)=f(x+c)+f(x−c)的定义域为（ ）
A．(−c,1−c) B．(c,1−c) C．(1−c,c) D．(c,1+c)
【题型3 已知函数定义域求参数】
【例3】（2023上·陕西西安·高一统考期中）已知函数 的定义域为R，则实数
f (x)=√mx2+(m−3)x+1 m
的取值范围是（ ）
A．[1,9] B．(1,9)
C．(−∞,1]∪[9,+∞) D．{3}
√a
【变式3-1】（2023上·高一课时练习）若函数y= +1在区间[−2,−1]上有意义，则实数a的可能取值
x
是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式3-2】（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数 的定义域为R，则实
f(x)=√(a2−1)x2+(a+1)x+1
数a的取值范围为（ ）
[ 5] [5 )
A． −1, B．(−∞,−1)∪ ,+∞
3 3
[5 ) [5 )
C． ,+∞ D．(−∞,−1]∪ ,+∞
3 3【变式3-3】（2022上·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知函数 √x2−3x−m
f(x)= (m∈R)
√x−1
(1)若 ，求实数m及 ；
f(2)=2 f (f (5)+1)
(2)若m=10，求f (x)的定义域；
(3)若f (x)的定义域为(1,+∞)，求实数m的取值范围.
【题型4 已知函数类型求解析式】
【例4】（2023上·高一课时练习）图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)=−3x2+6x B．f (x)=−2x2+4x
C．f (x)=3x2−6x D．f (x)=2x2−4x
【变式4-1】（2023上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f [f(x)−2x]=3，则
f(5)=（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【变式4-2】（2023上·河北石家庄·高一校考期中）已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且
f(x+1)=f(x)+x+1．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当−1≤x≤1时，求二次函数的最大值与最小值．
【变式4-3】（2023上·安徽·高一校联考期中）已知一次函数f(x)满足f(f(x))=x+3.
(1)求f(x)的解析式；
x
g(x)= 1 1 1
(2)若 1，求g(1)+g(2)+⋯+g(2023)+g( )+g( )+⋯+g( )的值.
f(x)− 2023 2022 2
2【题型5 已知f(g(x))求解析式】
【例5】（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 1−x2 ，则 （ ）
f (1−x)= (x≠0) f (x)=
x2
1 1 4
A． −1(x≠0) B． −1(x≠1) C． −1(x≠0) D．
(x−1) 2 (x−1) 2 (x−1) 2
4
−1(x≠1)
(x−1) 2
【变式5-1】（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）已知f ( x− 1) =x2+ 1 ，则函数f (x+1)的表达
x x2
式为（ ）
( 1) 2 1
A． f (x+1)=(x+1) 2+ (x+ 1 1) 2 B．f (x+1)= x+ x + ( x+ 1) 2
x
C．f (x+1)=x2+2x+3 D．f (x+1)=x2+2x+1
1
【变式5-2】（2023上·河南·高一校联考期中）已知函数f (x)满足f (x)= (x≠1)．
x−1
(1)求f (2−x)的解析式；
( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) (35) (37) (39)
(2)求f +f +f +⋅⋅⋅+f +f +f 的值．
20 20 20 20 20 20
【变式5-3】（2023上·安徽蚌埠·高一校考期中）求下列函数的解析式：
(1)已知f (x+2)=2x+3，求f (x)；
(2)已知 ，求 ；
f (√x+1)=x+2√x f (x)(3)已知 是一次函数，且 ，求 ；
f (x) f (f (x))=16x−25 f (x)
(4)定义在区间(−1,1)上的函数f (x)满足2f (x)−f (−x)=x2，求f (x)的解析式．
【题型6 函数值域的求解】
【例6】（2023上·福建厦门·高一校考期中）已知函数 ，函数 的值域
f(x)=x2−2x−2,x∈[−2,2] f(x)
为（ ）
A．[−3,6] B．[−2,6] C．[2,10] D．[1,10]
【变式6-1】（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）函数y=1−x+√1−2x的值域为（ ）
( 1] [1 ) (1 )
A． −∞, B．[0，+∞) C． ,+∞ D． ,+∞
2 2 2
【变式6-2】（2023上·河南郑州·高一统考期中）下列函数中与函数y= 值域相同的是（ ）
√x2
1
A．y=x B．y= C．y=−x2 D．y=x2−2x+1
x
【变式6-3】（2023上·安徽芜湖·高一校考阶段练习）在实数集R中定义一种运算“∗”，具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a∗b=b∗a；
②对任意a∈R，a∗0=a；
③对任意a，b∈R，(a∗b)∗c=c∗(ab)+(a∗c)+(b∗c)−2c．
x
则函数f (x)=x∗ (x∈[−2,2])的值域是（ ）
2
[ 9 ] [9 )
A．(−∞,5) B． − ,5 C． ,+∞ D．[−5,5]
8 8
【题型7 根据函数的值域或最值求参数】
【例7】（2023上·吉林长春·高一校考阶段练习）若函数 的定义域､值
f (x)=(2a2+5a+3)x2+(a+1)x−1
域都为R,则实数a满足
3 13
A．a=−1或a=− B．−
