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第一章 函数、极限、连续 ......................................................... 2
第二章 一元函数微分学 .......................................................... 19
第三章 一元函数积分学 .......................................................... 37
第四章 常微分方程 .............................................................. 59
第五章 多元函数微分学 .......................................................... 72
第六章 二重积分 ................................................................ 89
第七章 无穷级数 ............................................................... 106
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用 ....................... 125
第九章 多元积分学及其应用 ..................................................... 136
第 1 页，共154页严选题 · 1.函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
1.函数
第 2 页，共154页
f ( x ) = x ta n x e sin x 是 ( )
(A) 单调函数. (B) 周期函数. (C) 偶函数. (D) 无界函数.
2.下列四个函数中
① x s in
1
x
. ②
1
x
s in
1
x
. ③
s in
x
x
. ④ x s in x .
在区间 ( 0 , ) + 上有界的共有 ( )
(A) 1 个. (B) 2 个. (C) 3 个. (D) 4 个.
3. 设有数列 x
n
与 y ,以下结论正确的是（ ）
n
(A) 若 limx y =0 ,则必有 limx =0 或 lim y =0.
n n n n
n→ n→ n→
(B) 若 lim
n
x
n
y
n
→
= ,则必有 lim
n
x
n
→
= 或 lim
n
y
n
→
= .
(C) 若 x
n
y
n
有界,则必有 x
n
与 y
n
都有界.
(D) 若 x
n
y
n
无界,则必有 x
n
无界或 y
n
无界.严选题 · 1.函数、极限、连续
4. 设
第 3 页，共154页
lim
n
x
n
y
n
→
= ,则下列结论错误的是（ ）
(A) lim
n
x
n
→
= 与 lim
n
y
n
→
= 至少有一个成立.
(B) x
n
与 y
n
中至少有一个为无界变量.
(C) 若 x
n
是无穷小量,则 y
n
必为无界变量.
(D) 若 lim
n
x
n
a
→
= ,则 y
n
必为无穷大量.
5.设函数 f ( x ) 连续,则下列函数中,必为偶函数的是 ( )
(A) x
0
f ( t 2 ) d t x . (B) f2(t)dt. (C)
0
xt0 f ( t ) − f ( − t ) d t . (D) xt0 f ( t ) + f ( − t ) d t .
6.设数列 a
n
, b
n
对任意的正整数 n 满足 a b a ,则 ( )
n n n+1
(A) 数列 a ,b 均收敛,且
n n
lim
n
a
n
lim
n
b
n
→
=
→
.
(B) 数列 a
n
, b
n
均发散,且 lima = limb =+.
n n
n→ n→
(C) 数列 a ,b 具有相同的敛散性.
n n
(D) 数列 a ,b 具有不同的敛散性.
n n严选题 · 1.函数、极限、连续
7. 设
第 4 页，共154页
lim
x 0
( x ) 0
→
= ,则下列命题中正确的个数为 ( )
① lim
x 0
s in
(
(
x
x
)
)
1
→
= .
② lim
x 0
( 1 ( x ) )
1(
x ) e
→
+ = .
③ 若 f ( x
0
) = A ,则 lim
x 0
f ( x
0
( x
(
)
x
)) f ( x
0
)
A
→
+ −
= .
④ 若 lim f (u)= A,则
u→0
lim
x 0
f ( ( x ) ) A
→
= .
(A) 0 个. (B) 2 个. (C) 3 个. (D) 4 个.
1
sin
e x −1
8. 极限 lim = A0 的充要条件是 ( )
x→ 1 1
1+ −1+
x x
(A) 1. (B) 1. (C) 0 . (D) 与 无关.严选题 · 1.函数、极限、连续
9.已知
第 5 页，共154页
lim
x → 0
ln ( 1 + 2 x
x
)2 + x f ( x )
= 1 ,则 lim
x → 0
2 + f
x
( x )
= ( )
(A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .
10. 设 f ( x ) 连续, lim
x → 0 1
f
−
(
c
x
o
)
s x
= 2 ,且当 x → 0
sin2x
时 f (t)dt 是 x 的
0
n 阶无穷小,则
n 等于 ( )
(A) 3 . (B) 4 . (C) 5 . (D) 6 .
11.已知当 x → 0 时, f ( x ) = a r c ta n x − s in a x 与 g ( x ) = b x ln a + x 2 是等价无穷小,则 ( )
(A) a = b = 1
1 1 1
. (B) a=2,b= . (C) a=1,b= . (D) a=1,b=− .
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12.已知当
第 6 页，共154页
x → 0 时,函数 f ( x ) = 3 s in x − s in 3 x 与 c x k 是等价无穷小,则 ( )
(A) k = 1 , c = 4 . (B) k = 1 , c = − 4 . (C) k = 3 , c = 4 . (D) k = 3 , c = − 4 .
13.当 x → 0 + 时,下列无穷小量中最高阶的无穷小量是（ ）
(A) 1 + x 4 − e
2 x2
. (B) ta n x − s in x . (C)
sin
0
xs
in t 2 d t . (D)
1 −
0
c o sxs
in
32
td t .
14. 函数 f ( x ) =
e
x
1x
+
e
e
1x
−
ta
e
n
x
在 , − 上的第一类间断点是 x=( )
(A) 0. (B) 1. (C) − . (D) .
2 2严选题 · 1.函数、极限、连续
15. 函数
第 7 页，共154页
f ( x ) =
x
x
2
2
−
−
x
1
1 +
1
x 2
的无穷间断点的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
16. 函数 f ( x ) =
x ( x
x
+
x
1
−
)
1
ln x
的可去间断点的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
17.已知函数 f ( x ) =
( x 2 +
e
a
1x
) 2
+
(
b
x − 1 )
在 ( , ) − + 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点,
则 ( )
(A) a = 1 , b = − 1 . (B) a = 0 , b = 1 . (C) a 0 , b = − e . (D) a = 0 , b = − e .严选题 · 1.函数、极限、连续
18. 设
第 8 页，共154页
f ( x ) lim
n
2
e
(n e
n x
) 1 x
n x
1
1
=
→
+
+
+
+
,则 f ( x ) ( )
(A) 仅有一个可去间断点. (B) 仅有一个跳跃间断点.
(C) 有两个可去间断点. (D) 有两个跳跃间断点.
19. lim
x → 0
x
(
−
a r
a r c s in
) c s in x
x3
= ________.
20. 已知 lim
x 0 1 x a r c ta
x
n x c o s x
8
3
→ + −
= ,则 = ________.严选题 · 1.函数、极限、连续
21. 已知曲线
第 9 页，共154页
y = f ( x )
1
在点(0,0)处的切线过点(1,2),则 lim cosx+ x f (t)dt x2 =________.
x→0 0
22. 极限 lim
x → 0
ln ( x +
1
1 + x 2 )
−
ln (
1
1 + x )
= ________.
23. 设 n
x
xn
为正整数,则 lim =________.
x→
(x−1)(x−2) (x−n)
严选题 · 1.函数、极限、连续
24. 求极限
第 10 页，共154页
lim
x → 0
ln ( x +
x
1 + x 2 )
12
x
= ________.
25. 设 x
n
=
1 +
1
n 2
1 +
22
n
1 +
n
n 2
,则 lim
n
x
n →
= ________.
26. 极限 lim
n
1
n ( 1
2
2 n
n
) →
+
+
+
+
+
+
= ________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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27. 确定常数
第 11 页，共154页
a , b ,使 x → 0 时 f ( x ) = e x −
1
1
+
+
a
b
x
x
为 x 的三阶无穷小.
28. 当 x→0 时, 1 − c o s x c o s 2 x c o s 3 x 与 a x n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值.
29. 已知 lim
x → 0
( 1 + s in 2 x
x
2
n
)
12
x − e 2
= a ( a 0 ) ,求 a 和 n 的值.严选题 · 1.函数、极限、连续
30. 确定常数 a,b,c 的值,使
第 12 页，共154页
lim
x → 0
x
b
a x
ln
−(
1
s
+
t
in
t
x)
3
d t
= c ( c 0 ) .
31.求极限 lim
x → 0
ln ( 1
1
+ x 2 )
−
s
1
in 2 x
.
32. 求极限 lim
x → 0 +
x
x
x
2
−
ln
( s
( 1
in
+
x ) x
) x
.严选题 · 1.函数、极限、连续
33.求极限
第 13 页，共154页
lim
x → 0
ln ( 1 + x 2 )
x
−
s
ln
3 in
( 1
x
+ s in 2 x )
.
34. 求极限 lim
x
x
1
2 t
x 2
e
ln
1t
1
1
1
x
t d t
→ +
−
+
−
.
35.求下列极限
(1) lim
x → 0
ln ( 1 +
x
x ) e
1x
− 1
; (2) lim
x → 0
e x + e 2 x +
n
+ e n x
1x
;严选题 · 1.函数、极限、连续
n2
1 2
(3) limntan ; (4) limtann + .
n→ n n→ 4 n
36.求下列极限
(1)
第 14 页，共154页
lim
x
(
x 1 x 2
) 1x
→ +
+ + ; (2) lim
x
x
1x
1
1ln
x
→ +
−
.
37. 已知函数 f ( x ) 在 x = 0
sinx f (x)
的某邻域内可导,且 lim + =2 ,试求 f (0), f(0)
x→0 x2 x
及 lim
x → 0 f ( x
x
) + e x
.严选题 · 1.函数、极限、连续
38. 求极限
第 15 页，共154页
lim
n n
1
6 n n
2
6
2
2 n n
n
6
2
n 2 →
+
+
+
+ +
+
.
39. 求极限 lim
n
1
n 2 n
1
2 1 2 n 2
1
( n 1 ) 2 →
+
−
+ +
− −
.
1 1
n+ n+
n+1 2 n
40. 求极限 lim + + + .
n→12 +n2 22 +n2 n2 +n2
严选题 · 1.函数、极限、连续
41. 求函数
第 16 页，共154页
f ( x ) =
x x
ln
1
+
x
,
1
, x
x
=
0
0
,
的间断点并指出类型.
42. 设 f ( x ) lim
n
x 2 n 1
x 2
an x 2
1
b x
=
→
− +
+
+
在 ( , ) − + 内连续,试确定常数 a 和 b .
43.设 f ( x ) 是区间 0 , ) + 上单调减少且非负的连续函数,
n
n
a =f (k)− f (x)dx(n=1,2, ) ,证明数列 a 的极限存在.
n n
1
k=1严选题 · 1.函数、极限、连续
44. 设
第 17 页，共154页
x
1
= 2 , x
n + 1
= 3 + 2 x
n
, n = 1 , 2 , ,证明数列 x
n
收敛并求它的极限.
45. 设数列 x
n
满足 x
1
= 1 , x
n + 1
=
x
x
n
n
+
+
2
1
( n = 1 , 2 , ) ,试证 lim
n
x
n
2
→
= .
46. 设函数 f ( x ) = ln x +
1
x
.
(1) 求 f ( x ) 的最小值;
(2) 设数列 x
n
1
满足 lnx + 1 . 证明 limx 存在,并求此极限.
n x n→ n
n+1严选题 · 1.函数、极限、连续
47. 设
第 18 页，共154页
x
1
0 , x
n + 1
= ln ( 1 + x
n
) ( n = 1 , 2 , ) ,证明:
(1) x 收敛并求极限
n
lim
n
x
n
→
;
(2) 计算 lim
n
x
nx
n
1
1xn
→
+
及 lim
n
1
x
n
x
1
n 1
→
−
+
.
48. 设 f ( x ) 在 0 , 2 a ( a 0 ) 上连续,且 f ( 0 ) = f ( 2 a ) ,求证存在 0 , a ,使 f ( ) f ( a ) . = +
49. 设 f ( x ) 在 a , b 上连续, x
i
a , b , ti 0 ( i = 1 , 2 , , n ) ,且
n
i=
1
ti = 1 ,试证至少存在一点
a , b 使 f ( ) t1 f ( x
1
) t
2
f ( x
2
) t
n
f ( x
n
) = + + + .严选题 · 2.一元函数微分学
第二章 一元函数微分学
1.设
第 19 页，共154页
f ( x ) 在 x = 0 处连续,则 f ( x ) 在 x = 0 处可导的充分条件是 ( )
(A) lim
x → 0
f ( x ) −
2 x
f ( − x )
存在. (B) lim
x → 0
f ( ln ( 1 + x
x
2
2
) ) − f ( 0 )
存在.
(C) lim
x → 0
f ( x )
3
−
x
f ( 0 )
存在. (D) lim
x
x f
1
x →
存在.
2. 设 f ( x ) =
x 2 s in
0 ,
1
x
, x
x
=
0
0
,
,
则在点 x = 0 处函数 f (x) ( )
(A) 不连续. (B) 连续但不可导.
(C) 可导但导数不连续. (D) 可导且导数连续.
3. 设函数 y = f ( x ) 在点 x = 0
f (x)−2x
处连续,且 lim =1 ,则
x→0 1−cosx
f ( x ) 在点 x = 0 处
( )
(A) 不可导. (B) 可导且 f ( 0 ) = 0 .
(C) 可导且 f ( 0 ) = − 2 . (D) 可微且 d y
x = 0
= 2 d x .严选题 · 2.一元函数微分学
4.若
第 20 页，共154页
f ( x ) 在点 x
0
处的左、右导数都存在,则 f ( x ) 在点 x 处 ( )
0
(A) 可导. (B) 连续. (C) 不可导. (D) 不一定连续.
5.已知 f ( x ) 在 x = 0 处连续,且 lim
x → 0
f ( x ) + e x
1x
= 2 ,则 f ( 0 ) ( )
(A) 不存在. (B) 等于 ln 2 . (C) 等于 2. (D) 等于 ln 2 − 1 .
6.设 f ( x ) 有连续一阶导数, f ( 0 ) = 0 ,若当 x → 0 时,
f
0
( x )
f ( t ) d t 与 4x2 为等价无穷
小,则 f ( 0 ) 等于 ( )
1
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) .
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7. 函数
第 21 页，共154页
f ( x ) = x − x 2 ( e x − 1 ) + s in x − 2 不可导点的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3
8. f ( x ) lim
n
n 1 x n e n x
=
→
+ + 不可导点的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
9. 已知 f ( x ) 在 x=0 处连续,且 lim
x → 0 f
x( 2
x )
= 1 ,则下列结论
① f ( 0 ) 存在,且 f ( 0 ) = 0 . ② f ( 0 ) 存在,且 f(0)=2.
③ f ( x ) 在 x = 0 处取得极小值. ④ f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内连续.
中正确的个数为 ( )
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.严选题 · 2.一元函数微分学
10.设函数
第 22 页，共154页
f ( x ) 在 ( , ) − + 内连续,其导函数的图形如图 1 所示,则 f ( x ) 有 ( )
(A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点.
(C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点.
11.设函数 f ( x ) = x 2 ( x + 1 ) 的驻点个数为 m ,极值点的个数为 n ,则 ( )
(A) m = 1 , n = 1 . (B) m = 1 , n = 2 . (C) m = 2 , n = 3 . (D) m=3,n=2.
12. 函数 f ( x ) ( t x s in t ) 2 d t
=
−
− 的极值点为 ( )
(A) x=2 为极小值点. (B) x=2 为极大值点.
(C) x = 1 为极小值点. (D) x = 1 为极大值点.严选题 · 2.一元函数微分学
13. 设函数
第 23 页，共154页
f ( x ) 有二阶导数,且 lim
x → 0
f
ln
(( x
1
)
+
−
x
a
)
= 0 , lim
x → 0
f ( x
2 x e
)
−
−
1
1
= 2 0 2 1 ,则 ( )
(A) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值.
(B) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值.
(C) ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(D) f ( 0 ) 不是 f ( x ) 的极值, ( 0 , f ( 0 ) ) 也不是曲线 y= f (x) 的拐点.
14. 设函数 f ( x ) 有二阶连续导数,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0 ,则 ( )
(A) x = 0 是 f ( x ) 的极值点,但 ( 0 , f ( 0 ) ) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(B) x = 0 不是 f ( x ) 的极值点,但 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(C) x=0是 f ( x ) 的极值点,且 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(D) x = 0 不是 f ( x ) 的极值点,且 ( 0 , f ( 0 ) ) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点.严选题 · 2.一元函数微分学
15. 设
第 24 页，共154页
f ( x ) 满足 f ( 0 ) = 0 , f ( x ) + f ( x ) 3 = x 2 ,则 ( )
(A) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值.
(B) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值.
(C) (0,f (0)) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(D) f ( 0 ) 不是 f ( x ) 的极值, ( 0 , f ( 0 ) ) 也不是曲线 y= f (x) 的拐点.
16. 曲线 y =
x 2
x 2
+
−
1
1
的渐近线条数为 ( )
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
17. 曲线 y =
x
x
2
2
+
−
x
1
的渐近线条数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.严选题 · 2.一元函数微分学
18. 设曲线
第 25 页，共154页
y = f ( x ) 与 y = x 2 − x 在点 ( 1 , 0 ) 处有公共切线,则 lim
n
n f
n
n
2 →
+
= ________.
19. 已知 f ( x ) =
(( x
x
−
+
1
1
)) (( x
x
−
+
2
2
)) (( x
x
−
+
n
n
))
,则 f ( 1 ) = ________.
20. 曲线
x
y
=
=
t
1 − t − u e
0
( 2 ln 2
2 d
−
u
t
,
2 )
在点 ( 0 , 0 ) 处的切线方程为________.严选题 · 2.一元函数微分学
21. 对数螺线
第 26 页，共154页
r e = 在点 ( r , ) e 2 ,
2
=
处的切线的直角坐标方程为________.
22. 设函数 f ( x ) = ln
2 x −
x ,
1 ,
x
x
1
1
,
,
y = f ( f ( x ) ) ,则 d
d
y
x
x = e
= ________.
23. 设 y = f ( x ) 的反函数是 x ( y ) = ,且 f ( x ) = 2
1
xe 2t d t + 1 ,则 (1)=________.严选题 · 2.一元函数微分学
24. 函数 y=xln(1−2x) 在
第 27 页，共154页
x = 0 处的 n ( n 2 ) 阶导数 y (n ) ( 0 ) = ________.
25. 设 f ( x ) = x
x
2
2
+
+
x
x
−
−
1
2
,则 f (n ) ( x ) = ________.
26.函数 f ( x ) = ln ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − n ) 的驻点个数为________.
27.已知方程 x4+2x3−3x2−4x+a=0 有两个重根,则a= ________.严选题 · 2.一元函数微分学
28.已知方程
第 28 页，共154页
3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 2 4 x + a = 0 有四个不相同的实根,则 a 的取值范围为________.
xf (x)−ln(1+x) x
29. 设 f (x) 为连续函数, lim =2,F(x)= tf (x−t)dt ,当 x→0 时
x→0 x2 0
F ( x ) −
1
2
x 2 与 b x k 为等价无穷小,其中常数 b 0 , k 为某正整数. 求 k 与 b 的值及
f ( 0 ) , f ( 0 ) .
30. 已知函数 f (u)具有二阶导数,且 f ( 0 ) = 1 ,函数y= y(x)由方程y−xey−1=1所确定.设
z = f ( ln y − s in x ) ,求
d
d
z
x
x = 0
,
d
d
2
x
z
2
x = 0
.严选题 · 2.一元函数微分学
31. 设
第 29 页，共154页
f ( t )
y=t(t)− f (t),
二阶可导,且 f(t)0, 求
x= f(t).
d
d
2
x
y2
及
d
d
2
y
x
2
.
32. 设 y = y ( x ) 由
x
t
=
−
3 t
y
1
+
+ te
2
−
t
u
+
2 d
1
u
,
= 0
确定,求
d
d
y
x
t= 0
,
d
d
2
x
y
2
t= 0
.
33. 设函数 (x)= sinx f ( tx2) dt ,其中
0
f ( x ) 是连续函数,且 f ( 0 ) = 2 .
(1) 求 ( x ) ;
(2) 讨论 ( x ) 的连续性.严选题 · 2.一元函数微分学
34. 设
第 30 页，共154页
f ( x )
1
连续, (x)= f (xt)dt ,且
0
lim
x → 0
f (
x
x )
= A (A 为常数) . 求 ( x ) ,并讨论
( x ) 在 x = 0 处的连续性.
35. 设函数由方程 2 y 3 − 2 y 2 + 2 x y − x 2 = 1 所确定,试求 y= y(x) 的驻点,并判别它是否为极
值点.
36. 已知曲线 L 的方程为
x
y
=
=
2 t
4 t
+
−
1 ,
2 t
( t 0 ) .
(1) 讨论 L 的凹凸性;
(2) 过点 ( − 1 , 0 ) 引 L 的切线,求切点 ( x
0
, y
0
) ,并写出切线的方程;
(3) 求此切线与 L (对应于 x x
0
的部分) 及 x 轴所围成的平面图形的面积.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 2.一元函数微分学
37.试确定方程
第 31 页，共154页
x 3 − x = s in x 的实根个数.
38. 试确定方程 xe0 − 2t d t = x 3 − x 的实根个数.
39.试确定方程 ex =ax2(a0) 的实根个数.严选题 · 2.一元函数微分学
40.试确定方程
第 32 页，共154页
ln x = k x 的实根个数.
41.试证: 当 x 0 时, x e x ln ( 1 + x ) .
42.设 x0 ,证明: 2sinx+ex −e−x 4x.
43.设 x 0 ,常数 a e . 证明 ( a + x ) a a a + x .严选题 · 2.一元函数微分学
44. 设
第 33 页，共154页
e a b ,证明: a 2 a b
ln
ln
a
b
b 2 .
45. 设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 0,1 上连续,在 ( 0 ,1 )
1 1
内可导, f (0)= f (1)=−1, f (x)dx ,
0 2
试 证至少存在一点 ( 0 ,1 ) ,使 f()+g()f ()−=1 .
46. 设 f ( x ) , g ( x ) 在 0 ,1 上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且
1
0
f ( x ) d x = 3
1
23
f ( x ) d x ,试证存在
,(0,1) ,使得 f ( ) g ( ) f ( ) f ( ) = − .严选题 · 2.一元函数微分学
47. 设
第 34 页，共154页
f ( x ) 在 − 2 , 2 上二阶可导,且 f ( x ) 1 ,又 f ( 0 ) 2 + f ( 0 ) 2 = 4 . 证明在
( − 2 , 2 ) 内至少存在一点 ,使 f ( ) f ( ) 0 + = .
48. 设函数 f ( x ) 在闭区间 a , b 上连续,在开区间 ( a , b ) 内可导,且 f ( x ) 0 . 若极限
lim
x → a +
f ( 2
x
x
−
−
a
a )
存在,证明:
(1) 在 ( a , b ) 内 f ( x ) 0 ;
(2) 在 ( a , b ) 内存在点 ,使
bb
a
2
f ( x
a
)
2
d x f
2(
)
−
= ;
(3) 在 ( a , b ) 内存在与 (2) 中 相异的点 ,使 f ( ) ( b 2 a 2 ) 2
a
b
a
f ( x ) d x
− =
−
.严选题 · 2.一元函数微分学
49.设
第 35 页，共154页
f ( x ) , g ( x ) 在 a , b 上连续,在 ( a , b ) 内可导,且 g(a)=g(b)=1, f(x)0 . 试证
存 在 , ( a , b ) ,使得
f
f
(( ))
e g ( ) g ( )
= − + .
50. 设函数 f ( x ) 在闭区间 0 ,1
1
上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f (0)=0,f (1)= .
3
1 1
证明: 存在 0, , ,1 ,使得
2 2
f ( ) f ( ) 2 2 + = + .
51.设 f ( x ) 在 0 ,1 上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) .试证存在和.满足 0 1 ,
使 f ( ) f ( ) 0 + = .严选题 · 2.一元函数微分学
52. 设
第 36 页，共154页
f ( x ) 在 0 ,1 上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 0 ,若 f (x)在 0 ,1 上的最大值为
M 0,证明存在两个不同的点x ,x (0,1),使得
1 2 f
1(
x
1
)
−
f
1(
x
2
)
=
n
M
,其中n是大于1的整数.
53.设 f ( x ) 在 0 ,1 上二阶可导, f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , m0
av x
1
f ( x ) = 2 . 试证存在 ( 0 ,1 ) 使得
f ( ) 1 6 − .
54. 设 f ( x ) 在 0 , 2 上二阶可导,且 f (x) 1, f(x) 1 ,证明: f ( x ) 2 ( 0 x 2 ) .严选题 · 3.一元函数积分学
第三章 一元函数积分学
1. 若
第 37 页，共154页
f ( x ) 的导函数是 s in x ,则 f ( x ) 有一个原函数为 ( )
(A) 1 + s in x . (B) 1 − s in x . (C) 1 + c o s x . (D) 1 − c o s x .
2. 设 f ( x ) =
c
s
o s
in
x
x
,
,
x
x
0
0
,
,
g ( x ) =
x s in
0 ,
1
x
, x
x
=
0
0
,
,
则在 ( ) − + 上( )
(A) f ( x ) 与 g ( x ) 都存在原函数. (B) f ( x ) 与 g ( x ) 都不存在原函数.
(C) f ( x ) 存在原函数, g ( x ) 不存在原函数. (D) f ( x ) 不存在原函数, g ( x ) 存在原函数.
x2, 0x1,
3. 已知 f (x)= 设
1, 1x2.
F ( x ) =
x
1
f ( t ) d t ( 0 x 2 ) ,则 F(x) 为 ( )
1 1 1
x3, 0x1, x3− , 0x1,
(A) 3 (B) 3 3
x, 1x2. x, 1x2.
1 1 1
x3, 0x1 x3− , 0x1,
(C) 3 (D) 3 3
x−1, 1x2 x−1, 1x2.严选题 · 3.一元函数积分学
4. 设
第 38 页，共154页
f ( x ) =
x
e
2
x
+
,
a ,
x
x
0
0
,
,
则 F ( x ) =
x
− 1
f ( t ) d t 在 x=0 处( )
(A) 极限存在但不连续. (B) 连续但不可导.
(C) 可导. (D) 是否可导与 a 的取值有关.
5. 设在区间 a , b 上 f ( x ) 0 , f ( x ) 0 , f ( x ) 0 . 令 S
1
=
b
a
f ( x ) d x , S
2
= f ( b ) ( b − a ) ,
1
S = f (a)+ f (b)(b−a) ,则
3 2
( )
(A) S
1
S
2
S
3
. (B) S
2
S
1
S
3
.
(C) S
3
S
1
S
2
. (D) S
2
S
3
S
1
.
6. 设 f ( x ) 连续,则 d
d x
xtf
0
( x 2 − t 2 ) d t = ( )
(A) x f ( x 2 ) . (B) − x f ( x 2 ) . (C) 2 x f ( x 2 ) . (D) − 2 x f ( x 2 ) .严选题 · 3.一元函数积分学
7. 设
第 39 页，共154页
f ( x ) 连续,且存在常数 a ,满足 5 x 3 + 4 0 = x
a
f ( t ) d t .当 x → 0 时,axf (x)与c(tanx−x)k是
等价无穷小,则 ( )
(A) k = 3 , c = 4 . (B) k = 2 , c = − 4 . (C) k = 1 , c = − 3 0 . (D) k = 1 , c = − 9 0 .
8. 设 a
n
=
3
2
n
0
n+
1 x n − 1 1 + x n d x ,则极限 lim
n
n a
n →
等于 ( )
(A) ( 1 + e ) 32 + 1 3 3 . (B) ( 1+e−1) 2 −1. (C) ( 1+e−1) 2 +1. (D) ( 1 + e ) 32 − 1 .
9. lim
n
ln n 1
1
n
2
1
2
n
2
1
n
n
2
→
+
+
+
等于 ( )
(A)
2ln
1
2 x d x
2
. (B) 2 lnxdx. (C)
1
2
2ln
1
( 1 + x ) d x . (D)
2ln
1
2 ( 1 + x ) d x .严选题 · 3.一元函数积分学
10. 设
第 40 页，共154页
I
1
2
0
s in ( s in x ) d x , I
2
2
0
c o s ( s in x ) d x
= = ,则（ ）
(A) I
1
1 I
2
. (B) 1 I
1
I
2
. (C) I
2
1 I
1
. (D) I I 1.
1 2
11. 设 I 4
0
ln s in x d x , J 4
0
ln c o tx d x , K 4
0
ln c o s x d x
= = = . 则 I , J , K 的大小关系为 ( )
(A) I J K . (B) I K J . (C) J I K . (D) K J I .
12. 设 I
k
k
0
e x 2 s in x d x ( k 1 , 2 , 3 ) = = ,则有 ( )
(A) I
1
I
2
I
3
. (B) I
3
I
2
I
1
. (C) I
2
I
3
I
1
. (D) I
2
I
1
I
3
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 3.一元函数积分学
13. 曲线
第 41 页，共154页
y s in
32
x ( 0 x ) = 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为 ( )
4 4 4 2
(A) . (B) . (C) 2. (D) .
3 3 3 3
14.
x 2
x
−
+
6 x
5
+ 1 3
d x = _________ .
15.
a r c s in
2 x
x
d x = _________ .严选题 · 3.一元函数积分学
x2ex
16. dx=_________ .
(x+2)2
17. 设
第 42 页，共154页
f ( x ) 是连续函数,且
x
0
3 − 1
f ( t ) d t = x − 1 ,则 f ( 7 ) = _________ .
18. 设 f ( x ) 是连续函数,且 f ( x ) = x + 2
1
0
f ( t ) d t ,则 f ( x ) = _________ .严选题 · 3.一元函数积分学
19.
第 43 页，共154页
1
0 ( 2 − x
x
2
d
)
x
1 − x 2
= _________ . 20.
0
2
x c o s x d x
= _________ .
21. 2
2
c o s 2 x xe0 2t d t s in 2 x d x
−
+ − = 22.
0
x c o s 2 x c o s 4 x d x − = _________ .
23. 设 a 0 ,则
2
0
a
x 2 a x − x 2 d x = _________ .严选题 · 3.一元函数积分学
24. 设
第 44 页，共154页
f ( x ) x
0
f ( x ) c o s x d x
= − ,则 f ( x ) = _________ .
25. 设 f ( x ) 为连续函数,且
x
0
f ( t ) d t = 3 x 3 − x
1
− 1
f ( t ) d t ,则 f ( x ) = _________ .
26. lim 1 n2 −1+ n2 −22 + + n2 −(n−1)2 =_________ .
n→n2 严选题 · 3.一元函数积分学
27.
第 45 页，共154页
lim
n
1
n
1 c o s
n
1 c o s
2
n
1 c o s
n
n
→
+ + + + + +
= _________ .
28. lim
n
1
e0 x s in n x d x
→
− = _________ .
29. 设函数 f ( x ) 连续,且 x
0
f ( t − x ) d t = ( 1 + x 2 ) x − 1 1 ,则 f (x)dx=_________ .
−1严选题 · 3.一元函数积分学
x
30. 若 f (t)dt=xe−x ,则
0
第 46 页，共154页
1
f ( ln
x
x )
d x
+
= _________ .
31.
2 ( x 7
d
)
x
x 2
+
+ −
= _________ .
32. 函数 y =
1
x
−
2
x 2
在区间
1
2
,
2
3
上的平均值为_________ .严选题 · 3.一元函数积分学
33. 由曲线
第 47 页，共154页
y = x +
1
x
, x = 2 及 y = 2 所围图形的面积 S = _________ .
34. 设曲线的极坐标方程为 r e a ( a 0 ) = ,则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧
与极轴所围成的图形的面积为_________ .
35. (数学三不要求)曲线 y
xta
0
n td t 0 x
4
=
的弧长s=_________ .严选题 · 3.一元函数积分学
36. (数学三不要求)一根长为1的细棒位于
第 48 页，共154页
x 轴的区间 0 ,1 上,若其线密度 x 2 2 x 1 = − + + ,则
该细棒的质心坐标 x = _________ .
37. 计算
1
0
f ( x
x
)
d x ,其中 f ( x ) =
x
1
ln ( 1
t
+ t )
d t .
3
dx
38. 计算积分 2 .
1
x−x2
2严选题 · 3.一元函数积分学
39. 求极限
第 49 页，共154页
lim
x → 0
x
0
u
0
2a
r
x
c ta n
( 1 −
( 1
c o
+
s x
t
)
) d t
d u
.
40. 设 f ( x ) 为非负连续函数,且 f ( x )
x
0
f ( x − t ) d t = s in 4 x ,求 f ( x ) 在 0 ,
2
上的平均值.
1 1
41. 设 f (x)在x=a的某邻域内可导,且 f (a)0,求极限lim − .
x→a (x−a) f (a) x f (t)dt
a 严选题 · 3.一元函数积分学
42. 函数
第 50 页，共154页
f ( x ) 在 0 , ) + 上可导, f ( 0 ) = 0 ,且其反函数为 g ( x ) ,若
x 2 ln ( 1 + x )
x
x
+ f ( x )g
( t − x ) d t =
,求 f ( x ) .
43. 设函数 S ( x ) =
x
0
c o s t d t ,
(1) 当 n 为正整数,且nx(n+1)时,证明 2 n S ( x ) 2 ( n + 1 ) ;
S(x)
(2) 求 lim .
x→+ x公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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44. (1) 比较
第 51 页，共154页
1
0
ln t ln ( 1 + t ) n d t 与 1 t0 n ln t d t ( n = 1 , 2 , ) 的大小,说明理由;
(2) 记 u
n
= 1
0
ln t ln ( 1 + t ) n d t ( n = 1 , 2 , ) ,求极限 lim
n
u
n
→
.
45. 设 f ( x ) 在 0 ,1 上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且满足 f ( 1 ) = k
1
0
x e 1 − x f ( x ) d x ( k 1 ) .证明至少存
在一点 ( 0 ,1 ) ,使得 f ( ) ( 1 1 ) f ( ) = − − .严选题 · 3.一元函数积分学
46. 设函数
第 52 页，共154页
f ( x ) 在 0 , 3 上连续,在 ( 0 , 3 ) 内存在二阶导数,且 2 f ( 0 ) =
2
0
f ( x ) d x = f ( 2 ) + f ( 3 ) .
(1) 证明存在 ( 0 , 2 ) ,使得 f ( ) f ( 0 ) = ;
(2) 证明存在 ( 0 , 3 ) ,使得 f ( ) 0 = .
47. 设 f ( x ) 在 0 , a ( a 0 ) 上连续,且
a
0
f ( x ) d x = 0 .试证存在(0,a),使得
f ( a ) f ( ) . − = −
48. 设 f (x) 在 0,1 上连续,证明存在 ( 0 ,1 )
,使 f (t)dt=(1−) f (); 若又设
0
f ( x ) 0 且单调减少,则这种 是唯一的.严选题 · 3.一元函数积分学
49.设
第 53 页，共154页
y = f ( x ) 是区间 0 ,1 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 x (0,1) ,使得在区间 0,x 上以 f (x ) 为高的矩形面积,等于在区间
0 0 0
x ,1 上以 y= f (x) 为曲边的曲边梯形面积;
0
(2) 又设 f ( x ) 在区间 ( 0 ,1 )
2f (x)
内可导,且 f(x)− ,证明(1)中的x 是唯一的.
0
x
50. 设函数 f ( x ) 在 0 ,1 上有连续一阶导数,且 f ( 0 ) = 0 ,试证至少存在一点 0 ,1 ,
使 f ( ) 2
1
0
f ( x ) d x = 严选题 · 3.一元函数积分学
51.设函数
第 54 页，共154页
f ( x ) 在 − l , l 上连续,在 x = 0 处可导,且 f ( 0 ) 0 .
(1) 证明:对任意x(0,l),至少存在(0,1),使得
x
0
f ( t ) d t
0
x
f ( t ) d t x f ( x ) f ( x ) +
−
= − − ;
(2) 求极限 lim
x 0
→ +
.
52. 设 f ( x ) 在 0 , 2 上具有二阶连续导数,且 f ( x ) 0 ,证明:
2
0
f ( x ) c o s x d x 0
.严选题 · 3.一元函数积分学
53. 设函数
第 55 页，共154页
f ( x ) 在区间 0 ,1 上可导,且 f ( x ) M ,证明:
1
0
f ( x ) d x −
1
n
k
n
= 1
f
k
n
M
2 n
.
54. 设 f ( x ) 满足 f ( 1 ) = 1 , f ( x ) =
x 2 +
1
f 2 ( x )
( x 1 ) ,试证 lim
x
f ( x )
→ +
存在且不超过 1
4
+严选题 · 3.一元函数积分学
55. (数学三不要求) 一容器的内侧是由图中曲线绕
第 56 页，共154页
y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由
1 1
x2 + y2 =2yy 与 x2 + y2 =1y 连接而成.
2 2
(1) 求容器的容积;
(2) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功? (长度单位: m ,重力
加速度为 gm/s2 ,水的密度为 1 0 3 k g / m 3 ).
56. (数学三不要求) 设曲线 L 的方程为 y =
1
4
x 2 −
1
2
ln x ( 1 x e ) .
(1) 求 L 的弧长;
(2) 设 D 是由曲线 L ,直线 x=1,x=e 及 x 轴所围成的平面图形. 求 D 的形心的
横坐标.严选题 · 3.一元函数积分学
57. 求曲线
第 57 页，共154页
y = 3 − x 2 − 1 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得的旋转体体积.
58. 设有抛物线 : y = a − b x 2 ( a 0 , b 0 ) ,试确定常数 a , b 的值,使得
(1) 与直线 y = x + 1 相切;
(2) 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积最大.
59. 设曲线 y =
1
x
与直线 y = x 及 y = 2 所围区域为 D ,
(1) 求区域 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积;
(2) 求区域 D 分别绕 x=2 和 y=2 旋转所得旋转体的体积.严选题 · 3.一元函数积分学
60. 求曲线
第 58 页，共154页
y = x 2 与直线 y = x 所围区域 D 绕直线 y=x 旋转一周所得旋转体的体积.
61. 设平面域 D 由曲线 r=(1+cos) 所围成,试求
(1) 区域 D 的面积;
(2) 区域 D 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.严选题 · 4.常微分方程
第四章 常微分方程
1. 已知函数
第 59 页，共154页
y = y ( x ) 在任意点处的增量 y
1
y x
x 2
=
+
+ ,且当 x → 0 时, 是 x 的
高阶无穷小, y ( 0 ) = ,则 y ( 1 ) 等于 ( )
(A) 2 . (B) . (C) e 4
. (D) e 4
.
2.方程 y + 2 y + y = 3 x e − x 的特解形式为 ( )
(A) A x e − x . (B) ( A x + B ) e − x . (C) ( A x + B ) x e − x . (D) ( A x + B ) x 2 e − x .
3. 具有特解 y
1
= e − x , y
2
= 2 x e − x , y
3
= 3 e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )
(A) y−y−y+ y=0. (B) y+ y−y−y=0.
(C) y−6y+11y−6y=0. (D) y−2y−y+2y=0.严选题 · 4.常微分方程
4.微分方程
第 60 页，共154页
y − 4 y + 8 y = e 2 x ( 1 + c o s 2 x ) 的特解可设为 y* =( )
(A) Ae2x +e2x(Bcos2x+Csin2x). (B) Axe2x +e2x(Bcos2x+Csin2x).
(C) A e 2 x + x e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (D) A x e 2 x + x e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) .
5.函数 y = C
1
e x + C
2
e − 2 x + x e x 满足的一个微分方程是 ( )
(A) y − y − 2 y = 3 x e x . (B) y − y − 2 y = 3 e x .
(C) y + y − 2 y = 3 x e x . (D) y + y − 2 y = 3 e x .
6. 在下列微分方程中,以y=Cex +C cos2x+Csin2x(C,C ,C 为任意常数)为通解的是( )
1 2 3 1 2 3
(A) y+ y−4y−4y=0. (B) y+ y+4y+4y=0.
(C) y−y−4y+4y=0. (D) y−y+4y−4y=0.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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7.微分方程
第 61 页，共154页
y 2 y e x e x ( 0 ) − = + − 的特解形式为 ( )
(A) a ( ex +e−x). (B) a x ( e x e x ) + − . (C) x ( a e x b e x ) + − . (D) x 2 ( a e x b e x ) + − .
8. 方程 x ln x d y + ( y − ln x ) d x = 0 满足初始条件 y
x = c
= 1 的特解为_________ .
9. 微分方程 ( y + x 3 ) d x − 2 x d y = 0 满足 y
x = 1
= 6
5
的特解为_________ .严选题 · 4.常微分方程
10. 方程
第 62 页，共154页
1 + e
−
xy
y d x + ( y − x ) d y = 0 的通解为_________ .
11. 已知方程 y + a y + b y = 0 的通解为 y = C
1
e x + C
2
e − x ,则方程 y + a y + b y = e x 满 足初
始条件 y ( 0 ) = 0 , y ( 0 ) =
3
2
的特解为_________ .
12.方程 y + y = x + c o s x 的通解为_________ .严选题 · 4.常微分方程
13. 设函数
第 63 页，共154页
y ( x ) 满足 y + ( x − 1 ) y + x 2 y = e x ,且 y ( 0 ) = 1 .若 lim
x → 0
y ( x
x
)2 − x
= a ,则 a = _________ .
14.二阶常系数非齐次线性微分方程 y−4y+3y=2e2x 的通解为_________ .
15.三阶常系数线性齐次微分方程 y − 2 y + y − 2 y = 0 的通解为_________ .
16.(仅数三要求)差分方程2y +10y −5t=0的通解为_________ .
t+1 t严选题 · 4.常微分方程
17.(仅数三要求)差分方程
第 64 页，共154页
y
t+ 1
− 2 y
t
= 4 ( 3 + t ) 2 t 的通解为_________ .
18. 设函数 y= y(x) 满足微分方程 y − 3 y + 2 y = 2 e x ,且其图形在点 ( 0 ,1 ) 处的切线与曲
线 y = x 2 − x + 1 在该点的切线重合,求函数 y = y ( x ) .
19. 已知 y
1
= 3 , y
2
= 3 + x 2 , y
3
= 3 + e x 是某二阶线性非齐次方程的三个特解,求该微 分方程及
通解.20. 求微分方程 y + ( x + e 2 y ) y '3 = 0 的通解.严选题 · 4.常微分方程
21.设函数 f (x)具有连续的一阶导数,且满足 f (x)= x( x2 −t2) f(t)dt+x2.求 f (x)的表达式.
0
22. 设
第 65 页，共154页
f ( x ) 连续,且满足
x
0
f ( t ) d t = x +
xtf
0
( x − t ) d t ,求 f ( x ) .
23. 设 f ( x ) 为连续函数,且满足 f ( x ) = e x + e x x
0
f ( t ) 2 d t . 试求 f ( x ) .严选题 · 4.常微分方程
24. 函数 f (x) 在 0,+) 上可导, f (0)=1 ,且满足等式
第 66 页，共154页
f ( x ) + f ( x ) −
x
1
+ 1
x
0
f ( t ) d t = 0
(1) 求导数 f ( x ) ;
(2) 证明: 当 x 0 时,不等式 e − x f ( x ) 1 成立.
25. 设 f ( x ) 连续,且 f ( t ) =
x 2 + y 2 2t
( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 ) d x d y + t 4 ( t 0 ) ,求 f ( x ) .
26. 设 f ( x ) 在 ( , ) − + 上有定义, f(0)=2,对任意的x,y有 f (x+y)=exf (y)+ e y f ( x ) ,
求 f (x).严选题 · 4.常微分方程
27. 设
第 67 页，共154页
f ( x ) 在 1 , ) + 上有连续二阶导数, f ( 1 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,且z= ( x2+y2) f ( x2+ y2)满足
2
x
z2
+
2
y
z2
= 0 ,求 f ( x ) 在 1 , ) + 上的最大值.
28. 设函数 u ( x , y ) 的全微分du=ex + f(x)ydx+ f (x)dy,其中 f 具有二阶连续的导数,且
f ( 0 ) = 4 , f ( 0 ) = 3 ,求 f ( x ) 及 u ( x , y ) .
29. 求过原点的曲线 y = y ( x ) ,使曲线上任一点 P 的法线段 P Q ( Q 是过 P 点作曲线法线与 x
轴的交点)的中点位于抛物线 2 y 2 = x 上.严选题 · 4.常微分方程
30. 设函数 f (x)在0,1上连续,在(0,1)内大于零,且满足微分方程
第 68 页，共154页
x f ( x ) = f ( x ) +
3
2
a x 2 .曲线
y = f ( x ) 与直线 x = 1 , y = 0 所围成区域D的面积为 2,求:
(1) f ( x ) ;
(2) 使 D 绕 x 轴旋转一周而成旋转体体积为最小的 a .
31.设曲线 L 位于 x O y 平面的第一象限内, L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交,
交点记为 A. 已知 M A = O A ,且 L 过点
3
2
,
3
2
,求 L 的方程.严选题 · 4.常微分方程
32. (数学三不要求) 在上半平面一条向下凸的曲线,其上任一点
第 69 页，共154页
P ( x , y ) 处的曲率等于此曲
线在该点的法线段 PQ 长度的倒数 ( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点 (1,1) 处的切
线与 x 轴平行.
33.设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 P ( x , y ) ( x 0 ) 到坐标原点的距离,恒等于 该点处
的切线在 y 轴上的截距,且 L
1
经过点 ,0 .
2
(1) 试求曲线 L 的方程;
(2) 设 L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积
最小.严选题 · 4.常微分方程
34. 设
第 70 页，共154页
y = y ( x ) 是区间 ( , ) −
内过点 − , 的光滑曲线.当
2 2
x 0 − 时,曲线上任一点处
的法线都过原点;当 0 x 时,函数 y ( x ) 满足 y + y + x = 0 .求函数 y ( x ) 的表达式.
35.已知曲线 L :
x
y
f
c o
( ) t ,
s t ,
, 0 t
2
=
=
,其中函数 f ( t ) 具有连续导数,且 f ( 0 ) = 0 ,
f(t)00t .若曲线
2
L 的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数 f ( t ) 的表达式,
并求以曲线 L 及 x 轴和 y 轴为边界的区域的面积.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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36. 在
第 71 页，共154页
x O y 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M ( 1 , 0 ) ,其上任意点 P ( x , y ) ( x 0 ) 处的切线斜率与直
线OP的斜率之差等于ax(常数a0).
(1) 求 L 的方程;
(2) 当 L 与直线 y = a x 所围成平面图形的面积为
8
3
时,确定 a 的值.严选题 · 5.多元函数微分学
第五章 多元函数微分学
1.已知
第 72 页，共154页
f ( x , y ) = e x 2 + y 4 ,则 ( )
(A) f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 都存在. (B) f'(0,0) 不存在,
x
f 'y ( 0 , 0 ) 存在.
(C) f 'x ( 0 , 0 ) 存在, f 'y ( 0 , 0 ) 不存在. (D) f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 都不存在.
2.设函数z= f (x,y)在点(x ,y )处有 f'(x ,y )=a, f'(x ,y )=b,则下列结论正确的是 ( )
0 0 x 0 0 y 0 0
(A) lim
x →
y →
x0y0
f ( x , y ) 存在,但 f (x,y) 在 ( x
0
, y
0
) 处不一定连续.
(B) f ( x , y ) 在 (x ,y ) 处连续.
0 0
(C) d z
( x0 ,y0 )
= a d x + b d y .
(D) lim
x → x0
f ( x , y
0
) 及 lim
y → y0
f ( x
0
, y ) 都存在且相等.严选题 · 5.多元函数微分学
xy
, (x,y)(0,0),
3. 设 f (x,y)= x2 + y2 则 f (x,y) 在 (0,0) 处 ( )
0, (x,y)=(0,0),
(A) 两个偏导数不存在. (B) 两个偏导数存在但不可微.
(C) 偏导数连续. (D) 可微但偏导数不连续.
( x2 + y2) sin 1 , (x,y)(0,0),
4. 设 f (x,y)= x2 + y2 则
0, (x,y)=(0,0),
第 73 页，共154页
f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处( )
(A) 两个偏导数不存在. (B) 两个偏导数存在但不可微.
(C) 偏导数连续. (D) 可微但偏导数不连续.
5. 设函数 f ( x , y ) 可微,且对任意 x , y 都有
f (
x
x
, y )
0 ,
f (
x
y
, y )
0 ,则使不等式
f ( x
1
, y
1
) f ( x
2
, y
2
) 成立的一个充分条件是 ( )
(A) x
1
x
2
, y
1
y
2
. (B) x
1
x
2
, y
1
y
2
.
(C) x
1
x
2
, y
1
y
2
. (D) x
1
x
2
, y
1
y
2
.严选题 · 5.多元函数微分学
6. 设可微函数
第 74 页，共154页
f ( x , y ) 满足
f
x
1 ,
f
y
− 1 , f ( 0 , 0 ) = 0 ,则下列结论正确的是 ( )
(A) f ( 1 ,1 ) 1 . (B) f (−1,1)−2.
(C) f ( − 1 , − 1 ) 0 . (D) f ( 1 , − 1 ) 2 .
7. 设函数 f ( x , y ) 满足
f
x
0 ,
f
y
1 ,则下列结论正确的是 ( )
(A) f ( 0 , 0 ) f ( 1 , 0 ) . (B) f (x,2) f (x,1).
(C) f ( − 1 ,1 ) f ( 0 , 0 ) + 1 . (D) f ( 1 , − 1 ) f ( 0 , 0 ) + 1 .
8. 设函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义,且
( x
lim
) ,y → (0 ,0 )
f ( x , y )
x
−
2
(
+
x 2
y 2
+ y 2 )
= 1 , 则
f ( x , y ) 在点 (0,0) 处 ( )
(A) 连续. (B) 两个偏导数都不存在.
(C) 两个偏导数存在但不可微. (D) 可微.严选题 · 5.多元函数微分学
9. 已知 f (x,y) 在 (0,0) 点连续,且
第 75 页，共154页
( x
lim
) ,y → (0 ,0 )
f ( x , y ) + 2
x
x
2
−
+
y
y
+
2
x 2 + y 2
= 0 ,则下列结论 不
正确的是 ( )
(A) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 点可微. (B) f 'x ( 0 , 0 ) = − 2 .
(C) f 'y ( 0 , 0 ) = 1 . (D) f 'x ( 0 , 0 ) 和 f 'y ( 0 , 0 ) 都不一定存在.
10. 设满足
2
y
z2
= 2 ,且 f ( x , 0 ) = 1 , f 'y ( x , 0 ) = x 则 f ( x , y ) 等于 ( )
(A) 1 − x y + y 2 . (B) 1 + x y + y 2 . (C) 1 − x 2 y + y 2 . (D) 1 + x 2 y + y 2 .
11. 已知函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 某邻域内连续,且 lim
x
y
0
0
f ( x , y )
x 2
( x 2
y 2
y 2 )
0
→
→
−
+
+
= ,则 ( )
(A) 点 (0,0) 是 f (x,y) 的驻点但不是极值点.
(B) 点 (0,0) 是 f ( x , y ) 的极大值点但不是驻点.
(C) 点 (0,0) 是 f (x,y) 的极小值点但不是驻点.
(D) 根据所给条件无法判断点 ( 0 , 0 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点.严选题 · 5.多元函数微分学
12.设函数
第 76 页，共154页
z = f ( x , y ) 的全微分为 d z = x d x + y d y ,则点 ( 0 , 0 ) ( )
(A) 不是 f (x,y) 的连续点. (B) 不是 f (x,y) 的极值点.
(C) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (D) 是 f ( x , y ) 的极小值点.
13.设函数 f ( x ) 具有二阶连续导数,且 f (x)0, f(0)=0 ,则函数 z= f (x)lnf (y) 在点
( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是（）
(A) f ( 0 ) 1 , f ( 0 ) 0 . (B) f ( 0 ) 1 , f ( 0 ) 0 .
(C) f ( 0 ) 1 , f ( 0 ) 0 . (D) f ( 0 ) 1 , f ( 0 ) 0 .
14. 设函数 f ( x ) , g ( x ) 均有二阶连续导数,满足 f ( 0 ) 0 , g ( 0 ) 0 ,且 f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 ,
则函数 z= f (x)g(y) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是 ( )
(A) f ( 0 ) 0 , g ( 0 ) 0 . (B) f ( 0 ) 0 , g ( 0 ) 0 .
(C) f(0)0,g(0)0. (D) f(0)0,g(0)0.严选题 · 5.多元函数微分学
15. 设
第 77 页，共154页
F ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,且F(x ,y )=0,F'(x ,y )=0,F'(x ,y )0.若一元函数
0 0 x 0 0 y 0 0
y= y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的在点(x ,y )附近的隐函数,则
0 0
x
0
是函数y= y(x)的极小
值点的一个充分条件是（ )
(A) F ''x
x
( x
0
, y
0
) 0 . (B) F ''x
x
( x
0
, y
0
) 0 .
(C) F ''y
y
( x
0
, y
0
) 0 . (D) F ''y
y
( x
0
, y
0
) 0 .
16. 设函数 u ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数,且满 足
2 u
x y
0 及
2
x
u2
+
2
y
u2
= 0 ,则 ( )
(A) u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得.
(B) u(x,y) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得.
(C) u ( x , y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值都在 D 的边界上取得.
(D) u ( x , y ) 的最小值在 D 的内部取得,最大值都在 D 的边界上取得.
17. 设 z =
x c o
1
s
+
( y
s
−
in
1
x
)
+
−
s
(
in
y
(
−
y
1
−
) c
1
o
)
s x
,则
z
y
(0 ,1 )
= _________ .严选题 · 5.多元函数微分学
18. 设
第 78 页，共154页
z = a r c ta n ( x y 2 )
2z
,则 =_________ .
yx
(0,1)
19. 设 z = ( x + e y ) x z ,则 =_________ .
x
(1,0)
20. 设函数 z =
1 +
x
y
xy
,则 dz =_________ .
(1,1)
21. 设函数 z = z ( x , y ) 由方程 ( z + y ) x = x y 确定,则
z
x
(1 ,2 )
= _________ .严选题 · 5.多元函数微分学
22. 设
第 79 页，共154页
u = x 2 e y z 3 ,其中 z = z ( x , y ) 由方程 x 3 + y 3 + z 3 − 3 x y z = 0 所确定,则 d u
x = − 1,y = 0
= _________ .
23. 设 z = f ( x , y ) 满足
x
2
z
y
= x + y ,且 f ( x , 0 ) = x , f ( 0 , y ) = y 2 ,则 f ( x , y ) = _________ .
24. 设 u ( x , y ) 有连续二阶偏导数,
2
x
u2
=
2
y
u2
,且 u ( x , 2 x ) = x , u
1
( x , 2 x ) = x 2 ,则 u ''1
1
( x , 2 x ) = ______ .严选题 · 5.多元函数微分学
25. 设函数
第 80 页，共154页
z = z ( x , y ) 由方程 F
x +
z
y
, y +
z
x
= 0 确定,则 x
z
x
+ y
z
y
= _________ .
26. 已知 df (x,y) =2dx+dy ,则
(x ,y ) 0 0
lim
t→ 0
f ( x
0
+ 2 t , y
0
) −
t
f ( x
0
, y
0
− t )
= _________ .
27. 已知函数z= f (x,y)连续且满足 lim
x →
y →
1
0
f ( x ,
(
y
x
)
−
−
1
x
) 2
+
+
2 y
y 2
+ 2
= 0 ,则 lim
t→ 0
f ( 1 + t , 0 )
t
− f ( 1 , 2 t )
=
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1
28. 设z= xy−t f (t)dt,0x1,0 y1,其中 f (x)为连续函数,则z'' +z'' =_________ .
xx yy
0
29. 设
第 81 页，共154页
u = f ( x , y , z ) , z = ln x 2 + y 2 ,求
u
x
,
2
x
u
2
,其中 f 有二阶连续偏导数.
30. 设函数z= f (x,y)在点(1,1)处可微且 f ( 1 ,1 ) 1 ,
f
x
(1 ,1 )
2 ,
f
y
(1 ,1 )
3 , ( x ) =
=
= = f x , f ( x , x ) ,
求
d
d x
3 ( x )
x 1
=
.严选题 · 5.多元函数微分学
31. 设
第 82 页，共154页
u = f ( x , y , z ) 有连续的一阶偏导数,又函数 y = y ( x ) 及 z= z(x) 分别由
e xy − x y = 2 和 e x =
x
0
− z s in
t
t
d t 确定. 求
d
d
u
x
.
32. 设变换
u
v
=
=
x
x
−
+
2
a
y ,
y .
( a − 2 ) ,可把方程 6
2
x
z2
+
x
2
z
y
−
2
y
z2
= 0
2z
简化为 =0,求常数a.
uv
33. 设函数 f ( u ) 有连续一阶导数, f (0)=2,且 z = x f
y
x
+ y f
y
x
满足
z
x
+
z
y
=
y
x
( x 0 ) ,求
z 的表达式.严选题 · 5.多元函数微分学
34. 设函数
第 83 页，共154页
f ( x , y )
2f
有连续二阶偏导数.满足 =0,且在极坐标系下可表示成
xy
f (x,y)=g(r),其中r= x2 +y2 ,求 f (x,y).
35. 设 z = f
(
x 2 + y 2
)
具有二阶连续偏导数,且
2
x
z2
+
2
y
z2
−
1
x
z
x
+ z = x 2 + y 2 ,试求函数
z 的表达式.
36.求函数 f ( x , y ) = x 4 + y 4 − ( x + y ) 2 的极值.严选题 · 5.多元函数微分学
37.求二元函数 f (x,y)=x2( 2+y2) +ylny 的极值.
38. 设函数
第 84 页，共154页
z = f ( x y , y g ( x ) ) ,其中 f 函数具有二阶连续偏导数,函数 g(x) 可导且在
x = 1
2z
处取得极值 g(1)=1 ,求 .
xy
(1,1)
39. 已知函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, f (1,1)=2 是 f ( u , v ) 的极值, z= f(x+ y,
f (x,y)) . 求
x
2
z
y
(1 ,1 )
.严选题 · 5.多元函数微分学
40. 求由方程
第 85 页，共154页
2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 x z − z + 8 = 0 所确定的函数 z = f ( x , y ) 的极值点.
41.设 f (x,y) 有二阶连续偏导数, g ( x , y ) = f ( e xy , x 2 + y 2 ) ,且 f (x,y)=1−x−y+
o ( x − 1 ) 2 + y 2 ,证明 g ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求
出此极值.
42. 求函数 f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 − x 2 y 2 在区域 D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 4 , y 0 上的最大值 和最
小值.严选题 · 5.多元函数微分学
43. 设函数
第 86 页，共154页
z = z ( x , y ) 的微分 d z = ( 2 x + 1 2 y ) d x + ( 1 2 x + 4 y ) d y ,且 z ( 0 , 0 ) = 0 ,求函数
z = z ( x , y ) 在 4 x 2 + y 2 2 5 上的最大值.
44. 求函数 u = x y + 2 y z 在约束条件 x 2 + y 2 + z 2 = 1 0 下的最大值和最小值.
45. 求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 在约束条件 z = x 2 + y 2 和 x+ y+z=4 下的最大值与最小值.严选题 · 5.多元函数微分学
46. 在椭圆
第 87 页，共154页
3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 1 的第一象限部分上求一点,使该点的切线与两坐标轴所围成三
角形面积最小,并求面积的最小值.
47. (仅数学一要求) 已知曲线 C :
x
x
2
+
+
y
y
+
2 −
3 z
2
=
z 2
5
=
.
0 ,
求 C 上距离 x O y 面最远的点和最近
的点.
48. (仅数学一要求) 求椭球面
2 x
3
+
y
2
2
+ z 2 = 1 被平面 x+ y+z=0 截得的椭圆长半轴与短
半轴之长.严选题 · 5.多元函数微分学
1 1 xp yq
49.已知 p1, + =1,x,y0 . 求证: xy + .
p q p q
52.设
第 88 页，共154页
f ( x , y ) 在圆域 x 2 + y 2 1 上有连续一阶偏导数,且 f ( x , y ) 1 .求证在单位圆内至
少有一点 ( x
0
, y
0
) 可使
f ( x
0
x
, y
0
) 2
+
f ( x
0
y
, y
0
) 2
1 6 .严选题 · 6.二重积分
第六章 二重积分
1. (1) 设函数
第 89 页，共154页
f ( x , y ) 连续,则
2d
1
x
2
x
f ( x , y ) d y +
2d
1
y
4
y
− y
f ( x , y ) d x = ( )
(A)
2d
1
x
4
1
− x
f ( x , y ) d y . (B)
2d
1
x
4
x
− x
f ( x , y ) d y .
2 4−y
(C) dy f (x,y)dx. (D)
1 1
2d
1
y
2
y
f ( x , y ) d x .
1
(2) 设函数 f (x,y) 连续,则二次积分 dx f (x,y)dy 等于 ( )
sinx
2
(A)
1
d0 y
arcsin y
f ( x , y ) d x
+
1
. (B) dy f (x,y)dx.
0 −arcsiny
(C)
1
d0 y
2
arcsin y
f ( x , y ) d x
+
. (D)
1
d0 y
2
arcsin y
f ( x , y ) d x
−
.
2sin
2. (1) 累次积分 2d f (rcos,rsin)rdr 等于 ( )
0
4
2 2y−y2 1 2y−y2
(A) dy f (x,y)dx. (B) dy f (x,y)dx.
0 0 0 y
1 2 1 1+ 1−x2
(C) dx f (x,y)dy. (D) dx f (x,y)dy.
0 x 0 x严选题 · 6.二重积分
(2) 累次积分
第 90 页，共154页
4
0
d
2
0
co s
f ( r c o s , r s in ) r d r
等于 ( )
(A)
1
d0 y
y
2 y − y 2
f ( x , y ) d x .
(B)
1
d0 y
1 −
y
1 − y 2
f ( x , y ) d x .
(C)
1
d0 x
x
0
f ( x , y ) d y +
2d
1
x
0
1 − x 2
f ( x , y ) d y .
(D)
0
2
d r 4
0
f ( r c o s , r s in ) r d
2
2
d r
arcco
0
s
r2
f ( r c o s , r s in ) r d
+ .
3. 设 f ( x , y ) 为连续函数,则 4
0
d
1
0
f ( r c o s , r s in ) r d r
等于 ( )
(A)
0
22
d x
x
1 − x 2
f ( x , y ) d y . (B)
0
22
d x
0
1 − x 2
f ( x , y ) d y .
(C)
0
22
d y
y
1 − y 2
f ( x , y ) d x
2 1−y2
. (D) 2 y f (x,y)dx.
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 6.二重积分
4. 设
第 91 页，共154页
f ( x , y ) 是连续函数,则
1
d0 y
1 −
−
y
1 − y 2
f ( x , y ) d x = ( )
1 x−1 0 1−x2
(A) dx f (x,y)dy+ dx f (x,y)dy.
0 0 −1 0
(B)
1
d0 x
1 −
0
x
f ( x , y ) d y +
0
−
d1 x
0
− 1 − x 2
f ( x , y ) d y .
(C) 2
0
d co
0
s
1
sin f ( r c o s , r s in ) d r
2
d
1
0
f ( r c o s , r s in ) d r
+ + .
(D) 2
0
d co
0
s
1
sin f ( r c o s , r s in ) r d r
2
d
1
0
f ( r c o s , r s in ) r d r
+ + .
5. 设区域 D 由曲线 y s in x , x
2
, y 1 = = = 围成,则 ( xy5 −1 ) dxdy=( )
D
(A) . (B) 2. (C) -2. (D) −.
6. 设 f (x,y) 连续,且 f (x,y)=xy+ f (x,y)dxdy ,其中
D
D 由 y=0,y=x2,x=1 所围
成,则 f (x,y) 等于 ( )
(A) xy. (B) 2 x y
1
. (C) xy+ . (D)
8
x y + 1 .严选题 · 6.二重积分
7. 设
第 92 页，共154页
0 a 1 ,区域 D 由 x 轴, y 轴,直线 x + y = a 及 x + y = 1 所围成,
I
D
s in 2 ( x y )d , J
D
ln 3 ( x y )d , K
D
( x y ) d = + = + = + ,则 ( )
(A) I K J (B) K J I . (C) I J K . (D) J I K .
8. 设 I = ( x2 + y3) d,J = ( x4 −y4) d,K = ( x3−y2) d ,则
x+y1 x2+y21 x2+y21
( )
(A) I J K (B) I K J . (C) J I K . (D) K J I .
9. 设 I
1 D
x
4
y
d , I
2 D
x
4
y
d , I
3 D
3
x
4
y
d =
+
=
+
=
+
.其中D:(x−1)2 +(y−1)2 2.则( )
(A) I
1
I
2
I
3
. (B) I
2
I
3
I
1
. (C) I
1
I
3
I
2
. (D) I
3
I
2
I
1
.严选题 · 6.二重积分
10. 如图 1 正方形
第 93 页，共154页
( x , y ) x 1 , y 1 被其对角线划分为四个区域
D (k =1,2,3,4),I = ycosxdxdy ,则
k k
D
k
m1
a x
k 4
I
k
= ( )
(A) I
1
. (B) I
2
. (C) I . (D) I .
3 4
11. 设 D
k
是圆域 D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 1 在第k象限的部分,记 I
k
( k = 1 , 2 , 3 , 4 )
=
D
k
( y − x ) d x d y
,则 ( )
(A) I
1
0 . (B) I 0. (C) I 0. (D)
2 3
I
4
0 .
12.已知 lim
t 0
td0 x xe
t
t
y 2 d y
0
→ +
−
= ,则 ( )
1 1 1 1
(A) =1,= . (B) =2,= . (C) =2,=− . (D) =3,=− .
2 2 2 2严选题 · 6.二重积分
13.交换积分次序
第 94 页，共154页
4d0
x
2
4
x
x − x 2
f ( x , y ) d y = ________ .
14. 交换积分次序
2d0
x
x
2 x − x 2
f ( x , y ) d y = ________ .
15.
1
d0 x
1
x 2 1
x
+
y
y 3
d y = ________ .
1 y 2 1
16. dy cosx2dx+ dy cosx2dx=________ .
y y
0 1
2 2严选题 · 6.二重积分
17.
第 95 页，共154页
1
d0 y
1
y
x 2 − y 2 d x = ________ .
18.
x 2 + y 2 1
( x + 1 ) 2 + 2 y 2 d x d y = ________ .
19. 设 D = ( x , y )∣ 0 x 1 , 0 y 1
dxdy
,则 =________ .
D x2 +y2严选题 · 6.二重积分
20.
第 96 页，共154页
I 2
0
d 2
0
co s ( r c o s 1 ) 3 r s in r d r
= − + = ________ .
21. 求极限 lim
t→ 0 + s
1
in 2 t
td0 x t ex − ( x − y 2) d y = ________ .
22. 设 f ( t ) =
td0
x
x
x s in
y
y
d y ,则函数 f ( t ) 在区间 0 , 上的最大值为________ .严选题 · 6.二重积分
23. 求极限
第 97 页，共154页
lim
n
1
n
1n
1
e y 2 d y
2n
1
e y 2 d y
n
1
n
1
e y 2 d y
→
− + − + +
−
−
.
24. 求极限 lim
t→ 0 +
16
t
td0 x tsx in ( x y ) 2 d y .
25.计算
1214
d y
12
y
e
yx
d x +
1
12
d y
y
y
e
yx
d x .严选题 · 6.二重积分
26. 计算二重积分
第 98 页，共154页
D
x 2 y 2 1 d + − ,其中 D = ( x , y )∣ 0 x 1 , 0 y 1 .
27. 计算二重积分 maxxy,1dxdy,其中
D
D = ( x , y )∣ 0 x 2 , 0 y 2 .严选题 · 6.二重积分
28. 设
第 99 页，共154页
D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 2 , x 0 , y 0 , 1 + x 2 + y 2 表示不超过 1+x2 + y2 的最大整数,
计算二重积分
D
x y ( 1 + x 2 + y 2 ) d x d y .
29. 计算二重积分
D
( x − y ) d x d y ,其中 D = ( x , y )∣ ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 2 , y x .严选题 · 6.二重积分
30. 计算二重积分 I = r2sin 1−r2cos2drd ,其中
D
第 100 页，共154页
D ( r , ) 0 r s e c , 0
4
.
=
∣
x2 + y2
31. 计算二重积分 d ,其中 D 是由曲线 y=−a+ a2−x2(a0) 和直
D 4a2 −x2 −y2
线 y = − x 围成的区域.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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32. 计算二重积分
第 101 页，共154页
D
( x + y ) 3 d x d y ,其中 D 由曲线 x= 1+y2 与直线 x + 2 y = 0 及
x − 2 y = 0 围成.
33. 计算
D
( x + y 2 ) d x d y ,其中 D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 2 x + 2 y .严选题 · 6.二重积分
34. 求
第 102 页，共154页
D
(
x 2 y 2 y
)d
+ + ,其中 D 是由圆 x 2 + y 2 = 4 和 ( x + 1 ) 2 + y 2 = 1 所围成的 平
面区域 (如图).
35. 计算二重积分
D
e x x y d x d y ,其中 D 是以曲线 y = x , y =
1
x
及 y 轴为边界的 无
界区域.严选题 · 6.二重积分
36. 计算积分
第 103 页，共154页
34
4
d
2
0
sin (
s in c o s 1 r 2 s in 2
)
r 2 d r
+ + .
37.计算积分 1
−
d1 x 1 +
x
1 − x 2 ( x 3 + 1 ) x 2 + y 2 d y .严选题 · 6.二重积分
38. 设
第 104 页，共154页
f ( t ) = td0 x t
x
y 2 e − y 2 d y ,试证对一切的 t(−,+) ,有 0 f ( t ) 1
2
.
39. 设 D = ( x , y )∣ 0 x 2 , 0 y 2 .
(1) 计算 b= xy−1d;
D
(2) 设 f ( x , y ) 在 D 上连续,且 f (x,y)d=0, xyf (x,y)d=1. 证明: 存在
D D
(,)D 使 f ( , )
1
b
.严选题 · 6.二重积分
40. 设
第 105 页，共154页
f ( x ) , g ( x ) 在 0 ,1 上连续,且同时单调增,证明:
1 1 1
f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx.
0 0 0 严选题 · 7.无穷级数
第七章 无穷级数
1.下列命题正确的是 ( )
(A) 若正项级数
第 106 页，共154页
n 1
a
n
=
1
发散,则 a (nN) .
n n
(B) 若
n 1
( a
2 n 1
a
2 n
)
=
−
+ 收敛,则
n 1
a
n
=
收敛.
(C) 若
n 1
a
n
=
与
n 1
b
n
=
至少有一个发散,则
n 1
( a
n
b
n
)
=
+ 发散.
(D) 若
n 1
a
n
b
n
=
收敛,则
n 1
a 2n
=
与 b2 都收敛.
n
n=1
2.设有命题
(−1)n
① 若 a 收敛,则 a 收敛.
n n
n
n=1 n=1
② 若正项级数
n 1
a
n
=
满足
a
na +
n
1 1 ( n = 1 , 2 , ) ,则
n 1
a
n
=
收敛.
③ 若 lim
n
u
v
n
n
l 0
→
= ,则
n 1
u
n
=
与
n 1
v
n
=
同敛散.
④ 若 a
n
b
n
c
n
( n = 1 , 2 , ) 且
n 1
a
n
=
与
n 1
c
n
=
都收敛,则
n 1
b
n
=
收敛.
则上述命题中正确的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.严选题 · 7.无穷级数
3. 设函数
第 107 页，共154页
f ( x ) 在 0 ,1 上连续, a
n
= n
1n
n
n+
1
f ( x ) d x ( n = 1 , 2 , ) ,则级数
n 1
a
n
=
( )
(A) 条件收敛. (B) 绝对收敛.
(C) 发散. (D) 敛散性与 f ( x ) 的增减性有关.
4. 设常数 p 0
(−1)n−1
,则级数 ( )
ln ( en + p )
n=1
(A) 绝对收敛. (B) 条件收敛. (C) 发散. (D) 敛散性与 p 的取值有关.
5.下列命题正确的是 ( )
(A) 若 lim
n
a
b
n
n
→
= ,则级数
n 1
a
n
=
发散可推得
n 1
b
n
=
发散.
(B) 若 lim
n
a
b
n
n
0
→
= ,则级数
n 1
b
n
=
收敛可推得
n 1
a
n
=
收敛.
(C) 若 lim
n
a
n
b
n
0
→
= ,则级数
n 1
a
n
=
和 b 至少有一个收敛.
n
n=1
(D) 若 lima b =1 ,则级数
n n
n→
n 1
a
n
=
和 b 至少有一个发散.
n
n=1严选题 · 7.无穷级数
6.已知级数
第 108 页，共154页
n 1
a
n
=
收敛,则下列结论不正确的是（ ）
(A) (a +a ) 必收敛. (B) (a +a ) 必收敛.
n n+1 2n 2n+1
n=1 n=1
(C)
n 1
( a
2 n
a
2 n 1
)
=
−
+
必收敛. (D)
n 1
( a 2n a 2n
1
)
=
−
+
必收敛.
7. 设 a
n
0 ( n = 1 , 2 , 3 , ) ,且
n 1
a
n
=
收敛,常数 0 ,
2
,则级数
n 1
( 1 ) n n ta n
n
a
2 n
=
− ( )
(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 收敛性与 有关.
8. 设级数
n 1
u
n
=
收敛,则必收敛的级数为 ( )
u
(A) (−1)n n . (B) u2. (C) (u −u ). (D) (u +u ).
n n 2n−1 2n n n+1
n=1 n=1 n=1 n=1严选题 · 7.无穷级数
9. 若级数
第 109 页，共154页
n 1
a
n
=
收敛,则级数（ ）
a +a
(A) a 收敛. (B) (−1)n a 收敛. (C) a a 收敛. (D) n n+1 收敛.
n n n n+1 2
n=1 n=1 n=1 n=1
10. 设有两个数列 a
n
, b
n
,若 lim
n
a
n
0
→
= ,则 ( )
(A) 当
n 1
b
n
=
收敛时,
n 1
a
n
b
n
=
收敛. (B) 当
n 1
b
n
=
发散时, a b 发散.
n n
n=1
(C) 当
n 1
b
n
=
收敛时, a2b2 收敛. (D) 当 b 发散时,
n n n
n=1 n=1 n 1
a 2n b 2n
=
发散.
11. 设 a
n
0 , n = 1 , 2 , ,若
n 1
a
n
=
发散,
n 1
( 1 ) n 1 a
n
=
− − 收敛,则下列结论正确的是 ( )
(A)
n 1
a
2 n 1
=
−
收敛,
n 1
a
2 n
=
发散. (B)
n 1
a
2 n
=
收敛,
n 1
a
2 n 1
=
−
发散.
(C)
n 1
( a
2 n 1
a
2 n
)
=
−
+ 收敛. (D)
n 1
( a
2 n 1
a
2 n
)
=
−
− 收敛.严选题 · 7.无穷级数
12. 设
第 110 页，共154页
u
n
是数列,则下列命题正确的是 ( )
(A) 若 u 收敛,则 (u +u ) 收敛.
n 2n−1 2n
n=1 n=1
(B) 若
n 1
( u
2 n 1
u
2 n
)
=
−
+ 收敛,则
n 1
u
n
=
收敛.
(C) 若
n 1
u
n
=
收敛,则
n 1
( u
2 n 1
u
2 n
)
=
−
− 收敛.
(D) 若
n 1
( u
2 n 1
u
2 n
)
=
−
− 收敛,则
n 1
u
n
=
收敛.
13.已知级数
n 1
( 1 ) n n s in
1
n a
=
− 绝对收敛,级数
n 1
(
n
1
2
n )a
=
−
−
条件收敛,则 ( )
1 1 3 3
(A) 0 . (B) 1 (C) 1 . (D) 2.
2 2 2 2公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 7.无穷级数
14. 设
第 111 页，共154页
a
n
为正项数列,下列选项正确的是 ( )
(A) 若 a
n
a
n + 1
,则 (−1)n−1 a 收敛.
n
n=1
(B) 若
n 1
( 1 ) n 1 a
n
=
− − 收敛,则 a
n
a
n + 1
.
(C) 若
n 1
a
n
=
收敛,则存在常数 p 1 ,使 lim
n
n p a
n
→
存在.
(D) 若存在常数 p 1 ,使 limnpa 存在,则
n
n→
n 1
a
n
=
收敛.
15. 若幂级数
n 0
a
n
( x 1 ) n
=
+ 在 x = 1 处收敛,则级数
n 0
a
n
( )
=
(A) 绝对收敛. (B) 条件收敛. (C) 发散. (D) 敛散性不定.严选题 · 7.无穷级数
16. 设
第 112 页，共154页
n 1
( x
n
a ) n
=
−
在 x=−2 处条件收敛,则
n 1
n 2 ( x a ) n
=
− 在 x = ln
1
2
处（）
(A) 绝对收敛. (B) 条件收敛. (C) 必发散. (D) 敛散性由 a 确定.
17. 设数列 a
n
单调减少, lim
n
a
n
0 , S
n
k
n
1
a
k
( n 1 , 2 , )
→
= =
=
=
无界,则幂级数 a (x−1)n
n
n=1
的收敛域为 ( )
(A) ( − 1 ,1 . (B) − 1 ,1 ) . (C) 0,2). (D) ( 0 , 2 .
18. 设 a
n
0 , p 1 ,且 lim
n
n p e
1n
1 a
n
1
→
−
= . 若
n 1
a
n
=
收敛,则 p 的取值范围为________.严选题 · 7.无穷级数
19. 设幂级数
第 113 页，共154页
n 1
a
n
x n
=
的收敛半径为 3,则幂级数
n 1
n a
n
( x 1 ) n 1
=
− + 的收敛区间为________.
20. 已知幂级数
n 0
a
n
( x 2 ) n
=
+ 在 x=0 处收敛,在 x = − 4
处发散,则幂级数 a (x−3)n
n
n=0
的收敛域为________.
21. 设正项数列 a
n
单调减,且 lim
n
a
n
ln n 1
→
= ,则幂级数
n 1
( 1 )
n
n a
n ( x 1 ) n
=
−
+ 的收敛区 间
为________.严选题 · 7.无穷级数
22. 已知级数
第 114 页，共154页
n 1
( 1 ) n a
n
=
−
(−1)n a
条件收敛,则幂级数 n(x+1)n 的收敛区间为________.
n
n=1
23. 设幂级数
n 1
a
n
x n
=
在 x = 2 时条件收敛,则幂级数
n 1
a
n
x 2 n
=
的收敛域为________.
(−1)n xn
24. 幂级数 的收敛域为________.
n(−3)n +2n
n=1 严选题 · 7.无穷级数
25.判定下列级数的敛散性
(1)
第 115 页，共154页
n 1 a
1n
n
( a 0 )
=
. (2)
n 1 n
0
4 1
n
x 4 d x
= +
.
(3)
n 1
n 3 2
3
(
n
1 ) n
n
=
+ − n−1 1
. (4) (−1)n .
n+1 n
n=1
26. 已知 y = y ( x ) 满足 y = x + y ,且 y ( 0 ) = 1 ,试讨论级数
n 1
y
1
n
1
1
n
=
− −
的敛散性.严选题 · 7.无穷级数
27. 将
第 116 页，共154页
f ( x ) =
x 2 +
x
7 x + 6
在 x = 4 处展开为幂级数.
1
28. 将 ln 在
2+2x+x2
x = − 1 处展开为幂级数.
29. 将 a r c ta n
4
4
+
−
x
x
2
2
展开为 x 的幂级数.严选题 · 7.无穷级数
(−1)n+1
30. 求幂级数 x+2 x2n+1 的收敛域及和函数.
4n2 −1
n=1
31. 求幂级数
第 117 页，共154页
n 0
(
x
4
4
n
n
) !
=
的收敛域与和函数.
32. 求幂级数
n 1
( 1
n
n )(
2
1
n
x 2
1
n
)
1
=
− −
−
+
的收敛域及和函数 S ( x ) .严选题 · 7.无穷级数
(−1)n−1
33.求级数 的和.
(2n−1)(2n+1)
n=1
34. 设
第 118 页，共154页
f ( x ) =
1 +
x
x 2 a
1
r
,
c ta n x , x
x
=
0
0
,
.
试将 f (x)展开成 x
(−1)n
的幂级数,并求级数 的和.
1−4n2
n=1
35. 设银行存款的年利率为 r = 0 .0 5 ,并依年复利计算. 某基金会希望通过存款 A 万元实现
第一年提取 19 万元,第二年提取 28 万元, , , ,第 n 年提取 (10+9n) 万元,并能按此
规律一直提取下去,问 A 至少应为多少万元?严选题 · 7.无穷级数
36. 设幂级数
第 119 页，共154页
n 0
a
n
x n
=
在 ( , ) − + 内收敛,其和函数 y ( x ) 满足
y−2xy−4y=0,y(0)=0,y(0)=1.
(1) 证明 a
n + 2
=
n
2
+ 1
a
n
, n = 1 , 2 , .
(2) 求 y ( x ) 的表达式.
37. 设数列 a
n
满足条件: a
0
= 3 , a
1
= 1 , a
n − 2
− n ( n − 1 ) a
n
= 0 ( n 2 ) , S ( x ) 是幂级数
n 0
a
n
x n
=
的和函数.
(1) 证明: S ( x ) − S ( x ) = 0 ;
(2) 求 S(x) 的表达式.严选题 · 7.无穷级数
1
38. 已知 a =1,a = ,且当
0 1 2
第 120 页，共154页
n 2 ,有 n a
n
=
1
2
+ ( n − 1 )
a
n − 1
. 证明当 x 1 时,幂级数
n 0
a
n
x n
=
收敛,并求其和函数.
39. 设幂级数
n 0
a
n
x n
=
的系数满足 a
0
= 2 , n a
n
= a
n − 1
+ n − 1 , n = 1 , 2 , 3 , ,求此幂级数的和函数
S ( x ) .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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40. 设
第 121 页，共154页
f ( x ) 在 x = 0 某邻域内有连续一阶导数, lim
x → 0
f (
x
x ) = 2 . 试证: 级数
n 1
( 1 ) n f 1
n
=
− 条
件收敛.
[注] 以下题目数三不做要求,即41至48题仅数一完成.
1 1
41. 设 f (x)= x− ,b =2 f (x)sinnxdx(n=1,2, ).令
2 n 0
S ( x )
n 1
b
n
s in n x
=
=
9
,则 S− =( )
4
(A)
3
4
. (B)
1
4
. (C) −
1
4
. (D) −
3
4
.严选题 · 7.无穷级数
42. 设
第 122 页，共154页
x 2
n 0
a
n
c o s n x ( x )
=
=
− ,则 a
2
= _________ .
43. 设 f ( x ) 在 0,+) 上连续,且
0
f 2 ( x ) d x
+
收敛,令 a
n
=
1
0
f ( n x ) d x ,证明:
n 1
a
n
2na
( 0 )
=
收敛.严选题 · 7.无穷级数
44. 设
第 123 页，共154页
a
n
0 , b
n
0 ( n = 1 , 2 , ) ,且满足
a
na +
n
1
b
nb +
n
1 , n = 1 , 2 , .试证:
(1) 若
n 1
b
n
=
收敛,则
n 1
a
n
=
收敛.
(2) 若
n 1
a
n
=
发散,则
n 1
b
n
=
发散.
45. 设数列 u
n
,其中 u =3,u =5 ,当
1 2
n 3 时 u
n
= u
n − 1
+ u
n − 2
,证明级数
n 1
1
u
n
=
收敛.严选题 · 7.无穷级数
46. 将
第 124 页，共154页
f ( x ) = x − 1 ( 0 x 2 ) 展开成周期为 4 的余弦级数.
47. 将函数 f ( x ) 1 x 2 ( 0 x ) = − 展开成余弦级数,并求级数
n 1
( 1
n
n )2 1
=
− −
的和.
48. 将函数 f ( x ) = 2 + x ( − 1 x 1 ) 展开成以 2 为周期的傅里叶级数, 并由此求级数
n 1
1
n 2
=
的和.严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用
x−1 y−5 z+8 x−y=6,
1. 设有直线 L : = = 与 L : 则 L 与 L 的夹角为 ( )
1 1 −2 1 2 2y+z=3, 1 2
(A)
第 125 页，共154页
6
. (B) . (C) . (D)
4 3 2
.
x+3y+2z+1=0,
2. 设有直线 L: 及平面 :4x−2y+z−2=0 ,则直线 L( )
2x−y−10z+3=0
(A) 平行于 . (B) 在 上. (C) 垂直于 . (D) 与 斜交.
3. 已知曲面z=4−x2 −y2上点 P 处的切平面平行于平面 2 x + 2 y + z − 1 = 0 ,则点 P 的坐标是
( )
(A) (1,−1,2). (B) (−1,1,2). (C) ( 1 ,1 , 2 ) . (D) (−1,−1,2).严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
4. 在曲线 x=t,y=−t2,z=t3 的所有切线中,与平面
第 126 页，共154页
x + 2 y + z = 4 平行的切线 ( )
(A) 只有 1 条. (B) 只有 2 条. (C) 至少有 3 条. (D) 不存在.
5.设函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 附近有定义,且 f 'x ( 0 , 0 ) = 3 , f 'y ( 0 , 0 ) = 1 ,则 ( )
(A) d z
(0 ,0 )
= 3 d x + d y .
(B) 曲面 z = f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 , f ( 0 , 0 ) ) 的法向量为 3 ,1 ,1 .
(C) 曲线
z = f
y
(
=
x ,
0
y ) ,
在点 ( 0 , 0 , f ( 0 , 0 ) ) 的切向量为 1 , 0 , 3 .
(D) 曲线
z = f
y
(
=
x ,
0
y ) ,
在点 ( 0 , 0 , f ( 0 , 0 ) ) 的切向量为 3,0,1.
6. 函数 f ( x , y ) = a r c ta n
x
y
在点 (0,1) 处的梯度等于 ( )
(A) i. (B) −i. (C) j. (D) −j.严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
7.曲面
第 127 页，共154页
x 2 + c o s ( x y ) + y z + x = 0 在点 ( 0 ,1 , − 1 ) 处的切平面方程为 ( )
(A) x−y+z=−2. (B) x+ y+z=0. (C) x−2y+z=−3. (D) x−y−z=0.
8.设 ( a b ) c = 2 ,则 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ________ .
9. 点 ( 2 ,1 , 0 ) 到平面 3 x + 4 y + 5 z = 0 的距离 d =________ .严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
10. 与两直线
第 128 页，共154页
x
y
z
=
=
=
1
−
2
1
+
+
t
t
x+1 y+2 z−1
及 = = 都平行,且过原点的平面方程为________ .
1 2 1
11.过点 M ( 1 , 2 , − 1 ) 且与直线
x
y
z
=
=
=
−
3
t
t
t
−
+
−
1
2
4 垂直的平面方程是________ .
12. 已知两条直线的方程是 L
1
:
x −
1
1
=
y −
0
2
=
z −
− 1
3
, L
2
:
x +
2
2
=
y −
1
1
=
z
1
,则过 L
1
且平行于
L
2
的平面方程是________ .严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
13. 设一平面经过原点及点
第 129 页，共154页
( 6 , − 3 , 2 ) ,且与平面 4 x − y + 2 z = 8 垂直,则此平面方程为
________ .
14. 由曲线
3
z
2 x
=
+
0
2 y 2 = 1 2 ,
绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点
(
0 , 3 , 2
)
处的指 向外
侧的单位法向量为________ .
15.直线
x −
0
1
=
y −
1
1
=
z −
1
1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为________ .严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
16. 函数 u=ln ( x2 +y2 +z2) 在点
第 130 页，共154页
M ( 1 , 2 , − 2 ) 处的梯度 g r a d u
M
= ________ .
17.函数 f ( x , y , z ) = x 2 y + z 2 在点 ( 1 , 2 , 0 ) 处沿向量 n = ( 1 , 2 , 2 ) 的方向导数为________ .
18. 设函数 u ( x , y , z ) = 1 +
x
6
2
+
y
1
2
2
+
z
1
2
8
,单位向量 n =
1
3
1 ,1 ,1
u
,则 =________ .
n
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19. 设可微函数
第 131 页，共154页
f ( x , y , z ) 在点 ( x
0
, y
0
, z
0
) 处的梯度 g =1,2,3 ,则函数 f ( x , y , z ) 在点
(x ,y ,z ) 处沿 l =1,1,1 方向的方向导数为________ .
0 0 0
20. 设 u = 3 x 2 y − 2 y z + z 3 , v = 4 x y − z 3 . 则 u 在点 P ( 1 , − 1 ,1 ) 处沿 g r a d v 方向的方向导数
为________ .
21.设函数 u = u ( x , y , z ) 由方程 x+y+z+u+xy2z3eu =1 所确定,求函数 u ( x , y , z ) 在点
(0,0,0) 处沿椭球面 x2 +2y2 +3(z−1)2 =3 在该点的外法线方向的方向导数.严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
22.函数
第 132 页，共154页
u = x 2 + y 2 + z 2 在椭球面 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 上哪一点沿哪一个方向的方向导数最大?
并求其最大值.
23. 求曲线
x
x
2
2
+
+
y
y
2
2
+
=
z
a
2
x
= a 2
( a 0 ) 在点 M
0
( 0 , 0 , a ) 处的切线及法平面.
24. 求直线 L :
x −
1
1
=
y
1
=
z −
− 1
1
在平面 : x − y + 2 z − 1 = 0 上的投影直线 L
0
的方程, 并求
L
0
绕 y 轴旋转一周所围成的曲面方程.严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
25. 求椭球面
第 133 页，共154页
x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 2 1 上某点处的切平面 ,使平面 过已知直线
x−6 y−3 2z−1
L: = =
2 1 −2
x+2y+z−1=0,
26. 求过直线 且与曲线
x−y−2z+3=0
x
x
2
+
+
y
y
+
2 =
2 z
1
2=
2 z
4
,
在点 ( 1 , − 1 , 2 ) 处的切线平 行的
平面.严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
27. 设有一小山,取它的底面所在的平面为
第 134 页，共154页
x O y 坐标面,其底部所占的区域为
D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 − x y 7 5 ,小山的高度函数为 h ( x , y ) = 7 5 − x 2 − y 2 + x y .
(1) 设 M ( x
0
, y
0
) 为区域 D 上一点,问 h ( x , y ) 在该点沿平面上什么方向的方向导数
最大? 若记此方向导数的最大值为 g(x ,y ) ,试写出 g(x ,y ) 的表达式.
0 0 0 0
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的
起点.也就是说,要在 D 的边界线 x 2 + y 2 − x y = 7 5 上找出使 (1) 中的 g ( x , y ) 达到最大
值的点.试确定攀登起点的位置.严选题 · 8.向量代数与空间解析及多元应用
28. 设一礼堂的顶部是一个半椭球面,其方程为
第 135 页，共154页
z = 4 1 −
x
1
2
6
−
y
3
2
6
,求下雨时过房顶上点
P
(
1 , 3 , 1 1
)
处的雨水流下的路线方程（不计摩擦）.严选题 · 8.多元积分学及其应用
第九章 多元积分学及其应用
1.已知
第 136 页，共154页
( x + a
(
y
x
)
+
d x
y
+
2 )
y d y
为某函数的全微分,则 a 等于 ( )
(A) -1. (B) 0. (C) 1. (D) 2.
2. 设有空间区域
1
: x 2 + y 2 + z 2 R 2 , z 0 及
2
: x 2 + y 2 + z 2 R 2 , x 0 , y 0 , z 0 ,则 ( )
(A)
1
x d v = 4
2
x d v . (B) ydv=4 ydv
1 2
(C)
1
z d v = 4
2
z d v . (D) 1 x y z d v = 4
2
x y z d v .
3.设 S:x2+y2+z2 =a2(z0),S 为
1
S 在第一卦限中的部分,则有 ( )
(A)
S
x d S = 4
S
1
x d S . (B)
S
y d S = 4
S
1
x d S
(C) zdS =4 xdS. (D) xyzdS =4 xyzdS .
S S S S
1 1严选题 · 8.多元积分学及其应用
4. 设
第 137 页，共154页
L
1
: x 2 + y 2 = 1 , L
2
: x 2 + y 2 = 2 , L
3
: x 2 + 2 y 2 = 2 , L
4
: 2 x 2 + y 2 = 2 为四条逆时针方向的平面
曲线,记 I
i
=
Ii
y +
y
6
3
d x +
2 x −
3 x
3
d y ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,则 maxI ,I ,I ,I =( )
1 2 3 4
(A) I . (B) I . (C) I . (D) I .
1 2 3 4
5. 设数量场 u = ln x 2 + y 2 + z 2 ,则 div(gradu)=________ .
6. 已知向量 A = x y 2 , y z 2 , z x 2 ,则 grad(divA) =________ .
(1,−1,2)严选题 · 8.多元积分学及其应用
7. 给定向量 A= x2y,y2z,z2x ,则
第 138 页，共154页
r o t g r a d ( d iv A ) = ________ .
8. 设 为区域
x
a
2
2
+
y
b
2
2
+
z
c
2
2
1 ,则
( x + y + z ) 2 d v = ________ .
9. 积分 I 2
0
d 1 d0 r 1
0
re (1 z 2) d z = − − − = ________ .严选题 · 8.多元积分学及其应用
10. 设
第 139 页，共154页
C
x2 y2
为椭圆 + =1 ,其周长为
a2 b2
L ,则 ∮
C
( b x + a y + 1 ) 2 d s = ________ .
11. 设曲线 :
x
x
2
+
+
y
y
+
2 +
z
z
=
2
0
= a 2 ,
( a 0 ) ,则 ∮
( x + 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 d s = ________ .
12.已知曲线 L 的方程为 y = 1 − x ( x − 1 ,1 ) ,起点是 ( − 1 , 0 ) ,终点为 (1,0) ,则曲线 积
分 xydx+x2dy=________ .
L严选题 · 8.多元积分学及其应用
13.设
第 140 页，共154页
L 是柱面 x 2 + y 2 = 1 与平面 z=x+ y 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为 逆
时针方向,则曲线积分
L
x z d x + x d y +
y
2
2
d z = ________ .
14. 设 L 是单位圆周 x 2 + y 2 = 1 , n 为 L 的外法线向量, u ( x , y ) = 1
1 2
( x 4 + y 4 ) ,则
u
ds=________ .
Ln
15. 设 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ,则
( z + x ) 2 d S = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 8.多元积分学及其应用
16. 设
第 141 页，共154页
为上半球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( a 0 , z 0 ) ,则积分
( 2 x + z + 1 ) 2 d S = ________ .
17. 设 是由雉面 z = x 2 + y 2 与半球面 z = R 2 − x 2 − y 2 围成的空间区域, 是
的整个边界的外侧,则
x d y d z + y d z d x + z d x d y = ________ .
18. 柱面 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 介于平面 z = 0 与上半圆锥面 z = x 2 + y 2 之间部分的面积为严选题 · 8.多元积分学及其应用
19. 设 = (x,y,z∣) x2+y2 z1 ,则 的形心的竖坐标 z=________ .
20. 计算积分
第 142 页，共154页
x ( 1 + z ) d v ,其中 由 x= y2 +z2,x2 = y2 +z2 所围成.
21. 计算积分
z − x 2 − y 2 d v ,其中 :0z1,x2 +y2 1 .严选题 · 8.多元积分学及其应用
22. 计算积分
1
dx
1−x
dy
1−x−y (1−y)e−(1−y−z)2
dz .
0 0 0
23. 已知
第 143 页，共154页
L 是第一象限中从点 ( 0 , 0 ) 沿圆周 x 2 + y 2 = 2 x 到点 ( 2 , 0 ) ,再沿圆周
x 2 + y 2 = 4 到 ( 0 , 2 ) 的曲线段. 计算曲线积分 I =
L
3 x 2 y d x + ( x 3 + x − 2 y ) d y .
24. 计算线积分 I =
L
( e − x 2 s in x + 3 y − c o s y ) d x + ( x s in y − y 4 ) d y ,其中 L 为从点 A ( , 0 ) −
沿曲线 y = s in x 到点 B ( , 0 ) 的弧段.严选题 · 8.多元积分学及其应用
25. 计算线积分
第 144 页，共154页
C
( x − y ) d
x
x
2
+
+
(
y
x
2
+ y ) d y
,其中 C
x2
为上半椭圆 y=b 1− (a0) 从
a2
(−a,0) 到 (a,0) 的弧段.
26. 计算线积分 I =
L
x d y
2 4 x
−
+
y d
y
x
2
,其中 L 为由点 A ( − 1 , 0 ) 经点 B ( 1 , 0 ) 到点 C ( − 1 , 2 )
的 路径, A B 为下半圆周, B C 为直线.严选题 · 8.多元积分学及其应用
27. 设函数Q(x,y)在平面
第 145 页，共154页
x O y 上具有一阶连续偏导数,曲线积分
L
2 x y d x + Q ( x , y ) d y 与路径关,
并且对任意 t 恒有
( ) t,1
2
( ) 0 ,0
x y d x + Q ( x , y ) d y =
( ) 1 ,t
2
( ) 0 ,0
x y d x + Q ( x , y ) d y .求 Q ( x , y ) .
( t,t2)
28. 已知 f (x,y)dx+xcosydy=t2, f (x,y) 有一阶连续偏导数,求
(0,0)
f ( x , y ) .严选题 · 8.多元积分学及其应用
29.设函数 f (x)在
第 146 页，共154页
( , ) − + 内具有一阶连续导数, L 是上半平面 ( y 0 ) 内的有向分段光滑曲线,
其起点为(a,b),终点为(c,d).记 I =
L
1
y
1 + y 2 f ( x y ) d x +
x
2 y
y 2 f ( x y ) − 1 d y .
(1) 证明曲线积分 I 与路径 L 无关;
(2) 当 a b = c d 时,求 I 的值.
30.设函数 ( x ) 具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上,曲线 积分
(y)dx+2xydy
的值恒为同一常数.
L 2x2 + y4
(1) 证明:对右半平面 x 0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C ,有
C
( y )
2
d
x
x
2
2
y
x
4
y d y
0
∮
+
+
= ;
(2) 求函数 ( y ) 的表达式.严选题 · 8.多元积分学及其应用
31.设
第 147 页，共154页
f ( x ) , g ( x ) 具有二阶连续导数,且
∮
C
y 2 f ( x ) + 2 y e x + 2 y g ( x ) d x + 2 y g ( x ) + f ( x ) d y = 0 , 其中 C 为平面上任意简单闭曲线.
(1) 求 f ( x ) 和 g ( x ) ,其中 f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 ;
(2) 计算沿任一条曲线从 ( 0 , 0 ) 到 ( 1 ,1 ) 点的积分.
32. 设 C 为分段光滑简单闭曲线, n 为 C 的外法线向量, D 为 C 所围成的闭区域,函数 u ( x , y )
在D上有二阶连续偏导数,证明:
C
u
n
d s =
D
2
x
u2
+
2
y
u2
d x d y .严选题 · 8.多元积分学及其应用
33. 设
第 148 页，共154页
f ( x , y ) 在圆域 x 2 + y 2 1 上二阶连续可微,且满足
2
x
f2 +
2
y
f2 = e − ( x 2 + y 2 ) ,计算积分
f f
x + y dxdy .
x2+y21 x y
34.计算曲线积分 I ∮=
y d x + z d y + x d z ,其中 为x2 + y2 +z2 =a2与x+ y+z=0的交线,沿 z
轴正向看去为逆时针方向 ( a 0 ) .严选题 · 8.多元积分学及其应用
35. 计算曲线积分
第 149 页，共154页
I ∮=
x y d x + z 2 d y + z x d z ,其中 为锥面z= x2 +y2 与柱面
x 2 + y 2 = 2 a x ( a 0 ) 的交线,沿 z 轴正向看去为逆时针方向.
36. 证明 ( x+ y+z+ 3a )3 dS 108a5(a0),其中
为曲面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 a x +
2 a y + 2 a z − 2 a 2 .严选题 · 8.多元积分学及其应用
37. 设P为椭球面
第 150 页，共154页
S : x 2 + y 2 + z 2 − y z = 1 上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 x O y 面垂直,求点
P 的轨迹 C
( )
x+ 3 y−2z
,并计算曲面积分I = dS,其中
4+ y2 +z2 −4yz
是椭球面 S 位于曲线 C 上方的
部分.
38. 计算曲面积分 I =
x z d y d z + 2 z y d z d x + 3 x y d x d y ,其中 为曲面 z = 1 − x 2 −
y
4
2
( 0 z 1 ) 的
上侧.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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39. 计算曲面积分
第 151 页，共154页
I =
x d y d
(
z
x
+
2 +
y d
y
z
2
d x
+
+
z 2
z
)
d
32
x d y
,其中 为椭球面
2 x
4
+
y
9
2
+
z
2
2
5
= 1 的外侧.
40. 设对任意的分片光滑有向封闭曲面 S ,都有
y f ( x ) + y z d y d z − 1
2
y 2 f ( x ) d z d x − ( z y s in x + y 2 ) d x d y = 0 , 其中函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 内
具有连续的二阶导数,且 f (0)=0, f(0)=1.
(1) 求 f ( x ) ;
(2) 计算积分 (yf(x)+yz)dydz− 1 y2f (x)dzdx− ( zysinx+y2) dxdy,其中
2
为曲面
z = x 2 + y 2 介于 z = 0 和 z = 1 之间部分的内侧.严选题 · 8.多元积分学及其应用
41. 设 为上半单位球面
第 152 页，共154页
x 2 + y 2 + z 2 = 1 ( z 0 ) 的上侧,连续函数 f ( x , y ) 满足
f (x,y)=2xy2 +x2 + y3dydz+x3dzdx+zf (x,y)dxdy,求
f ( x , y ) .
42.设直线L过点 A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 ,1 ,1 ) 两点,将L绕z轴旋转一周得到曲面 , 与平面 z = 0 , z = 2
所围成的立体为 .
(1) 求曲面 的方程;
(2) 求 的形心坐标.严选题 · 8.多元积分学及其应用
43. 确定常数,使在右半平面
第 153 页，共154页
x 0 上的向量 ( x , y ) 2 x y ( x 4 y 2 ) x 2 ( x 4 y 2 ) A = + i − + j 为某二
元函数 u ( x , y ) 的梯度,并求 u ( x , y ) .
44. 质点P沿着以 A B 为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点 B ( 3 , 4 ) 的过程中受到变力 F 作用
(见右图), F 的大小等于点 P 与原点 O 之间的距离,其方向垂直于直线段OP,且与 y 轴正向的夹
角小于
2
.求变力 F 对质点 P 所做的功.严选题 · 8.多元积分学及其应用
45. 设密度为 1 的空间体 由不等式 x2 +y2 z1 所确定.
(1) 求
第 154 页，共154页
对 z 轴的转动惯量;
(2) 求 对直线 x = y = z 的转动惯量.
