专题22计数原理（讲）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题22 计数原理（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进 行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原 理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任 选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置， 四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种 不同的分配方案， 故选：C. 2.（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙 和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方式； 为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙 丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式， 故选：B 3．（2022·全国·统考高考真题） 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为 ， 所以 的展开式中含 的项为 ， 的展开式中 的系数为-28 故答案为：-28 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理．难度基本稳定在中等. 2.二项展开式定理的问题是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命 题： T Cranrbr （1）考查二项展开式的通项公式 r1 n ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）； （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用． T Cranrbr 近几年，围绕二项展开式的通项公式 r1 n 命题，考查某一项或考查某一项的系数较多. （二）本专题考向展示考点突破 典例分析 考向一 排列组合 【核心知识】 1.排列数公式： A n m nn1n2  nm1 这里 n,mN� 并且 mn n n 2.全排列： 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个元素的一个全排列， n! Am  An nn1n2 21n! n nm! n  (叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为 ，这里规定 0!1 . Am nn1n2 nm1 n! Cm  n    n Am m! m!nm! 0!1 C 0 1 3.组合数的计算公式： m ，由于 ，所以 n . C m C nm C m C m C m1 rC r nC r1 4.组合数的性质：① n n ；② n1 n n ；③ n n1 . 【典例分析】 典例1.（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法 有（ ） A．24种 B．30种 C．62种 D．41种 【答案】A 【分析】根据题意结合分类加法计数原理运算求解. 【详解】当两个盒子各放1个球的颜色相同时，则不同的放法有 种； 当两个盒子各放1个球的颜色不相同时，则不同的放法有 种； 综上所述：不同的放法有24种. 故选：A. 典例2. （2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大 会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿 者，则不同的分配方案共有（ ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原 理求得. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将5名大学生分为4组，有 种分组方法， ②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有 种情况， 则有 种分配方案； 故选： ． 典例3.（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本 市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________. 【答案】10 【分析】利用隔板法可求出结果. 【详解】将6个名额排成一排，6个名额之间有5个空，用3块隔板插入到这5个空中，每一种插空方法就是 一种名额分配方法，共有 种分配方法.故答案为： . 典例4.（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每 家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有 _________种. 【答案】684 【分析】先将护士和医生分别分成三组，再将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，根据分步乘法计数 原理可求出结果. 【详解】根据题意，分3步完成： 第一步：将6名护士分成3组，每组1至3人，其中护士甲和护士乙分到同一组， 若甲和乙一组，将其他4人分成2组即可，有 种分组方法； 若甲乙组恰有3人，从其他4人中选1人分到甲乙组，剩下的3人分成2组，有 种分组方法； 则护士有 种分组方法； 第二步：将3名医生分成3组，每组1人，有1种分组方法； 第三步：将分好的三组护士和三组医生安排到三家医院，有 种安排方法； 根据分步乘法计数原理得 种分配方法. 故答案为： . 典例5.（2023·高三课时练习）有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数. (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排一排，女生必须站在一起； (5)全体排一排，男生互不相邻； (6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排一排，甲必须排在乙的前面； (8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端. 【答案】(1)2520 (2)5040 (3)3600 (4)576(5)1440 (6)720 (7)2520 (8)3720 【分析】(1)简单的排列问题； (2) 个人全排列问题； (3)甲作为特殊元素，先排甲； (4)将所有女生看作一个整体，与三名男生进行全排列，再将四个女生进行全排列； (5)男生互不相邻，则采用插空法，先排女生，再在空位中插入男生； (6)把甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲乙两人，再排剩下的五人中挑选 人，最后与最终的两个人排列 即可； (7)算出所有的可能，排除掉乙在甲前面的情况即可； (8)当甲、乙不在两端时，可优先排好甲、乙，然后排其他人. 【详解】（1）从 人中选 人排列，有 （种）方法. （2）分两步完成，先选 人站前排， 有 种方法，余下 人站后排，有 种方法， 则共有 （种）方法. （3）先排甲，有 种方法，其余六人有 种， 则共有 （种）方法. （4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与 名男生全排列， 有 种方法，再将女生全排列，有 种方法， 则共有 （种）方法. （5）（插空法）：先排女生，有 种方法， 再在女生之间及首尾 个空位中任选 个空位安排男生，有 种方法，则共有 （种）方法. （6）把甲乙及中间三人看作一个整体， 第一步先排甲乙两人有 种方法， 再从剩下的 人中选 人排到中间，有 种方法， 最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列， 有 种，共有 （种）方法. （7）（消序法）： （种）方法. （8）（间接法）：无限制排法有 种， 其中甲或乙在最左端或在最右端有 种， 是甲在最左端且乙在最右端的排法， 共有 （种）方法. 【规律方法】 1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘． 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径： (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2. 解答排列、组合问题的角度： 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 3. 有条件的排列问题大致分四种类型． （1）直接法:①分类法:选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型ꎬ分别计算每个类型中的排 列数，再由分类加法计数原理得出总数. ②分步法:选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数. （2）捆绑法:相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的 内部排列. （3）插空法:不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后 的空中. （4）除法:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，所得数字（算式）再除以已定元素的全排列数. （5）间接法:对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法. 4．分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题 ①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为 均分的组数)，避免重复计数． ②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以 m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． (2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 考向二 求二项展开式中的特定项（系数） 【核心知识】 二项式定理 abn C0an C1an1b Cranrbr  Cnbn nN* n n  n  n ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右 abn Cr r 0,1,2,3, ,n 边的多项式叫做 的二项展开式，其中的系数 n (  )叫做二项式系数．式中的 Cranrbr T T Cranrbr n 叫做二项展开式的通项，用 r1表示，即展开式的第r1项； r1 n . 【典例分析】 典例6.（2020·北京·统考高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）． A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可. 【详解】 展开式的通项公式为： ， 令 可得： ，则 的系数为： . 故选：C.典例7.（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习） 的展开式中x2y4的系数为（ ） A．192 B．240 C．432 D．256 【答案】C 【分析】根据二项式定理将原式展开化简即可求出系数． 【详解】原式即 ，化简得 ，展开式中 项为 ，系数为432. 故选：C． 典例8.（2022·天津·统考高考真题） 的展开式中的常数项为______. 【答案】 【分析】由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ，代入即可 得解. 【详解】由题意 的展开式的通项为 ， 令 即 ，则 ， 所以 的展开式中的常数项为 . 故答案为： . 【总结提升】 1.求二项展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． 2．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分 别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2； (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．考向三 已知展开式的某项或其系数求参数 【核心知识】 已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值， 最后求出其参数． 【典例分析】 典例9.（2023秋·山东日照·高三校联考期末）二项式 的展开式中常数项为 ，则 的值为______． 【答案】1 【分析】利用二项式展开式的通项 ，令 ，根据常数项的值可列等式，求得 的值. 【详解】由题意可得二项式 的展开式的通项为 ， 令 ， 则 ，解得 ， 故答案为：1 典例10.（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若 展开式中 的系数为30，则 ________. 【答案】 【分析】求出 展开式通式和 相乘，然后利用 的系数为30列方程求解. 【详解】 展开式通式为 则 ， ，解得 故答案为： . 【特别提醒】 在应用通项公式时，要注意以下几点： ①它表示二项展开式的任意项，只要 n 与r确定，该项就随之确定； T ② r1是展开式中的第r1项，而不是第r项；a b n a b ③公式中， ， 的指数和为 且 ， 不能随便颠倒位置； abn ④对二项式 展开式的通项公式要特别注意符号问题． ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 考向四 二项式系数的性质与赋值法的应用 【核心知识】 二项式系数的性质 C0 Cn C1 Cn1 Cm Cnm (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 n n ， n n ，， n n . n1 n1 r  r  Cr (2)增减性与最大值：二项式系数 n ，当 2 时，二项式系数是递增的；由对称性知：当 2 时， 二项式系数是递减的． n n C2 当 是偶数时，中间的一项 n 取得最大值． n1 n1 n C 2 C 2 当 是奇数时，中间两项 n 和 n 相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 abn 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即 C n 0 C n 1   C n r   C n n 2n ，二项展开式中，偶数 C0 C2 C4  C1 C3 C5  2n1 项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 n n n  n n n  ， 【典例分析】 典例11.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设 ，则下列说法正确的是 （ ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项是第5项 【答案】AC 【分析】利用赋值法判断A、B；写出展开式的通项，即可求出 、 ，进而判断C；根据二项式系数的性质 判断D. 【详解】因为 ，令 得 ，故A正确；令 得 ，所以 ，故B错误； 二项式 展开式的通项为 ， 所以 ， ，所以 ，故C正确； 因为二项式 展开式共 项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为 ，故D错误； 故选：AC. 典例12.（2022秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考期末）已知 的展开式中，二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为______． 【答案】 【分析】先通过 得到 ，再写出 的展开式的通式，令 的次数为 即可得到常数项. 【详解】由 的展开式中，二项式系数之和为64得 ， ， 的展开式的通式为 令 ，得 所以展开式中常数项为 故答案为： . 典例13.（2023·甘肃兰州·校考一模）若 ，则 的值为______． 【答案】8 【分析】利用赋值法即可求解 【详解】令 ，则 ； 令 ，则 ， 两式相加除以2可得 ．故答案为：8 典例14.（2021·全国·高三专题练习）（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章 算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… 【答案】455 【分析】 对数据进行多角度观察，进而找出每一行的数与数之间，行与行之间的规律，进而求得答案. 【详解】 由题图可知，第1行： ， ，第2行： ， ， ，第3行： ， ， ， ，第4行： ， ， ， ， ，…， 观察可得第n行第r（ ）个数为 ，所以第15行第13个数为 ． 故答案为：455. 典例15.（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）若 ， 且 ． (1)求实数a的值； (2)求 的值． 【答案】(1)1； (2)2. 【分析】（1）根据给定条件，利用二项式定理求出 的表达式即可计算作答.（2）利用赋值法求出 ，再取 即可求解作答. 【详解】（1）依题意， ，因此 ，解 得 ， 所以实数a的值是1. （2）由（1）知， ，当 时， ， 当 时， ， 因此 ， 所以 . 【规律方法】 1.赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)． 0 1 2 n f(1) f(1) ①奇数项系数之和为a＋a＋a＋…＝ 2 . 0 2 4 f(1) f(1) ②偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝ 2 . 1 3 5 2．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大． 3．展开式系数最大值的两种求解思路 (1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． (2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从 而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．