[A4版]25李林108题数三做题本_考研_数学_02.李林_25李林《108题》做题本

李林 108 · 目录 目录 高等数学 ............................................................................... 3 高频考点1函数的性质 .............................................................. 3 高频考点2极限的定义和性质 ........................................................ 5 高频考点3函数极限计算 ............................................................ 6 高频考点4已知极限，确定参数等 .................................................... 7 高频考点5数列极限 ............................................................... 10 高频考点6函数的连续性与间断点 ................................................... 14 高频考点7导数的定义 ............................................................. 15 高频考点8导数计算、相关变化率 ................................................... 19 高频考点9微分中值定理和泰勒公式.................................................. 20 高频考点10导数的应用 ............................................................ 26 高频考点11积分计算 .............................................................. 30 高频考点12积分变限函数及原函数................................................... 33 高频考点13积分等式、不等式 ...................................................... 35 高频考点14定积分应用 ............................................................ 39 高频考点15多元函数微分学的概念................................................... 41 高频考点16复合函数、隐函数的偏导数、全微分计算 ................................... 43 高频考点17含偏导数等式 .......................................................... 44 高频考点18多元函数极值与最值 .................................................... 45 高频考点20微分方程及其应用 ...................................................... 48 高频考点21二重积分 .............................................................. 51 高频考点23经济数学(仅数学三要求) ................................................. 57 高频考点24无穷级数(仅数学一、三要求) ............................................. 59 线性代数 .............................................................................. 63 高频考点26行列式计算 ............................................................ 63 高频考点27矩阵的计算 ............................................................ 65 高频考点28矩阵方程 .............................................................. 67 第 1 页，共113页李林 108 · 目录 高频考点29初等矩阵 .............................................................. 68 高频考点30矩阵的秩 .............................................................. 69 高频考点31向量相关性 ............................................................ 72 高频考点32含参数线性方程组 ...................................................... 74 高频考点33抽象线性方程组及两个方程组公共解、同解 ................................. 75 高频考点34相似矩阵 .............................................................. 77 高频考点35实对称矩阵相似 ........................................................ 80 高频考点36二次型的标准形和规范形 ................................................. 82 高频考点37二次型正定及正负惯性指数 ............................................... 86 概率论与数理统计 ...................................................................... 89 高频考点38概率公式有关计算 ...................................................... 89 高频考点39随机变量的分布函数、概率密度的性质 ..................................... 91 高频考点40常用分布有关概率计算................................................... 92 高频考点41一维随机变量的函数的分布 ............................................... 95 高频考点42二维随机变量(X，Y)的分布及 第 2 页，共113页 ( X , Y ) 函数的分布 ............................ 96 高频考点43分布已知，求数字特征.................................................. 103 高频考点44分布未知，求数字特征.................................................. 107 高频考点45 2 , t , F  分布及参数估计 .................................................. 110李林 108 · 1.函数的性质 高等数学 高频考点1 函数的性质 (1)设g(u)= u sin(cost)dt, f (x)= x g(u)du,则正确的是( ). 0 0 A. f (x)是不可导的偶函数 B. f (x)是可导的偶函数 C. 第 3 页，共113页 f ( x ) 是不可导的奇函数 D. f ( x ) 是可导的奇函数 1 ex x te−t4 dt (2)设 f (x)= −1 ,则 x −1 f ( x ) 在下列哪个区间内无界( ). A.(−,−1) B. ( − 1 , 0 ) C.(0,1) D.(1,+)李林 108 · 1.函数的性质 (3)设 f (x)在 第 4 页，共113页 ( , )   − + 内连续,且 f ( x ) 关于点 ( a , 0 ) 对称,计算I = a+c f (t)dt.(a,c为不为零的常数) a−c (4)设可导函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 内是奇函数, y = f ( x ) 的图形关于直线 x = 2 对称,证明: f ( x ) 是以8 为周期的周期函数,并求 f  ( 1 8 ) 的值.李林 108 · 2.极限的定义和性质 高频考点2 极限的定义和性质 (1)下列结论中错误的是( ). A.设lima =a0,则当n充分大时,有 n n→ 第 5 页，共113页 a n  a 2 B.设 lim n a n a 0  → =  ,则当 n 充分大时,有 a n  a − 1 n C.设lima =ab=limb ,则当 n n n→ n→ n 充分大时,有a b n n D.设 M  a n  N ( n = 1 , 2 , ) ,若 lim n a n a  → = ,则 M  a  N (2)设 f (x)=ln2x,g(x)=x2,h(x)=xx(x1),当x充分大时,有( ). A. f ( x )  g ( x )  h ( x ) B. g ( x )  h ( x )  f ( x ) C. h ( x )  g ( x )  f ( x ) D. g ( x )  f ( x )  h ( x )公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 3.函数极限计算 高频考点3 函数极限计算 (1)求 第 6 页，共113页 lim x ( 1 x 1 x x ) x x e  → +  + + −  . (2)计算极限 lim x → 0  x 0  ( 2 + e s in tanx t − ) t e − x 2 t  d t . (3)计算极限 lim x→ 0 ta n ( ta n ta x n ) x − − s s in in ( x s in x ) . (4)计算极限 lim x 1 x 3 x 1 ( 1 2 t 1 ) s in 1 e x 1 t c o s t d t  → +   + − −  .李林 108 · 4.已知极限,确定参数等 高频考点4 已知极限，确定参数等 (1)设常数 第 7 页，共113页 a  0 ,若 lim x x p a 1x a 1x 1 q 0  → +  − +  =  ,求 p , q 的值. (2)设 f (x)是连续函数, lim x→ 0 1 f − ( c x o ) s x = − 1 ,当 x → 0 时,  1− 0 cosx f ( t ) d t 是关于 x 的 n 阶无穷小,求 n .李林 108 · 4.已知极限,确定参数等   b  (3)设 lim  xaln1+ −x  =c,其中a0,b0,c0,求a,b,c的值. x→+  x  (4)设当x→0时, f (x)=x+aln(1+x)+bxsinx与 第 8 页，共113页 g ( x ) = x − ta n x 是等价无穷小,求 a , b 的值.李林 108 · 4.已知极限,确定参数等  f (x) ln1+   x2  f (x) (5)设lim =1,求lim . x→0 arctanx x→0 (1−cosx)tanx (6)求曲线 第 9 页，共113页 y = 2 x + ln ( 1 + e x ) 的全部渐近线.李林 108 · 5.数列极限 高频考点5 数列极限 n  1  2nn −1   (1)求极限lim . n→ n2 n 1 (2)求极限lim (n+k)(n+k+1). n→ n2 k=1 第 10 页，共113页公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 5.数列极限  (3)设a = 1 xn 1−x2 dx,b =2sinntdt(n=1,2, ). n n 0 0 (I)求极限 第 11 页，共113页 lim n a b n n  → ; (II)(仅数学一、三要求)证明:级数 n 1 ( 1 ) n 1 a b n n   = − − 收敛,并求其和. (4)设函数 f ( x ) 可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( x ) 单调减少. (I)证明:当 x  ( 0 ,1 ) 时,有 f ( 1 ) x  f ( x )  f  ( 0 ) x ; (II)若 f ( 1 )  0 , f  ( 0 )  1 ,任取 x 0  ( 0 ,1 ) , x n = f ( x n − 1 ) , n = 1 , 2 , ,证明: lim n x n  → 存在,并求其值.李林 108 · 5.数列极限 (5)设 f (x)在a,b上二阶可导, f(x) k1,f(x )=0,f(x )0,x (a,b),且满足x = f (x ). 0 0 0 0 0 (I) 第 12 页，共113页  x 1   a , b  , x n + 1 = f ( x n ) ( n = 1 , 2 , ) ,证明: lim n x n  → 存在,且 lim n x n x 0  → = ; (II)求 lim n ( x x n n 1 x x 0 0) 2  → + − − . (6)设 f (x)二阶可导, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 , a  b , f ( b ) = 0 ,过点 ( a , f ( a ) ) 作曲线 y = f ( x ) 的切线与 x 轴 相交于点 ( x 0 , 0 ) . (I)证明:ax b; 0 (II)若过点 ( x 0 , 0 ) 作 x 轴的垂线,交 y = f ( x ) 于点 A 1 ,再过点 A 1 作 y = f ( x ) 的切线交 x 轴于点(x,0),重 1 复以上过程 n 次,如图所示,得数列  x n  ,证明; lim n x n b  → = .李林 108 · 5.数列极限   (7)设x 0,  ,数列x 满足 1  4 n 第 13 页，共113页 x n = 1 2 ( x n + 1 + ta n x n ) ( n = 1 , 2 , ) . (I)证明: lim n x n  → 存在,并求其值; (II)求 lim n x n x n 1 12xn  →  +  . (8)设 f n ( x ) = s in x + s in 2 x + + s in n x , n = 1 , 2 , . (I)证明:方程 f n ( x ) = 1 在 6 , 2     上有且只有一个实根;   (II)若x  , 是 n  6 2   f n ( x ) = 1 的实根,求 lim n x n  → .李林 108 · 6.函数的连续性与间断点 高频考点6 函数的连续性与间断点 (1)求函数 第 14 页，共113页 f ( x ) = lim u → x  ta ta n n u x  ln (1+ x tanu − tan x ) 的间断点,并指出其类型. (2)确定a,b的值,使得 f ( x ) = ( x − e x a −) ( b x − 1 ) 有无穷间断点 x = 0 和可去间断点 x = 1 . (3)证明:方程 1 − e − 2 x = x 在(0,+)内有唯一实根.李林 108 · 7.导数的定义 高频考点7 导数的定义  2 2 (1)设 f (x)=ln1+x3−x3,则正确的是( ).   A. 第 15 页，共113页 f  ( 0 ) 不存在, f  ( 0 ) 不存在 B. f  ( 0 ) 存在, f  ( 0 ) 不存在 C. f(0)存在, f  ( 0 ) 存在 D.无法确定 f  ( 0 ) 是否存在 1 1 1 (2)设 f(x )= ,x =sin + ,n=1,2, ,求 0 2 n n n2 lim n f x 0 1 n s in f 1 n ( x 0 x n )  →  +  − − .李林 108 · 7.导数的定义 f (x)+xx −1 (3)设 f (x)在x=1处可导,且lim =1,求 f(1). x→1 1−ex−1 (4)设 第 16 页，共113页 f ( x ) ta n 4 x 1 ta n 4 x 2 2 ta n 4 x n n , n 2    =    −     −     −   ,求 f  ( 1 ) .李林 108 · 7.导数的定义 2 (5)设 f (x)严格单调可导, f(x)0,且 f (x)在x=1处二阶可导, f (1)=−2, f(1)=− , 2 第 17 页，共113页 f ( 1 ) 2 , x ( y )   = = 是 y = f ( x ) 的反函数,求 d d 2 y x 2 y = − 2 . (6)设曲线 y = f ( x ) 与 y = ( x + 1 ) 2 在点 ( 0 ,1 ) 处有公切线,求极限 lim n n s in 1 n 1 n f 1n  →   −   .李林 108 · 7.导数的定义 1  f (x−hx)h 1 (7)设 f (x)在(0,+)内可导, f (x)0, lim f (x)=1,且满足lim  =ex,求 f (x)的表达式. x→+ h→0 f (x)  (8)设y= f (x)由 第 18 页，共113页  x y = = t t t  te 0 u 2 d u 确定,则下列选项中正确的是( ). A. f(x)在 x = 0 处连续 B. f(x)在 x = 0 处不连续 C. f  ( 0 ) 不存在 D. f  ( 0 ) 存在李林 108 · 8.导数计算、相关变化率 高频考点8 导数计算、相关变化率 (1)设可导函数 第 19 页，共113页 y = f ( x ) 有反函数 g ( x ) ,且 f ( x 0 ) = 2 , f  ( x 0 ) = 1 , f  ( x 0 ) = 2 ,求g(2). (3)设 f (x)=x2ln(1+x),求 f(n)(0)(n3). (4)设y= f (x)由方程 x y 1 xs in 2 4 t d t  =  −   确定. (I)求 f(0)和 f  ( 0 ) ; (II)求极限 lim n n f 1 n 1  →    −  .李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 高频考点9 微分中值定理和泰勒公式 (1)设 第 20 页，共113页 f ( x ) , g ( x ) 均在  − 1 ,1  上可导,且 0 f (x)dx= 1 f (x)dx=0,f (x)只有有限个零点,g(x)0. −1 0 (I)证明:方程 f ( x ) = 0 在 ( − 1 ,1 ) 内至少有两个不同实根; (II)证明:方程 f(x)g(x)− f (x)g(x)=0在 ( − 1 ,1 ) 内至少有一个实根. (2)设 f (x)在  0 ,1  上二阶可导,且 lim x→ 0 + f ( x x ) = 1 , lim − x→ 1 f x ( − ) x 1 = 2 ,证明: (I)存在一点(0,1),使得 f()=0; (II)存在不同的 1 , 2 ( 0 ,1 )    ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 2 )      −  = − ; (III)存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) f ( )    = .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (3)设 f (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f (0)=0, f (1)=1. (I)证明:存在 第 21 页，共113页 1 与 2 满足 0 1 2 1      ,使得 f ( 1 ) f ( 2 ) 2    +  = ; (II)证明:在 ( 0 ,1 ) 内存在与,使得 f ( ) f ( ) f ( )      =  . (4)设 f (x)在  0 ,1  上有二阶导数,且 f (1)=0,方程 f ( x ) = 0 在 ( 0 ,1 ) 内有实根x . 0 (I)证明:在 ( 0 ,1 ) 内存在不同的 1 与 2 ,使得 1 f ( 1 ) f ( 1 ) 2 f ( 2 ) f ( 2 ) 0 ;        + =  + = (II)证明:若 f ( 0 )  0 ,且  x  ( x 0 ,1 ) ,有 f(x)0,则存在 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = .李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (5)设 第 22 页，共113页 f ( x ) , g ( x ) 在  a , b  上二阶可导,且 f ( a )  g ( a ) , f (b)g(b),  b f (x)dx= b g(x)dx.证明:至少存 a a 在一点 ( a , b )   ,使得 f ( ) g ( )      . (6)设 f (x)在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内二阶可导,有 f ( 0 ) =  1 − 1 ( x + 1 − x 2 ) 2 d x , f ( 1 ) 1 ln x x 2 d x ,   1 0 f ( x ) d x = 3 . =  + 证明:至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f()0.李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (7)在x=0的邻域内,用ax+bx2 +cx3近似表示函数arctanx,使其误差是比x3高阶的无穷小(x→0),求 第 23 页，共113页 a , b , c 的值. (8)设不恒为零的函数 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续导数,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , M = mx a0  x  ,1 f ( x )  . (I)证明:至少存在一点(0,1),使得 f() 2M ; (II)证明:  1 0  f ( x ) + x f  ( x )  d x = 0 ; (III)证明:存在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) M     .李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 f (x) (9)设 f(x) M ,且lim 存在, f (0)=0. x→1(x−1)2 (I)证明:存在一点 第 24 页，共113页 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 0   = ; (II)证明:对任意 a  1 ,有 f  ( 0 ) + f  ( a )  M a . (10)设 f ( x ) 在  a , b  上有二阶连续导数,证明:至少存在一点 ( a , b )   ,使得 f ( b ) f ( a ) 2 f a 2 b ( b 4 a ) 2 f ( ) .  + −  +  = − 李林 108 · 9.微分中值定理和泰勒公式 (11)设 f (x)在a,b上有连续的二阶导数,且M =max  f(x) . xa,b (I)证明: 第 25 页，共113页  b a f ( x ) d x − ( b − a ) f  a + 2 b   ( b − 2 a 4 ) 3 M ; (II)证明:存在 ( a , b )   ,使得 b a f ( x ) d x ( b a ) f a 2 b ( b 2 a 4 ) 3 f ( )   = −  +  + −  . (12)设 f ( x ) 在  a , b  上有连续的二阶导数,且 f  ( a ) = f  ( b ) ,证明:存在 ( a , b )   ,使得 b a f ( x ) d x 1 2 ( b a ) f ( a ) f ( b ) 1 2 4 ( b a ) 3 f ( ) .   = −  +  + − 李林 108 · 10.导数的应用 高频考点10 导数的应用 (1)证明: 第 26 页，共113页  ln 1 + x x − 1 1 + x  2  x ( 1 1 + x ) 2 ( x  0 ) . (2)设在0,+)上的可导函数 y = f ( x ) 满足 y  − p ( x ) y  0 ,且 f ( 0 )  0 ,其中 p ( x ) 在  0 , )  + 上为正值 连续函数,当 0  a  b 时,下列选项中正确的是( ). A. f ( 0 )  f ( a )  f ( b ) B. f ( b )  f ( a )  f ( 0 ) C. f ( b )  f ( 0 )  f ( a ) D. f ( a )  f ( 0 )  f ( b )李林 108 · 10.导数的应用 x x, x0, (3)设函数 f (x)= 讨论 f (x)的连续性,并求其单调区间、极值.  0, x=0, (5)设 f (x)在 第 27 页，共113页 ( , )   − + 内满足e−x − x2 −1= x f (t−x)dt,求 2 0 f ( x ) 的单调区间和最值,并求其渐近线.李林 108 · 10.导数的应用 (6)求函数 f (x)= 1 t−xe−t2 dt(−1x1)的单调区间与极值. −1 (7)设函数 第 28 页，共113页 y = y ( x ) 由方程 y  = x 2 + y 2 确定,且 y ( 0 ) = 0 ,求 y = y ( x ) 的单调区间和凹凸区间,并计算 lim x → 0 y ( x x 3 ) .李林 108 · 10.导数的应用 (8)设 f (x)是(−,+)内的偶函数, f (0)=1,且当x0时, 第 29 页，共113页 f ( x ) lim n 1 n 1 c o s x n c o s 2 n x c o s ( n n 1 ) x .  = →  + + + + −  (I)求 f (x)和 f  ( 0 ) ; (II)求 f ( x ) 在−,上的最大值. (9)设y= y(x)满足 x 2 y  + y = x 2 e 1x ( x  0 ) ,且 y ( 1 ) = 3 e . (I)求y= y(x)的全部渐近线方程; (II)讨论曲线 y = y ( x ) 与 y = k ( k  0 ) 不同交点的个数.李林 108 · 11.积分计算 高频考点11 积分计算 (1)计算 第 30 页，共113页 I =  − sinx e ( 1 −  s in s in x 2 ) x 2 d x . (2)设 f (x)= x e−t2 dt,求 1 I =  1 x0 2 f ( x ) d x . (3)计算 f ( x ) =  2 0 x x − t c o s t d t ( x  0 ) ,并求 f ( 2 )   .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 11.积分计算 1 (4)计算积分I = xarcsin2 x−x2 dx. 0 (5)求a = 1 xlnnxdx(n=0,1,2, ),并计算 n 0 第 31 页，共113页 lim n k n 0 a k k !  →  = .李林 108 · 11.积分计算  (6)计算I =2cosnxsinnxdx(n为正整数). n 0 (7)讨论反常积分 第 32 页，共113页 I 0 ln ( 1 x p x ) d x  =  + + 的敛散性.李林 108 · 12.积分变限函数及原函数 高频考点12 积分变限函数及原函数 (1)设 f (x)在 第 33 页，共113页 1 , )  + 上有一阶导数, f (1)=1,g(x)为 f (x)的反函数,且满足 2 x f ( x ) −  x 1 f ( x − t + 1 ) d t −  f 1 (x )g ( t ) d t = ( x − 1 ) e x + 2 , 求 f ( x ) . (2)设 f (x)可导,且满足 x tf (2x−t)dt= 1 arctanx2,f (1)= 1 . 0 2 2 (I)求 2 f (x)dx; 1 (II)证明:至少存在一点 ( 1 , 2 )   ,使得 f ( ) 0   = .李林 108 · 12.积分变限函数及原函数 (3)设 f (x)=lim x+2nx ,则F(x)= x f (t)dt在 n→1+2nx −1 第 34 页，共113页 x = 0 处( ). A.可导 B.间断 C.不可导但连续 D.无法判定李林 108 · 13.积分等式、不等式 高频考点13 积分等式、不等式 (1)设 第 35 页，共113页 I 1 2 0 s in 1 x c o x s 2 x d x , I 2 2 0 1 s in x x 2 d x , I 3 2 0 1 c o s x 2 x d x    =  + =  + =  + ,则( ). A. I 1  I 2  I 3 B. I 1  I 2  I 3 C. I 2  I 3  I 1 D. I 2  I 1  I 3 (2)设 f (x)在0,a(a0)上有二阶连续导数,且 f (x)0, f (0)=0, f(x)0,证明:  a 0 x f ( x ) d x  2 3 a  a 0 f ( x ) d x .李林 108 · 13.积分等式、不等式 (3)设周期为1的周期函数 f (x)=x−x(x表示不超过x的最大整数). (I)当nxn+1时, 第 36 页，共113页 n 为正整数,证明: n 2   x 0 f ( t ) d t  n + 2 1 ; (II)求 lim x 1 x x 0 f ( t ) d t  → +  . (4)设 f (x)在 ( , )   − + 内连续, n 为正整数. (I)证明: (2 0 n )1 x f ( s in x ) d x ( 2 n 2 1 ) (2 0 n )1 f ( s in x ) d x     − = −  − ; (II)若 f ( x ) 1 x c o s 2 x f ( x ) s in x d x   = + +  − ,求 f ( x ) .李林 108 · 13.积分等式、不等式 (5)设 f (x)和g(x)在a,b上连续,g(x)在(a,b)内可导,且g(x)0,证明:至少存在一点a,b,使 得 第 37 页，共113页 b a f ( x ) g ( x ) d x g ( b ) b f ( x ) d x g ( a ) a f ( x ) d x    =  +  . (6)设 f (x)在 ( , )   − + 内连续, f (x+T)= f (x),T 0,且 f (−x)= f (x). (I)证明:  nT 0 x f ( x ) d x = n 2T 2  T 0 f ( x ) d x ( n 为正整数); n  (II)(仅数学一、三要求)记a = xcos2xdx,求a xn−1的和函数. n n 0 n=1李林 108 · 13.积分等式、不等式 (7)设 f (x)在0,1上有二阶连续导数, f (x)不恒为零,且 f (0)= f (1)=0, f (x) 在 第 38 页，共113页 x = x 0 处取得最大值, x 0  ( 0 ,1 ) . (I)证明:至少存在 1 ( 0 , x 0 ) , 2 ( x 0 ,1 )     ,使得 f ( 2 ) f ( 1 ) 1 x 0 f ( 2 )     −  =  ; (II)证明:  1 0 f  ( x ) d x  4 f ( x 0 ) .李林 108 · 14.定积分应用 高频考点14 定积分应用 (1)(I)求 第 39 页，共113页 y y e x 2 c o s s x in x , y 2 e 2    + = −   = − 的特解; (II)求 y = e − x s in x ( x  0 ) 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. (2)设曲线 y = s in x 与 y = c o s x   在 0, 上所围平面图形为    4 D . (I)求D绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V 1 ; (II)求 D 绕直线 y = 1 旋转一周所得旋转体的体积 V 2 ; (III)求D绕直线 x 4  = 旋转一周所得旋转体的体积 V 3 .李林 108 · 14.定积分应用 (4)设一高为4的椭圆底柱形容器内有某种液体,将容器沿母线(高线)水平放置,已知椭圆方程为 第 40 页，共113页 x 4 2 + y 2 = 1 (单位: m ). (I)若容器内储满了液体,现以 0 .1 6 m 3 / m in 的速率将液体从容器顶端抽出,当液面在 y = 0 时,液面下降 的速率是多少? (5)设曲线 y = a x 2 ( a  0 ) 与 y = c o s x 在 x = t   处相交,t0,  ,记  2 y = a x 2 , y = c o s t 及 x = 0 所围面积为 S 1 , y = c o s x , y = c o s t 及 x 2  = 所围面积为 S 2 . (I)求面积S=S +S ; 1 2 (II)证明:S=S +S 在 1 2 0 , 2    内有唯一最大值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 15.多元函数微分学的概念 高频考点15 多元函数微分学的概念 (1)设 第 41 页，共113页 f ( x , y ) = ( x + y ) ( x + y ) ,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). A.偏导数不存在 B.偏导数存在但不连续 C.可微 D.不可微 (2)设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( 0 ,1 ) 的某邻域内可微,且在该邻域内有 o ( ) , x 2 y 2 f ( x , y + 1 ) = 1 + 2 x + 3 y +   = + ,则极限 lim n f 0 , e 1n n  →     = __________.李林 108 · 15.多元函数微分学的概念 (3)设函数 f (x,y)= x2 +y2(x,y),其中(x,y)在点(0,0)处连续且(0,0)=0. (I)求 f'(0,0),f'(0,0); x y (II)证明: 第 42 页，共113页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.李林 108 · 16.复合/隐函数的偏导数及全微分 高频考点16 复合函数、隐函数的偏导数、全微分计算 (1)设函数 第 43 页，共113页 z = z ( x , y ) 由方程 z + ln z =  xey − 2t d t ( z  0 ) 确定,求 d z 和   x 2 z  y . (2)设 f (x,y),g(x,y)有二阶连续偏导数, ( x ) f x , g ( x 2 , x 2 )  =   ,求 d d 2 x 2  . (3)设y=g(x,z),z=z(x,y)由方程 f ( x − z , x y ) = 0 确定,其中 f , g 均可微,求 d d y x , d d z x .李林 108 · 17.含偏导数等式 高频考点17 含偏导数等式 (2)设u=u(x,y)有二阶连续偏导数,且满足 第 44 页，共113页 a   2 x u 2 + 2 b   x 2 u  y + c   2 y u 2 = 0 , 其中 a 、 b 、 c 为常数,且 a c − b 2  0 ( c  0 ) ,求线性变换 x x k y , y ,     = = + + 将方程化简为 2 u 0     = . ( ) (3)设u(x,y)= f x2 +y2 在 D : x 2 + y 2  4 上有二阶连续偏导数,且满足    u 2 x ( u 2 0 + , 0   ) 2 y = u 2 0 − , u 1 x ( 1  u  x ) ,1 + = u 2 = c o x s 2 + 2 , y 2 , 求函数 u 的表达式及 u 在 D 上的最大值.李林 108 · 18.多元函数极值与最值 高频考点18 多元函数极值与最值 (1)求 f (x,y)=x3+y3−3x2 −3y2的极值. (2)已知 第 45 页，共113页 z = f ( x , y ) 的全微分dz= ( 2x−2xy2) dx+ ( 4y−2x2y ) dy,且 f ( 1 ,1 ) = 2 ,求 f (x,y)在 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , y  0  上的最大值和最小值.李林 108 · 18.多元函数极值与最值 (3)求由方程2x2 +2y2 +z2 +8xz−z+8=0所确定的函数 第 46 页，共113页 z = z ( x , y ) 的极值. (4)设z=z(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足   x 2 z  y = − 2 , z ( x , 0 ) = x 4 − x 2 ,   z y (0 ,y ) = 4 y 3 − 2 y , 求 z=z(x,y)的极值.李林 108 · 18.多元函数极值与最值 x2 y2 (5)设 f (x,y)=x2 +(y−1)2(x0)在条件 + =1(a0,b0,且ab)下取得最小值1,且椭圆 a2 b2 第 47 页，共113页 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 所围面积最小,求 a , b 的值. (6)设当x0,y0时,有 x 2 − y 2  k e 2x + 2y 成立,求k的最小值.李林 108 · 20.微分方程及其应用 高频考点20 微分方程及其应用 (1)设y= y(x)是微分方程 第 48 页，共113页 y  − 4 y  + 3 y = x e x 的一个解,且其图形在点 ( 0 ,1 ) 处的切线与 y = x 2 − 1 4 x + 1 在 该点处的切线重合,求 y = y ( x ) . (2)设微分方程 y  + a y = f ( x ) ( a  0 ) , f ( x ) 为 R 上的连续函数. (I)若 f (x)在  0 , )  + 上有界,证明:微分方程的任一解在  0 , )  + 上有界; (II)若 f ( x ) 是周期为T的函数,证明:微分方程存在以 T 为周期的解.李林 108 · 20.微分方程及其应用 (3)设 第 49 页，共113页 f ( x ) , g ( x ) 满足 f(x)=g(x),g(x)= x 1− f (t)dt+1,且   0 f ( 0 ) = 1 ,求 I 2 0 e 2 x g ( x ) 2 f ( x ) d x .  =  −  −  (4)设 f (t)有一阶连续导数,且满足 f (t)+ t exf3(t−x)dx=aet (0a1),求 0 f ( t ) 的表达式.李林 108 · 20.微分方程及其应用 (5)利用变换 第 50 页，共113页 t = e − x d2y dy ,将微分方程 + +e−2xy=e−3x化为y关于 dx2 dx t 的微分方程,并求原微分方程的通 解.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 21.二重积分 高频考点21 二重积分 (1)设D={(x,y)(x−1)2 +(y−1)2 2}, 第 51 页，共113页 I k =  D  x + 4 y  1k d x d y , k = 1 , 2 , 3 , 4 , 则 m1 a x k  4  I k  = ( ). A. I 1 B. I 2 C. I 3 D. I 4 (2)设 D =  ( x , y )∣ 1  x + y  2 , 0  x  2 , 0  y  2  ,计算 I =  D e − (x + y 2) ( s in 2 x + c o s 2 y ) d x d y .李林 108 · 21.二重积分 (3)计算I = 2 d 2( 2 −1 ) er2dr. 0  (4)设D= (x,y∣) x2 +y2 4,x0,y0  ,f (x,y)在D上连续,且 第 52 页，共113页 f ( x , y ) = x 2 + y 2 − s in x + s in y +  D f ( x , y ) ( x 2 + y 2 ) d x d y , 求 f ( x , y ) .李林 108 · 21.二重积分 (7)设 f (x)在0,1上连续,且满足 x f (t)dt= 3 x2 −   1 arcsinx+ 1 x 1−x2    1 f2(x)dx. 0 2 2 2  0 (I)求 f (x)的表达式; (II)求 第 53 页，共113页 I =  D f ( x − y ) d x d y ,其中 D : 0  y  x  1 .  x−y x−y (8)设D= (x,y∣) x+y1,x0,y0 .计算I = sin +cos dxdy.  x+ y x+ y D李林 108 · 21.二重积分 (9)设D是由y= 1−x2,y= 4−x2 与x+ y=0及 第 54 页，共113页 x 轴所围且位于x+ y0部分的区域,计算 I =  D x x 2 2 + + 2 y y 2 2 d x d y .   (10)设D= (x,y∣)0x2,0 y 2x−x2 ,计算I = x+y−2dxdy. D李林 108 · 21.二重积分 xy (11)设D= (x,y∣) x2 +y2 1,0 yx  ,计算I =∬ dxdy. D1+x2 −y2 (12)设 第 55 页，共113页 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续的二阶导数, f ( 0 ) = 1 , f 't ( 0 ) = 1 ,且  D t f  ( x + y ) d x d y =  D t  f ( x + y ) + ( x − y )  d x d y . 其中 D t =  ( x , y )∣ 0  y  t − x , 0  x  t (0t1),求 f ( x ) .李林 108 · 21.二重积分 1 (13)设在第一象限内,x2 +y2 = 与x2 + y2 =x4 + y4及x=0、y=0所围区域为D,计算I = 4 第 56 页，共113页  D x 2 x + y y 2 d x d y .李林 108 · 23.经济数学 高频考点23 经济数学(仅数学三要求) (1)设商品的需求函数 第 57 页，共113页 Q = f ( P ) ( P 为商品的价格),需求对价格的弹性 E d = 2 5 2 6 P − 2 P 2 ( E d  0 ) ,当 P = 1 0 时, Q = 1 5 6 ,生产该商品的日总成本函数为 C ( Q ) = 4 Q + 1 2 0 0 ,求该厂日产量 Q 为多少时,总利润 最大. (2)某工厂生产某产品的固定成本为 a 万元,每生产一件产品,成本增加 b 万元,已知该产品需求对价格 的弹性函数为 c P P ( 0 )   = −  .根据市场调查,市场对该产品的最大需求量为d 件(其中 a , b , c , d  0 ) . (I)问如何定价,可获得最大利润? (II)若每销售一件产品需缴税 t 万元,问如何定价,可获得最大利润?李林 108 · 23.经济数学 (3)差分方程y + y =2t的通解为___________. t+1 t (4)设某公司的总成本函数为 第 58 页，共113页 C = C ( Q ) = 1 2 Q 2 + 3 6 Q + 9 8 0 0 ,求最低平均成本.李林 108 · 24.无穷级数 高频考点24 无穷级数(仅数学一、三要求) (1)设正项数列 第 59 页，共113页  a n  , b n  满足 a n = ln ( a n + e bn ) ( n = 1 , 2 , ) ,则下列选项中错误的是( ). A.若 n 1 a n   = 收敛,则 n b 1 n   = 收敛. B.若 n 1 a n   = 发散,则 n b 1 n   = 发散.     C.若a 收敛,则b2收敛. D.若b2发散,则a 发散. n n n n n=1 n=1 n=1 n=1  ann!  n+1− n−1 (2)设a0, 发散, 收敛,求a的取值范围. nn na n=1 n=1李林 108 · 24.无穷级数 n (3)设a = xsinxdx,n=1,2, . n 0 (I)证明: 第 60 页，共113页 lim n a 12 a 2 22 a 2 nn n 1 n 2 2 n    →  + + +  =  = ; (II)求级数 n 1 n 2 2 n   = 的和.  a (4)设a =0,a =1,a =3a −2a (n=1,2, ), f (x)= n xn. 0 1 n+1 n n−1 n! n=0 (I)求 f (x)满足的二阶微分方程; (II)求 f (x)及a . n公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 24.无穷级数 (5)将 第 61 页，共113页 f ( x ) = 3 c o s 2 x − s in 2 x 展开为 x  (−1)n4n 的幂级数,并求级数 (2n)! n=0  (−1)n(n+1) (6)求级数 x2n的收敛域与和函数,并求 (2n+3)! n=0 n 0 ( 1 )( n 2 ( n n ) 1 ) 3 ! 2 n    = − + + .李林 108 · 24.无穷级数 (7)设a = + xne−x dx(n=0,1,2, ). n 0 a (I)求lim n−1 ; n→ a n (II)求级数 第 62 页，共113页 n 0 1 a n n 2   = + 的和. (8)设 f (x)二阶可导, f  ( x )  0 且 lim x→ 0 f ( x x ) = 0 ,曲线 y = f ( x ) 在点 ( x , f ( x ) ) 处的切线在x轴上的截距 为 u ( x ) u(x) n ,记a = lim  (n为正整数). n x→0+ x  (I)求a ; n  (II)(仅数学一、三要求)求级数n2a 的和. n n=1李林 108 · 26.行列式计算 线性代数 高频考点26 行列式计算 a +1 a a a a a 1 2 3 n−2 n−1 n −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 (1)计算D = . n 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 −1 1 (2)设行列式 第 63 页，共113页 A = 2 1 1 1 2 a 1 b 1 c 1 2 a 2 b 2 c 2 2 a 3 b 3 c 3 = 1 , A ij 是 A 中元素 a ij 的代数余子式,求 4 i= 1 4 j= 1 A ij .李林 108 · 26.行列式计算 (3)设A是3阶方阵,α ,α ,α 线性无关,且A=+,A = +,A = +,求行列式 A−E . 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 1 (4)设A为3阶非零实矩阵,且AT =kA*(k为非零常数). (I)证明: 第 64 页，共113页 A 是可逆矩阵; (II)求行列式 A − 1 + ( A * ) − 1 .李林 108 · 27.矩阵的计算 高频考点27 矩阵的计算 (1)设A=E−2ααT,α为 第 65 页，共113页 n 维列向量,且 α T α = 1 ,求 A 2 n . (2)设矩阵 A =  1 1 0 − 2 2 0 0 0 2  , B 为3阶矩阵,且满足 2 B − 1 A + 4 E = A ,证明: B − 2 E 可逆,并求 ( B − 2 E ) − 1 .李林 108 · 27.矩阵的计算 (3)设3阶矩阵A的特征值为 第 66 页，共113页 1 , 2 , − 1 ,对应的特征向量分别为α =(1,1,1)T, α =(0,1,2)T, α =(1,0,1)T,求 1 2 3 A3−2A. (4)设 A =  0 0 1 0 1 0 1 0 0  ,已知矩阵 B 与矩阵 A 相似,求 r ( B − 2 E ) + r ( B − E ) 及 ( A − E ) n ( n 为大于1的正整 数).李林 108 · 28.矩阵方程 高频考点28 矩阵方程 (1)设 第 67 页，共113页 A * =  1 1 0 0 2 0 0 4 2  满足 A X + ( A − 1 ) * X ( A * ) * = E ,且 A  0 ,求矩阵 X . (2)设矩阵 X 满足  − 1 2 1 − 1 k 1 − 1 1 k  X =  − k 2 1 − 1 2 k − 2  ,求矩阵X.李林 108 · 29.初等矩阵 高频考点29 初等矩阵 0 1 0 1 0 0 1 −4 3       (1)设A= 1 0 0 ,B= 0 0 1 ,C= 2 0 −1 ,且             0 0 1 0 1 0 1 −2 0 第 68 页，共113页 A 3 X B 3 = C ,求矩阵 X . 2 0 1 (2)设A=  0 2 0  满足A*B ( A*)−1 =6A+2BA,其中A*是A的伴随矩阵,B为3阶矩阵.     3 0 2 (I)求矩阵 B ; (II)求可逆矩阵 P 和 Q ,使得 P A Q = B .李林 108 · 29.矩阵的秩 高频考点30 矩阵的秩 (1)设矩阵 第 69 页，共113页 A = ( a ij ) n  n , r ( A ) = n − 1 ,证明:存在常数 k ,使得 ( A * ) 2 = k A * . (2)设A,B均是 n 阶可逆矩阵,且AB=B−1A−1,证明: r ( E + A B ) + r ( E − A B ) = n .李林 108 · 29.矩阵的秩 (3)设α,β是3维单位列向量,且 第 70 页，共113页 α 与β正交,求A=2ααT +ββT的特征值及 r ( A ) . (4)设α,β为 n 维列向量, A = E − k α1 β T ,且常数 k 1  0 , β T α  1 k 1 .证明:矩阵 A 可逆,且 A − 1 = E − k 2 α β T , 其中 β T α = 1 k 1 + 1 k 2 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 29.矩阵的秩 1 0 −1   (5)设A= 2 a 1 ,B是3阶矩阵,且r(B)=2,r(AB)=1,A*与     1 2 1 第 71 页，共113页 B * 分别是 A 与 B 的伴随矩阵,则正确 的是( ). A. r   A A * O B   = 3 . B. r   A O O B *   = 3 . C. r   A O * B A   = 3 . D. r   A O B B *   = 3 .李林 108 · 31.向量相关性 高频考点31 向量相关性 (1)设向量组 第 72 页，共113页 α 1 , α 2 , , α s 是 A x = 0 的一个基础解系,向量 β 满足 A β  0 ,证明:向量组 β , β + α 1 , β + α 2 , , β + α s 线性无关. (2)设 A =  1 1 2 2 3 7 − 2 0 2  = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , B =  − 1 0 1 2 1 1 2 1 1  = ( β 1 , β 2 , β 3 ) . (I)求α ,α ,α ,β ,β ,β 的一个极大线性无关组; 1 2 3 1 2 3 (II)求3阶可逆矩阵 Q ,使得AQ=B.李林 108 · 31.向量相关性 (3)设向量α =(1,−1,2,−1)T,α =(−3,4,−1,2)T,α =(4,−5,3,−3)T,α =(−1,a,3,0)T, β=(0,b,5,−1)T. 1 2 3 4 (I)问a,b为何值时, 第 73 页，共113页 β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性表示? (II)问 a , b 为何值时, β 可由 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性表示?并写成表达式. (4)设向量组①为 α 1 = ( 1 , 0 , 2 ) T , α 2 = (1 ,1 , 3 ) T , α 3 = (1 , − 1 , k + 2 ) T ,向量组②为β =(1,2, 1 k + 3 ) T , β 2 = ( 2 ,1 , k + 6 ) T , β 3 = ( 2 ,1 , k + 4 ) T . (I)问k为何值时,向量组①与②等价? (II)问 k 为何值时,向量组①与②不等价?李林 108 · 32.含参数线代方程组 高频考点32 含参数线性方程组 (1)设方程组 第 74 页，共113页  x − x 1 x 1 + 1 − x + x 2 a 2 + x + 2 a x + 2 x 3 x 3 = 3 = 4 = − , a 4 2 , , 问 a 分别为何值时,方程组有解、无解?有解时,求出通解. x +x −2x +3x =0, 1 2 3 4  2x +x −6x +4x =−1, (2)问a,b为何值时,方程组 1 2 3 4 有解、无解?当有解时,求方程组的通解. 3x +2x +ax +7x =−1,  1 2 3 4 x −x −6x −x =b  1 2 3 4李林 108 · 33.抽象线代方程组/公共解/同解 高频考点33 抽象线性方程组及两个方程组公共解、同解 (1)设 第 75 页，共113页 B = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是4阶矩阵,非齐次线性方程组 B x = β 的通解为 ( 1 , − 1 , 0 ,1 ) T + k ( 1 , 0 , − 3 , 2 ) T . (k为 任意常数)记 A = ( β + α 2 , α 4 , α 3 , α 2 , α 1 ) ,求方程组 A x = β 的通解. (2)设方程组①  x 2 3 1 x x + 1 1 2 + + x 3 5 2 x x + 2 2 + + x 3 x 2 − 3 x − 3 x 4 3 − = x 4 4 x 0 = 4 , 0 = , 0 , ②  x x 1 1 + + x b 2 x + 2 + a x 2 4 x = 3 = 0 , 0 . (I)求方程组①的通解; (II)问 a , b 为何值时,方程组①与②同解、①与②有非零公共解?李林 108 · 33.抽象线代方程组/公共解/同解 (3)设齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ =(1,1,0,0)T,ξ =(1,0,1,0)T,ξ =(1,0,0,1)T,齐次线性方程组(II) 1 2 3 的基础解系为 第 76 页，共113页 η 1 = ( 0 , 0 ,1 ,1 ) T , η 2 = ( 0 ,1 , 0 ,1 ) T ,求方程组(I)与(II)的非零公共解. (4)设方程组(I)  4 x 1 x 1 3 + − x 1 x x − 2 2 − − x 2 2 x − x 4 − 3 x 3 = x = − 6 = 4 3 , , 1 , (II)  x b x 1 x 3 + 2 − a − 2 x x x 2 3 4 − − = x − 3 2 x 4 − c x 4 = − + 1 , = 1 − 1 , 5 , 问 a , b , c 为何值时,方程组(I)与(II) 同解?李林 108 · 34.相似矩阵 高频考点34 相似矩阵 (1)设齐次线性方程组 第 77 页，共113页 A x = 0 的通解为 k 1 ( 1 , 0 , 2 ) T + k 2 ( 0 ,1 , − 1 ) T , k 1 , k 2 为任意常数,且 α = ( 1 , 2 , 3 ) T 满足 ( 3 E + A ) α = 0 ,求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = Λ ,并求矩阵 A . (2)设 A =  2 1 0 1 2 0 0 0 1  与 B =  − a 0 1 − b 1 2 c 0 4  相似. (I)求a,b,c的值; (II)求可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P = B ; (III)A的伴随矩阵为 A * ,求方程组 ( 3 E − A * ) X = 0 的通解.李林 108 · 34.相似矩阵  3 2 −2   (3)设A= −a −1 a 有三个线性无关的特征向量.      4 2 −3 (I)求a的值,并求可逆矩阵 第 78 页，共113页 P 及对角矩阵 Λ ,使得 P − 1 A P = Λ ; (II)求可逆的实对称矩阵 Q ,使得 Q − 1 A Q = A T . (4)设 A =  1 1 a 1 a 1 a 1 1  , b =  − 1 1 2  ,方程组AX=b有无穷多解. (I)求a的值及 A X = b 的通解; (II)求正交矩阵 Q 及对角矩阵 Λ ,使得QTAQ=Λ.李林 108 · 34.相似矩阵 (5)设A是2阶矩阵,2维非零列向量 第 79 页，共113页 α 不是A的特征向量. (I)证明: α , A α 线性无关. (II)若 A 2 α − A α − 2 α = 0 ,求可逆矩阵 P 和对角阵 Λ ,使得 P − 1 A P = Λ .李林 108 · 35.实对称矩阵相似 高频考点35 实对称矩阵相似 (1)设3阶实对称矩阵 第 80 页，共113页 A 的特征值为 1 1 , 2 3 1 , 1     = = = − 对应的特征向量为 α 1 = ( 1 , 0 ,1 ) T . (I)求A2; (II)若 β = ( 1 , 2 , 3 ) T ,求Anβ. (2)设A是3阶实对称矩阵, 1 2  = 是 A 的特征值,其对应的特征向量为α =(−1,1,1)T. 1 (I)当r(A)=1时,k (1,1,0)T +k (1,−1,0)T(k,k 为任意常数)是否为方程组Ax=0的通解?说明理由; 1 2 1 2 (II)当 r ( A ) = 1 时,求方程组 A x = 0 的通解,并求矩阵 A .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 35.实对称矩阵相似 (3)设A是3阶实对称矩阵,存在可逆矩阵P,使得P−1AP=diag(1,2,−1),且α =(1,a+1,2)T, 1 第 81 页，共113页 α 2 = ( a − 1 , − a ,1 ) T 分别为 A 的特征值 1 1 , 2 2   = = 对应的特征向量, A * 的特征值 0 对应的特征向量为 β = ( 2 , − 5 a , 2 a + 1 ) T . (I)求a与 0 的值; (II)求矩阵 A . (4)设3阶实对称矩阵 A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) , r ( A ) = 2 ,且满足 α 1 + 2 α 2 + α 3 = ( 3 , 6 , 3 ) T , α 1 − α 2 + α 3 = ( − 1 ,1 , − 1 ) T . (I)求A; (II)若 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ,求方程 X T ( A + E ) X = 0 的全部解.李林 108 · 36.二次型的标准形和规范形 高频考点36 二次型的标准形和规范形 (1)设二次型 第 82 页，共113页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 4 x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 8 x 1 x 3 + 2 b x 2 x 3 ( b  0 ) ,经过正交变换x= Q y 化为标准形 为 5 y 21 + 5 y 22 − 4 y 23 . (I)求a,b的值及一个正交矩阵 Q ; (II)利用配方法化二次型 f 为规范形. (2)设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x , A = ( a ij ) 3 3 为实对称矩阵, α 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T , α 2 = ( − 1 ,1 , 0 ) T , α 3 = ( 0 , 2 ,1 ) T 是方 程组 A x = 0 的三个解向量,且 3 i= 1 a ii = 2 . (I)证明: r ( A ) = 1 ; (II)求二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的表达式.李林 108 · 36.二次型的标准形和规范形 (3)设二次型 f (x,x ,x )=2xx +3x x +4xx ,利用可逆线性变换化 f 为标准形,并求 f 的正、负惯性 1 2 3 1 2 2 3 1 3 指数及 第 83 页，共113页 f 的秩. (4)设二次型 f (x,x ,x )=(x +x )2 +(x −x )2 +(x +ax )2. 1 2 3 1 2 2 3 1 3 (I)求 f (x,x ,x )=0的解; 1 2 3 (II)当 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 有非零解时,求正交变换 X = Q Y ,将 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 化为标准形; (III)求 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 的规范形.李林 108 · 36.二次型的标准形和规范形 (5)已知二次型 f (x,x ,x )=x2 +2x2 +2x2 +2ax x (a0),在正交变换X=QY下化为g(y , 1 2 3 1 2 3 2 3 1 第 84 页，共113页 y 2 , y 3 ) = 2 y 21 + b y 22 + 2 y 23 − 2 y 1 y 3 . (I)求a,b的值; (II)求正交矩阵 Q . (6)设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + x 22 + x 23 + 2 a x 1 x 2 + 2 a x 1 x 3 + 2 a x 2 x 3 ,经过可逆线性变换 X = P Y 化为 g ( y 1 , y 2 , y 3 ) = y 21 + y 22 + 3 y 23 + 2 y 1 y 2 . (I)求a的值; (II)求可逆矩阵 P .李林 108 · 36.二次型的标准形和规范形 (7)已知二次型 第 85 页，共113页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 21 + 2 x 22 + a x 23 + 2 x 1 x 2 经过可逆线性变换X=PY化为y2 + y2. 1 3 (I)求a的值及可逆矩阵 P ; (II)设X=(x,x ,x )T,当 1 2 3 X T X = 1 时,求 f (x,x ,x )的最大值,并求满足 1 2 3 x 1 = x 2  0 的最大值点.李林 108 · 37.二次型的正定和惯性系数 高频考点37 二次型正定及正负惯性指数 (1)设二次型 第 86 页，共113页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 4 x 22 − 3 x 23 + 2 a x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 + 8 x 2 x 3 (a为整数)经过正交变换 x = Q y 化为标准形 为 y 21 + 6 y 22 + b y 23 . (I)求a,b的值及正交变换; (II)证明:二次型 x T ( A * + 3 7 E ) x 正定,其中 A * 为A的伴随矩阵. (2)设二次型 f (x,x ,x )=xTAx经正交变换化为标准形为2y2 −y2 −y2,又 1 2 3 1 2 3 A * α = α , α = ( 1 ,1 , − 1 ) T . (I)求此二次型的表达式; (II)证明: A + 2 E 是正定矩阵.李林 108 · 37.二次型的正定和惯性系数 (3)设A是3阶实对称矩阵,二次型 第 87 页，共113页 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x 在正交变换下的标准形为y2 + y2 − y2,求二次型 1 2 3 g ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A * x 及 h ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A A * x 的规范形. (4)二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x ,其中 A =  1 0 0 2 2 7 2 2 1 2 1  ,求 f 的正惯性指数.李林 108 · 37.二次型的正定和惯性系数 (5)设二次型 f (x,x ,x )=XTAX ( AT =A ) 经过正交变换X=QY化为标准形 1 2 3 第 88 页，共113页 2 y 21 − y 22 − y 23 ;又A*α=α, 其中 α = ( 1 ,1 , − 1 ) T , A * 是 A 的伴随矩阵. (I)求正交矩阵 Q 及实对称矩阵A; (II)若正定矩阵B满足B2 =A+2E,求B; (III)求可逆矩阵 P ,使得 A + 2 E = P T P .李林 108 · 38.概率公式有关计算 概率论与数理统计 高频考点38 概率公式有关计算 (1)设事件A,B相互独立, 第 89 页，共113页 A , C 互不相容,且 P ( A ) = 0 .4 , P ( B ) = 0 .3 , P ( C ) = 0 .4 , P ( ∣B C ) = 0 .2 . (I)求 P ( C ∣ A  B ) ; (II)求 P ( A ∣B C ) . (2)设有甲、乙、丙三门炮,同时独立地射击某目标,各炮的命中率分别为0.2,0.3和0.5.目标被命中一 发就被击毁的概率为0.2,命中两发被击毁的概率为0.6,命中三发被击毁的概率为0.9. (I)求三门炮在一次射击中击毁目标的概率; (II)在目标被击毁的条件下,求只由甲炮击中的概率.李林 108 · 38.概率公式有关计算 (3)将一枚硬币独立地掷两次,A ={第一次出现正面},A ={第二次出现正面},A ={正、反各出现一次 1 2 3 第 90 页，共113页 } , A 4 = { 正面出现两次 } ,则事件( ). A. A 1 , A 2 , A 3 两两独立 B. A 1 , A 2 , A 3 相互独立 C. A 2 , A 3 , A 4 相互独立 D. A 2 , A 3 , A 4 两两独立公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 39.随机变量的分布函数/概率密度 高频考点39 随机变量的分布函数、概率密度的性质 (1)设随机变量 第 91 页，共113页 X 的分布函数为 F ( x ) ,其概率密度为 f ( x ) ,则可分别作为某一随机变量的分布函数与 概率密度的为( ). A. F ( x 2 ) 与 f ( 2 x ) B. F ( − 2 x ) 与 f ( x 2 ) C. F ( x 3 ) 与 f ( 1 − x ) D. F ( x ) 与f (x) 2   (2)设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) =  a b 1 e , − x , a e − (x − )1 , x 0 x    0 x 1 ,  . 1 , (I)求a,b的值; (II)求 X 的概率密度 f ( x ) ;  1 (III)求PX  .  2李林 108 · 40.常用分布有关概率计算 高频考点40 常用分布有关概率计算 (1)设随机变量 第 92 页，共113页 X 服从参数为 ( 0 )   的指数分布,求概率 P { X  ∣8 X  4 } . (2)设随机变量 X 服从参数为 ( 0 )   的泊松分布,其分布律为 P  X k  k e k !   = = − ( k = 0 ,1 , 2 , ) , 若概 率 P  X = k  取得最大,求 k 的取值.李林 108 · 40.常用分布有关概率计算 (3)设总体X N ( ,2) ,(X ,X , ,X )为总体 1 2 16 第 93 页，共113页 X 1 16 的简单随机样本,X = X ,且 16 i i=1 k } P { X 4 } P ∣{ X −   ∣  = −  ,则 k = _________. (4)设随机变量 X 在  2 , 5  上服从均匀分布,对 X 进行三次独立观测,求至少有两次观测值大于 3 的概率.李林 108 · 40.常用分布有关概率计算 (5)设甲、乙两人进行定点独立投篮比赛,投中者在投中之后停止投篮,两人投中的概率均为 p,X 与X 1 2 分别表示甲、乙需要投篮的次数,求 第 94 页，共113页 P  X 1 + X 2 = k  ( k  2 ) .李林 108 · 41. 高频考点41 一维随机变量的函数的分布 (1)设随机变量 第 95 页，共113页 X 在 ( 0 ,1 ) 内服从均匀分布,求 Y = − 2 ln X 的分布函数和概率密度. (2)设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ( 1 1 x 2 )  = + ,求 Y = 1 − 3 X 的分布函数和概率密度. (3)设随机变量 Y ln X N ( , 2 )  =  ,求X 的概率密度.李林 108 · 42.二维随机变量函数分布 高频考点42 二维随机变量 第 96 页，共113页 ( X ， Y ) 的分布及 ( X , Y ) 函数的分布 (1)设随机变量 X 与 Y 均服从同一几何分布,且 X 与 Y 相互独立, P  X = k  = p q k − 1 ( k = 1 , 2 , ) , p + q = 1 ,求 Z = m a x  X , Y  的分布律. (2)设随机变量 X 的分布律为 (I)求a的值; (II)求 Y s in 2 X  =   的分布律.李林 108 · 42.二维随机变量函数分布 (3)设二维随机变量 第 97 页，共113页 ( X , Y ) kxe−y, 0x y+, 的概率密度为 f (x,y)= 0, 其他. (I)求常数 k ; (II)求 X , Y 的边缘概率密度,问 X , Y 是否相互独立? (III)求 f ∣X Y ( ∣x y ) , f ∣Y X ( ∣y x ) ; (IV)求 P { X  ∣1 Y  2 } , P { X  ∣1 Y = 2 } ; (V)求(X,Y)的联合分布函数; (VI)求 Z = X + Y 的概率密度及 E  ( X + Y ) 2  .李林 108 · 42.二维随机变量函数分布 (4)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x,y)=ke − 1 2 (x2+y2) (1+sinxsiny), −x+, − y+ (I)求常数 第 98 页，共113页 k ; (II)求 X , Y 的边缘概率密度,并判别 X 与 Y 是否相互独立. 2e−x−2y, x0,y0, (5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x,y)= 求 0, 其他, Z = X − 2 Y 的概率密度,并求 EZ .李林 108 · 42.二维随机变量函数分布 (6)设随机变量 第 99 页，共113页 X 与 Y 相互独立, X  N ( 0 ,1 ) ,且 Y 的分布律为 P  Y = − 1  = 1 3 , P  Y = 1  = 2 3 , Z = X Y . (I)求Z的概率密度; (II)求 zx  . (7)设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 在  0 , 4  上服从均匀分布, Y 的概率密度为 fY ( y ) =  4 0 e , − 4 y , y y   0 0 , , 记 U =  1 0 , , X X   Y Y , . (I)求Z =X +Y的概率密度; (II)求 U 的分布律.李林 108 · 42.二维随机变量函数分布 (8)设随机变量X 与Y相互独立,且均服从N(0,1),令U =maxX,Y,V =minX,Y. (I)求 第 100 页，共113页 Z 1 = U + V , Z 2 = U − V 的概率密度 f1 ( z ) , f 2 ( z ) ; (II)求二维随机变量 ( U ,V ) 的分布函数 F ( u , v ) . (9)设二维随机变量(X,Y)服从区域D= (x,y) x+ y∣1 上的均匀分布,令 U =  − 1 1 , , X X   − − 1 21 2 , , V =  − 1 1 , , Y Y   1 21 2 , . (I)求二维随机变量 ( U ,V ) 的概率分布及 C o v ( U ,V ) ; (II)求 ( U ,V ) 的分布函数.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 42.二维随机变量函数分布 (10)(I)设X 与Y相互独立,X 的概率密度为 f (x),Y 的分布律为PY =a= p, 第 101 页，共113页 P  Y = b  = 1 − p ( 0  p  1 ) , 求 Z = X + Y 的分布函数 F Z ( z ) 与概率密度 f Z ( z ) ; (II)设 X 与 Y 相互独立, X 的概率密度为 f ( x ) 1 2 e 2x 2 ( x )    = − −   + ,且 P  Y = 0  = 1 4 , 3 PY =1= ,求Z =XY的分布函数 4 F Z ( z ) . (11)设随机变量 ( X , Y ) 服从 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1 , y  0  上的均匀分布,记 Z 1 =  0 1 2 , , , X 0 X    0 X Y ,  , Y ,  0, X  3Y, Z = 2 1, X  3Y. (I)求二维随机变量 ( Z 1 , Z 2 ) 的概率分布; (II)求相关系数 z z1 2  .李林 108 · 42.二维随机变量函数分布 (12)设随机变量是X 的概率密度为 f (x),当x0时, f (x)=0;当x0时, f (x)是微分方程 第 102 页，共113页 f ( x ) f ( x ) 0 ( 0 )    + =  的解.Y的分布律为 P  Y = 0  = P  Y = 1  = 1 2 ,且 X 与 Y 相互独立,记 Z = X − Y . (I)求Z的概率密度 f Z ( z ) ; (II)求 E Z ; (III)X 与 Z 是否相关?说明理由.李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 高频考点43 分布已知，求数字特征 (1)设随机变量 第 103 页，共113页 X 服从参数为的泊松分布,已知 P { X  0 } = 1 − e − 1 .  EX  (I)求E ;   1+ X  (II)求 C o v ( X , X 2 ) . (2)设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) 2 0 , ( 1 x 2 y 2 ) , x 2 y . 2 1 ,  =  − − 其 + 他  (I)X 与 Y 是否相互独立?说明理由; (II)求 X Y  ; (III)求 Z = X 2 + Y 2 的概率密度.李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 (3)设随机变量 第 104 页，共113页 X 与Y相互独立,且均服从N ( ,2) ,记U =aX +bY,V =aX −bY ,其中a,b不同时为零. (I)求相关系数 ; uv (II)求 U 与 V 相互独立的条件. (4)设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) e 1 e (x 2 x ) , x ( , ) , Y 2 ( X E X )    = −  − + = − ,求 X Y  与 D ( Y 2 ) .李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 (5)设随机变量 第 105 页，共113页 X 服从参数为(0)的指数分布,求使E ( X −a )(a0)取得最小值的常数a,并求 P  X  a  . (6)设随机事件 A , B 相互独立, 0  P ( A ) = p  1 ,且 P ( A B ) = P ( B A ) .令 X =  1 0 , , 若 若 A A 发 不 生 发 , 生 , Y =  1 0 , , 若 若 A A B B 发 不 生 发 , 生 , 求 C o v ( X , Y ) 和 X Y  .李林 108 · 43.分布已知,求数字特征 xn  e−x, x0, (7)设X ,X , ,X 为来自总体X 的简单随机样,X 的概率密度为 f (x)=n! 1 2 n  0, x0. (I)利用切比雪夫不等式证明: 第 106 页，共113页 P { 0  X  2 ( n + 1 )}  n n + 1 . (II)求 lim n P n i 1 X n i n n ( n 1 1 ) 1  →   = − + +   . (III)是否存在正实数 a ,对任意 0   ,都有 lim n P 1 n n i 1 X 2i a 1   →   = −   = (8)设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立,且均服从 N ( 0 ,1 ) , X 3 的分布律为 P  X 3 = − 1  = 1 4 , P  x 3 = 1 } = 3 4 ,且 X 1 与 X 3 相互独立. (I)求Z =X X 的概率密度 1 3 f Z ( z ) ; (II)求X 与Z的相关系数 ; 1 XZ 1 (III) ( X 1 + X 2 ) 2 与 ( X 1 − X 2 ) 2 是否相互独立?说明理由.李林 108 · 44.分布未知,求数字特征 高频考点44 分布未知，求数字特征 (1)设袋中装有红球16个、白球3个、黑球1个,且三种颜色球的大小和质地相同,现从袋中随机取一 1, 取到第i种颜色球(i=1,红;i=2,白;i=3,黑); 个球,记X = i 0, 其他. (I)求二维随机变量 第 107 页，共113页 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布; (II)问X 与X 是否相关? 1 2 (2)设随机变量 ( X , Y ) 服从 N  1 , 0 , 9 ,1 6 ; − 1 2  , Z = 1 3 X + 1 2 Y . (I)求Z的期望和方差; (II)问 X 与 Z 是否相互独立?说明理由.李林 108 · 44.分布未知,求数字特征 (3)设X ,X , ,X (n2)为相互独立且同分布的随机变量,均服从N(0,1),Y =X −X(i=1, 1 2 n i i 第 108 页，共113页 2 , , n ) , X = 1 n n i= 1 X ,i S 2 = n 1 − 1 n i= 1 ( X i − X ) 2 , T = X 2 − 1 n S 2 . (I)求DY ; i (II)求 Y Y1 n  ; (III)求 E T 和 D T . (4)设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ,若 f ( a + x ) = f ( a − x ) , x  0 , a 为常数,且 E X 存在,求 E X .李林 108 · 44.分布未知,求数字特征 2e−2x, x0, (5)设X ,X , ,X 相互独立且同分布,其相同的概率密度为 f (x)= 求 1 2 n 0, x0, 第 109 页，共113页 Z = m in  X 1 , X 2 , , X n  的数学期望 E Z 和方差 D Z .李林 108 · 45.参数估计 高频考点45 第 110 页，共113页 2 , t , F  分布及参数估计 (1)设总体 X  N ( 0 ,1 ) , ( X 1 , X 2 , , X 10 ) 为 X 的简单随机样本. (I)若 T = 1 3  3 i= 1 X i  2 + 1 7  10 i= 4 X i  2 ,求 T 服从的分布; (II)若 T = 7 3 3 i= 1 10 i= 4 X X 2i 2i ,求 T 服从的分布; 3X (III)若T = 1 ,求 10 X2 i i=2 T 服从的分布. (2)设 X 1 , X 2 , , X n , X n + 1 为总体 X N ( , 2 )   1 n n ( )2 的简单随机样本,X = X ,T = X −X ,求 n i (n+1)2 n+1 i=1 T 服从的分布,并计算 E T 和 D T .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取李林 108 · 45.参数估计 (3)设总体X 服从参数为(0)的泊松分布,(X ,X , ,X )为总体X 的简单随机样本,求的矩估 1 2 n 计量和最大似然估计量. (4)设总体X 的简单随机样本为 第 111 页，共113页 X 1 , X 2 , , X n , X 的概率密度函数为 f ( x ) 1 0 , e x , x , ,     =  − − 其  他 其中 0 , ,    为未知参数,求和的最大似然估计值.李林 108 · 45.参数估计 (5)设X ,X , ,X (n2)为总体X N ( 0,2) 的简单随机样本,0且为未知参数. 1 2 2n (I)求2的最大似然估计量 第 112 页，共113页 ˆ 2  ; (II)记 U = n + 1 i= 1 X ,V i = 2 n i= n X i ,利用(I)中的 ˆ 2  ,求相关系数 U V  . (7)设二维总体随机变量 ( X , Y ) 的概率密度函数为 f ( x , y ) 2 2 e x y , 0 x y ,    = − − +    + 其中0为未知 参数,(X ,Y ),(X ,Y ), ,(X ,Y )为总体 1 1 2 2 n n ( X , Y ) 的一组简单随机样本. (I)求的最大似然估计量 ˆ ; (II)求 E ˆ .李林 108 · 45.参数估计 (8)设总体X U(0,)(0),X ,X , ,X 为来自总体 1 2 n 第 113 页，共113页 X 的简单随机样本,若的最大似然估计量为 ˆ. (I)求E ˆ和 D ˆ ; (II)利用切比雪夫不等式证明:对任意 0   ,有 lim n P  ˆ  0     → −  = ; (9)设相互独立的随机变量 X 1 , X 2 , , X n 均服从 N ( , 2 )  , Y i X i ( i 1 , 2 , , n ) ,  = − = Y = 1 n n  Y i= 1 .i (I)求Y 的概率密度; 1 (II)利用一阶矩求的矩估计量; (III)求 E Y 和 D Y .