文档内容
第6讲 函数的公切线问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】求两函数的公切线.........................................................................................................2
【考点二】与公切线有关的求值问题..............................................................................................3
【考点三】判断公切线条数............................................................................................................4
【考点四】求参数的取值范围.........................................................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................5
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点
问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．
真题自测
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.
三、解答题
3．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的切线也
是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
考点突破
【考点一】求两函数的公切线
一、单选题
1．（2024·福建·模拟预测）已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若直线 是曲线 与曲线 的
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学科网（北京）股份有限公司公切线，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知 ， 是函数 与 的图像的两条公切线，记 的倾斜
角为 ， 的倾斜角为 ，且 ， 的夹角为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．若 ，则 D． 与 的交点可能在第三象限
4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的
公切线，已知直线 ： 为曲线 ： 和 ： 的公切线，则下列结论正
确的是（ ）
A．曲线 的图象在 轴的上方
B．当 时，
C．若 ，则
D．当 时， 和 必存在斜率为 的公切线
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）曲线 与 的公切线方程为 .
6．（23-24高三上·山东日照·期末）已知函数 的图象上存在三个不同的点 ，使得曲线
在 三点处的切线重合，则此切线的方程为 .（写出符合要求的一条切线即可）
规律方法：
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学科网（北京）股份有限公司求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 y＝f(x)在点P(x ，f(x))处的切线
0 0
方程是y－f(x)＝f′(x)·(x－x)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
0 0 0
【考点二】与公切线有关的求值问题
一、单选题
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线 与 ，恰有2条公切线，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）
A．0或2 B． 或2 C． 或0 D．0或1
二、多选题
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A． 恒成立的充要条件是
B．当 时，两个函数图象有两条公切线
C．当 时，直线 是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 ，则
4．（2023·湖北·模拟预测）若存在直线与曲线 都相切，则 的值可以是
（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
.
6．（2024·四川·模拟预测）若直线 是曲线f (x)=lnx的切线，也是曲线 的切线，则
．
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学科网（北京）股份有限公司规律方法：
利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．
【考点三】判断公切线条数
一、单选题
1．（2023·河南·三模）已知函数 的图像关于原点对称，则与曲线 和 均
相切的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（2023·安徽合肥·模拟预测）曲线 与曲线 有（ ）条公切线.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·江西南昌·一模）已知函数 ，则 和 的公切线的条数为
A．三条 B．二条 C．一条 D．0条
规律方法：
运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断
函数零点个数，即方程解的情况．
【考点四】求参数的取值范围
一、单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线 和 均相切，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·云南曲靖·一模）已知 ，若点 为曲线 与曲线 的交点，且
两条曲线在点 处的切线重合，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线 都相切，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023·河北邯郸·三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围是 ．
5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 ，若存在一条直线同时与两个函数图象相
切，则实数a的取值范围 ．
6．（2023·河北唐山·三模）已知曲线 与 有公共切线，则实数 的取值范围为
.
规律方法：
利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率 k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的
交点问题，利用函数的性质或图象求解．
专题精练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数 与 的图象关于直线 对称，直线 与
的图象均相切，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·江苏盐城·期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 ， ，若直线 为 和
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学科网（北京）股份有限公司的公切线，则b等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三上·安徽宿州·阶段练习）若函数 与 的图象存在公共切线，则实数
a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）若直线 是曲线 与曲线 的公切
线，则 （ ）
A．11 B．12 C． D．
7．（2022·江苏南京·模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·安徽马鞍山·一模）若仅存在一条直线与函数 （ ）和 的图象均相切，
则实数 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·河北保定·二模）若直线 是曲线 与曲线 的公切线，
则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·江西·一模）已知函数 ， ，若 ， 的图象与直线 分别
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学科网（北京）股份有限公司切于点 ， ，与直线 分别切于点C，D，且 ， 相交于点 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数 ，其中 为自然对数的底数，则下列说
法正确的是（ ）
A．函数 的极值点为1
B．
C．若 分别是曲线 和 上的动点.则 的最小值为
D．若 对任意的 恒成立，则 的最小值为
三、填空题
12．（2024·上海·三模）设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切
线，则 的值为 .
13．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象在公共点处
有相同的切线，则公共点坐标为 .
14．（2024·北京朝阳·一模）已知函数 .若曲线 在点 处的切线与其在点
处的切线相互垂直，则 的一个取值为 .
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