文档内容
11.2 与三角形有关的角
【考点1三三角形的内角和定理】
【考点2 直角三角形的内角有关运算】
【考点3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【考点4 三角形外角性质】
【考点5 三角形双内角平分线的有关运算】
【考点6 三角形双外角平分线的有关运算】
【考点7 三角形内、外角平分线的有关运算】
考点1 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内
角。
测量法： 剪角拼角法 ：
【考点1三三角形的内角和定理】
【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B
的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【变式1-1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形
缺损的顶角∠C的度数为（ ）A．60° B．64° C．74° D．80°
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分
∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，
使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
考点2 直角三角形
①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形
【考点2 直角三角形的内角有关运算】
【典例2】如图，AB∥CD，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，则∠EAB＝（
）A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式2-1】如图，将含45°角的直角三角形放入平行线l ，l 之间，直角顶点C和一个锐
1 2
角顶点A分别落在直线l ，l 上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
1 2
A．22° B．23° C．32° D．33°
【变式2-2】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B
的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【考点3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例3】如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝
70°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．【变式3-1】如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°．
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数．
【变式3-2】如图，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A＝
80°，∠BCA＝50°，求∠BFC的度数．
【变式3-3】△ABC中，∠C＞∠B，AD是高，AE是三角形的角平分线．
（1）当∠B＝24°，∠C＝68°时，求∠DAE的度数；
（2）根据第（1）问得到的启示，∠C﹣∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系，并说明
理由．考点3 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不
相 邻的任何一个角。
【考点4 三角形外角性质】
【典例4】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD
＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【变式 4-1】将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝
（ ）A．45° B．50° C．60° D．75°
【变式4-2】在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠
的度数为（ ） α
A．60° B．65° C．75° D．85°
【变式4-3】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
考点4 三角形的双内角平分线
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.1
【结论】∠P=90°+2∠A.
【考点5 三角形双内角平分线的有关运算】
【典例5】如图，在△ABC中，∠A＝84°，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，点
P是∠BOC、∠OCB角平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．42° B．60° C．56° D．65°
【变式5-1】如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的
角平分线，则∠BOC等于（ ）
A．140° B．120° C．130° D．无法确定
【变式5-2】如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（
）
A．60° B．120° C．110° D．40°
【变式5-3】如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，
使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．45° B．50° C．55° D．60°
考点5 三角形的双外角平分线
【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
1
【结论】∠P=90°-2∠A.
【考点6 三角形双外角平分线的有关运算】
【典例6】如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（
）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【变式6-1】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点 P，已知∠P＝
72°，则∠B的度数为（ ）
A．44° B．43° C．36° D．34°
【变式6-2】如图△ABC中，BI、Cl分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，∠A+∠I＝130°，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式6-3】如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，且∠BIC＝140°，BM，
CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角，则∠BMC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
考点6 三角形的内外角平分线
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线
1
【结论】∠P=2∠A
【考点7 三角形内、外角平分线的有关运算】
【典例7】如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD，CD
相交于点D．若∠A＝80°，则∠D等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．55°【变式7-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平
分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．70°
【变式7-2】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果
∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式7-3】如图，BA 和CA 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA 是∠A BD的
1 1 2 1
角平分线，CA 是∠A CD的角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，CA 是∠A CD的角
2 1 3 2 3 2
平分线，依此下去，若∠A＝ ，则∠A 为（ ）
2023
α
A． B．
C． D．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•安庆期末）若一个三角形的三个内角度数的比为 2：3：4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（2024•洛龙区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA
＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
3．（2023秋•平泉市期末）如图，∠AOB的度数可能是（ ）
A．45° B．60° C．65° D．70°
4．（2024•福田区模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于（ ）
A．90° B．105° C．120° D．135°
5．（2024•东昌府区校级一模）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到
凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝ ，∠DCO＝60°，则∠BOC的
度数为（ ） αA．180°﹣ B．120°﹣ C．60°+ D．60°﹣
6．（2024春•α重庆期中）如图，ADα是△ABC的BC边上α的高，AE平分∠BACα，若∠B＝
48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．14° D．16°
7．（2024•凤阳县一模）将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶
点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
8．（2023秋•贵池区期末）如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则
∠1+∠2＝（ ）
A．282° B．180° C．258° D．360°
9．（2023秋•林芝市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，
∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）A．59° B．60° C．56° D．22°
10．（2023 秋•忻州期末）如图，在△CEF 中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，
AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．47° C．55° D．78°
二．填空题（共5小题）
11．（2024春•江宁区校级月考）如图，三角形中的x的值是 ．
12．（2023秋•新都区期末）如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度
数为 ．
13．（2023秋•青龙县期末）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则
∠DCB的度数是 ．14．（2023秋•梅县区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线
CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE＝ °．
15．（2023春•市南区校级期末）若三角形三个内角度数的比为1：2：3，则最大内角度数
为 度 ．
三．解答题（共3小题）
16．（2024•港南区二模）如图所示，△ABC，△CDE均为直角三角形，且∠B＝45°，∠D
＝30°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
17．（2023秋•临沭县期末）如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点
E，若∠C＝65°，∠BED＝68°，求∠ABC和∠BAC的度数．18．（2023秋•榆阳区校级期末）如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点（均
不与点O重合）．
（1）如图1，当∠MON＝58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则
∠ACB＝ °；
（2）如图2，当∠MON＝n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB＝
°（用含n的式子表示）；
（3）如图3，当∠MON＝ （ 为定值，0°＜ ＜90°）时，BE是∠NBA的平分线，BE
的反向延长线与∠OAB的平α分α线交于点F．随α着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？
如果不会，求出∠F的度数（用含 的式子表示）；如果会，请说明理由．
α
