文档内容
13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（
）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】设边AB的垂直平分线交AB于点E，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
故答案为：B.
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键.
2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若
BE=2，则AE的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，
∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．
在Rt CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
△
∴AE= CE=1．
故选B．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定
义得出 ∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣
∠ACB=90°，然后在Rt CAE中根 据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE= CE=1．
△
3．如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧
交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE.下列结论中，错误的是( )
A．AD = CD B．BE > CD
C．∠BEC = ∠BDC D．BE平分∠CBD
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得，DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AD=BD，
∴点D为AB的中点.∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD为Rt ABC的边AB上的中线，
∴CD=AD=△BD，故A选项正确；
∵DE⊥AB，
∴Rt ADE中，AE＞AD.
∵AE△＞AD。AE=BE，AD=CD，
∴BE＞CD，故B选项正确；
∵∠BEC是等腰△ABE的外角，
∴∠BEC=2∠A.
∵∠BDC是等腰△ACD的外角，
∴∠BDC=2∠A，
∴∠BEC=∠BDC，故C选项正确；
∵当∠A=30°时，∠ABE=30°=∠CBE，
∴当∠A=30°时，BE平分∠ABC，
而∠A不一定为30°，
∴BE不一定平分∠CBD，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】 由作图可得，DE是AB的垂直平分线，然后由线段垂直平分线的性质结合直角三角形斜边
的中线等于斜边的一半可推出AD与CD的关系，据此判断A选项；
由直角三角形中斜边最长结合AD、BD、CD的关系可判断B选项；
由三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和可得∠BEC=2∠A，∠BDC=2∠A，据此判断C选项；
当∠A=30°时，∠ABE=30°=∠CBE，然后根据∠A的度数判断D选项.
4．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数
为（ ）
A．40° B．45° C．47.5° D．50°
【答案】B【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC＝ =17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，
∴AB＝BE，
∴AF＝EF，
∴AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
∴∠BED＝∠BAD＝95°，
∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝
90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，根据中垂线的性质求得AD＝ED，得到
∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论.
5．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝
70°，则∠EAN的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ，
，
的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】由三角形内角和180°解得 ，根据线段垂直平分线的性质，解得
，进而根据等边对等角性质，解得 ，最后根据
角的和差计算 的度数即可．
6．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，点E为垂足，FG垂直平分AC，点G为垂足，BC=5cm，则
△ADF的周长等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴AD=BD，AF=CF，
∵BC=5cm，
∴△ADF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=5(cm).
故答案为：B
【分析】利用线段垂直平分线的性质，可证得AD=BD，AF=CF，因此要求△ADF的周长，就转化为
△ADF的周长就是线段BC的长。
7．如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与
， 分别交于点D，G，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB=EA，FA=FC，
∴∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=50°，
∴∠BAE+∠FAC=50°，
∴∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）=80°.
故答案为：A.
【分析】利用垂直平分线的性质可知EA=EB，FA=FC，利用等边对等角得∠BAE=∠B，∠FAC=∠C；
再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的度数；然后可用∠EAF=∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）计
算可求解.
二、填空题：
8．如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是
．
【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故答案为：30°
【分析】先根据等腰三角形性质易得∠ABC、∠ACB度数，再根据垂直平分线的性质可得DB=AD，
根据“等边对等角”求得∠ABD，最后求得∠DBC度数。
9．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于点D，BC＝5，AC＝10，则AE的值是
． △
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB于点D，
∴AE＝BE，
设AE＝x，则BE＝x，
故在Rt ECB中，EC2+BC2＝EB2，（10﹣x）2+52＝x2，
△
解得：x＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据题意直接利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理进而得出答案．
10．如图所示，在△ABC中，∠C = 90°，边AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D,E,连结BE.若
AB = 10，BC = 6，则△ACE的周长是 .【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB=10，BC=6，∠C=90°，
∴AC= =8.
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=8+6=14.
故答案为：14.
【分析】首先根据勾股定理求出AC的长，然后由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而将△ACE
的周长转化为AC+BC.
11．如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点
M，N，作直线 分别交 ， 于点D，E.若 ， 的周长为13，则
的周长为 .
【答案】19
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=3，∵ 的周长为13，
∴AB+AD+BD=13，
∴AB+BD+DC=13，
∴△ABC的周长=AB+BD+DC+AC=13+3+3=19，
故答案为：19.
【分析】由作法可知，DE垂直平分线段AC，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的
点到线段两端点的距离相等”可得AD=CD，AE=CE，然后根据三角形的周长等于三边之和可求解.
12．如图，△ABC中，线段BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若
∠BAC=84°，则∠BDC= °．
【答案】96
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN
∵DP垂直平分BC
∴BD=DC
∴Rt BDM≌Rt CDN
∴∠△MDB=∠CD△N∠MDN=∠BDC
又∠DMA=∠DNA=90°，∠BAC=84°
∴∠MDN=96°；
∠BDC=96°
【分析】做DM⊥AB延长线于M，做DN⊥AC于N，易由角平分线性质和线段垂直平分线性质得
Rt BDM≌Rt CDN，从而得∠MDN=∠BDC，再利用四边形内角和为180°可得∠MDN=96°，因此
∠△BDC=96° △
三、解答题：
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求AC的长度．
【答案】解：（1）∵AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD=ACD=2×3=6，
∴AD=BD=6，
∴AC=AD+CD=9．
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，
易得AD=BD，即可求得∠ABD的度数，又由三角形外角的性质，即可求得答案；
（2）易得△BCD是含30°角的直角三角形的性质，继而求得BD的长，则可求得答案．
14．如图，在 ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E， 交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，
∠ABD=22°，求∠C的度数．【答案】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC ．
∴∠DBC=∠C ．
∵∠A=100°，∠ABD=22°．
∴∠BDC=∠A+∠ABD=122°．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴∠C= ．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】先求出 DB=DC，再求出∠BDC=122°，最后计算求解即可。
15．如图，在△ABC中，AD BC，垂足是D，∠B=2∠C．求证：AB+BD= DC．
【答案】证明：在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∴∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C，
∴AE=CE，∴CE=AE=AB，
∴DC=DE+CE=AB+BD，
∴AB+BD=DC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质进行作答即可。
16．如图，AB=AC，∠A=120º，BC=6cm，ED、FG分别是AB，AC的垂直平分线，求BE的长.
【答案】解：连接AE、AG，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE、FG分别为线段AB、AC的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=CG，
∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，
∵∠AEG与∠AGE分别是△AEB与△AGC的外角，
∴∠AEG=∠B+∠BAE=30°+30°=60°，∠AGE=∠C+∠CAG=30°+30°=60°，
∴△AEG是等边三角形，
∴AE=EG=AG，
∵BE=AE，AG=CG，BC=6cm，
∴BE= EG= CG =2cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AE、AG，根据等腰三角形的性质可得：∠B=∠C=30°，然后根据垂直平分线
的性质可得：BE=AE，AG=CG，从而得出：∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAG=30°，然后根据三角形外
角的性质可得：∠AEG=∠AGE=60°，再根据等边三角形的判定可得：△AEG是等边三角形，从而得出：AE=EG=AG，即可求出BE= EG= CG =2cm.
能力提升篇
一、单选题:
1．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是
ABC
△
AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
【答案】C
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC=10，S =25，
ABC
△
∴ ×10•BE=25，
解得BE=5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．
故答案为：C．
【分析】本题关键是确定点M、N分别在什么位置时，BM+MN最小。首先根据AD是∠BAC平分线
可知点B的对称点B'必在AC上，再根据垂线段最短的原理从B'向AB边引垂线段，与AD、AB的交点
即为M、N，因为此时B'N=MN+B'M=MN+MB。最后利用AB=AB'，结合等腰三角形两腰上的高相等把
求B'N的长转化为求△ABC边AC上的高BE，据此解答即可。
2．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，
DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF; ②DE+DF=AD; ③DM
平分∠EDF：④AB+AC=2AE．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性
质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴①正确；
又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠DAF=30°，∴DE=DF= ，∴DE+DF=AD，②正确；
连接DB、DC，∵DM垂直平分BC，∴DB=DC，∴Rt DBE≌Rt DCF(HL)，∴BE=CF，
同理Rt ADE≌Rt ADF，∴AE=AF，∴AB+AC=AE-BE△+AF+FC=△AE+AF=2AE，∴④正确。
故答案为△：C △
【分析】连接DB、DC，根据角平分线、线段中垂线的性质定理可知DE=DF、DB=DC，故①正确；
利用HL可得两对全等三角形，从而有AE=AF、BE=CF，据此可判断④正确；又由
∠DAE=∠DAF=30°，利用含30°直角三角形的性质可得DE=DF= ，进而又得②正确。3．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；
②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S ﹣2S =S ；其中正确结论的个数是（ ）
ACE BCE ADC
△ △ △
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE，
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE，
∴AD=AF，
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，
∴AE= （AB+AD），故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF.
在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC=∠AFC.
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B.
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
所以S -S =S -S =S ，
ACE BCE ACE FCE ACF
△ △ △ △ △
又∵△ACD≌△ACF，
∴S =S ，
ACF ADC
△ △
∴S -S =S ，故④错误；
ACE BCE ADC
△ △ △
即正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】①在AE取点F，使EF=BE.利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出
2AE=AB+AD；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF.先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出
∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及
四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；
③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质得出CF=CB，从而
CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S -S =S .
ACE BCE ADC
△ △ △
二、填空题：
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上
一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是 .
【答案】9.6
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接PC，∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC，BD= BC=6
∴BP=CP，
∴EP+BP=EP+CP
要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，
且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；
∵ ，
∴10CE=12×8
解之：CE=9.6.
故答案为：9.6.
【分析】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利
用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使
EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且
CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.
5．如图所示， ，点 为 内一点，分别作出 点关于 、 的
对称点 ， ，连接 交 于 ，交 于 ， ，则 的周长为 ， .
【答案】15；96°
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P，P点关于OB的对称点P，
1 2
∴PM=PM，PN=PN．
1 2
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+PM+PN=PP=15．
1 2 1 2
∵P点关于OA的对称是点P，P点关于OB的对称点P，
1 2
∴OA垂直平分PP，OB垂直平分P P
1 2
∴PM=PM，PN=PN．
1 2
∴∠PMN=2∠P，∠PNM=2∠P，
1 2
∵PP⊥OA,PP ⊥OB,，
1 2
∴∠PPP=180°-∠AOB=138°,
2 1
∴∠P+∠P=42°
1 2
∴∠MPN=180°-42°×2=96°
故答案为：15,96°.
【分析】利用轴对称的性质，可得到PM=PM，PN=PN，就可证得△PMN的周长就等于PP 的长；
1 2 1 2
利用线段垂直平分线的性质，可证得PM=PM，PN=PN，利用等边对等角及三角形的外角的性质，易
1 2
证∠PMN=2∠P，∠PNM=2∠P，再求出∠P+∠P 的值，然后利用三角形内角和定理就可求出结果。
1 2 1 2
6．在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，若∠DAE=40°，则∠BAC的度数
为 .
【答案】20°或110°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】（1）当△ABC为锐角三角形时，易知∠ABE=∠BAE，∠DAC=∠DCA，
∠ACE=∠ADE–∠DAC，∠EBA=2∠ACB+∠DAB，
求得∠BAC=∠BAD+∠DAC=20°.
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
∠DAB=∠B，∠C=∠EAC，所以，2（∠B+∠C）+40°=180°，求得∠BAC=110°.
【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，再由等边对
等角和三角形内角和定理，求出∠BAC的度数.
7．如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角平分线
交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N.已知AB=13，BC=9，MN=3，则△BMN的
面积是 .
【答案】3【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K，
∵ME为AC的垂直平分线，
∴AM=MC，
∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG，
∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°，
又∵MB=MB，
∴△MBK≌△MBN，
∴MN=MK，BK=BN，
∴Rt AMN≌Rt CMK，
∴AN△=CK， △
∴AN=CK=BC+BK=BC+BN，
∴BN=AN-BC=AB-BN-BC，
∴2BN=AB-BC=13-9=4，
∴BN=2，
∴△BMN的面积为 .
故答案为： .
【分析】连接AM，CM，作MK⊥CG，垂足为K，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上
的点到线段两端点的距离相等”可得AM=MC，用角角边可证△MBK≌△MBN，由全等三角形的对应
边相等可得MN=MK，BK=BN，根据HL证Rt AMN≌Rt CMK，则AN=CK=BC+BK=BC+BN，
△ △
BN=AN-BC=AB-BN-BC，所以2BN=AB-BC，则可求得BN的值，根据S = BN×MN可求解.
BMN
△三、解答题：
8．已知：OC平分∠AOB，点P、Q都是OC上不同的点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，连
接EQ、FQ.求证：FQ＝EQ
【答案】证明：∵OC平分AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴ PE＝PF，在Rt OPE与Rt OPF中， OP
＝OP，PE＝PF，∴Rt OPE≌Rt OPF， ∴OE＝OF，∴OC是线段EF的△垂直平分线△， ∴FQ＝EQ
【知识点】全等三角形的△判定与性△质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 PE＝PF，然后利用HL判断出
Rt OPE≌Rt OPF，根据全等三角形的对应边相等得出OE＝OF，根据到一条线段两个端点距离相等
的△点在这条线△段的垂直平分线上，由OE＝OF，PE＝PF，得出点O，P都在线段EF的垂直平分线上，
再根据过两点有一条而且只有一条直线，从而得出OC是线段EF的垂直平分线，再根据垂直平分线
上的点到线段两个端点的距离相等得出FQ＝EQ。
9．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，
∠CDB＝38°，求∠OBD的度数.
【答案】解：连接OA，OC，∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】连接OA，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OD，从而利用SSS
证明△ABO≌△COD，根据全等三角形的对应角相等得到∠ABO=∠CDO，设∠OBD=∠ODB=α，
∠ABO=∠CDO=β，解方程组即可求出∠OBD.
