文档内容
13.4 等边三角形的性质和判定
【考点1：利用等边三角形的性质求边长】
【考点2：利用等边三角形的性质求角度】
【考点3：等边三角形的判定】
【考点4：等边三角形的判定与性质】
【考点5：含30°角的直角三角形的性质】
【考点6：直角三角形斜边上的中线】
知识点1：等边三角形的概念与性质
1. 等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直
角）.
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 2 .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一
定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高
线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【考点1：利用等边三角形的性质求边长】
【典例1】（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且
BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，
那么BE的长是（ ）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【变式1-1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是
BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的
△DEF的周长是（ ）
A．3 B． C．6 D．8
【变式1-2】（2023春•东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，
AD⊥BC于点D．则CD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式1-3】（2022秋•浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC
的周长为 ．
【考点2：利用等边三角形的性质求角度】
【典例2】（2022秋•金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长
线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式2-1】（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在
同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【变式2-2】（2023秋•琼中县期中）如图，直线 a、b分别经过等边三角形ABC的顶点
A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．18° B．42° C．60° D．102°
【变式2-3】（2023秋•西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在
直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．60° C．75° D．45°
知识点2：等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【考点3： 等边三角形的判定】
【典例3】（2023秋•前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E
是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形．【变式3-1】（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，
且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形．
【变式3-2】（2023秋•宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过
点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
【变式3-3】（2023秋•浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，
过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CDE．
（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【考点4：等边三角形的判定与性质】
【典例4】（2023秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，
AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【变式4-1】（2023•张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D
作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【变式 4-2】如图，点 P，M，N 分别在等边△ABC 的各边上，且 MP⊥AB 于点 P，
MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
【变式 4-3】如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O，且
OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．知识点3：含30°角的直角三角形的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【考点5： 含30°角的直角三角形的性质】
【典例5】（2023秋•文昌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．
若AD＝2，则BD的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7.5
【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，AB的垂直平分线DE，交
AB于点E，交BC与点D，若DE＝3．则BC的长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【变式5-2】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM
＝PN．若MN＝2，则OM的长是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-3】如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（
）
A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5
知识点4：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【考点6： 直角三角形斜边上的中线】
【典例6】（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边
上的中线，且AD＝4，则BC＝（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【变式6-1】（2023秋•双桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接
CD．若CD＝2，则AB的长是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-2】（2023秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝
25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50° B．48° C．55° D．25°
【变式6-3】（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE
的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的
中点，则MN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
一、单选题
1．如图，△ABC是等边三角形，AC=4，AD⊥BC于点D，则BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，
OP=6，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）A．4 B．2 C．5 D．3
3．如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的
延长线于E，则∠CDE=（ ）
A．30° B．25° C．20° D．40°
4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=24，点D在BA的延长线上，CA=CD，
BD=15，则AD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E．若AE=3，
则△ABC的边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，BC⊥AC，要求BC为3m，则AB的长为
（ ）A．6m B．3❑√3m C．9m D．9❑√3m
7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等
边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下
五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④OC平分∠BCD；⑤
∠AOB=60°．其中正确的结论有（ ）
A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若∠B=30°，AD=2，则BD=
9．如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，CD=4，AD是∠BAC的平分线，则BD
的长是 ．
10．如图，将边长为7个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△≝¿，则四边
形ABFD的周长为 ．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点
D，E．若CE=3，则线段AE的长度等于 ．
三、解答题
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且AE=BE．
(1)求∠CAE的度数；
(2)若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
13．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
(1)求∠E的度数？
(2)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹）
(3)求证：BM=EM．
14．如图，△ABC为等边三角形，即D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD．(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AFB的度数．
15．以△ABC的边AB、AC为边向外分别作等边△ABD、等边△ACE，连接DC、BE，
DC与BE交于O，连接AO．
(1)求证：BE=CD；
(2)求证：OA平分∠DOE；
(3)请问线段DO与线段BO、AO之间有什么数量关系？请说明理由．
