文档内容
13.4 等边三角形的性质和判定
【考点1：利用等边三角形的性质求边长】
【考点2：利用等边三角形的性质求角度】
【考点3：等边三角形的判定】
【考点4：等边三角形的判定与性质】
【考点5：含30°角的直角三角形的性质】
【考点6：直角三角形斜边上的中线】
知识点1：等边三角形的概念与性质
1. 等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直
角）.
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 2 .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一
定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高
线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【考点1：利用等边三角形的性质求边长】
【典例1】（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且
BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，
那么BE的长是（ ）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，
∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，
∴∠BED＝∠EFC，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴DB＝EC＝1，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．
故选：C．
【变式1-1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是
BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的
△DEF的周长是（ ）
A．3 B． C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8．
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，
∵点E，F是BC边的三等分点，
∴ ，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF为等边三角形，∴ ，
∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝3× ＝8．
故选：D．
【变式1-2】（2023春•东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，
AD⊥BC于点D．则CD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解答】解：∵∠B＝60°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∴ ，
∵AB＝AC＝10，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝5，
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC
的周长为 1 5 ．
【答案】15．
【解答】解：∵∠C＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC＝5，
∴△ABC的周长为5×3＝15，
故答案为：15．
【考点2：利用等边三角形的性质求角度】
【典例2】（2022秋•金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长
线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（ ）A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，
∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，
∴∠PBC＝30°，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠E＝30°，
∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，
故选：C．
【变式2-1】（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在
同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，
∴∠CGD+∠CDG＝60°．
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°．
∵∠CDG＝∠DFE+∠E，
∴∠DFE+∠E＝30°．
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．
【变式2-2】（2023秋•琼中县期中）如图，直线 a、b分别经过等边三角形ABC的顶点
A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．18° B．42° C．60° D．102°
【答案】D
【解答】解：∵a∥b，∠1＝42°，
∴∠1+∠BAC＝∠2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠2＝42°+60°
＝102°，
故选：D．
【变式2-3】（2023秋•西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在
直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．60° C．75° D．45°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°．
故选：C
知识点2：等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【考点3： 等边三角形的判定】
【典例3】（2023秋•前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E
是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵E是AC的中点，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∵DE∥BC，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝ AB，
∴BC＝BD，
∴△BDC是等边三角形．【变式3-1】（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，
且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝ ∠CDE，
∵∠CDE＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∵DF∥BA，
∴∠ABC＝∠CDF＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
【变式3-2】（2023秋•宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过
点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD．
求证：△ECB是等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AD∥CE，
∴∠A＝∠CEB＝60°．
∵∠CEB＝∠B，
∴CE＝CB．
∴△CEB是等腰三角形．
又∵∠CEB＝60°，
∴△CEB是等边三角形．【变式3-3】（2023秋•浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，
过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CDE．
（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠B，
∴∠C＝∠CDE；
（2）△DEC是等边三角形，
理由：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝60°，
由（1），△DEC是等腰三角形，
∴△DEC是等边三角形．
【考点4：等边三角形的判定与性质】
【典例4】（2023秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，
AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）60°；
（3）证明过程见解答．
【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED
＝∠ADC+∠CDE+∠BED
＝∠ADC+60°+∠BED
＝∠CED+60°
＝60°+60°
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝ AD，BN＝ BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
【变式4-1】（2023•张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D
作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：DC＝CF．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
【变式 4-2】如图，点 P，M，N 分别在等边△ABC 的各边上，且 MP⊥AB 于点 P，
MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，
∴PB＝4cm，
∴MC＝4cm．
【变式 4-3】如图，在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 O，且
OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；
∴△ODE的周长＝BC＝10．
知识点3：含30°角的直角三角形的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【考点5： 含30°角的直角三角形的性质】
【典例5】（2023秋•文昌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．
若AD＝2，则BD的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7.5
【答案】C
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故选：C．
【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，AB的垂直平分线DE，交
AB于点E，交BC与点D，若DE＝3．则BC的长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，
∴∠B＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DAE＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠DAE+∠B＝60°，AD＝2DE＝6，
∴∠CAD＝30°，BD＝6，
∴ ，
∴BC＝BD+DC＝9．
故选：C．
【变式5-2】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM
＝PN．若MN＝2，则OM的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝8，∴DO＝ OP＝4，
∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1，
∴MO＝DO﹣MD＝4﹣1＝3．
故选：B．
【变式5-3】如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD＝30°，AB＝3，则AC长（
）
A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5
【答案】D
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠CAD＝90°，
∵△ABC中，AD为中线，
∴BD＝DC，
又∵∠BDE＝∠CDA，
∴△BDE≌△CDA（AAS），
∴BE＝AC，
又∵在Rt△BAE中，AB＝3，∠BAE＝30°，∴ ，
∴AC＝1.5，
故选：D
知识点4：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【考点6： 直角三角形斜边上的中线】
【典例6】（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边
上的中线，且AD＝4，则BC＝（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴BC＝2AD＝8．
故选：B．
【变式6-1】（2023秋•双桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接
CD．若CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中、点D是AB的中点，CD＝2，
∴AB＝2CD＝4，
故选：C．【变式6-2】（2023秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝
25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50° B．48° C．55° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠BCD＝25°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°．
故选：A．
【变式6-3】（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE
的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的
中点，则MN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【解答】解：如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝10，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，∴CN＝ DE＝3，CM＝ AB＝5，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣3＝2．
故选：A．
一、单选题
1．如图，△ABC是等边三角形，AC=4，AD⊥BC于点D，则BD等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
1
【分析】由等边三角形的性质推出BC=AC=4，BD= BC=2．本题考查等边三角形的
2
1
性质，关键是由等边三角形的性质推出BD= BC．
2
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=4，
∵AD⊥BC于点D，
1
∴BD= BC=2．
2
故选：A
2．如图，已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，
OP=6，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）A．4 B．2 C．5 D．3
【答案】D
【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及
垂线段最短的实际应用．过P作PH⊥OB，根据垂线段最短即可求出PE最小值．
【详解】解∶∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
∵PD⊥OA，OP=6，
1
∴PD= OP=3，
2
过P作PH⊥OB于点H，
∵PD⊥OA，OC平分∠AOB，
∴PD=PH=3，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为3，
故选：C．
3．如图，BD是等边△ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的
延长线于E，则∠CDE=（ ）
A．30° B．25° C．20° D．40°
【答案】A【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，
掌握三线合一的性质是解题关键．根据等边三角形的性质，得到∠ABC=ACB=60°，
∠CBD=30°，根据等边对等角的性质，得到∠E=∠CBD=30°，再利用三角形外角的
性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，BD是边AC上的中线，
1
∴∠ABC=ACB=60°，∠CBD= ∠ABC=30°，
2
由作法可知，DB=DE，
∴∠E=∠CBD=30°，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=24，点D在BA的延长线上，CA=CD，
BD=15，则AD的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，
过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠BEC=90°，再利用直角三角形的两
个锐角互余可得∠BCE=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BE=12，从
而可得DE=3，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠BEC=90°，∵∠ABC=60°，
∴∠BCE=90°−∠ABC=30°，
∵BC=24，
1
∴BE= BC=12，
2
∵BD=15，
∴DE=BD−BE=15−12=3，
∵CA=CD，
∴AD=2DE=6，
故选：A．
5．如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E．若AE=3，
则△ABC的边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于
60°；在直角三角形中30°角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．
根据题意可知∠A=60°，在直角三角形ADE中求得AD的长，即可求得AC的长．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为点E．若
AE=3，
∴在直角三角形ADE中，∠A=60°，∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴AD=2AE=6，
又∵D为AC的中点，
∴AC=2AD=12，
∴等边三角形ABC的边长为12，
故选：A．
6．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，BC⊥AC，要求BC为3m，则AB的长为（ ）
A．6m B．3❑√3m C．9m D．9❑√3m
【答案】A
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，根据含30°角的直角三角形的性质得
出AB=2BC=6m，即可得解．
【详解】解：由题意得：∠BAC=30°，∠ACB=90°，BC=3m，
∴AB=2BC=6m，
故选：A．
7．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等
边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下
五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④OC平分∠BCD；⑤
∠AOB=60°．其中正确的结论有（ ）
A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线
的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由等边三角形的性质可得AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，从而可根据SAS得
到△ACD≌△BCE，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由△ACD≌△BCE可得
∠CBE=∠DAC，结合∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC可得到△ACP≌△BCQ，结合
全等三角形的性质可判断③的正误；由全等三角形的性质可得到PC=QC，结合
∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，因此∠CPQ=60°，结合平行线的判定可判断②
的正误；根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出CH=CG，根据角平分线的判定定理可判断④其正误；根据△ACD≌△BCE结合三角形外角的性质，据此可判断⑤的正误．
【详解】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC=AC=AB,DE=DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE．
在△DCA和△ECB中，
{
AC=BC
)
∠ACD=∠BCE ，
CD=CE
∴△DCA≌△ECB(SAS)，
∴AD=BE，故①正确，符合题意；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中
{∠CAP=∠CBQ
)
AC=BC ，
∠ACP=∠BCQ
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴CP=CQ，故③正确，符合题意；
∵CP=CQ,∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②正确，符合题意；
过点C作CH⊥EQ于H,CG⊥DP于G，
∵△DCA≌△ECB
，∴S =S ,AD=BE，
△DCA △ECB
1 1
∴ AD⋅CG= BE⋅CH，
2 2
∴CH=CG，
∴OC平分∠AOE，而不是平分∠BCD，故④错误，不符合题意；
∵△DCA≌△ECB，
∴∠ADC=∠AEO，
∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，
∴故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③⑤，
故选：B．
二、填空题
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若∠B=30°，AD=2，则BD=
【答案】6
【分析】本题主要考查的是含30°角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，通过
直角三角形的性质求出∠A，∠ACD，根据含30°度角的直角三角形性质求出AC=2AD，
AB=2AC，求出AB即可．
【详解】解：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°=∠ACB，
∵∠B=30°，
∴∠A=90°−∠B=60°，
∴∠ACD=90°−∠A=30°，
∵AD=2，
∴AC=2AD=4，
∴AB=2AC=8，
∴BD=AB−AD=8−2=6，
故答案为：6．
9．如图，△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，CD=4，AD是∠BAC的平分线，则BD的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线的性质，过D作DE⊥AB于
1
E，根据30°角的直角三角形的性质得到DE= CD=2，根据角平分线的性质即可得出结
2
论；熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠B=90°，∠C=30°，CD=4，
1
∴DE= CD=2，DB⊥AB，
2
∵AD是∠BAC的平分线，
∴BD=DE=2，
故答案为：2．
10．如图，将边长为7个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△≝¿，则四边
形ABFD的周长为 ．
【答案】27
【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】∵将边长为7个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△≝¿，∴AD=BE=CF=3，EF=BC=AB=7，DF=AC=7，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+EF+FD=3+7+3+7+7=27.
故答案为：27
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点
D，E．若CE=3，则线段AE的长度等于 ．
【答案】6
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质与判定和直角
三角形的性质，连接BE，根据垂直平分线的性质可得△AEB是等腰三角形，从而可得
∠A=∠EBA=30°，AE=BE，再利用三角形内角和可得∠EBC=30°，再根据直角三
角形的性质可得EB的长，从而可得AE的长度．
【详解】解：如图，连接BE，
∵ED AB
是 的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠ACB=60°，
∴∠EBC=30°，
∴在Rt△EBC中，EB=2CE=6，
∴AE=EB=6，
故答案为：6．
三、解答题
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且AE=BE．(1)求∠CAE的度数；
(2)若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
【答案】(1)90
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边三
角形的判定，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的判定和性质是解题关键．
（1）由等腰三角形的性质可求∠B=∠C=30°，∠B=∠EAB，再由三角形外角的性质
即可求解；
（2）三角形外角的性质可得∠AEC=60°，由题意及各角之间的等量代换得出
∠DEA=∠DAE=∠ADE即可得到证明．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AE=BE，
∴∠B=∠EAB，
∴∠EAB=30°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAE=∠BAC−∠EAB=120°−30°=90°，
即∠CAE=90°；
（2）证明：由（1）知，∠CAE=90°，
∵∠C=30°，
∴∠AEC=60°，
∴∠DEA=60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
又∵∠DEA=60°，
∴∠DEA=∠DAE=60°，∴∠ADE=60°，
∴∠DEA=∠DAE=∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
13．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
(1)求∠E的度数？
(2)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹）
(3)求证：BM=EM．
【答案】(1)∠E=30°
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题综合考查了等边三角形的性质、基本作图和等腰三角形的性质．全等和等腰
三角形都是证明线段相等的常用方法．
（1）根据等边三角形的性质和三角形的外角的性质进行求解；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作；
（3）根据等腰三角形的三线合一进行证明．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又CD=CE，∠ACB为△DCE的外角，
∴∠E=∠CDE=30°；
（2）如图所示：（3）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，
∴∠DBC=∠ABD=30°，又∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=ED，
又DM⊥BE，
∴BM=EM．
14．如图，△ABC为等边三角形，即D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠AFB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠AFB=120°
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
（1）通过SAS证明△ABE≌△CAD，即可得出；
（2）通过证明△ABE≌△CAD，即可得出∠AFE的度数．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
在△ABE和△CAD中，
{
AB=AC
)
∠BAC=∠C ，
AE=CD
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴BE=AD；
（2）解：由（1）可知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠ABE=60°，∴∠AFB=120°．
15．以△ABC的边AB、AC为边向外分别作等边△ABD、等边△ACE，连接DC、BE，
DC与BE交于O，连接AO．
(1)求证：BE=CD；
(2)求证：OA平分∠DOE；
(3)请问线段DO与线段BO、AO之间有什么数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)OD=OA+OB，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的判
定、三角形内角和综合：
（1）根据等边三角形的性质得AB=AD ，AE=AC
∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，再利用SAS证得△ABE≌△ADC，进而可求
证结论；
（2）过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，由（1）知：△ABE≌△ADC，
S =S ，BE=DC，进而可证AM=AN，再根据角平分线的判定即可求证结论；
△ABE △ADC
（3）在OD上截取一点G，使得OG=OA，由（1）知：△ABE≌△ADC，可得
∠ADC=∠ABE，进而可得∠BDA=60°，则可得∠BOD=60°，由（2）知：
∠AOD=∠BOD=∠AOE=60°，则可得△AOG是等边三角形，再利用SAS可得
△DAG≌△BAO，进而可得DG=BO，根据OD=OG+DG=OA+OB即可求解；
熟练掌握相关的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，{
AB=AD
)
∠BAE=∠DAC ，
AE=AC
∴△ABE≌△ADC(SAS)，
∴BE=DC．
（2）证明：过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，如图：
由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S =S ，BE=DC，
△ABE △ADC
1 1
∴ ⋅BE⋅AM= ⋅DC⋅AN，
2 2
∴AM=AN，
∴点A在∠DOE的平分线上，即OA平分∠DOE．
（3）OD=OA+OB，理由如下：
在OD上截取一点G，使得OG=OA，如图：
由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°，
∴∠BOD=180°−∠BDO−∠DBA−∠ABE=180°−∠DBA−(∠ADC+∠BDO)=1，80°−60°−60°=60°
由（2）知：∠AOD=∠BOD=∠AOE=60°，
∵OG=OA，
∴△AOG是等边三角形，
∴AG=AO,∠GAO=60°，
∵∠DAB=∠GAO=60°，
∴∠DAG=∠BAO，
又∵AD=AB,AG=AO，
∴△DAG≌△BAO(SAS)，
∴DG=BO，∴OD=OG+DG=OA+OB．
