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13.4 课题学习：最短路径问题
夯实基础篇
一、单选题：
1．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有
如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和
最小，那么下面的操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上
的动点，则MN+BN的最小值是（ ）A．3 B． C．4.5 D．6
4．如图：△ABC中， ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在 ABC的平分
线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）
A．1 B． C． D．
5．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S ＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别
ABC
△
是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（ ）
A．4 B． C．5 D．6
6．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ，
，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）A．7 B．8 C．10 D．12
7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边
于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5
二、填空题：
8．如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P
应选 点（C或D）.
9．如图，在 中， 垂直平分 ，点P为直线 上一
动点，则 周长的最小值是 ．
10．如图，在 中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则周长的最小值是 .
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD
和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 .
三、作图题：
12．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池
塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地?(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)
13．如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M，使△PQM的周长最小。四、解答题：
14．作图题：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
①在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△ABC 并写出A，B，C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
②在y轴上画出点P，使PA+PB最小．（不写作法，保留作图痕迹）
③求△ABC的面积．
15．如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 边上的动点，
是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为多少？
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于点M（1）若∠B=70。，求∠NMA．
（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm，求BC的长．
（3）在(2)的条件，直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小?若存在，
标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
17．如图，在 中，已知 ， 的垂直平分线交 于点D，交 于点
E，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点P为直线 上一点， ，求 周长的最小值．能力提升篇
一、单选题：
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边
于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，
△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．如图，四边形 中， ，在 、 上分别找一点
，使 周长最小时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：
4．如图所示，在Rt ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D是斜边AC的中点，P是AB上一动点，
则PC+PD的最小值△为 ．5．如图，在 中， 平分 点 分别是 上的动点.若
则 的最小值是 .
三、解答题：
6．如图，在Rt ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线.
△
（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小；
（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使PA+PE的值最小，并直接写出其
最小值.
7．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点
F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
