文档内容
17.2 勾股定理的逆定理（单元教学设计）
一、【单元目标】
1．理解勾股定理的逆定理的证明方法，并会证明．
2．会用勾股定理判别已知三角形是否为直角三角形．
3．了解原命题、逆命题、逆定理等概念及其关系．
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。
这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极
性造成伤害。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约1课时
教学重点： 勾股定理的逆定理、互逆命题、互逆定理．
教学难点： 勾股定理的逆定理的证明．
五、【教学问题诊断分析】
1.【情景引入】
问题1 前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗?师生活动:师生共同回忆勾股定理，请
同学独立指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系.
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追问:我们知道一个直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，则有a +b =c .反过来，
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若一个三角形的三边具有a +b =c 的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢?今天我
们一起来研究这个问题.
设计意图:通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三
角形，引导学生自然合理地提出问题.
问题2 据说古埃及人用图1的方法画直角:把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个
结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.你认为结论正确吗?师生活动:学生测是课本中的三角形的角度，并计算三边长的关系.
设计意图:介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.
实验操作:(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位:
cm)画出三角形:
①2.5，6，6.5;
②6，8，10.
(2)量一量:用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数.
(3)想一想:请判断这些三角形的形状，并提出猜想.
设计意图:教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方
与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论,这种测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何
探索过程，
2.【证明勾股定理的逆定理】
问题3 要证明一个命题是真命题，我们首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知、求证.
请大家完成.
师生活动:学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过幻灯片(或板书)显示图形、已知及求证.
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已知:如图2，ABC的三边长a，b，c满足a +b =c .
求证:△ABC是直角三角形.
设计意图:引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.
问题4要证明ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°由命题的已知条件，能直接证明吗?
追问:对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办?
设计意图:本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形，联想到三角形全等这一工具，通过构造直角
三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证
明思路的合理性，帮助学生突破难点
3.【应用定理】
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=14 ，c=15.
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解：(1)∵15 +8 =289，17 =289，∴15 +8 =17 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
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(2)∵13 +14 =365，15 =225，
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∴13 +14 ≠15 ，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一
固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后
分别位于点Q、R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向
航行吗？
分析：“远航”号的航向已知，实质是要求出两艘船航向所成角.
解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
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∵24 +18 =30 ，即PQ+PR=QR,
∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
设计意图:这是利用勾股定理的逆定理进行判断的练习，通过练习，把陈述性的定理转化为认知操作，
学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
4.【介绍逆命题的概念】
问题5比较我们刚刚学习的定理和勾股定理，这两个命题的题设和结论有何关系?师生活动:比较两个命题的题设和结论，让学生初步感受到两个命题的题设和结论的关系，接着教师介绍原命题、逆命题、互
逆定理的概念.
例3说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗?
(1)两条直线平行，内错角相等.
(2)对顶角相等.
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
师生活动:学生独立思考并口答完成，在此活动中，教师应重点关注学生如何写出命题的逆命
题，对互逆命题关系及真假性的理解。并让学生理解任何一个命题都有逆命题，但是逆命题不一定都
是真命题.
5.【知识归纳】
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足__ a 2 ＋ b 2 ＝ c 2__，那么这个三角形是直角三
角形．
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为__勾股数__．勾股数扩大相同倍数后，仍为__勾股数__．
3．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做__互逆命题__．如果把其中一个
命题叫做__原命题__，那么另一个命题叫做__逆命题__．
4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为__
逆定理__．
6.【小结】
教师引导学生参照以下问题回顾本节课所学主要内容，并进行相互交流:
(1)勾股定理的逆定理的内容是什么?它有什么作用?
(2)本节课学了原命题、逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗?
(3)在论证勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程?
设计意图:问题(1)引导学生回顾和理解勾股定理的逆定理，明确定理的基本应用;问题(2)引导学生回
顾逆命题的有关知识;问题(3)引导学生回顾和体会同一法证明命题的基本思路.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
一、单选题
1．（2023下·广东汕头·八年级统考期末）下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．6、8、10 C．8、15、17 D．10、12、15
【答案】D
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角
形．据此逐一判定即可得到答案．
【详解】解：A、 ，能构成直角三角形，不符合题意；
B、 ，能构成直角三角形，不符合题意；C、 ，能构成直角三角形，不符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，
那么这个三角形就是直角三角形．
2．（2021上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如果线段 能构成直角三角形，则它的比
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和
等于最大边的平方．
【详解】解：A、12＋22＝5≠42，故不是直角三角形．故选项错误；
B、52＋122＝169＝132，故是直角三角形，故选项正确；
C、12＋32＝10≠52，故不是直角三角形．故选项错误；
D、32＋42＝9＋16＝25≠72，故不是直角三角形．故选项错误．
故选：B．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三
角形．
二、填空题
3．（2023下·全国·八年级假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做
原命题，那么另一个叫做它的 ．
【答案】 互逆命题 逆命题
4．（2022上·八年级课前预习）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，
那么这个三角形是直角三角形．（直角三角形的判定）
【答案】a2+b2=c2
5．（2022下·八年级课前预习）这个三角形的三条边有什么关系？并猜想是什么三角形？如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ．
符号语言：
在△ABC中
∵
∴ΔABC为直角三角形
【答案】 直角三角形 a2+b2=c2
6．（2022下·八年级课前预习）已知∆ABC中BC＝41， AC＝40，AB＝9，则此三角形为 三角形，
是最大角．
【答案】 直角 ∠A
7．（2022上·八年级课前预习）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是
．（直角三角形的判定）
【答案】直角三角形
8．（2022上·八年级课前预习）（1）已知任意两条边的长度，求第3条边/斜边上的高线/周长/面积……
（2）已知任意一条边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度，斜边上的高线，周长面积……
（3）判定三角形形状∶ 当a2+b2=c2时，是 三角形；当 a2+b2>c2时，是 三角形；当 a2+b2
