文档文本内容
17.2 勾股定理的逆定理（单元教学设计）
一、【单元目标】
1．理解勾股定理的逆定理的证明方法，并会证明．
2．会用勾股定理判别已知三角形是否为直角三角形．
3．了解原命题、逆命题、逆定理等概念及其关系．
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。
这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极
性造成伤害。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约1课时
教学重点： 勾股定理的逆定理、互逆命题、互逆定理．
教学难点： 勾股定理的逆定理的证明．
五、【教学问题诊断分析】
1.【情景引入】
问题1 前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗?师生活动:师生共同回忆勾股定理，请
同学独立指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系.
2 2 2
追问:我们知道一个直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，则有a +b =c .反过来，
2 2 2
若一个三角形的三边具有a +b =c 的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢?今天我
们一起来研究这个问题.
设计意图:通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三
角形，引导学生自然合理地提出问题.
问题2 据说古埃及人用图1的方法画直角:把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个
结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.你认为结论正确吗?师生活动:学生测是课本中的三角形的角度，并计算三边长的关系.
设计意图:介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣.
实验操作:(1)画一画:下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长(单位:
cm)画出三角形:
①2.5，6，6.5;
②6，8，10.
(2)量一量:用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数.
(3)想一想:请判断这些三角形的形状，并提出猜想.
设计意图:教学中先要求学生画几个三角形，测量边长，然后计算边长的平方，并分析最长边的平方
与其他两边平方和之间的关系，最后引导得出结论,这种测量、计算、归纳和猜想的过程，是典型的几何
探索过程，
2.【证明勾股定理的逆定理】
问题3 要证明一个命题是真命题，我们首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知、求证.
请大家完成.
师生活动:学生独立画出图形，写出已知、求证，教师通过幻灯片(或板书)显示图形、已知及求证.
2 2 2
已知:如图2，ABC的三边长a，b，c满足a +b =c .
求证:△ABC是直角三角形.
设计意图:引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务.
问题4要证明ABC是直角三角形，只要证明∠C=90°由命题的已知条件，能直接证明吗?
追问:对于△ABC，我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办?
设计意图:本问题中，难以直接证明△ABC是直角三角形，联想到三角形全等这一工具，通过构造直角
三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前三角形是直角三角形.让学生体会这种证
明思路的合理性，帮助学生突破难点
3.【应用定理】
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1) a=15 ， b=8 ，c=17; (2) a=13 ，b=14 ，c=15.
2 2 2 2 2 2
解：(1)∵15 +8 =289，17 =289，∴15 +8 =17 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
2 2 2
(2)∵13 +14 =365，15 =225，
2 2 2
∴13 +14 ≠15 ，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一
固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后
分别位于点Q、R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向
航行吗？
分析：“远航”号的航向已知，实质是要求出两艘船航向所成角.
解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
2 2 2 2 2 2
∵24 +18 =30 ，即PQ+PR=QR,
∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
设计意图:这是利用勾股定理的逆定理进行判断的练习，通过练习，把陈述性的定理转化为认知操作，
学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.
4.【介绍逆命题的概念】
问题5比较我们刚刚学习的定理和勾股定理，这两个命题的题设和结论有何关系?师生活动:比较两个命题的题设和结论，让学生初步感受到两个命题的题设和结论的关系，接着教师介绍原命题、逆命题、互
逆定理的概念.
例3说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗?
(1)两条直线平行，内错角相等.
(2)对顶角相等.
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
师生活动:学生独立思考并口答完成，在此活动中，教师应重点关注学生如何写出命题的逆命
题，对互逆命题关系及真假性的理解。并让学生理解任何一个命题都有逆命题，但是逆命题不一定都
是真命题.
5.【知识归纳】
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足__ a 2 ＋ b 2 ＝ c 2__，那么这个三角形是直角三
角形．
2．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为__勾股数__．勾股数扩大相同倍数后，仍为__勾股数__．
3．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做__互逆命题__．如果把其中一个
命题叫做__原命题__，那么另一个命题叫做__逆命题__．
4．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为__
逆定理__．
6.【小结】
教师引导学生参照以下问题回顾本节课所学主要内容，并进行相互交流:
(1)勾股定理的逆定理的内容是什么?它有什么作用?
(2)本节课学了原命题、逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗?
(3)在论证勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程?
设计意图:问题(1)引导学生回顾和理解勾股定理的逆定理，明确定理的基本应用;问题(2)引导学生回
顾逆命题的有关知识;问题(3)引导学生回顾和体会同一法证明命题的基本思路.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
一、单选题
1．（2023下·广东汕头·八年级统考期末）下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．6、8、10 C．8、15、17 D．10、12、15
【答案】D
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角
形．据此逐一判定即可得到答案．
【详解】解：A、 ，能构成直角三角形，不符合题意；
B、 ，能构成直角三角形，不符合题意；C、 ，能构成直角三角形，不符合题意；
D、 ，不能构成直角三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足 ，
那么这个三角形就是直角三角形．
2．（2021上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）如果线段 能构成直角三角形，则它的比
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和
等于最大边的平方．
【详解】解：A、12＋22＝5≠42，故不是直角三角形．故选项错误；
B、52＋122＝169＝132，故是直角三角形，故选项正确；
C、12＋32＝10≠52，故不是直角三角形．故选项错误；
D、32＋42＝9＋16＝25≠72，故不是直角三角形．故选项错误．
故选：B．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三
角形．
二、填空题
3．（2023下·全国·八年级假期作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做
原命题，那么另一个叫做它的 ．
【答案】 互逆命题 逆命题
4．（2022上·八年级课前预习）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，
那么这个三角形是直角三角形．（直角三角形的判定）
【答案】a2+b2=c2
5．（2022下·八年级课前预习）这个三角形的三条边有什么关系？并猜想是什么三角形？如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ．
符号语言：
在△ABC中
∵
∴ΔABC为直角三角形
【答案】 直角三角形 a2+b2=c2
6．（2022下·八年级课前预习）已知∆ABC中BC＝41， AC＝40，AB＝9，则此三角形为 三角形，
是最大角．
【答案】 直角 ∠A
7．（2022上·八年级课前预习）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是
．（直角三角形的判定）
【答案】直角三角形
8．（2022上·八年级课前预习）（1）已知任意两条边的长度，求第3条边/斜边上的高线/周长/面积……
（2）已知任意一条边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度，斜边上的高线，周长面积……
（3）判定三角形形状∶ 当a2+b2=c2时，是 三角形；当 a2+b2>c2时，是 三角形；当 a2+b2<c2
时，是 三角形；
（4）构建 三角形解题．
（5）立体图形中两点之间的最短距离．
【答案】 直角， 锐角， 钝角， 直角
9．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，某小区有一块四边形空地 ，为了美化小区环境，现
计划在空地上铺上草坪，经测量 、 米， 米， 米， 米，若铺一平方
米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．【答案】11700
【分析】连接 ，先利用勾股定理求出 的长，再用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可求
出四边形 的面积，再求出答案即可．
【详解】解：连接 ，
、 米， 米，
（米），
米， 米，
，
是直角三角形，
四边形 的面积为：
（平方米），
则 （元），
即铺这块空地需要投入11700元，
故答案为：11700．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
一、单选题
1．下列各数中，以a，b，c为边的三角形不能组成直角三角形的是（ ）A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可得．本题考查勾股定理逆定理，解题的关键是掌握如果三角
形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】解：A、由 ，能构成直角三角形，不符合题意；
B、由 ，能构成直角三角形，不符合题意
；
C、由 ，能构成直角三角形，不符合题意；
D、由 ，不能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
2．（2024上·江苏扬州·八年级统考期末）在 中， 对边是 ，哪个条件不能判断
是直角三角形（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形
就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，故 是直角三角形，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，故 是直角三角形，不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，故 不是直角三角形，符合题意；D、 ，故 是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
3．如果 ABC的三边分别为 ， ， ，其中 为大于1的正整数，则（ ）
△
A． ABC是直角三角形，且斜边为 B． ABC是直角三角形，且斜边为
△ △
C． ABC是直角三角形，且斜边为 D． ABC不是直角三角形
△ △
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，即
可解题．
【详解】解：∵（m2-1）2+(2m)2=m4+2m2+1=(m2+1)2，
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形，且斜边为 ，
故本题正确答案为C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，属于简单题，熟悉勾股定理逆定理的内容是解题关键．
二、填空题
4．有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为 ．
【答案】96
【分析】先连接AC，求出AC的长，再判断出△ABC的形状，继而根据三角形面积公式进行求解即可
【详解】解：连接AC，
∵△ACD是直角三角形，
∴ ，因为102+122=132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即 ×24×10- ×6×8=96．
故答案为96
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
5．（2024上·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点A、B、C均落在边长为1的网格格点上，则 等
于 °．
【答案】 /135度
【分析】延长 交网格于格点D，连接 ，证明 是等腰直角三角形，得到 ，即可得
到 的度数，此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股
定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：如图，延长 交网格于格点D，连接 ，
则 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
6．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意
取3条，能够组成 个直角三角形．
【答案】2
【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理得：
AD2=BD2=12+32=10，
AC2=12+22=5，
AB2=22+42=20，
BC2=CD2=25，
∴AD2+BD2=AB2，AC2+AB2=BC2，
∴能够组成2个直角三角形，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定
理得出直角三角形．
三、解答题
7．（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，已知 ，若小方格边长均为
(1)求 的面积；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 为直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，（1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出 的面积；
（2）根据勾股定理求得 各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定；
掌握并熟练运用勾股定理和勾股定理逆定理知识是解题的关键
【详解】（1）解： ，
∴ 的面积为 ；
（2） 为直角三角形，
理由：∵小方格边长为 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 为直角三角形．
8．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在格点上．
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)∠BAD是直角吗？为什么？
【答案】(1)
(2)是直角，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理求出四边形ABCD各边的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
，∴四边形ABCD的周长为： ；
（2）解：∠BAD是直角，
理由：连接BD，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABD是直角三角形，且∠BAD是直角．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的运算，熟练掌握勾股定理及其逆定理的内容是解题
的关键．
9．（2023上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ．求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形内角和定理，连接 ，先利
用勾股定理求出 ，进而利用勾股定理的逆定理得到 ，再根据等边对等
角和三角形内角和定理求出 的度数即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
10．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.
求 的度数.
【答案】
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出 、 、 ，得到 ，
，再结合勾股定理逆定理判断 为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
【详解】解：由题知， ，
，
，
， ，
， 为直角三角形，即 ，
．11．当a、b、c为何值时，代数式 有最小值？并求出这个最小值和此时以a、
b、c值为边的三角形的面积．
【答案】a=3，b=5，c=4，这个最小值为﹣35，以a、b、c值为边的三角形的面积为12．
【分析】首先把 进行配方得： +b2-10b+25-25+c2-8c+16-16+6，进一步整理
得： +（b-5）2+（c-4）2-35，分析可知， ≥0，（b-5）2≥0，（c-4）2≥0，即可推出最小值
为-35，a=3，b=5，c=4，此时三角形为直角三角形直角边长度为4和3，所以面积为6．
【详解】∵
= +b2-10b+25-25+c2-8c+16-16+6，
= +（b-5）2+（c-4）2-35，
∴ ≥0，(b﹣5)2≥0，(c﹣4)2≥0，
∴代数式 有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为﹣35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为6．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键在于利用完全平方公式对
原代数式进行配方．分析a、b、c的值．
12．在四边形 中， ， ， ， ， ．求四边形 的面积．
【答案】四边形 的面积是36
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出 的长度，再根据勾股
定理的逆定理判断出 的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴四边形 的面积 ，
故四边形 的面积是36．
13．（2024上·云南文山·八年级统考期末）如图，某县内连接三个乡镇 之间的公路分别是
， ， ． 鉴于三个乡镇之间地势平坦，为构建乡镇交通网络，方便群众出行，
该县计划从 镇新修一条公路直达公路 ，该段公路造价为10万元 ．
(1)判断公路 和 的位置关系，并说明理由；
(2)求新修的公路的最低造价．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)新修的公路的最低造价48万元
【分析】本题考查了勾股定理的应用和垂线段最短的知识，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的内容以及
知道什么时候距离最短．
（1）根据勾股定理逆定理，得出 ，即可解答；
（2）令新修的公路为 ，当 时， 最短，用等面积法求出 ，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：令新修的公路为 ，当 时， 最短，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴新修的公路的最低造价为 （万元）．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
一、单选题
1．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）用一根长度为 的小木棍组成直角三角形，另外两根小木棍的
长可以是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可
【详解】解：A、 ，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B、 ，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C、 ，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D、 ，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选：D．
【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知 的三边满足： 时，则 是直角三角
形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
2．（2023下·八年级课时练习）已知 、 、 是 的三边长，且满足关系式 ，
则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】根据算术平方根及绝对值的非负性得出 ， ，即可确定三角形的形状．
【详解】解： ，
， ，
解得： ， ，
的形状为等腰直角三角形；
故选C．
【点睛】题目主要考查算术平方根及绝对值的非负性，勾股定理逆定理，理解题意，熟练运用算术平方根
及绝对值的非负性是解题关键．
3．（2023下·八年级单元测试）如图所示的一块地，已知 ， ， ， ，
，则这块地的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，先利用勾股定理求出 ，再根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，再由
的面积减去 的面积就是所求的面积，即可．
【详解】解：如图，连接 ．
在 中，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是直角三角形，
∴这块地的面积 ．
故答案为：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到 是直角三角形是解
题的关键．
4．（2023下·八年级课时练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 都在格点上，
则下列结论错误的是（ ）
A． 的面积为10 B．
C． D．点 到直线 的距离是2
【答案】A
【分析】求出 ，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股
定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．
【详解】解： ， ， ，
，
，故B、C正确，不符合题意；
，故A错误，符合题意；
设点 到直线 的距离是 ，
，，
，
点 到直线 的距离是2，故D正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．
二、填空题
5．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 ，
， 都在小正方形的格点上，则 的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】利用勾股定理的逆定理，证明 是直角三角形即可．
【详解】解：根据题意，得 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．（2023下·八年级课时练习）已知等腰 的底边 ， 是腰 上一点，且 ， ，
则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】根据勾股定理的逆定理得出 ，设 ，在 中，由勾股定理建立方程，
解方程即可求解．【详解】设 ，
， ， ，
∴ ，
，即 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2023下·八年级课时练习）若 、 、 为 的三边长，且满足 ，则
是 三角形．
【答案】直角
【分析】首先根据 求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】∵
∴
∴解得
∵ ，
∴
∴ 是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，
则每一个非负数都等于0．
8．（2023下·八年级课时练习）在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结AB、AC，则
°．【答案】45
【分析】作 关于竖直边的对称线段 ，连接 ，根据勾股定理分别求出 、 、 ，根据
勾股定理的逆定理得到 为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质得出 ，结合
图形计算即可．
【详解】解：如图，作 交于点G，在图中小正方形的顶点取点D，连接AD，CD，过C作
交于点H，
由勾股定理得，
则 + = ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，
，
∵
∴
∴
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．（2023下·八年级课时练习）如图，在 中， 若将 沿 折叠，使得点C与 上的点D重合，则 的面积为
【答案】15
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判定 是直角三角形，由翻折不变性可知：
设 ，在 中，根据勾股定理列
出方程，求出 的值，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
由翻折不变性可知： ，
设 ，
在 中，∵ ，
∴ ，
解得 ．
∴ ，
∴ = ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，翻折的性质，以及三角形的面积公式等，熟练掌握翻折
的性质是解题的关键．
三、解答题
10．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 是边 上的点，
， ， ．(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求线段 的长．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）设 ，则 ，在 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1） 是直角三角形．理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是直角三角形，且 ．
∴ ．
∴ 是直角三角形．
（2）设 ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，．
11．（2023上·八年级课时练习）如下图，已知 于 ，且 ， ， ， ．
求：(1)四边形 的面积；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)四边形 的面积为
(2)
【分析】（1）连接 ，根据勾股定理求得 ，根据勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，进而
根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴四边形 的面积；
（2）在 中， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握勾股定理是
解题的关键．
12．（2023下·八年级课时练习）如图，在 中， 是 边的中点， 于点 ，交 于点 ，
且
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 是 边的中点， ，得到 垂直平分 ，利用中垂线的性质得到
，从而由 代换到 ，结合勾股定理的逆定理即可判定 为直角
三角形，进而得到 ；
（2）在 中，利用勾股定理得到 ，设 ，则 ，而 ，在
中，在 中，分别运用勾股定理得到 ，解方程得到 ．
【详解】（1）解： 是 边的中点， ，
垂直平分 ，
，
，即为直角三角形，且 ；
（2）解：在 中， ，即 ，
设 ，则 ，而 ，
在 中， ，
在 中， ，
，解得 ，
．
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．
13．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，已知等腰 的底边 ， 是腰 上一点，
连接 ，且 ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；
（2）设 ，根据等腰三角形的性质可得 ，在直角三角形 中，由勾股定理可
得 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明： ，
， ，
即为直角三角形；
（2）解：设 ，
是等腰三角形，
．
为直角三角形，
为直角三角形，
，
即 ，
解得： ，
故 的长为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练
掌握勾股定理的逆定理．
七、【教学反思】
